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  1. 1. FEMATICffi LOS SÍMBOLOS Ifustr@nes ¿ls LOWELL HESS '.''I Tlrulo do r¡r¡ libro rn'-lnglór: nAfHEüAflC3 , Tiaduccün d¿ ToMS R. loul:o o-.o*,=ocroN tt't-NovARo, s'A.DE c v ffirGo. D-F. tméicot . BARCELOilA (EsDaña! . BOGOTa (Colomb¡al . SANTIAGO (Ch¡lef . ñffi. bga w orgqrp""¡0, an-¡a Novarc' s'A' & c'v." callo t No' 12' Naucblp¿n ó ¡út4 Eb. & !¡lóxbo. p- "tüfo "iá*¡"o @n W-stlmjrffittitl€ ComPnY' 'nc" de los E-U-A. Protü*ta h rcprodücc¡Ón totel o psrcial' Elr rt- ünem"an¿U"as, ¡iáli-O¿" r" é"r"o¡O.t U¡r*¿" iÉ¿et Sa¡er, comta de 10,m E ün Rl - *ca rüobbada * orsanatción Edtorid t¿ov'ro' s'A' d6 c'v- ' G l!Da, lS. pú Worrsrn ¡g¡¡¡g CoíT€ny' lnc' Drt¡Em¡dtral* ,L F--- - ' j,. I M t IJ HISTORIA DE POT IRVING ADLER :' I,OS NÚMEROS, Y EL ESPACIO f tL?
  2. 2. t- I PALMO las Matemáticas Las matemáticas constituyen una ciencia que nos enséña a pensar de- tenidamente en los númerós y en el espacio. Nos ayuda a llevar la cuenta en los deportes, a medir el área de un piso, a calcular los impuestos que de- bemos pagar, y a deóidirnos á h""", una compra ventaiosa. De ellas se sir- ve el ingeniero para diseñar una má- q_uina. Tanto en el trabaio como en el ju-ego, a menudo tenemos que res- ponder a preguntas como, ¿cúántos?, ¿dz qué tam,año?, ¿a qué á¡stanc¡a? Fara contestar a estas preguntas, es ne,cesario emplear números; debemos saber cómo se relacionan los números entre _sl, y cómo encajan unas con otras las distintas partes de un espa- cio. Para tener la ceÍteza de q,r" 2 nuestras r_espuestas son las correctas, tratamos de pensar ordenada y cuida- d_osamente; al hacer todo esto, em- pleamos las matemáticas. En los remotos días en que los hombres obtenían su alimentd únióa- mente de la caza y de la recolección de_ frutos y bayas, surgió la difieul- tad de cómo llevar un registro de sus provisiones. Contar, medir y calcular fueron _operaciones más importantes, a m_edida que los hombres primitivos se fueron convirtiendo en agriculto- Ies y pastores, pues tenían que hacer Ia medición de sus tierrar y át recuen- to de los animales de su rebaño. Al empezar a construir presas y canales de irrigación, tuvieron q,t" "ilcular la cantidad de tierra qu¿ tenían que
  3. 3. Los antiguos mercad,eres, constructores A naoegantes, empleaban lns matemóticas pora resohser ws problernas remover y cuántas piedras y ladrillos habría que colocar. Los capataces te- nían que saber de antemano cuánta comidá habría que almacenar para los trabaiadores. Los carpinteros y los albarliles tu- vieron que hacer cálculos y medicio- nes al cbnshuír habitaciones para el pueblo, palacios para sus gobernantes y grandés tumbas en forma de Pirá- mides para sus reyes. Al surgir el comercio, los mercade- res tuvieron que medir y Pesar sus artículos, ponerles precio, calcular su costo y sus ganancias. Los recaudadores de impuestos necesitaron fiiar las tasas y llevar registros. Para realizar todas estas actividades, el hombre inventó la aritmüi"m, eüe es el estudio de los números , y la geometría, que estudia el espacio. Para predecir los cambios de esta- ción, toi sacerdotes estudiaban los movimientos del Sol, la Luna y las es- trellas. Los navegantes también ob- servaban el firmamento, guiándose por la posición de los astros. Y para ayudar a estos hombres en sus tareas, se inventó la trigorcmetría, que es el estudio de la relación entre las dis- tancias y las direcciones. Al extenderse el comercio Por todo el mundo, tenían que rePetirse a' menudo los mismos tipos de cáleulos, por lo eual, para ahorrar üemPo, los matemáticos establecieron reglas para efectua¡los y métodos para resolver muehos problemas en forma ráPida; tales fueron las bases del ólgebra.
  4. 4. *t .:. Los hombres han empleado los símbolos .numéricos escriios desde h""9 siete mil años, aproxim"d"*urr_ te. Con el transcurso iel tiempo, in_ ventaron nuevos y mejores *Ztodos de escribir los números: Ái-p;i""tp"; . ctr} tw$il $wfgiiti'iill los representaban por rnedio de io"t siones gl pe-daZos- de madera, o de líneas dibujadas en el suelo. Todavía utilizamos este sistema cuando escri- bimos los numerales ,o*"rro, I, II y III. También encontramos estar'fitií_
  5. 5. NI]MERO I3 CENTAVOS SEPARE tOS CENTAVOS EN DOS GRUPOS: UNO DE DIEZ, Y UNO DE TRES En los números ardbigos mayues de g, el t¡alor ¡le cada dígito ilepenil,e de su posir;itln ü T ü 1 ffilcAl BlE EL GRUPO DE POR UNA IAONEDA DE at, u¡ o o z3 ú, zlt¡ (J r¡¡ o tn zl¡J F zl¡J (, u n1 ?=O r¡¡ 2a:) ras, aunque ya transformadas, en los números arábigos 2 y 3, Empezaron a usarse eomo conir:ntos de rayitas se- paradas. Posteriomrente, al escribirse las rayitas rápidalnente, se unieron en diferentes sfmbolos. La nr:meracién arábiga consta sólo de üez sfmbblos: los dlgitos 0, 1, 2, 3,4,"5,6,'7,8,y 9; pero cón estos Ai"ú dígitos, podemos formar cualquier , número. Lo hace,rros separando las ,l cifras grandes en gnrpos, tal crmo se- paramos las eantidades de dinero. Por eiemplo, podemos separar trece centavss en dos grupos: r¡no de diez # ,ffi # # s $ s ü I 3 y otro de tres. Podtrnos ca¡nbiar los diez centavos por una moneda de üez centavos. En tal forrra, tendrems unlo moneda de díez centavos y tres monedas de un centavo. Y esta canti- dad la representamos con la cifra 13. El I escrito en el segundo lugar a partir de Ia derechq representa un grupo de diez, asl como una moneda de diez centavos representa un con- iunto de diez monedas de un centavo. De igual modq un número escrito en el tercer lugar a partir de la dere- cha representa coniuntos de ciéntos; el cuarto t"*:, grupos de millares, etc.- 5 I L-
  6. 6. ffi $ -- pn"e no se Pueden o-,Jfffi:l Ha_gamos una representación obie- tiva de cualquier número entero em- pleando hileras de fichas. para hacer esto, hay que emplear tantas fichas como unidades tenga el número. Una hilera de cuatro fichas puede separarse en dos hileras de dos fichas cada una. Si colocamos estas dos hile- ras una debajo de la otra, Ias fiehas formarán un rectángulo, de igual mo- do, se pueden formar rectángulos con 6, 8, I ó 10 fichas. Por esto, lla- mamos ruimeros rectangulnres a estos números. El rectángulJque se puede formar con el número diez tendiá dos hileras de cinco fichas. Observemos que 2 X 5 - L0. Todos los ruimeros rectangul,a,res son el producto de dos o mas nú,meros más pequeños. Pero hay algunos números que no podemos descomponer de esta maqe- ra. Eiemplo: no es posible hacer que siete fichas formen un rectángulo. Se pueden distribuir las fichas en siete. Un número "rectanguhr", o rw prómo, siempre es el produc-to de nítmeros m.as p,equeños hileras de una fieha cada una, hasta formar una.hilera o una "ol"mou á" siete fichas. El número 7 no eS urr nú- mero rectangular. Los números que no pueden descomponerse de maréra que formen rectángulos, se llaman números primos. . Existe un método sencillo para de- terminar si un número es rectangular o primo. Este método recibe el nom- bre de Criba de Eratóstenes, en honor del matemático griego que inventó el sistema dos siglos antes del nacimien- to de Jesuoristo. Imaginemos todos los'números enteros, a partir del dos, arreglados en una hilera, de menor a mayor y en orden progresivo. El nú- mero dos, que encabeza la hilera, es un número primo. Ahora, contemos de dos en dós y tachemos cada nú- mero que obtengamos en esta forma, descartando así el dos y todos sus múltiplos. El 4, el6, el d, etc., serán números rectangulares. De los núme- i¡ 'li il # q I { $t '",.. I o
