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Exercícios de combinatória                 (Problemas de introdutórios)                 Professor Helanderson sousa1ª Para...
(não podemos usar a cor empregada na segunda listra) e a quarta de 2 modos(não podemos usar a cor empregada na terceira li...
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Exercícios

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Exercícios

  1. 1. Exercícios de combinatória (Problemas de introdutórios) Professor Helanderson sousa1ª Para diminuir o emplacamento de carros roubados, um determinado paisresolveu fazer um cadastro nacional, em que as placas são formadas com 3letras e 4 algarismos, sendo que a primeira letra da placa determina um estadodesse pais. Considerando o alfabeto com 26 letras, qual é o número máximo decarros que cada estado poderá emplacas?Solução: Cada placa terá um total de quatro algarismos, sendo esses podendoser repetidos ou não, como há 10 possibilidades para os 4 números da placa, elaterá10x10x10x10 = Possibilidades. Já para as letras da placa, como o carropertence a um único estado teremos 1x26x26 = 676.2ª Determine a quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, quepodem ser formados com os algarismos 3,5,6,7 e 9.Solução. Para o primeiro algarismo temos apenas 5,6,7 e 9 como opções,para osegundo e para o último como não há nenhuma restrição quanto a repetições,temos 3,5,6,7 e 9. Logo, a quantidade números formados com os algarismosdados será 4x5x5 = 1003ª Chama-se palíndromos os números inteiros que não se alteram quando éinvertida a ordem de seus algarismos( por exemplo 323, 34243,4224) . Qual inúmero total de palíndromos formados por 5 algarismos?Solução: Para o primeiro algarismo não podemos incluir o zero pois assimteríamos um número de 4 algarismos. Logo temos 9 opções, para o segundo e oterceiro temos 10 opções cada um, pois não há restrições quanto a repetições,para o quarto e o quinto numero temos apenas uma opções, pois essesalgarismo tem de ser iguais ao primeiro e ao segundo.Assim teremos9x10x10x1x1 = 900 palíndromos formados por 5 algarismos.4ª Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter amesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?Solução: A primeira listra pode ser colorida de 3 modos, a segunda de 2 modos(não podemos usar a cor empregada na primeira listra), a terceira de 2 modos
  2. 2. (não podemos usar a cor empregada na segunda listra) e a quarta de 2 modos(não podemos usar a cor empregada na terceira listra). A resposta é3×2×2×2=24.5ª Em uma agência bancaria, ao retirar um cartão de credito, escolhe-se umasenha que der ser composta de 6 dígitos, escolhidos de 1 a 9. De quantos modospode-se escolher uma senha que os três primeiros dígitos sejam repetidos e oúltimos digito seja par?Solução: Como os três primeiros dígitos devem ser iguais, podemos tratá-loscomo apenas um. Assim teremos 9 possibilidades para o primeiro dígito( Quena verdade são os três repetidos) assim como para o segundo e o terceiro eapenas 4 possibilidades para o quarto dígito pois o número proposto deverá serpar e as opções são : 2,4,6,8.Portanto podemos escolher a senha de 9x9x9x4 =4x6ª Quantos são os números pares de cinco algarismo distintos?Solução: Dividiremos essa solução em duas partes bem simples.Na primeira consideramos que o número termina em zero, logo temos apenasuma possibilidade para o algarismo das unidades.Para o primeiro temos 9 (não pode ser o zero que já foi escolhido)Para o segundo temos 8(nem o zero nem o do primeiro número), para o terceiro7 e para o quanto 6, totalizando um total de 9x8x7x6x1 = 3024 números.Na segunda parte consideremos que o últimos algarismo (o das unidades) nãotermina em zero, logo temos 4 opções (pois tem que ser par), para o primeirotemos 8 opções pois não pode ser nem zero nem o número escolhido para oalgarismo das unidades, para o segundo temos 8 opções pois não pode ser nemo primeiro nem o ultimo. Para o terceiro 7 e para o quarto 6, totalizando8x8x7x6x4 = 10752.Logo no total teremos 107520 + 3024 = 137767ª (IME) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formadoscom os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?Solução:Inicialmente consideremos os números que terminem em zero, assim para oprimeiro número teremos apenas uma opção, já para o primeiro teremos 5opções, pois, não pode ser o zero que já foi escolhido, para o terceiro 4 opçõespois os algarismos devem ser distintos e para o terceiro algarismo termos 3opções.5x4x3x1 = 60Para os números que não terminem em zero, temos 5 opções para o últimonúmero, 4 para o primeiro número, pois, não pode ser nem a algarismoescolhido para o último número e nem o zero já que a os números procurados
  3. 3. são de 4 algarismos,para o segundo algarismo temos 4 opções pois não pode sero ultimo nem o primeiro e para o terceiro três, totalizando4x4x3x5 = 240Logo a quantidade números com as características pedidas será60 + 240 = 3008ª Uma bandeira é formada de sete listras que devem ser pintadas de três coresdiferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo queduas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?Solução:Para o primeira listra temos 3 opções para todas as outras teremos apenas 2opções pois, não pode ser a cor escolhida para o listra antecessora.Assim teremos 3x2x2x2x2x2x2 = 192 maneiras9ª De quantas maneiras podemos classificar 4 cidades nas categorias A ou B, seuma mesma cidade pode pertencer às duas categorias?Solução: Para cada cidade temos 3 opções (A, B e A e B) logo teremos um totalde 3x3x3x3 = 81 possibilidades10ª Há 10 cadeiras em fila. De quantos modos 5 casais podem se sentar nascadeiras se nenhum marido senta separado de sua esposa?Solução: Podemos tratar cada casal como apenas uma pessoa, assim teríamosapenas 5 cadeiras na fila e por tanto 5x4x3x2x1 = 120, porém cada casal pode sesentar de um duas maneiras ( direita ou esquerda do companheiro) assimteremos 2x120=240 maneiras

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