ECUACIONES DIFERENCIALESJ22                 ECUACIONES DIFERENCIALES                           JAIR OSPINO ARDILA         ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22             ECUACIΓ“N DIFERENCIAL DE BESSELLa E.D. de Bessel es la ecuaciΓ³n diferencial de segu...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22              π‘₯ 𝛼 𝐴 𝐽 𝑛 𝛽π‘₯ 𝑦 + 𝐡 π‘Œ 𝑛 𝛽π‘₯ 𝑦               π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿ 𝑛         𝑦= 𝛼           ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22                                                        ∞                                      ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22                𝑛+1       𝑛 + 2 π‘Ž 𝑛+2 + βˆ’π‘› 𝑛 + 1 + 𝑙(𝑙 + 1) π‘Ž 𝑛 = 0                            ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22Evenodd                                            𝑦1 π‘₯ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž 𝑙 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘                            ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22                          𝑑2 𝑦     1          𝑑 2 𝑦 cos πœƒ 𝑑𝑦                             2     ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22            ECUACIΓ“N DIFERENCIAL DE HERMITEEl segundo fin de las ecuaciones diferenciales ordin...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22Esto se puede hacer de forma cerrada como                    1     1                           ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22          ECUACIΓ“N DIFERENCIAL DE LAGUERRELa ecuaciΓ³n diferencial de Laguerre viene dada por   ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22                                                                     𝑑π‘₯                        ...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22                                                                                        π‘Ž1 = βˆ’...
ECUACIONES DIFERENCIALESJ22                                  BIBLIOGRAFÍAhttp://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferential...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Ecuaciones diferenciales

1,542 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,542
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
37
Actions
Shares
0
Downloads
45
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ecuaciones diferenciales

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 ECUACIONES DIFERENCIALES JAIR OSPINO ARDILA VALLEDUPAR-CESAR ~1~
