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Carga Y Descarga De Un Capacitor.

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Carga Y Descarga De Un Capacitor.

  1. 1. Octubre 15, 2009<br />Código: FIS-1033-04<br />Laboratorio de Física electricidad<br />CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR<br />Slahyden José Vides VillamizarEmail: slahydenv@uninorte.edu.coIngeniería Civil<br /> Yesid Rafael Gutierrez ÁvilaEmail: yavila@uninorte.edu.coIngeniería Mecánica<br />Abstract<br />In the fifth experience carried out it treat basically to determine how various the differential voltages at the terminals a capacitor when subjected to a process of charged and discharged in series circuit RC, but we have to determine the voltage in a capacitor is charged and discharged in series circuit RC. In second instance was calculated the time it takes the capacitor to reach half the maximum voltage, after calculated the capacitance of the capacitor based on the half- life, for this also was determine the capacitive time constant () and finally compare the average capacitance capacitor with the value set.<br />Resumen<br />En esta quinta experiencia realizada se trato fundamentalmente de determinar la forma como varia el diferencial de tensión en los bornes de un capacitor cuando se somete a un proceso de carga y descarga en circuito RC serie, pero para esto hay que determinar el voltaje en un capacitor que se carga y descarga en un circuito RC serie, en segunda instancia se calculo el tiempo que se tarda el capacitor en alcanzar la mitad del voltaje máximo, después calculamos la capacitancia del capacitor basado en el tiempo de vida media, para esto también se determino la constante de tiempo capacitiva () y por último se comparo la capacitancia media del capacitor con el valor establecido.<br /><ul><li>INTRODUCCION
  2. 2. Los circuitos RC se diferencian de los otros circuitos analizados en clase anteriormente debido a que variables como la corriente, el voltaje y la potencia cambian con el tiempo (es decir, que son dependientes a él) gracias al simple acto de cargar o descargar un capacitor. A través de esta experiencia se hará un montaje de un circuito RC, para luego por medio de DataStudio obtener una grafica de voltaje vs tiempo y de esa forma analizar el comportamiento de la corriente y la carga del capacitor en función del tiempo en el circuito RC comparándolo con la teoría expuesta en clase.
  3. 3. OBJETIVOS DE LA EXPERIENCIA
  4. 4. Objetivo general
  5. 5. Determinar la forma como varia el diferencial de tensión en los bornes de un capacitor cuando se somete a un proceso de carga y descarga en un circuito RC serie.</li></ul>Objetivos específicos<br />Determinar el voltaje en un capacitor que se carga y se descarga en un circuito RC serie.<br /><ul><li>Calcular el tiempo que tarda el capacitor en alcanzar la mitad del voltaje máximo.
  6. 6. Calcular la capacitancia del capacitor basado en el tiempo de vida media.
  7. 7. Determinar la constante de tiempo capacitiva ().
  8. 8. Comparar la capacitancia medida del capacitor con el valor establecido.
  9. 9. MARCO TEORICO</li></ul>1. Circuitos RC<br />Un circuito RC es un circuito con un resistor y un capacitor en serie, en donde las corrientes, voltajes y potencias cambian en el tiempo, pero para ello se debe cargar o descargar dicho capacitor.<br />Muchos dispositivos importantes incluyen circuitos en los que se carga y descarga alternativamente un capacitor. Entre ellos se encuentran los marcapasos cardiacos, los semáforos intermitentes, las señales direccionales de los automóviles y las unidades de destello electrónico. Por esto es importante el estudio de este tipo de circuitos.<br />2. Carga de un capacitor<br />Para cargar un capacitor es necesario comprobar que la fuente de energía eléctrica que se encuentra en el circuito tenga fem ε constante y resistencia interna nula (r = 0), y no se tiene en cuenta la resistencia de todos los conductores de conexión. Cabe anotar que inicialmente el capacitor esta descargado, después en un tiempo inicial (t = 0) se cierra el interruptor para completar el circuito y permitir que la corriente alrededor de la malla comience a cargar el capacitor. Para toda consideración practica, la corriente comienza en el mismo instante en todas las partes conductoras del circuito, y en cada instante la corriente es la misma en todas partes.