  7. 7. CUENTE DE DOS EN DOS CUENTE DE TRES eñ rnrs CUENTE oe c'r.¡éó'e¡¡- cr¡¡co .,',,' :.,..€.tJF T,E.:.ir,, DG.l$.l.ET€.,;€$'.I :.: : :r.i:, r.ri.:. iti:itirliti:.:i 'Í$ L3 ffi Otr !i7 :;**y_*,qrr/ 7 Los números primos no se pueden expresar como el producto de ntimeros más pequeños I Med.iante ln. criba d,e Eratóstenes, se pueden determinar los números primos ros que no hemos tachado, el tres "ncab"ra la lista, por lo que éste será el número primo que sigue al dos. Luego, tacharemos los números que vayamos obteniendo al contar de tres en tres. Se obtendrán así números enteros como 9 y 15, con los que se pueden formar rectángulos de tres hileras. El número que encabeza ahora la lista es el cinco, el cual es el tercer número primo. Si continuamos tachando de esta manera, obtendre- mos los múltiplos de cada uno de los números primos, y después de haber descartado cada familia de números, el número que encabece la lista será el siguiente número primo.
  8. 8. lf,- ll '-:]] Las Formas de los Números recibe el nombre de número triangu- lar. Los primeros cuatro númeios triangulares son: el l, el 3, el 6 y el 10. ¿Cuál es el séptimo número trian- gol"t? Una de las maneras de saberlq consiste en formar el séptimo triángu- lo y conta¡ el número de fichas que contiene. Pero existe un método sim- plificado que podemos aplicar. El grabado de la página derecha mues- tra el séptimo triángulo, con otro si- milar invertido. Los dos triángulos Los números, como las personas, tienen variadas formas. Algunos nú- meros son rectangulares; otros forman triángulos, cuadrados o cubos. Nútr,rEnos rRraNcnLAxBs Se pueden encontrar. números que forman triángulos colocando hileras de fichas, -unas debaio de otras. Se pone una ficha'en la primera hilera, dos enlla segunda, tres en Ia tercera, y así sucesivamente. El número total
  9. 9. forman un rectángulq por lo que el número triangulax es la mitad del nú- mero rectangular. El rectángulo de la ilustraeión tiene siet€ hileras de ocho fichas cada una. Por lo tanto, el nú- mero rectangular es 7 X S, ó sea 56. Y Ia mitad es 28. De-esto se deduce que para encontrar un número trian- gol"t, se multiplica el número de hile- ras del triángulo por el número próxi- mo más alto, y luego se divide , el pr,oducto entre dos. Para déterminar el octavo número triangular, divida entre dos el producto d;S X-9. ,¡iú-MEaos crrADRADos Forniamos los nrlmeros cuadrados haciendo rectángulos en los que el número de hileras sea igual al número de fichas de eada hilera. El cuadrado más pequeño tiene sólo una hilera; por lo tanto, el número euadrado más pequeño es el 1. El siguiente cuadra- do tiene dos hileras, con dos fichas en cada hilera, por lo que el siguiente cuadrado es: 2 X 2, ó sea 4. El ter- cer número cuadrado es 3 X 3, ó s'ea 9. Para obtener un cuadrado, raul- tiplique cualquier número por sí mismo. El séptimo número cuadrado es 7 X 7, 6 sa 49. Lo llamamos "siete al cuadrado", y lo expresamos asl'.72, El pequeño dos escrito en la parte superior derecha, es una de las mane- ras de expresar qilé el siete se tomará dos veees como multiplicador. Los números cuadrados se relacio- 9
  10. 10. I 2 '3 4 "6' 7 8 9, r0 nan con los números impares ( nfrme- ros que no pueden formar rectángulos de dos líneas ). Si hacemos una lista de los números impares, en orden pro- gresivo, y escogemos cualquiera de ellos, la suma de esos n{rmeros, incluso el que hemos escogido, será siempre un número cuadrado. El grabado nos lo explica cilaramente. Los números cuadrados también se relacionan -con los triangulares. Si '' ,. ] 1 La suma, de cualquier serie de númergs- impares consecufrirsos es siempre un n(tmero cuadradn- *----- -- i: r :22ó 4 +3+5:31 9 sumarnos cualquier número triangu- lar con el siguiénte número triangu--lat mayor, obtendremos invariablemente un cuadrado. rv{rrnrnnos cúsrcos Si empleamos dados en vez de fi- chas, podemos colocarlos en hileras para formar un cuadrado, y encima de éste se pueden poner cuadrados formados por dados. Cuando el nú- 1 +J+$+ 4'¿ 16
  11. 11. .q 1 +3 4¿ 2' ryffi1 :d s,';,!r, .,tru I 3 i*o',-,;;-.,"$ 3 +$ A 9¿ 3' 6 10 +S r¿o 42 10 mero de capas sea igual ai número de dados que hal' en una hilera, ha- bremos form¿do un rubo, Ese núrnero de dados que forma el cubo es un número cúbico. El número cúbico rnás pequeño es el L. El segundo es 2 X 2 X 2, o sea 8. Lo llamamos "dos 10 , +15 Q , 25¿ l::i5É$l,:¿iliilirf,:-.¡,ii¡.:,i1-rliir!i4ii;i;lr;-",jlljtr:!:iiir'i:airi:?¡. -'!. e," ? } 1C 15 ¿r1 ctr'l-o'' r'1o reprerentamo.s ¿rsí: ?r]. EI pequerlo tres que se escribe er, la pilr- te sr-rpelior clereclia inciicir que ei dos se en-rpleó colrro niultiplicador tres :eces. El quinto número cúbico es "cinco al cnbo". Se reprcsenta asi: 53 v sigrrific¿r 5 X 5 X. 5, ó sea 125. 2' 53A- ?* ,tfr4q& ; '!! ¡--. : :-1.:.¡':a. i ¡É! '!üI¡ : { i j i
  12. 12. los Conejot y las Plantas Un hombre compró una Pareja de coneios y cuidó de ellos. Esta paréja procreó un par de conejitos -un rnes después, y un segunclo par de cone- jitoi ai segundo mes. Luego, dejó de procrear. Cada nueva pareja cle cone- ¡itos tuvo a su vez dos Parejas de conejitos en el mismo período y luego no tuvieron más crías. ¿Cuántas nue- vas parejas de conejos tuvo este hom- bre cada mes? Para contestar a esta Pregunta, hagamos un esquema del número de parejas en cada generación de cone- ios. Escribamos el número 1 para re- presentar la primera pareja con la qtre el hombre empezíla cría. Anote- rnor "n seguida el número I para de- signar ccín él la pareja de conejos que nació al mes. Al siguiente mes, ambas pareias tuvieron crías, así que el sigtriente número es el 2. Hasta ahora tenemos tres núnleros en el esquema: 1, I y 2. Cada número representa una nue- va generación. En este.momento, la primera generación deió de procrear. La segunda generación (una pareja) procreó una pareia. La tercera genera- ción (dos parejas ) produjo, a su vez, dos nuevas pareias. Por lo tanto, el número que escribimos es I + 2, 6 EsrA cotuMNA tNDtcA ¡l Húm¡no ToTAt DE pAREJAS, PoR -CADA ot¡¡rnlclótl ESTA COTUMNA INDICA tAS GENERACIONES DE CONEJOS