  2. 2. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 ECUACIΓ“N DIFERENCIAL DE BESSELLa E.D. de Bessel es la ecuaciΓ³n diferencial de segundo orden lineal propuesta por 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 π‘₯ + π‘₯ + π‘₯ 2 βˆ’ 𝑛2 𝑦 = 0. 𝑑π‘₯ 2 𝑑π‘₯De manera equivalente, dividiendo porπ‘₯ 2 , 𝑑 2 𝑦 1 𝑑𝑦 𝑛2 + + 1βˆ’ 2 𝑦 = 0. 𝑑π‘₯ 2 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘₯Las soluciones a esta ecuaciΓ³n definen las funciones de Bessel𝐽 𝑛 π‘₯ y π‘Œ 𝑛 π‘₯ . LaecuaciΓ³n tiene una regular singularidad a 0 y una regular singularidad en ∞.Una versiΓ³n transformada de la ecuaciΓ³n diferencial de Bessel propuesta por Bowman(1958) es 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 π‘₯ + (2𝑝 + 1)π‘₯ + π‘Ž2 π‘₯ 2π‘Ÿ + 𝛽 2 𝑦 = 0. 𝑑π‘₯ 2 𝑑π‘₯La soluciΓ³n es 𝛼 𝛼 𝑦 = π‘₯ βˆ’π‘ 𝐢1 𝐽 π‘ž/π‘Ÿ π‘₯ π‘Ÿ + 𝐢2 π‘Œ π‘ž/π‘Ÿ π‘₯π‘Ÿ , π‘Ÿ π‘ŸDondeπ‘žβ‰‘ 𝑝2 βˆ’ 𝛽 2 , 𝐽 𝑛 π‘₯ y π‘Œ 𝑛 π‘₯ son las funciones de Bessel de primera y segunda clase , y 𝑐1 y𝑐2 sonconstantes. Otra forma se da por dejar que 𝑦 = π‘₯ πœ• 𝐽 𝑛 𝛽π‘₯ 𝑦 , 𝑛 = 𝑦π‘₯ βˆ’πœ• , π‘Œ πœ€ = 𝛽π‘₯ 𝑦 (Bowman, 1958, p.117), a continuaciΓ³n, 𝑑 2 𝑦 2𝛼 βˆ’ 1 𝑑𝑦 2 2 2π‘¦βˆ’2 𝛼 2 βˆ’ 𝑛2 𝑦 2 βˆ’ + 𝛽 𝑦 π‘₯ + 𝑦 = 0. 𝑑π‘₯ 2 π‘₯ 𝑑π‘₯ π‘₯2La soluciΓ³n es ~2~
  3. 3. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 π‘₯ 𝛼 𝐴 𝐽 𝑛 𝛽π‘₯ 𝑦 + 𝐡 π‘Œ 𝑛 𝛽π‘₯ 𝑦 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿ 𝑛 𝑦= 𝛼 π‘₯ 𝐴 𝐽 𝑛 𝛽π‘₯ 𝑦 + 𝐡 π½βˆ’π‘› 𝛽π‘₯ 𝑦 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘›π‘œ π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿ 𝑛. ECUACIΓ“N DIFERENCIAL DE LEGENDRELa ecuaciΓ³n diferencial de Legendre es la ecuaciΓ³n diferencial normal de segundoorden. 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 1βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2π‘₯ + 1 𝑙 + 1 𝑦 = 0, 𝑑π‘₯ 2 𝑑π‘₯Que puede ser reescrito 𝑑 𝑑𝑦 (1 βˆ’ π‘₯ 2 ) + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0. 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯El formulario anterior es un caso especial de la "ecuaciΓ³n diferencial de Legendreasociada" llamada correspondiente al casoπ‘š = 0.La ecuaciΓ³n diferencial de Legendretiene puntos singulares regulajres en βˆ’1, 1 y ∞.Si la variable x se sustituye por cos πœƒ , Entonces la ecuaciΓ³n diferencial de Legendrese convierte en 𝑑 2 𝑦 cos πœƒ 𝑑𝑦 + + 𝑙 𝑙 + 1 𝑦 = 0, π‘‘πœƒ 2 sin πœƒ π‘‘πœƒderivados a continuaciΓ³n para el asociado (π‘š β‰  0) Caso.Dado que la ecuaciΓ³n diferencial de Legendre es una ecuaciΓ³n ordinaria de segundoorden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Una soluciΓ³n𝑃1 (π‘₯) que esregular en los puntos finitos, se llama una funciΓ³n de Legendre de primera especie,mientras que una soluciΓ³n 𝑄1 (π‘₯) que es singular en Β±1, se llama una funciΓ³n deLegendre de segunda especie . Si l es un nΓΊmero entero, la funciΓ³n de la primera clasese reduce a un polinomio conocido como el polinomio de Legendre . La ecuaciΓ³n diferencial de Legendre puede resolverse usando el mΓ©todo de Frobenius,haciendo un desarrollo en serie con π‘˜ = 0 , ∞ 𝑦= π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 𝑛 =0 ~3~