<br />Como inicialmente el capacitor esta descargado, la diferencia de potencial entre los extremos de este (supongamos es Vab) es cero (t = 0). En este momento de acuerdo a la regla mallas de Kirchhoff, el voltaje entre los extremos del resistor R (supongamos es Vbc) es igual a la fem ε de la fuente de energía eléctrica. La corriente inicial (I0) a través del resistor esta dada por la ley de Ohm I0=VabR=εR.<br />A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vab aumenta y la diferencia de potencial Vbc entre los extremos de resistor disminuye, lo que corresponde a una reducción de la corriente. La suma de estos dos voltajes es constante e igual a la fem ε. Al cabo de un tiempo el capacitor se carga totalmente, la corriente disminuye a cero y la diferencia de potencial Vbc entre los extremos del resistor se hace cero. En ese momento aparece la totalidad de la fem ε de la fuente de energía eléctrica entre los bornes del capacitor, y la diferencia de potencial entre los extremos del capacitor es igual al valor de la fem.<br />Si se establece a q como la carga del capacitor e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiempo t luego de cerrar el interruptor. Las diferencias de potencial instantáneas Vab y Vbc son Vab= q/C Vbc = iR.<br />Utilizando estas en la regla de mallas de Kirchhoff, se obtiene ε- q/C- iR = 0 (ecuación 1). El potencial cae una cantidad q/C al pasar de a a b e iR al pasar de b a c. Resolviendo para i de la ecuación 1 se tiene i = (ε/R)-(q/RC) (ecuación 2).<br />Como se había mencionado anteriormente en el tiempo t = 0, cuando se cierra inicialmente el interruptor, el capacitor esta descargado, y por tanto, q = 0. Sustituyendo q = 0 en la ecuación 2 resulta la corriente inicial I0 = ε/R. Si el capacitor no estuviera en el circuito, el ultimo término de la ecuación 2 estaría ausente, entonces la corriente seria constante e igual a ε/R. Conforme la carga q aumenta, el termino q/RC crece y la carga del capacitor tiene a su valor final, al que llamaremos Qf. La corriente disminuye y termina por desaparecer. Cuando i = 0, la ecuación 2 se convierte en lo siguiente ε/R = Qf /RC, es decir, Qf = Cε (ecuación 3). En esta ecuación claramente se nota que Qf no depende de R.<br /> <br />Figura 1 (i vs. t) Figura 2 (q vs. t)<br />Para la figura 1 y 2 se muestra la corriente y la carga del capacitor respectivamente en función del tiempo. En el instante en el que se cierra el interruptor (t = 0), la corriente salta de cero a su valor inicial I0=εR; a partir de ese punto, se aproxima gradualmente a cero.<br />La carga del capacitor comienza en cero y poco a poco se aproxima al valor final Qf = Cε.<br />Se pueden deducir expresiones generales de la carga q y la corriente i es función del tiempo. Por tanto, i=dqdt. Haciendo esto en la ecuación 2 se obtiene <br />dqdt=εR-QRC=-1RCq-Cε<br />Esto se puede reordenar a<br />dqq-Cε=-dtRC<br />Para luego integrar en ambos lados. Se cambian las variables de integración a q’ y t’ para poder fijar q y t como limites superiores. Los limites inferiores son q’=0 y t’=0:<br />0qdq'q'-Cε=-01dt'RC<br />Después de integrar se obtiene<br />lnq-Cε-Cε=-tRC<br />Exponenciando ambos lados (es decir, tomando el logaritmo inverso) y resolviendo para q se encuentra que<br />q-Cε-Cε=e-tRC<br />Para luego obtener la definición matemática del circuito RC para un capacitor en carga<br />q= Cε1-e-tRC=Qf1-e-tRC<br />La corriente instantánea i es simplemente la derivada de la ecuación anterior con respecto al tiempo: <br />i=dqdt=εRCe-tRC=I0e-tRC<br />Tanto la carga como la corriente son funciones exponenciales del tiempo.<br />3. Constante de tiempo<br />Al cabo de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito RC ha disminuido a 1e (aproximadamente de 0.368) de su valor inicial. En este momento la carga del capacitor ha alcanzado una fracción 1-1e=0.632 de su valor final Qf=Cε. El producto RC es, consecuencia, una medida de la rapidez de carga del capacitor. Llamaremos a RC la constante de tiempo, o tiempo de relajación, del circuito, y la representaremos como τ.