lista3

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  1. 1. ¸˜ Terceira Lista lista de preparacao para a (b) cada duas linhas distintas tenham exatamente uma XXII Olimp´ada de Matem´ tica do Cone Sul ı a parada em comum. (c) para cada duas paradas distintas, exista exatamente ˆ uma linha de onibus que passa por ambas.1. Sejam x, y e z inteiros tais que S = x4 + y 4 + z 4 e divis´vel ´ ı ´ ˆ Determine o numero de paradas de onibus da cidade. por 29. Mostre que S e divis´vel por 294 . ´ ı 9. Uma olimp´ada de matem´ tica, da qual participaram 30 ı a ¸˜2. Resolva o seguinte sistema de equacoes, sendo x, y, z re- ´ ¸˜ estudantes, consistia de oito problemas. Apos a aplicacao ais. da prova, para considerar o n´vel de dificuldade dos pro- ı ´ blemas, o juri determinou o valor de cada problema de xy + xz = 8–x2 acordo com o desempenho dos estudantes: um problema xy + yz = 12–y 2 vale n pontos se n˜ o foi resolvido por n estudantes. Por a yz + zx = −4–z 2 exemplo, se um problema foi resolvido por todos os estu- dantes, ent˜ o vale 0 ponto. Sabe-se que X(nome fict´cio a ı3. Os lados de um 99-´ gono s˜ o inicialmente coloridos com a a para proteger a identidade do estudante) obteve menos vermelho, azul, vermelho, azul, ..., vermelho, azul, ama- pontos que qualquer outro estudante. Qual a maior relo. Podemos trocar a cor de um lado por outra den- ¸˜ pontuacao poss´vel que Xico (ops, quer dizer, X) pode ı tre estas trˆ s cores de modo que nunca haja adjacentes e obter? ´ de mesma cor. E poss´vel, atrav´ s de uma sequˆ ncia de ı e e Suponha que, em cada problema, cada estudante obt´ m e ` ¸˜ trocas, chegar a configuracao vermelho, azul, vermelho, ¸˜ a a ¸˜ pontuacao total ou nula, ou seja, n˜ o h´ pontuacoes par- azul, ..., vermelho, azul, vermelho, amarelo, azul? ciais.4. Seja ABC um triˆ ngulo tal que ∠A = 90◦ e ∠B < ∠C. a 10. Dado um inteiro positivo. Prove que: ¸˜ Seja D a intersecao da tangente por A ao circunc´rculo de ı n n e ¸˜ ABC e a reta BC. Seja E o sim´ trico de A em relacao a BC n e X o p´ da perpendicular de A a BE. Seja Y ponto m´ dio e e d(k) = k k=1 k=1 ¸˜ de AX e Z a segunda intersecao de BY e o circunc´rculo ı ´ de ABC. Prove que BC e tangente ao circunc´rculo de ı Onde x denota a parte inteira de x. ADZ. ´ 11. Ache o maior inteiro positivo N tal que o numero de in-5. Dado n ≥ 2 um inteiro positivo, com divisores: teiros do conjunto {1, 2, 3 . . . , N } que s˜ o divis´veis por 3 a ı ´ ´ e igual ao numero de inteiros positivos que s˜ o divis´veis a ı 1 = d1 < d2 < . . . < dk = n por 5 ou 7. Prove que: 12. Numa palavra formada pelas letras a, b podemos trocar alguns blocos: aba por b e vice-versa, bba por a e vice- ¸˜ ´ versa. Se a configuracao inicial da palavra e aaa...aab d1 d2 + d2 d3 + . . . + dk−1 dk onde o a aparece 2003 vezes, podemos obter a palavra baa...aaa onde a aparece 2003 vezes? ´ E sempre menor que n2 e determine quando esse resul- tado divide n2 . Endere¸ o para envio das listas: c6. Prove que: Samuel Barbosa Feitosa Avenida Ataulfo de Paiva n 50 Bl A2 apto 1201, CEP: 22440-033 1 1 1 cos 1◦ Rio de Janeiro-RJ + +. . .+ = cos 0◦ cos 1◦ cos 1◦ cos 2◦ cos 88◦ cos 89◦ (sin 1◦ )2 Prazo m´ ximo para postagem no correio: 18 de Mar¸ o. a c7. Seja I o incentro de um triˆ ngulo ABC com AB diferente a http://www.treinamentoconesul.blogspot.com/ de AC. As retas suportes dos segmentos BI e CI intersec- tam os lados AC e AB nos pontos D e E, respectivamente. Ache ∠BAC, sabendo que DI = EI.8. O prefeito de uma cidade deseja estabelecer um sistema ˆ de transportes com pelo menos uma linha de onibus, no qual: (a) cada linha passe por exatamente trˆ s paradas. e 1

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