  13. 13. sea 3.. En este momento, la segunda generación dejó de procrear, pero la tercera generaciótr (dos pareias) pro- duio dos pareias y Ia cuarta genera- ción (tres parejas) proereó tres.pare- ias, por lo que el número siguiente que escribiremos será 2 + 3, ó sea 5. Cada mes, sólo las dos últimas ge- neraciones tuvieron hiios, así que podemos obtener el siguiente número sumando las dos últimas cifras de la columna. Los números que obtenemos en esta forma se llaman números de Fibonacci. Los primeros doce son: 1, I, 2,3, 5, g, 13, 2r, U,55, gg y L44. Estos números tienen propiedades muy interesantes; surgen a cada mo- mento en Ia naturalez.a y en el arte. He aquí una de las propiedades de estos números. Escoiamos tres núme- ros cualesquiera, sucesivos. Multipli- quemos por sí mismo el número de en medio, y el primero por el tercero. Los resultados siempre diferirán en una unidad. Por eiemplo, si escoge. mos los números de Fibonacci 3, 5 y 8, tendremos: 52 - 5 X 5 - 25, en tanto que 3 X 8 : 2A. Si los números elegidos son ó, 8 y 13, se tendrá: 82:64,y 5 X 18 - 65. Ahora bien, si dividimos cada uno de los números de Fibonacci entre su vecino de la derecha, obtenemos una serie de fracciones: 112 35 8 132134 55 39 -r-, -, -, -, -t _, _, _, _, - 123591321345589144 Estas fracciones describen el crb- cimiento de las plantas. Cuando na- gen hojas tt revai en una planta, se disponen en espiral alrededor del tallo. La espiral va girando de abaio hacia arriba; la magnitud de Ia vuelia de una hoia a Ia siguiente, es una Las fracciones de Fibonacci tienen oar'ws propiedad,es interesantes. tlna d,e ellas se puede emple_ar para desuibtr las espirales que forman las hoia"s de Ins plnntas caando brotan del tallo. La distribución de lns hoias ntperiores permite que los raqos d,el Sol se ' filtren ho,sta las hoias más bá¡as fracción de una rotación completa alrededor del tallo. Esta fracción es siempre una de las fracciones de Fi- bonacci. Las fracciones de Fibonacci aparecen siempre en la disposición de las brácteas del cono de un pino o en la de los flósculos de una floi. l3
  14. 14. I ¡ I Bl Ángulo Recto El ángulo que empleamos más a menudo es el que mide 90 grados. Lo llamamos ángulo recto. Los albañiles forman un ángulo recto por medio de cuerdas. Fijan una cuerda horizontal con un nivel y co- locan otra cuerda vertical suspendien- do un peso o plomada en el extremo libre. Así forman un ángulo recto exacto, que los guiará para tender las hiladas .de ladrillos. De este modo, los muros de las casas que construyen estarán derechos y a plorno. En el antiguo Egipto, los agrimen- sores formaban un ángulo recto por el procedimiento de "tender una soga"; empleaban una cuerda dividi- da en doce espacios iguales por me- dio de nudos. Un trabaiador sostenla, juntos, los dos extremos de la soga, en tanto que otro sujetaba el nudo que marcaba tres espacios a partir del extremo, y un tercer hombre detenía con la mano el nudo que indicaba cuatro espacios contados del otro ex- tremo. Sila cuerda estaba tirar-Ée, se formaba un ángulo recto. ",, Una manera de formar un ángulo recto consiste en doblar una hoia de papel. Se dobla y se vuelvd'a doblar, haciendo coincidir los dobleces. Un ángulo recto mide 90 grados. Los anti- guos egipcios formaban los á,ngulos rectos manteniendo tirante urua cuerd,a anudnda uniformemente
  15. 15. Los Triángulos y la Distancia Entre Ia Tierra y Ia Luna Los triángolor pueden ser de dife- rentes magnitudes y formas, pero los tres ángulos de cualquier triángulo siempre suman el mismo número de grados. Para darnos cuenta de esto, cortemos un triángulo de papel; lue- go, separemos con las tiieras sus tres ángulos. Coloquemos después lado con lado y esquina con esquina, y veremos que la suma de los tres án- golor es igual a 1800, es decir, for- marán dos ángulos rectos. Éste es un dato importante, porque nos permite averiguar las magnitudes de los án- gulos de los triángulos, aunque sólo midamos dos de ellos. Por eiemplo, si uno de los ángulos mide 40 grados y el segundo 60, podremos saber cuán- tos grados mide el tercero, sin que Io midamos directamente. Bastará con sumar 40 más 60. y restar el resultadn de 180. El tercer ángulo, en este caso, medirá 80 glados. Este método simplificado tiené es- pecial utilidad si el tercer ángulo está fuera de nuestro alcance. Por eiem- plo, supong¿unos que dos hombres situados en lugares muy distantes en- tre sl, en la Tierra, miran hacia la Luna. La posicién de los dos hombres y la de la Luna foqman un triángulo. Como no se puede medir el ángulo de la Luna, nos valemos, para calcu- Iarlo, de las dimensiones que tienen Ios de la Tierra. Conoeer la magnitud de este tercer ángulo es importante para los astró- nomos, para calcular la_distancia que hay de la Tierra a la Luna. Si ésta estuviera más distante, el tercer, ángu- lo sería más pequeño; si estuviera Ímás cerca, el tercer ángulo sería mayor. Sea cualquiera el tamaño o ln forma que tenga un trióngulo, la sama de sas tres óngulos internos siempre es de 780 grados '; "-$:' 'iu .15
  16. 16. El Avión y la Puerta |ulio estaba construyendo un avión de iuguete de gran tamaño en la ha- bitación que le servía de taller. Cuan- o ya estaba a punto de pegar las 'alas al fuselaje del aeroplano, Julio pensó: "¿Pasará el avión por la puer- ta en cuanto las alas estén en su lu- gar? Las alas miden 3L/z metros de punta a punta, y la puerta 2 metros de anchura por 3 metros de altura." ]ulio no podría pasar el avión por la puerta, a menos que lo inclinara. Podemos ayudar a Julio a resolver su problema averiguando qué relación hay entre los lados de un triángulo rectángulo. Tracemos en una hoia de papel cuadriculado un triángulo rect- ángulo"de cuatro unidades de anchu- ra (primer cateto) por tres unidades de altura ( segundo cateto ) . Midamos ahora la hipotenusa (el lado más lar- go ) . Este último lado tendrá cinco unidades de longitud. Construyamos otros dos triángulos rectángulos, como los del dibuio, y midamos la hipotenusa de cada uno de los trián- gulos: cüeto cateto hipoterutsa 435 8610 t2513 Observemos los números corres- pondientes a cada triángulo; aparen- temente no hay relación alguna en- tre ellos, pero sí existe una relación escondida entre ellos. Esta saltará a la vista si elevamos al cuadrado cada uno de los números.