  4. 4. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 ∞ 𝑦′ = 𝑛 π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘›βˆ’1 𝑛=0 ∞ 𝑦′′ = 𝑛 𝑛 βˆ’ 1 π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘›βˆ’2 𝑛=0Enchufar el aparato, ∞ ∞ ∞ 2 π‘›βˆ’2 π‘›βˆ’1(1 βˆ’ π‘₯ ) 𝑛 π‘›βˆ’1 π‘Žπ‘› π‘₯ βˆ’ 2π‘₯ π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ + 𝑙(𝑙 + 1) π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 = 0 𝑛 =0 𝑛 =0 𝑛=0 ∞ ∞ 𝑛 𝑛 βˆ’ 1 π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘›βˆ’2 βˆ’ 𝑛 π‘›βˆ’1 π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 𝑛 =0 𝑛=0 ∞ ∞ π‘›βˆ’1 βˆ’2π‘₯ π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ + 𝑙 𝑙+1 π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 = 0 𝑛=0 𝑛=0 ∞ ∞ 𝑛 𝑛 βˆ’ 1 π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘›βˆ’2 βˆ’ 𝑛 π‘›βˆ’1 π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 𝑛 =0 𝑛=0 ∞ ∞ βˆ’2π‘₯ π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘›βˆ’1 + 𝑙 𝑙 + 1 π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 = 0 𝑛=0 𝑛=0 ∞ ∞ 𝑛 + 2 (𝑛 + 1)π‘Ž 𝑛+2 π‘₯ 𝑛 βˆ’ 𝑛(𝑛 βˆ’ 1)π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 𝑛=0 𝑛 =0 ∞ ∞ βˆ’2 π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 + 𝑙 𝑙 + 1 π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 = 0 𝑛 =0 𝑛 =0 ∞ {(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)π‘Ž 𝑛+2 + [βˆ’π‘› 𝑛 βˆ’ 1 βˆ’ 2𝑛 + 𝑙(𝑙 + 1)]π‘Ž 𝑛 } = 0, 𝑛 =0por lo que cada tΓ©rmino debe desaparecer y ~4~
  5. 5. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 𝑛+1 𝑛 + 2 π‘Ž 𝑛+2 + βˆ’π‘› 𝑛 + 1 + 𝑙(𝑙 + 1) π‘Ž 𝑛 = 0 𝑛 𝑛 + 1 βˆ’ 𝑙(𝑙 + 1) π‘Ž 𝑛+2 = π‘Žπ‘› 𝑛 + 1 (𝑛 + 2) [𝑙 + 𝑛 + 1 ](𝑙 βˆ’ 𝑛) π‘Ž 𝑛+2 = βˆ’ π‘Žπ‘› 𝑛 + 1 (𝑛 + 2)Por lo tanto, 𝑙 𝑙+1 π‘Ž2 = βˆ’ π‘Ž0 1.2 𝑙 βˆ’ 2 (𝑙 + 3) π‘Ž4 = βˆ’ π‘Ž2 3βˆ—4 𝑙 βˆ’ 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)] π‘Ž4 = (βˆ’1)2 π‘Ž0 1βˆ—2βˆ—3βˆ—4 𝑙 βˆ’ 4 (𝑙 + 5) π‘Ž6 = βˆ’ π‘Ž4 5βˆ—6 𝑙 βˆ’ 4 𝑙 βˆ’ 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)(𝑙 + 5)] π‘Ž6 = (βˆ’1)3 π‘Ž0 1βˆ—2βˆ—3βˆ—4βˆ—5βˆ—6Por lo que la soluciΓ³n par es ∞ 𝑛 𝑙 βˆ’ 2𝑛 + 2 … 𝑙 βˆ’ 2 𝑙 𝑙 + 1 𝑙 + 3 … 𝑙 + 2𝑛 βˆ’ 1 𝑦1 π‘₯ = 1 + βˆ’1 π‘₯ 2𝑛 ! 𝑛 =1Del mismo modo, la soluciΓ³n impar es ∞ 𝑙 βˆ’ 2𝑛 + 1 … 𝑙 βˆ’ 3 𝑙 βˆ’ 1 𝑙 + 2 𝑙 + 4 … 𝑙 + 2𝑛 𝑦2 π‘₯ = π‘₯ + (βˆ’1) 𝑛 2𝑛 + 1 ! 𝑛=1Si l es un entero, la serie y1(x) se reduce a un polinomio de gradol con sΓ³lohastapotencias de xy la serie y2(x) diverge. Si l es un impar entero, la serie y2(x) sereduce a un polinomio de grado l con sΓ³lo impares de xy la serie y1(x) diverge. LasoluciΓ³n general para un nΓΊmero enterolentonces se da por el polinomio de Legendre ~5~
