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Factorización de polinomios

Factorización de diferentes polinomios usando diferentes formas atendiendo a como se nos presentan los ejercicios

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Factorización de polinomios

  1. 1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio significa expresar el polinomio en forma de multiplicación. El objetivo es descomponer el polinomio dado en un producto de polinomios irreducibles o primos. Un polinomio es irreducible o primo si no se puede expresar o descomponer como un producto de otros polinomios de menor grado que él. Posibles casos 1. Polinomio de segundo grado Realizar una factorización de un polinomio de segundo grado es muy fácil. Lo único que tenemos que hacer es igualar el polinomio a cero y resolver la ecuación de segundo grado Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio 2 6 8x x  Igualamos a cero el polinomio  2 6 8 0x x   Resolvemos la ecuación 2 6 6 4 1 8 6 36 32 6 4 6 2 2 1 2 2 2                 1 6 2 4 2 2 2 x        ; 2 6 2 8 4 2 2 x        Ahora lo presentamos como multiplicación de polinomios de la siguiente forma   2 1 2ax bx c x x x x     Con lo cual nuestro polinomio quedaría de la siguiente forma 2 6 8x x  =         2 4 2 4x x x x      
  2. 2. ¿Qué pasaría si al resolver la ecuación de segundo grado únicamente nos da un resultado? Resolvamos el siguiente ejercicio Factoriza el siguiente polinomio 2 2 1x x  Los pasos son los mismos que en el ejemplo anterior 2 2 1 0x x       2 2 2 4 1 1 2 4 4 2 0 2 0 2 1 2 2 2                1 2 2 1 2 x x   Esto no quiere decir que sólo tenemos una solución. Nos encontramos ante una solución doble. Nuestra factorización sería 2 2 1x x  =      2 1 1 1x x x    ¿Qué pasaría si al resolver la ecuación de segundo grado nos diese un resultado cero? Resolvamos el siguiente ejercicio Factoriza el siguiente polinomio 2 3 9x x 2 3 9 0x x  Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado. Si no recuerdas como se resuelve pica en el siguiente enlace Resolución ecuaciones de segundo grado   1 23 3 0 0; 3x x x x     ¿Estaría bien nuestra solución? Si nos fijamos bien y desarrollamos  3x x  = 2 3x x que no es el mismo que nuestro polinomio inicial. Nos falta multiplicarlo todo por 3 Con lo que nuestra solución quedaría 2 3 9x x =  3 3x x 
  3. 3. 2. Al igualar a cero nos encontramos ante una ecuación bicuadrada 4 2 0ax bx c   Factorizar el siguiente polinomio 4 2 5 4x x  Los pasos son los mismos que en los casos anteriores si nos fijamos bien no podemos sacar factor común para simplificar un poco, así que la forma más rápida de resolverla será con una ecuación bicuadrada 4 2 5 4 0x x   Pasos para resolver este tipo de ecuación 1° hacemos el siguiente cambio de variable 2 4 2 ;x t x t  2 5 4 0t t   2° resolvemos la ecuación de segundo grado     2 9 5 4 1 4 5 25 16 5 9 5 3 2 1 2 2 2                 1 2 9 3 8 5 3 2 4;t 1 2 2 2 2 t         3° Deshacemos el cambio de variable 2 2 1 1 1 14 4 2x t x x       2 2 2 2 1 21 1 1x t x x       Con lo cual nuestra factorización quedaría: 4 2 5 4x x       2 2 1 1x x x x   
  4. 4. 3. Polinomio de grado igual o superior a 3 A veces, cuando igualamos a cero el polinomio para factorizar no nos encontramos ante una ecuación de segundo grado o bicuadrada, y es cuando necesitaremos otros procedimientos para poder factorizar. Uno de ellos es aplicando Ruffini Ejemplo: Factoriza el siguiente polinomio 4 3 2 6 24 16x x x x    El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16 16 tiene por divisor ±1, ±2, ±3, ±4, ±8, ±16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión Probamos con 2: Si x4 +6x3 +x2 -24x+16, Sus coeficientes en orden son: 1 6 1 -24 16 2 2 16 34 20 1 8 17 10 36 NO Probamos con -4 1 6 1 -24 16 -4 -4 -8 28 -16 1 2 -7 4 0 SI Coeficientes resultantes (x3 +2x2 -7x+4) (x+4) Volvemos a dividir: Probamos con 1 1 2 -7 4 1 1 3 -4 1 3 -4 0 SI
  5. 5. (x2 +3x-4) (x-1) (x+4) = (x+4) (x-1) (x-1) (x+4) = (x+4)2 (x-1)2 FACTORIZAMOS USANDO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 4 3 2 6 24 16x x x x    =     2 2 4 1x x  4. Sacando factor común previamente En muchos casos antes de factorizar tenemos que sacar factor común para poder realizar alguno de los procedimientos anteriores Ejemplos Factorizar los siguientes polinomios a) 2 3 36 12 18x x x  2 3 36 12 18 0x x x    2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 0x x x           2 2 3 2 3 2 3 0x x x          2 6 6 2 3 0x x x   La resolvemos como el caso de una ecuación de segundo grado b) 5 2 6x x  5 2 2 3 6 0 6x x x x     Por ejemplo por Ruffini

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