  17. 17. wfggffi wfffiffigéÁ rlllrltrrrllltllrrrl IIIT¡IIIIT ItlrrltlrlllllrrrrIIIIIIITTrlllllll tttlllrlllltlr Hace 2,500 aiws, Pitógoras formuW un teorema, el cual expresa que un trióngula rectóngulo, el andtadi de u¡w de los cotetos más el qndrado iIeI segutdn m,teto, siernpre es ignl al androdo ile Ia hípoterutn ( 2e cateto) 2 (hipoteruna)z 3X3: I 5X 5- ?5,y 6x6-36 10X10-100 5x5-25 13x13-169 Los eiemplos anteriores establecen una regla que descubrió hace unos dos mil quinientos arios un matemá- tico griego llamado Pitágoras. La re- gla establece que, en todo triángulo reetángulo, el cuadrado de uno de los eatetos, más el cuadrado del otro cateto, es igual al cuadrado de la hi- potenusa; es decir: (cateto)'+ (cate- to)'t (hipotenusa)2. Si aplicamos esta regla, nos ayuda- rá a resolver el problema de fulio. Nos damos cuenta de que la anchu- ra, la altura y la diagonal de Ia puerta, forman un triángulo rectángulo. Sus catetos miden, respectivamente, ? y 3 metros. De aguí resulta: 32 + 22 :9 * d- 13. Como 13 es el cuadrado de la diagonal por Ia que el avión debe psü, tenemos que ele- var al cuadrado la üstancia de punta (7er. cateto) 2 4x 4- 16 8X 8- M Lzx12-L44 16+.$- 2,5 et+36-100 LM+ 25 - 169 a punta de las alas, paxa saber si es o no más pequeña que Ia diagonal de la puerta. La distancia de punta a pun- ta de las alas es de 3% metros. (3r/z)' : yYz X 3L/z = %x%:as/+:LZT+ Este resultado es menor que 13; por lo tantq el aeroplano poárá pa- sar, ladeándolo, por la puerta. He aquí tres coniuntos de núme- ros. Sólo dos de ellos obedecen al teo- remb:de Pitágoys. .CCuáles son? 'ffinfu#¿. tp rrur,araal Io tnc qpaqo sogtnluoc ssp sonn4td, so.1 r5 vl r8 L2 15 15 I 8 L2 r7
  18. 18. Circulos y ilIondadientes En la vida diaria vemos continua- mente circunferencias y círculos. Eiemplos de las primeras son el borde de las tazas y de los platos, una sorti- ja, etc. De los segundos las monedas, el Sol y la Luna vistos desde la Tierra. La distancia que une en línea recta los extrerúos del círculo, pasando por su centro, se llama f,oí*utro del círculo. La línea que limita el círculo, o sea su perímetro, se llama circunfe- rencin. Midamos el diámetro de una moneda y su circunferencia, emplean- do un cordel para hacer esta última medición y midiendo con una re¡fa el pedazo de cordel. Encontraremos que Ia cireunferencia de la moneda medirá, aproximadamente, tres veces más que el diámetro. La circunferen- cia de cualquier círculo es siempre el mismo número de veces mayor que su diámetro. Este número constante no puede escribirse exactamente co- mo un número fraccionario o como un decimal, por lo que utilizamos la letra griega ,Í (pi) para representarlo. Equivale a 3L/2, 6 3.L4, aproximada- mente. Aunque parez-ca extraño, hay una forma interesante de calcular el valor de '', arroiando un mondadientes a un La cirarnferencia, o línea cuÍoa, que limi- ta al úrcul.o, si,empre es igual al üámetro maltlpkcado por 3.74, el Á(t¡nero conocido como pi il i,:,l t CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA - 2 1r por RADIO APel -- 7r por RADIO por RADIO f - 3.141ó APROXTMADAMENTE
  19. 19. piso de madera. El piso debe tener duelas de la misma anehura, y el mondadientes Ia misma longitud que la anchura de las duelas. ArroiemoJ el mondadientes varias veces al piso, llevemos la cuenta de las veces que lo arrojqmos y el de las veces que- el mondadientes' cae en posición irans-. versal, entre dos ra¡uras. Duplique- mos el níimero de veces que arroiamos el mondadientes y dividamos este número entre el número de veces que cay6 transversalmente a las ranuras. EI resultado será el valor de ,,. Por eiemplo, supongamos que he- mos arroiado el mondadientes aI piio cien veces y que eay6 en posición transversal, en una duela, 62 veees. Dividamos 200 entre 62. El resultado es 3.2, aproximadamente. No es éste un valor muy exacto de o, pero mien- gras más veces arroiemos al piso el mondadientes, obtendremos un valor más exacto. Cuando un mondadientes gira alrededor de su centro, describe un círculo. Por esta razfifl, T, que es una constante del círculo, también se relaciona con las probabilidades de que el mondadientes caiga transver- salmente a las duelas, es decir, per- pendicular a Ias ranuras. Otra forma de -ealcular 7t es me- diante el uso de los números impares, l, 3, 5, 7, 9, etc. Eseriba primero las fracciones Yt, r/r, ,t'a, t/r, Yi, etc. Lue- go, a partir de la primera fracción, reste Ia segunda, añada la terce- rL, reste la cuarta, y asl sucesiva- mente. Suspenda la operación cuando usted quiera, y multiplique por 4. EI resultado será un número apioximado al valor de ''. Mientras rhayor sea el número de fraccioner qrrl emplee usted, más exacto será el valor d" *. 19
  20. 20. Lados lguales y Ángulos lguales Utrq figura geométrica cuyos lados estén cérrados y sean rectos, se llama polígorio. Los triángulos y los cua- drados son polígonos. El número 'de ángulos que hay en un polígono es el mismo que el ntlmero de lados. Existen polígonos que tienen áttgo- los iguales y lados iguales. Los llama- mos polígonos regulnres. Un polígono regular puede tener cualquier número de lados, a partir de tres. Una for- ma de construir un polígono regular, es calcular el número de grados que debe tener cada ángulo, y trazar estos ángulos utilizando un transportador y separando sus lados en distancias iguales. Para obtener el n{rmero de grados en la s.nnn. de los ángulos de cualquier polígono,'reste 2 al nú- mero de lados y luego multiplique el resultado por 180. Si la figura consta de tres lados, los ángulos deberán sumar 180 grados. ( 3 ángulos, menos 2 - L.l X 180 : 1800. ) Por lo tanto, para tres ángulos iguales, dividimos la suma de los angulos ( 180 ) entre 3. Esto nos proporciona la medida de cada ángulo. Por'lo tanto, cada ángu- lo medir ^ ffi grados. Si la figura geo- métrica consta de cuatro lados, los ángulos sumarán 360 grados. (4 ángu- los menos 2 - 2. 2 X 180 - 360.) Por tanto, cada uno de los cuatro ángulos iguales medirá 90 grados. 20