  6. 6. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22Evenodd 𝑦1 π‘₯ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž 𝑙 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘  𝑃𝑛 π‘₯ = 𝑐 𝑛 𝑦2 π‘₯ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž 𝑙 π‘–π‘šπ‘π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘  1 1 1 2𝐹1 βˆ’ , 𝑙 + 1 ; , π‘₯ 2 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž 𝑙 π‘π‘Žπ‘Ÿ 𝑃𝑛 = 𝑐 𝑛 2 2 2 1 1 3 π‘₯ 2 𝐹1 𝑙 + 2 , 1 βˆ’ 𝑙 ; ; π‘₯ 2 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž 𝑙 π‘–π‘šπ‘π‘Žπ‘Ÿ 2 2 2Donde 𝑐 𝑛 se seleccionara de forma que el rendimiento de la normalizaciΓ³n 𝑃𝑛 1 = 1y 2𝐹1 π‘Ž, 𝑏; 𝑐; 𝑧 es una funciΓ³n hipergeometrica.El asociado de la ecuaciΓ³n diferencial de Legendre es 𝑑 2 𝑑𝑦 π‘š2 1βˆ’ π‘₯ + 𝑙 𝑙+1 βˆ’ 𝑦 = 0, 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 1 βˆ’ π‘₯2Que se puede escribir 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 π‘š2 1βˆ’ π‘₯ βˆ’ 2π‘₯ + 𝑙 𝑙+1 βˆ’ 𝑦=0 𝑑π‘₯ 2 𝑦π‘₯ 1 βˆ’ π‘š2Las soluciones 𝑃1 π‘š (π‘₯) a esta ecuaciΓ³n se llaman los polinomios asociados de Legendre(si l es un nΓΊmero entero), o las funciones asociadas de Legendre de primera especie (si lno es un nΓΊmero entero). La soluciΓ³n completa es 𝑦 = 𝐢1 𝑃1 π‘š π‘₯ + 𝐢2 𝑄1π‘š π‘₯ ,Donde 𝑄1π‘š π‘₯ es una funciΓ³n de Legendre de segunda especie.La ecuaciΓ³n diferencial asociada de Legendre se escribe a menudo en una forma que seobtiene mediante el establecimiento de π‘₯ ≑ cos πœƒ. Al conectar las identidades 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑π‘₯ 𝑑(cos πœƒ) 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 =βˆ’ 𝑑π‘₯ sin πœƒ π‘‘πœƒ 𝑑2 𝑦 1 𝑑 1 𝑑𝑦 = 𝑑π‘₯ 2 sin πœƒ π‘‘πœƒ sin πœƒ π‘‘πœƒ ~6~
  7. 7. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 𝑑2 𝑦 1 𝑑 2 𝑦 cos πœƒ 𝑑𝑦 2 = βˆ’ 𝑑π‘₯ 𝑠𝑖𝑛2 πœƒ π‘‘πœƒ 2 sin πœƒ π‘‘πœƒEn (β—‡), entonces da 𝑑 2 𝑦 cos πœƒ 𝑑𝑦 cos πœƒ 𝑑𝑦 π‘š2 βˆ’ +2 + 𝑙 𝑙+1 βˆ’ 𝑦=0 π‘‘πœƒ 2 sin πœƒ π‘‘πœƒ sin πœƒ π‘‘πœƒ 𝑠𝑖𝑛2 πœƒ 𝑑 2 𝑦 cos πœƒ 𝑑𝑦 π‘š2 + + 𝑙 𝑙+1 βˆ’ 𝑦 = 0. π‘‘πœƒ 2 sin πœƒ π‘‘πœƒ 𝑠𝑖𝑛2 πœƒLuna y Spencer (1961, p. 155) llamada 2 β€²β€² β€² 2 2 2 π‘ž2 1βˆ’ π‘₯ 𝑦 βˆ’ 2π‘₯𝑦 βˆ’ π‘˜ π‘Ž π‘₯ βˆ’1 βˆ’ 𝑝 𝑝+1 βˆ’ 2 𝑦=0 π‘₯ βˆ’1FunciΓ³n de onda de Legendre (Zwillinger 1997, p. 124). ~7~