<br />τ=RC<br />Cuando τ es pequeña, al capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande, el proceso de carga toma más tiempo. Si la resistencia es pequeña, la corriente fluye con más facilidad y el capacitor se carga más pronto. Si R está en ohm y C en farad, en τ esta en segundos. En la Figura 1 el eje horizontal es una asíntota de la curva. En términos estrictos, i nunca llega a ser exactamente cero. Sin embargo, cuanto más tiempo transcurre, más se acerca a ese valor. Al cabo de un tiempo igual a 10 RC, la corriente ha disminuido a 0.000045 de su valor inicial. De manera análoga, la curva de la Figura 2 se aproxima a la línea discontinua horizontal marcada como Qf como una asíntota. La carga q nunca alcanza exactamente este valor, pero al cabo de un tiempo igual a 10 RC la diferencia de q y Qf es de solo 0.000045 de Qf.<br />4. Descarga de un capacitor<br />Cuando el capacitor ya ha adquirido una carga Q0, se quita la fuente de energía eléctrica del circuito RC y se conectan a dos puntos cualesquiera en este caso a y c que contiene tanto al resistor como capacitor a un interruptor abierto. En seguida cerramos el interruptor y en el mismo instante reajustamos nuestro cronometro a t=0; en ese momento q=Q0. Por lo que el capacitor se descarga a través del resistor, y su carga disminuye finalmente a cero. Sean una vez más i y q la corriente y la carga que varían con el tiempo, en cierto instante después de efectuar la conexión. En estas condiciones la regla de mallas de Kirchhoff de la ecuación 2, aunque con ε = 0, es decir,<br />i=dqdt=-qRC<br />Ecuación 3. <br />Ahora la corriente i es negativa; esto se debe a que sale carga positiva q de la placa izquierda del capacitor. En el tiempo t=0 cuando q=Qo la corriente inicial es I0=-Q0RC.<br />Para hallar q en función del tiempo, debemos reordenar la ecuación 3, cambiar de nuevo a los nombres de las variables a q’ y t’ e integrar. Esta vez los limites de q’ son Qo a q. Se obtiene<br />Qoqdq'q'=-1RC01dt'<br />lnqQ0=-1RC<br />q=Qoe-tRC<br />Ecuación 4. <br />Figura 3 (i vs. t) Figura 4 (q vs. t)<br />En las figura 3 y 4 se han graficado la corriente y la carga; ambos magnitudes tienden exponencialmente a cero con el tiempo. La carga del capacitor tiende de manera asintótica a cero en la ecuación <br />q=Qoe-tRC<br />En tanto, que en la ecuación <br />q= Cε1-e-tRC=Qf1-e-tRC<br />La diferencia entre q y Q tiene asintóticamente a cero. Las consideraciones energéticas nos ofrecen una visión más clara del comportamiento de un circuito RC. Cuando se esta cargando el capacitor, la rapidez instantánea a la que la fuente de energía eléctrica entrega energía al circuito es P=εi. La rapidez instantánea a la que se disipa energía en el resistor i2R, y la rapidez a la que se almacena energía en el capacitor es ivbc=iq/C. Multiplicando la ecuación 1 por i se obtiene εi = i2R+iq/C. Esto significa que de la potencia suministrada εi por la fuente de energía eléctrica, una parte (i2R) se disipa en el resistor, y otra (iq/C) se almacena en el capacitor. La energía total suministrada por la batería durante la carga del capacitor es igual al producto de la fem ε de la batería por la carga total Qf, o εQf. La energía total almacenada en el capacitor, es Qfε2. De este modo el capacitor, y la otra mitad se disipa en la resistencia. Resulta poco sorprendente que esta división de la energía por mitades no dependa de C, R ni ε.<br /><ul><li>PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL</li></ul>Utilizamos la herramienta Power Amplifier del interfaz ScienceWorkshop para suministrar una tensión al circuito resistencia-capacitor. Después utilizamos el sensor de voltaje para medir la tensión a través del capacitor cuando se carga y descarga. Empleamos un suiche conmutable para seleccionar la acción de carga y descarga del capacitor.