  21. 21. l. Trtá";il '.q,rilát"ro 2. Cuadrado 3. Pentágono regular 4. Hexágono regular Se pued e trazar un triángulo equi- látero con regla y compás, por el método que se ilustra en el grabado. Para construir un cuadrado, primero se traza urr círculo. Después, se dobla el papel en que fue trazado, de ma- nera que el borde del papel pase por el centro del círculo" Se dobla nueva- rnente el papel en forma tal que forrne un ángulo recto con el centro. Se ex- tiende ia hoja de papel y se unen los puntos en que los dobleces crucen el círculo. Para hacer un pentágono re- gular, se corta una tira de papel de anchura uniforme. Después, se hace un nudo con la tira, tal y como se muestra en el grabado, y se aplana. Para construir un hexágono regular, se traza primero un círculo y luego se marcar] con el compás partes iguales de la circunferencia, de la misma an- chura del radio del círculo con el que se ha trazado. Habrá seis espacios iguales; únanse con líneas rectas las marcas trazadas y se formará un hexá- gono regular. NúTAERO DE ANGUIOS 3 4 b 6 SUl,tA DE tOS ANGUIO5 EXPR.ESADA EN GRADOS 180 360 MO 720 DIIAENSIóN DE CADA ANGUTO EXPRESADA EN GRADOS 60 90 r08 L20 2t
  22. 22. F' [a Sal y los Diamantes Muchos minerales forman hermo- sos cristales de caras lisas y bordes agudos. En algunos de estos cristales, las facetas son polígonos regulares, que tienen el mismo tamaño y la mis- ma forma, con el mismo número de polígonos en cada esquina. Un sólido construido en esta forma, se llama sóliiln regulnr. Hlay exactamente cinco sólidos re- gulares. Sus nombres nos indican el número de caras de que se componen. El tetroed,ro (cuatro car+s) se com- pone de triángulos, con tres triángu- los en cada esquina. El hexapdro o cubo (seis caras) te compone' de cuadrados, con tres cuadrados en cada esquina. El octaedro ( ocho ca- ras ) está compuesto de triángulos, con cuatro triángulos en cada esquina. El dodecaed,ro ( doce caras ) está com- puesto de pentágonos, con tres pentá- gonos en cada esquina. El icoso¿dro (veinte caras) se compone de trián- gulos, con cinco triángulos en cada esquina. Muclws mineral.es forman cristales. Unos cuantos,de éstos son úlidos regul.ares, cayas caras son polígonos regulnres
  23. 23. -t Una propiedad interesante de to- dos los sólidos de caras planas es la de que, si sumamos el número de es- quinas y el número de caras de cual- quiera de ellos, obtendremos el nú- mero de bordes, o aristas, de ese sólido, más dos. Hagamos Io anterior con el cubo que aparece en el graba- do de la págin a 28. Consta de ocho esquinas y seis caras, por lo que la suma de estos números es 14. Ahora contemos el número de bordes. Cons- ta de 12. Si examinamos un cristal de sal co- mún a través de un potente cristal de aumento, podemos darnos cuenta de que es un cubo. Un cristal de dia- mante es un octaedro. Los sólidos regulares forman atrac- tivos obietos de ornato. Se venden como pisapapeles. Hay calendarios dibujados en dodecaedros, en los que cada mes está grabado en una cara diferente. Podemos hacer modelos de cada uno de los sólidos regulares em- pleando los patrones que ilustran es- tas páginas. Primero, se hace un tri- ángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular, en una hoia de cartón, y después se recortan; a con- tinuación, s€ repiten estas figuras como lo indican los grabados. Sólo hay cinco sólídos regulares. El ietraedro tiene cuatro caras, cáda una de las cuales es un triángulo. El octaedro es un sólüo regular de ocho caras
  24. 24. lF.]Tx SOLIDOS REGULARES HEXAEDRO (CUBO) S-e pueQg c_ons!ryir un d.od,ecaed.ro copiand,o sobre un ped,ozo de papel cartoncitln et desarrollo de dicho sólido que so muestra arriba. (Jtw oez que esté trazado, recorte por Las líneas gruesos, üblelo por lns líneas delgadas y una los bordes con papel edgo- mada. Para construir un icosaedro, copie el desarioll.o de dicho sólido iyue aparéce abaio, g siga Las instrucciones que se'dieron para construir el dodecaedrb ' ICOSAEDRO
  25. 25. Tf i Las Matemáticas en la Natur alena En la naturaleza Podemos aPreciar hermosos eiemplos de las cun¡as, PG llgonos y sólidos que se .estudian en las matemáticas. En la esquina superior izquierda de esta página se muestra el cristal de un "opo dé nieve. Todos los coPos de niéve tienen la forma de un hexágo- no regular. ]unto 4 copo de nieve et con[iamos otro hexágono, en la colmena que construyen las abeias., Debaio-del panal vemos la concha del nautíhn, un animalito que vive en el mar. Se ha cortado esta concha transversalmente, Pil& mostrar las cámaras que contiene. La llnea curva que marca el límite de dichas cáma- ras, se llama espiral. En la parte infe- rior de la página se muestran varias espirales que se desenvuelven en dos direcciones a partir del centro de la flor llamada girasol. I ,f#/
  26. 26. I Cuando se forma¡r los volcanes, la lava caliente se esparce formando un cono. En la sección de la galaxia que aparece arriba, la Luna, el Sol y las estrellas, son esferas. Podemos apre- ciar claramente la forma esférica de la Luna, que es eI cuerpo celeste más cercano a la Tierra. El grabado inferior de la izquierda representa los esqueletos de algunos radiolarios. Estos son animales mi- croscópicos que viven en el mar. El fondo de los océanos Pacífico e lndi co está cubierto de estos esqueletos, restos de animales que vivieron hace millones de años. Cada uno de ellos es un polígorro simétrico perfecto. El esqueleto de la parte superior es un octaedro casi perfecto, o sea, un só- lido de ocho caras. El del centro, es un dodecaedro, d€ doce caras; y el de la parte inferior, un icosáedro, só- lido de veinte caras. 26
  27. 27. :2 + 1, 7-7+4. + 4 letras en ver,de Números I j -f + I I I t Sabemos que I 2 2+3-3+2,y4* Podemos hacer que cualquier número sumado a otro número forme una igualdad de este tipo. Escribamos simplemente un primer número, más un segundo número, antes del signo de igualdad. En el lado derecho de dicho signo, invirtamos el orden de los números. En lugar de escribir cada miembro de la igualdad separadamente, pode- mos escribirlos iuntos. De este modo: representemos por la letra a cualquier número, y por la letra b cualquier otro número. Luego, escribamos simple- mente: a * b - b * a: Al hacer esto, hemos pasado de la aritmética al álgebra. En álgebra empleamos letras que representan números. Es como si uti- lizátramos una clave pa,ra expresar muchas cosas en un espácio redlcido. En esta clave no utilizamos el signo X para denotar "veces", porque po- dríamos confundirlo con la letra Jc. Indicamos la multiplicación usando un punto en la parte media entre el multiplicando y el multiplicador, o simplemente escribiendo el multipli- cando y el multiplicador uno a conti- nuación del otro, sin emplear símbolo alguno. En esta clave, a' b significa "el número que representa o,, multipli- cado por el número que representa b". También se puede escribir ¿b. Cuando el mismo factor se emplea una y otra vez, empleamos la misma forma abreviada de escribir el pro- ducto de números cuadrados y cúbi- Las ecuaciones algebraicas siguen eI mismo principio que Ins balanzas. Lo que se ponga en u,n miembro de la ecuación, o en un plntlllo de In balnnza, deberá, set igual, aI número o aI peso que hay en el otro miembro, o plntllln, a fin de que quede en equikbrio 27