  8. 8. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 ECUACIΓ“N DIFERENCIAL DE HERMITEEl segundo fin de las ecuaciones diferenciales ordinarias 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 βˆ’ 2π‘₯ + πœ†π‘¦ = 0. (1) 𝑑π‘₯ 2 𝑑π‘₯Esta ecuaciΓ³n diferencial tiene una irregularidad en ∞. Se puede resolver utilizando elmΓ©todo de la serie ∞ ∞ ∞ 𝑛=0 𝑛+2 𝑛 + 1 π‘Ž π‘›βˆ’2 π‘₯ 𝑛 βˆ’ 𝑛=1 2π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯𝑛+ 𝑛=0 πœ†π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 = 0(2) ∞ 2π‘Ž2 + πœ†π‘Ž0 + 𝑛=1 𝑛+2 𝑛 + 1 π‘Ž 𝑛+2 βˆ’ 2π‘›π‘Ž 𝑛 + πœ†π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 = 0.(3)Por lo tanto, πœ†π‘Ž 0 π‘Ž2 = βˆ’ (4) 2Y 2𝑛 βˆ’πœ† π‘Ž 𝑛 +2 = π‘Žπ‘› (5) 𝑛 +2 𝑛 +1De n=1, 2,… puesto que (4) es solo un caso especial de (5), 2𝑛 βˆ’πœ† π‘Ž 𝑛 +2 = π‘Ž 𝑛 (6) 𝑛 +2 𝑛 +1De n=0, 1,…Las soluciones linealmente independientes son luego πœ† (4βˆ’πœ†)πœ† 8βˆ’πœ† 4βˆ’πœ† πœ† 𝑦1 = π‘Ž0 1 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ π‘₯4 βˆ’ π‘₯ 6 βˆ’ β‹― (7) 2! 4! 6! (2βˆ’πœ†)πœ† 6βˆ’πœ† 2βˆ’πœ† 𝑦2 = π‘Ž1 π‘₯ + π‘₯3 + π‘₯ 5 + β‹― .(8) 3! 5! ~8~
  9. 9. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22Esto se puede hacer de forma cerrada como 1 1 1 3𝑦 = π‘Ž0 1 𝐹1 βˆ’ ; ; π‘₯ 2 + π‘Ž1 π‘₯1 𝐹1 βˆ’  βˆ’ 2 ; 2 ; π‘₯ 2 (9) 4 2 4 1 1 𝑦 = π‘Ž0 1 𝐹1 βˆ’ ; ; π‘₯ 2 + π‘Ž2 𝐻 π‘₯ ,(10) 4 2 2donde es una funciΓ³n hipergeomΓ©trica confluente de primera especie yes un polinomio de Hermite . En particular, para=0, 2, 4,..., las soluciones puedenser escritas 1 𝑦=0 = π‘Ž0 + πœ‹π‘Ž1 π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–(π‘₯)(11) 2 2 𝑦=2 = π‘Ž0 𝑒 π‘₯ βˆ’ πœ‹ π‘₯ π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–(π‘₯) + π‘₯π‘Ž1 (12) 1 2 𝑦=4 = 2𝑒 π‘₯ π‘₯π‘Ž1 βˆ’ 2π‘₯ 2 βˆ’ 1 4π‘Ž0 + πœ‹π‘Ž1 π‘’π‘Ÿπ‘“π‘–(π‘₯) ,(13) 4dondeerfi(X) es la funciΓ³n erfi.Si =0, entonces la ecuaciΓ³n diferencial de Hermite se convierte en 𝑦 β€²β€² βˆ’ 2π‘₯𝑦 β€² = 0,(14)Que es de la forma 𝑃2 π‘₯ 𝑦 β€²β€² + 𝑃1 π‘₯ 𝑦 β€² = 0 y asΓ­ tiene solucion 𝑑π‘₯ 𝑦 = 𝑐1 𝑃1 + 𝑐2 (15) exp 𝑑π‘₯ 𝑝2 𝑑π‘₯ 𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 (16) 𝑒π‘₯𝑝 βˆ’2π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑦 = 𝑐1 2 + 𝑐2 = 𝑐1 π‘’π‘Ÿπ‘“π‘– π‘₯ + 𝑐2 .(17) 𝑒 βˆ’π‘₯ ~9~
  10. 10. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 ECUACIΓ“N DIFERENCIAL DE LAGUERRELa ecuaciΓ³n diferencial de Laguerre viene dada por π‘₯𝑦 β€²β€² + 1 βˆ’ π‘₯ 𝑦 β€² +  𝑦 = 0.Esta ecuaciΓ³n es un caso especial de la mΓ‘s general β€œecuaciΓ³n diferencial de Laguerreasociados”, definido por π‘₯𝑦 β€²β€² + 𝑣 + 1 βˆ’ π‘₯ 𝑦 β€² +  𝑦 = 0Donde  y vson nΓΊmeros reales con v=0.La soluciΓ³n general de la ecuaciΓ³n asociada es 𝑑 = 𝐢1 π‘ˆ βˆ’ο¬, 1 + 𝑣, π‘₯ + 