<br />Utilizamos DataStudio para controlar la tensión de salida del interfaz y para registrar y mostrar la tensión a través del capacitor. Finalmente, medimos el tiempo para que el capacitor se cargue a la mitad del máximo voltaje. Utilizamos la constante tiempo medio y el valor conocido de la resistencia para calcular la capacidad del capacitor. Comparamos el valor calculado con el valor nominal del capacitor.<br />4.1. Configuración del ordenador<br />Conectamos la interfaz ScienceWorkshop al ordenador, encendimos la interfaz y luego encendimos el ordenador. <br />Conectamos un sensor de voltaje al Canal analógico B<br />Conectamos los cables a los terminales de “Salida” del interfaz <br />4.Abrimos el archivo titulado: DataStudio<br />•El archivo DataStudio debe contener una gráfica de la tensión frente al tiempo y la ventana del generador de señales para controlar la " salida" de la fuente. <br />•El generador de señales se configura para una salida de voltaje DC con una magnitud de 5.0 voltios <br />4.2. Calibración del sensor y montaje del equipo.<br />Realizamos el montaje tal como se indica en la Figura 8.1<br /> Figura 8.1<br />•No necesitamos calibrar el Sensor de voltaje.<br />1.Colocamos una resistencia de 3300-ohm () (marrón, negro, marrón) en un par de muelles de sujeción de componentes más próximos a los conectores tipo banana de la parte superior e inferior de la esquina derecha de la tarjeta AC/DC Electronics Lab.<br />2.Conectamos un capacitor de 330 microfaradios (µF) entre el muelles del extremo izquierdo de la resistencia de 3300 y el muelle más próximo a conector de la parte inferior.<br />3.Conectamos el circuito resistencia – capacitor de tal manera que cuando el suiche se coloque en la posición A el capacitor se cargue a través de la resistencia y cuando esté en la posición B se descargue.<br />4.Conectamos el sensor de voltaje en paralelo con los terminales del capacitor.<br />5. Conectamos los cables desde la fuente de poder Power Amplifier a los terminales tipo banana del la tarjeta AC/DC Electronics Lab. <br /> <br />4.3. Toma de datos<br />Antes de iniciar la toma de datos nos cercioramos que el capacitor este descargado, luego colocamos el suiche en la posición A.<br />Comenzamos la toma de datos. ( Pulsamos ‘Start’ en DataStudio ) El generador de señales dará una salida automáticamente cuando inicie el registro de datos. <br />3.Observamos la gráfica de la tensión frente al tiempo.<br />4.La toma de datos debe durar el tiempo que necesite el capacitor para alcanzar su máxima carga, sin parar la toma de datos coloque el suiche en la posición B, espere que se descargue totalmente y detenga la medición.<br />5.En datos aparecerá ‘run #1’.<br />DATOS OBTENIDOS<br />Figura 5: En esta grafica se puede apreciar claramente el comportamiento de la corriente y la carga con respecto al tiempo en el circuito RC. La corriente representada por la curva de color verde presenta una corriente inicial I0 y la carga del capacitor representada por la curva de color rojo presenta una carga inicial cero. La corriente tiende asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a un valor final Qf. Como se puede apreciar el tiempo que gasta para que el capacitor alcance la mitad del voltaje máximo es de 0.82 segundos.<br />ANALISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS<br />Luego de efectuar las respectivas anotaciones y observaciones y también de calcular experimentalmente el tiempo (0.82 seg) que dura el capacitor para que logre la mitad del máximo voltaje gracias a la herramienta de DataStudio, se llegaron a los siguientes análisis: <br />Pregunta 1: Con el dato obtenido en el paso anterior. ¿Cómo puede obtener la capacitancia experimental de capacitor empleado?<br />Determine la capacitancia experimental y compárelo con el valor nominal indicado. Halle el error.<br />Seleccione la zona de la gráfica que corresponda a la carga del capacitor (suiche en la posición A), Empleando la herramienta “fit” seleccione aquel ajuste que arroje menor error cuadrático medio( rms). Escriba esta ecuación en el informe y compárela con la ecuación que investigó en la sección ”actividades de fundamentación teórica”.