  28. 28. cos de las páginas 13 a 15. Cuando escribimos fra, llamada esta expresión "equis a la cuarta potenciú', es como si escribiésemos lc ' Jc x x, ó sea r como factor cuatro veces. He aquí un enunciado en clave que no siempre es cierto: r + 2 : 5. Esto no es cierto, ya que si a r le asignamos el valor de 7, 7 + 2 no es igual a 5. Pero será cierto, si le da- mos a r el valor de 3. Un enunciado de este tipo recibe el nombre de eatnci,ón Resolver una ecuación sig- nifica obtener el valor que hace que un enunciado sea cierto. Una ecuación se asemeia a una balanza. Se supone que t * 2 equi- Iibrará el 5, de la forma en que dos pesas iguales nivelan la balanza. Si cambiamos una pesa en uno de los platillos de la balanza, podemos equi- librarla nuevamente, haciendo que cambie la otra pesa en la misma can- tidad. Este Íazonamiento nos indica cómo resolver una ecuación: simple- mente modifiquemos ambos miem- bros de Ia ecuación, en idéntica forma, sumando o restando, multiplicando o dividiendo. Como 5 es lo mismo que 3 + z,la ecuaciónx * 2:5 significa x * 2 - 3 * 2. Si quitamos 2 unida- des a cada miembro de la ecuación, quedarán equilibrados ambos miem- bros, y de esta manera encontramos que r - 3 es la solución, es decir, el valor de la incógnita. Para resolver la ecuación 3r - 12, dividimos am- bos miembros de la ecuación entre 3, y obtenemos la solución: x : 4. ¿Puede usted'resolver la ecuación 3r - 4 - 8? Para obtener la solución, súmese 4 a cada miembro de la ecua- ción, y luego divídase cada miembro entre 3. La palabra á,lgebra fue acuñada hace unos mil años. Procede del título de un libro que trataba acerca de las ecuaciones y que fue escrito por un matemático árabe, Al-Khowariztni, y al que llamó al-iabr u:'al-mukabalah. Cuando el libro fue traducido aI latín, el título se convirtió en Ladus alge- brae almucgrabal,a.eque. Al ser tradu- cido al inglés su nombre fue algiebar and alrnachabel. Las tres denomina- ciones se simplificaron y su nombre actual es álgebra.
  29. 29. meridiano de Greenwich, en Ingla- terra. El almanaque le indica cómo es el cielo en Greenwich determinado día del año, o a determinada hora de un día cualquiera. Mediante toda esta información, ya puede el navegante resolver sus problemas. Veamos cómo puede localizar su lnsición en la Tierra. La Tierra es una ede¡a que gira alrededor de su pro- pio eie. Este eie apunta casi directa- mente hacia la estrella polar. El dia- grrima del pie de la página muestra a varios observadores situados en di- ferentes puntos de la Tierra, mirando haeia la estrella polar. El hombre si- tuado en el eeuador ve la estrella polar directamente sobre el horizonte. Para los demás, 6b estrella forma un ángulo con el horizonte, mientras 1 t ,i: : l I i 'l En el ecuador, un obseroádor oerá la estrella polar en el horizonte. Si aoanzo lwcin el norte, oerá, que ln estrelln, polnr formn un ángulo_ con el horizonte. Al médir este ángulo, podrá saber a qué disiancia se encuentro ilel ecuador La Navegación Un navegante tiene dos problemas fundamentales que resolver: uno de ellos es saber en un momento deter- minado en qué parte de la Tierra se encuentra. El otro consiste en calcular qué curso debe seguir su embarca- ción para ir de un lugar a otro. Los utensilios de que dispone para resol- ver estos problemas son: una bruiula, un sextante, un reloi y un ahanaque. La bruiula Ie indiea hacia dó'nde queda el norte,_parp que pueda medir correctamente las direcciones. Con su sextante mide la altura del Sol, la de la Luna o la de úna estrella que esté por encima del horizonte. El reloi le indicará la.hora, respecto de la del HACIA 29
  30. 30. donde está situado un observatorio al servicio de las embarcaciones. Su reloi le indica la hora de ese sitio en aquel momento. Su almanaque le muestra cómo es alll el cielo. La posición de las estrellas en el firf"*pnto que tiene ante sl el nave- g4nte, es diferente del que se con- templa en Greenwich y parece eomo si hubiera descrito determinado ángu- lo. La 'magnítud dé este ángulo le indica la distancia'a la que está del sitio en que el meridiano de Green- wich cfirza el paralelo por el que mas at norte esté sihrado el hom- bre, más grande será el ángulo. Por lo tantq al medir este ángulo, el hom- bre sabe qué tan al norte está Por encima del ecuador. Si el ángulo es de 30 grados, el navegante estará a 30 grados de latitud norte. Después, tiene que averiguar exactamente en qué punto del.paralelo está su barco. - Este paralelo es cruzado en algún sitio por el meridiano de Greenwich, navega. Esta información le permite fiiar su posición. Luego, bastará que el navegante estudie su carta rnaríti- ma ( un mapa de los océarios con los paralelos y los meridianos marcados en él ) , y averiguará exactamente la posición en que se encuentra. Por medio de un relni y un abnanaque ndutico, un obseroador que sabe a qué dis' tancia se encuentra del ecuador, Wede determfuwr su posición con referencia al merüiano de Creenwich. Y con ell'o, cono- cer el punto exacto de la superficie de ln Tierra ilondp está, 30