𝐢2 𝐿 π‘₯ , 𝑣 𝑣Donde U(a,b,x) es una funciΓ³n hipergeometrica confluente de primera especie y 𝐿 π‘₯es un polinomio generalizado de Laguerre.Tenga en cuenta que en el caso especial=0, La ecuaciΓ³n diferencial asociada Laguerrees de la forma 𝑦 β€²β€² π‘₯ + 𝑃 π‘₯ 𝑦 β€² π‘₯ = 0,asΓ­ que la soluciΓ³n se puede encontrar con un factor de integraciΓ³n πœ‡ = exp 𝑃 π‘₯ 𝑑π‘₯ 𝑣+1βˆ’ π‘₯ πœ‡ = exp 𝑑π‘₯ π‘₯ πœ‡ = exp 𝑣 + 1 ln π‘₯ βˆ’ π‘₯ πœ‡ = π‘₯ 𝑣+1 𝑒 βˆ’π‘₯ ,Como ~ 10 ~
  11. 11. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 𝑑π‘₯ 𝑦 = 𝐢1 + 𝐢2 πœ‡ 𝑒π‘₯ 𝑦 = 𝐢1 𝑑π‘₯ + 𝐢2 π‘₯ 𝑣+1 𝑦 = 𝐢2 βˆ’ 𝐢1 π‘₯ βˆ’π‘£ 𝐸1+𝑣 βˆ’π‘₯ ,Donde 𝐸 𝑛 π‘₯ es el n E-funciΓ³n.Los asociados de ecuaciones diferenciales Laguerre tiene un punto singular regular a 0y una singularidad irregulares enο‚₯ . Puede ser resuelto mediante un desarrollo enserie, ∞ ∞ ∞ ∞ π‘₯ 𝑛 π‘›βˆ’1 π‘Žπ‘› π‘₯ 𝑛 βˆ’2 + (𝑣 + 1) π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ π‘›βˆ’1 βˆ’ π‘₯ π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 βˆ’1 + π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 = 0 𝑛=2 𝑛=1 𝑛=1 𝑛 =0 ∞ ∞ ∞ ∞ 𝑛 π‘›βˆ’1 π‘Žπ‘› π‘₯ 𝑛 βˆ’1 + (𝑣 + 1) π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 βˆ’1 βˆ’ π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ +  𝑛 π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 = 0 𝑛=2 𝑛=1 𝑛=1 𝑛 =0 ∞ ∞ ∞ ∞ 𝑛 + 1 π‘›π‘Ž 𝑛+1 π‘₯ 𝑛 + (𝑣 + 1) (𝑛 + 1)π‘Ž 𝑛+1 π‘₯ 𝑛 βˆ’ π‘›π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 +  π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 = 0 𝑛=1 𝑛=0 𝑛=1 𝑛 =0 ∞ 𝑣 + 1 π‘Ž1 +  π‘Ž0 + 𝑛+1 𝑛+ 𝑣+1 𝑛+1 π‘Ž 𝑛+1 βˆ’ π‘›π‘Ž 𝑛 +  π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 = 0 𝑛=1 ∞ 𝑣 + 1 π‘Ž1 +  π‘Ž0 + 𝑛+1 𝑛 + 𝑣 + 1 π‘Ž 𝑛+1 +  βˆ’ 𝑛 π‘Ž 𝑛 π‘₯ 𝑛 = 0. 𝑛=1Para ello es necesario ~ 11 ~
  12. 12. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22  π‘Ž1 = βˆ’ π‘Ž0 𝑣+1 π‘›βˆ’ο¬ π‘Ž 𝑛+1 = π‘Ž 𝑛+1 𝑛+ 𝑣+1 𝑛De n>1. Por lo tanto π‘›βˆ’ο¬ π‘Ž 𝑛+1 = π‘Ž 𝑛 + 1 (𝑛 + 𝑣 + 1) 𝑛De n=1,2,…, por lo que ∞ 𝑦= π‘Žπ‘› π‘₯𝑛 𝑛 =0 𝑦 = π‘Ž0 1 𝐹1 (βˆ’ο¬, 𝑣 + 1, π‘₯)  (1 βˆ’ )  1βˆ’ο¬ 2βˆ’ο¬ 𝑦 = π‘Ž0 1 βˆ’ π‘₯βˆ’ π‘₯2 βˆ’ π‘₯3 βˆ’ β‹― . 𝑣+1 2 𝑣 + 1 (𝑣 + 2) 2βˆ—3 𝑣+1 𝑣+2 𝑣+3Si  es un entero no negativo , entonces la serie termina y la soluciΓ³n viene dada por ! 𝐿 π‘₯ 𝑣 𝑦 = π‘Ž0 , 𝑣+1  𝑣donde𝐿 π‘₯ estΓ‘ asociado un polinomio de Laguerre y (π‘Ž) 𝑛 es un sΓ­mbolo dePochhammer . En el caso especial v=0,El correspondiente polinomio de Laguerre sederrumba a una costumbre polinomio de Laguerre y la soluciΓ³n se contrae para 𝑦 = π‘Ž0 𝐿 π‘₯ . ~ 12 ~
  13. 13. ECUACIONES DIFERENCIALESJ22 BIBLIOGRAFÍAhttp://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html ~ 13 ~

Γ—