<br />R/: Como se estableció en el marco teórico específicamente en la carga de un capacitor la carga q se definía matemáticamente como , donde encontramos la capacitancia C, la fem, la resistencia y el tiempo. La capacitancia para un capacitor se define como , por lo que v = q/C, entonces v(t) = ε( 1-е -t/RC ), pero como se había mencionado anteriormente τ = RC entonces v(t) = ε( 1-e-t/τ ), cuando es la fem es máxima entonces v(t) = vmax ( 1-e-t/τ ). Esto quiere decir que la mitad del voltaje máximo del capacitor es vmax/2 = vmax (1-e-t/τ), esto sería 1/2 = (1-e-t/τ), al reemplazar τ nos queda que es 1.18 como la resistencia es de 267.5 y τ = RC se despeja C y da un valor de 0.00306F. La capacitancia nominal del capacitor es 330 micro faradios por lo tanto el porcentaje de error es %E = (|(0.0033 F – 0.00306 F)|/ (0.0033 F)) x 100%= 7.27%<br />Pregunta 2: Con los datos obtenidos en el paso anterior. ¿Cómo puede determinar mediante este método la capacitancia experimental?<br />R/: Para la figura cinco se realizo un ajuste exponencial inverso que matemáticamente se expresa como , como se puede apreciar en la grafica B es despreciable debido a que es muy pequeño, entonces . También se sabe que la carga del capacitor es: . Comparando estas dos funciones nos queda que x = t y c = 1 / RC, C = 1 / Rc = 1/ (267.5) (0.905)= 0.0041F. En este caso el porcentaje de error es % E = (|(0.0033 F – 0.0041 F)|/(0.0033 F)) x 100%= 24%<br />Pregunta 3: ¿Cuánto fue la carga máxima obtenida por el capacitor en el proceso de carga?<br />Utilizando este método, determine la capacitancia experimental y compárelo con el valor indicado. Halle el error. <br />Utilice la herramienta “Smart Tool” para determinar el tiempo que tarda el capacitor en descargarse el 63% de su voltaje máximo.<br />R/: Q=εC= (5.0V) (330μF) = 1650μC<br />Pregunta 4: ¿Qué cantidad representa el tiempo obtenido en el paso anterior?<br />R/: 63% de 5.0 V seria 3.15 V, esto quiere decir que el tiempo que tarda en pasar de 5.0 V a 1.85 V es según los datos obtenidos (figura 5) t =11.17-10.19=0.98 s. Este valor indica la rapidez de descarga del capacitor y ocurre en el tiempo cuando la carga del capacitor es igual a , este tiempo se llama constante de tiempo.<br />Responda las preguntas problematológicas.<br />¿En qué forma varía la carga Q del capacitor a medida que este se carga?<br />R/: La carga Q presenta una variación de tipo exponencial, en donde tiende asintóticamente a un valor final Qf.<br />Cuando el capacitor se descarga a través de la resistencia ¿Qué sucede con la energía que se había “acumulado” en las placas del capacitor?<br />R/: La energía la mitad se almacena en el capacitor, y la otra mitad se disipa en la resistencia. Esta división de energía por mitades no depende de C, R ni ε.<br />3. ¿Se cumple la ley de Kirchhoff para los voltajes en el circuito RC del montaje?<br />R/: Si puesto que existe conservación de energía en las mallas del circuito, en este caso solo hubo una malla, esto quiere decir que la diferencia de potencial del resistor es igual a la fem otorgada por la fuente de energía eléctrica. <br /> <br />CONCLUSIONES<br />A partir de los datos, observaciones y los análisis de los fenómenos físicos hechos en el laboratorio se puede concluir que siempre y cuando exista una resistencia y un capacitor en serie en un circuito este se comportara como circuito RC. Ahora si el capacitor esta siendo cargado su voltaje aumenta y la diferencia de potencial del resistor disminuye al igual que la corriente, obviamente la carga aumenta de forma exponencial y tiende asintóticamente hacia un valor final Q de carga, contrario sucede con la corriente ya que este tiende asintóticamente hacia cero. Al descargar el capacitor lo que aumenta es la corriente y disminuye la carga, su comportamiento es el mismo para cuando se carga el capacitor, su crecimiento (corriente) y decrecimiento (carga) se hace exponencialmente. Todo esto ocurre durante un instante de tiempo igual a RC. <br /><ul><li>REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
  10. 10. SEARS, Zemansky, Física Universitaria, Volumen 2
  11. 11. Serway, Raymond, Electricidad y magnetismo, 6ta edición, International Thomson editores. S.A, México D.F, México, 2005

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