  31. 31. El Número en el Espacio I F .a { l lt Muchas ciudades están divididas en manzanas, por calles que están dispuestas en una dirección y aveni- das que cÍúzan las calles en ángulos rectos. Se puede localizar cualquier esquina mencionando dos números: el número de la calle, y el número de la avenida que la cruza. Así, si se desea encontrar a un amigo, Por eiemplo, en la ciudad de Puebla, bas- tará decir: "Te encontraré cerca de la biblioteca en la avenida quinta y la calle cuarenta y dos." Podemos localizar cualquier asien- to en un salón de clases, mencionando dos números: el de la fila y el de la hilera. En el grabado, las filas están numeradas de izquierda a derecha y las hileras de adelante hacia atrás. EI maestro dice: ' "Alcen la mano los alumnos cuyos números de fila y de hilera sumen cinco." Los lugares de los alumnos que levantaron la mano están representados por las pareias de números (4, 1), (3, 2 ), (2, 3) y (L, 4), "o las que el primer número de cada pareia representa el número de la fila. Si designamos con la le- tra f el número de la fila y por h el número del asiento, podemos des- cribir estos lugares por medio de la ecuación, f + h que los alumnos que han levantado la mano están colocados en.línea rec- ta. La ecuación describe los lugares que forman esta línea, la cual es una representación de las pareias de nú- meros descritos por la ecuación. Lo anterior es un eiemplo de un importante descubrimiento realizado hace más de trescientos años por René Descartes, un gran matemático fran- cés. Una ecuación con dos datos des- conocidos puede representarse por medio de una línea (recta o curva), llamada grá,fica. También, toda línea puede describirse mediante una ecua- ción. La rama de las matemáticas que se desarrolló a partir de este descubri- H LERA HILERA HILERA HITERA A¿,AA-FILA 3I FItA
  32. 32. X+Y=5 M '' x:t tt Y:4 sr X:2 sr X:3 EN- sr x:¿l"r!-Y:1 miento, se llama geometrta analítica. La relación entre una línea y la ecuación que representa, se muestra generalmente en esta forma: sobre una hoia de papel cuadriculado tra- zamos dos líneas que se cruzan, una vertical y otra horizontal, y las llama- mos eies. A continuación, dividimos cada eie en porciones iguales y los numeramos a partir de la intersección llamada origen. A la derecha del ori- gen anotamos números positivos, y t la izquierda, negativos. Arriba del origen, anotamos números positivos, y debaio, negativos. En esta forma, cada intersección estará descrita por una pareia de números, la cual nos 32 indicará si está a la derecha o a Ia izquierda, o encima o debajo del eje. A los números de la izquierda o de la derecha los llamsrrros r; a los supe- riores o inferiores los llamamos y. Los números fraccionarios representarán puntos que se encuentran entre las rayas de los cuadros. He aquí algunos ejemplos de ecua- ciones cuyas gráficas son líneas cur- vas: Ia grafica de x' * U' - 25 es tn círculn. La gráfica de 4x2 + 9U' : 25 es una curva cerrada llamada elip- se. La gráfica d" A - 4r - x:2 es una paráboln, o sea una curva similar a la que describe una pelota cuando se arroia hacia arriba y hacia adelante. M M Mf;#" EN. roN- YCES I EN- ttr! v :3 :2 René Descartes descubrió que urua eatación con dos incógnitas podía ser representada por medio de una gráfica, sobre ln cual cada.línea es utur ecuación .t ! . t j t ri -2 -3 -4 -3 -2 -l
  33. 33. -l ¿Cara o Cruz? Calcular las probabilidades de que algo suceda es como adivinar el fu- turo. Y esto se hace aplicando el sentido común y la experiencia de lo que ha ocurrido en el pasado. Para comprender cómo funciona este eálcu- lo, observemos un cÍrso muy sencillo y tratemos de decir lo que sucederá al arrojar al aire una moneda. La moneda tiene dos caras, llamad as cora y cruz; cada una de ellas puede apare- cer el mismo número de veces que la otra. Bl sentido común y la experien- cia nos inücan eüe, en un gran número de veces que se arroia al aire, Ias probabilidades son de que la mi- tad de las veces la moneda caiga de cora y Ia mitad de cruz. Dicho de otra m¿ulera, de eada dos 'tiros" uno será cara. Por lo tanto, las probabilidades de obtener cura son de t/2. Si arroiamos al aire dos monedas, hay tres resultados posibles: podemos obtener dos caras, o dos cruces, o una cora o una cruz. ¿Cuál es la probabi- lidad de obtener cada ut o de estos resultados? Por supuesto que no es uno en tres. Si empleamos dos mone- das ( digamos un centavo y un dé- cimo), vemos que en realidad h"y cuatro posibles resultados. Arroiando el centavo primero y el décimo des- pués, podremos obtener cara - cara, o cruz crvz. La probabilidad de obtener dos cruces es de una a cuatro, o sea %. La probabilidad de obtener dos caras es también de t/+.La posi- bilidad de que salga una cara y una ,lsslna li ii t * w t I + M+r& W ü 1,t ;,-.';,1,'' u',', ENTRE ENTNE 44 irF or .$t*o -TrRos- r$rrrrs
  34. 34. F i =íGü =l+ 3 ENTRE 8 crúz es de dos en cuatro tiros, o sea Yr. ¿Cuáles son las probabilidades de quó caigan dos caras y ula cruz al arroiar al aire tres monedas? Para con- testar esta pregunta, debemos obier- var primero que hay tres maneras de obtener dos caras y una cwz. Pode- mos obtener c¿rra - cara - crrrz, o cara - cÍuz - cafa, o cftJz -cara - ca' ra. Comparemos este número con el número total de maneras en que pueden caer las tres monedas. Este número es ocho, ya que cada moneda puede caer de dos posibles formas, y 2 X 2 X 2 - 8. Por lo tanto, las pro- babilidades de obtener dos carasl y, una cruz es 3/s. Hay una forma directa y sencilla para obtener las probabilidadés de cualquier combinaeión especial. Es el triángul.o il^e Pascal. Pascal fue un filósofo y matemático fra¡rces del siglo xvrl que se interesó en un tiempo por la ruleta y otros iuegos de azar. Este interés lo conduio al descubrimiento de algunas reglas importantes aeer- ca de las probabilidades de obtener una cara u otra al arroiar una moneda. 34 i t ü ü I * * * iü * * i* t I i * * ü i * ü * I * * * Sus descubrímientos se describen en una formación triangular de números, que muestra claramente la posibilidad de obtener cara o crriz o cualquier combinación de ellas, en determinado número de tiros. Cada hilera del triángulo se obti'e- ne de la inmediata superior, de esta manera: se escribe un I en eada ex- tremo, y debaio de cada par de núme- ros contiguos, se escribe la suma de ambos. La primera hilera representa las probabilidades de que salga cara o cruz al arrojar una moneda; la se- gunda hilera, para dos monedas; la tercera,para tres monedas, qtc. El primer número de una hilera re- presenta la probabilidad de obtener todas c¿uas y una ettrz, y así en forma sucesiva. Pa¡a ealcular las posibilida- des al arroiar cuatro monedas, emplee la cuarta hilera. Para las.probabilida- des de obtener dos caras y dos ótuees con cuatro monedas, use el tercer número de la hilera. Compare este nú- mero con Ia suma de todos los núme- ros de la hilera. La probabilidad de obtener dos caras y dos cruees es de 6 veces en 16, o sea s/a,
  35. 35. MONEDA Si se arroia um rnonedn,la posibilidad ile que caiga de cara es 7 entre 2, ó sea L/2 Si s¿ tiran das monedns, ln posibilillnd. de obtener dos caros es 7 entre 4; de conseguir utua cara y u¡w cruz, 2 entre 4, ó sea a/2; de que salgan dos cntces, T entre 4 Si se arrbian tres monedns,Ins posibílid,ad,es son: tod.as de cara, 7 entre 8; dos caros A urw cntrz, 3 entre 8; 2 cruces y 7 cara, 3 entre 8; tod,as de ctttz, 7 entre 8 Sf s¿ tiran antro manedas, enfie 76 de que todas salgan de caro o todns d,e cruz; 4 entre 76 de obtener 3 caras y u,rx, cruz; ó 3 cruces y 7 cara; 6 entre 76 de obtener 2 cotut y 2 cruces En chrco tiros, Ias posiülidailes son: 7 entre 32 ¿le que todas salgan aaro, o tod"as de cruz; 5 entre 32 para 4 caras y 1 cruz, ó 4 c,ntces y 7 cara; 7O entre 32 pora 3 caras, 2 c:races ó 3 uu- ces V 2 caras U ¡i H I En seis tiros, lns posibílilladcs son que tod.as saXgan caros o tú"os cn.raes, 7 entre 61; p.ra 5 caras y 7 c.ruz, o al contrarío, 75 ent¡e 64;3 cotos y 3 cnrces, 2O entre 64 jh 2 MONEDAS 3 M.NEDAS 4 M.NEDAS 5 MoNEDAS 6 MoNEDAS
  36. 36. t+ I' I I =€.=ffiq.- "ffi. =*ffi La Regla de Celculoo @''M el Aparato que Multiplica ,tf Cuando resolvemos un problema de matemáticas, tratamos de hacerlo de la forma más breve y fácil que sea oosible. La manera más sencilla de iesolverlo, no es hacerlo en su totali- dad, sino sirviéndonos de algún apa- rato'mecánico. Se puede construir una sencilla má- quina sumadora, con dos reglas comu- nes y eorrientes. Se colocan una enci- ma de la otra, borde con borde, y ya está formada una máquina rudimenta- ria. Si queremos sumar 2y 3, hacemos coincidir el cero de la regla superior eon el 2 de la regla inferior. Después, loealizamos el 3 de la regla de arri- ba, y la respuesta aparecerá debaio Iln ytar il"e reglas cornunes y conbntes se prede utíIizor pala &nnar núme*os de este número, en la regla inferior. Si hacemos un pequeño cambio en nuestras reglas, podemos convertirlas en un aparato que multiplica. Obte- nemos la clave de eómo eiecutar esto gracias a lo que aprendimos en la página f5. Una forma simplificada de escribir 2 - 2 - 2. 2 es 2a.Como 2 . 2. 2. 2 -16, 24 es otra forma de expresar 16. El 4, que nos indica cuántas veces tenemos que multiplicar 2 por sí mis- mo, para obtener 16, se llama el loga- rümo de 16. En igual forma, 23 es otro modo de expresar 8, y el logaritmo de ocho es, en este caso, 3. Para multi- plicar 16 por 8, multiplicamos 2a por 2 +3 5 HAGA COINCIDIR TAS DOS RBGLA EN FORIIA TAL, QUE Et 2 DE rA REGrA TNFERToR EsrÉ ExActAme¡ne orsfuo DEt cERo DE TA REGLA SUPERIOR LUEGO, ABAJO DEt Nú'MERO 3 DE tA REGTA SUPERIOR, I.EA LA RESPUESTA DE tA SUMA EN IA REGTA INFERIOR .:Í'"7 36
  37. 37. ! Urw regln de cálcula sunu, logaritmos para efechnr operacianes de multiplicación 23. Lo anterior equivale a multiplicar 2 - 2 . 2 . zpor 2 " 2 . 2. Substituyendo la palabra por, obtenemos 2 . 2 . 2 - 2.2.2.2, y el resultado, expresado en forma abreviada, es 27, ó sea 128, y su logaritmo es 7. Observemos que, al multiplicar 16 por I para obtener L28, sumamos los logaritmos 4 y 3, para obtener 7. Esta es nuestra clave. Sabemos ya que d.os reglas pueden, sym?r.las distan- cias que se miden con ellaE. Por lo 'tanto, haremos una regla especial en la que Ia distancia de cáda número respecto del extremo de la regla sea igual aI logaritmo del número. O sea" que la regla medirá logaritmos. Y sumar logarihos equivale a inulti- plicar süs respectivos números. Una regla. de este tipo recibe el nombre de regln dp cóInin. Dos reglas comunes y corrientes pueden restar números, así cumo tan- bién suma¡los. Poi ejemplo, para res- tar 3 de 5, coloque el 3 de la regla superior coincidiendo con el 5 de la regla inferior. El cero de la regla supe- rior indicará, que la respuesta es 2. En forma similar, una regla de cálculo que multiplica números se puede usar en sentido inverso para efectuar Ia operación de división. Las reglas de cálculo se emplean en muy diversos géneros de activida- des: en ingenierla,.arquitectur4 im- prenta,'' y, €n general, son indispensa- bles para toda persona que flbcesite frecuentemente hacer cálculos rapi- dos. Hay muchos tipos de reglas áe cálculo. Además de la reglp recta que se describió a¡rteriormente, las hay de forma circular. Éstas constan de dos discos impresos, de tamaño disgnto, que están moRtados sobre un eje común que les permite girar libre e independientemente. "t, 37
  38. 38. las Ruedas Contadoras Otro aparato simple que se utiliza para contar es el oümetro, el cual se instala en un, automóvil para indi- car cuántos kilómetros ha recorrido el vehíeulo. Consta de una serie de rue- das colocadas una iunto a otra. Llevan números impresos del I al I en el canto de eada rueda. Uno de estos números, €D cada rueda, asoma por una abertura en el velocímetro del auto. La rueda de la derecha regis- tra décimos de kilómetro. Cuando el vehículo ha reeorrido la décima parte de un kilómetro, la rueda gira lo sufi- ciente para hacer que aparezea el siguiente número en la ventanilla del odómetro. Después de nueve dé- cimos de kilómetro, el nhmero I ap¿uece en la ventanilla. Al pasar el siguiente décimo, la rueda coloca Los antornóoiles tienen un frequeño aproto contado¡ en el tablero, llamado oümetro, el cual mide la distancia qie el oehícttlan reco¡te y la expreso por medio de númeroi situados en dkcos giratorios i I I el cero en su lugar y, almismo tiempo, hace que gire la rueda próxima un espacio. El objeto de este movimiento es cambiar diez espacios de Ia pri- mera rueda por un espacio de la segunda. A su vez, la segunda rueda, deryués _ de completar una vuelta, cambia üelz espacios por un espadio de la tercera rueda. AJí, mientr¿s la primera rueda registra décimos de kilómetro, Ia segunda rueda cuen- ta hlómetros, la tercera marca dece- nas de kilómetros, Ia euarta indica centenas de kilómetros, y así sucesiva- mente. La mayoría de las máquinas ealculadoras dó oficina funcionin de manera semeiante a los odómetros. Son simples máquinas de contar, que suman números como las personas su- man cnn los dedos. Cuentan el primer I Kri tO Ktr...'. PUNTO DE PARTIDA l ESTA DISTANCIA NO ESTA A ESCALA
  39. 39. número, y luego, empiezan en donde el primer número se quedó. Multipli- can sumando el mismo número varias veces. Para multiplicar 4 por 5, por eiemplo, una calculadora suma 5 + 5+5+5 Las máquinas computadoras fun- cionan electrónicamente; son las más rápidas. Tambiéh son máquinas que cuentan, sólo gu€, en vez de tener series de ruedas giratorias, están pro- vistas de series de circuitos electróni- cos. Llevan la cuenta interrunnpiendo y estableeiendo la corriente eléctrica dentro de los circuitos. Así como en el odómetro una rueda pasa la cuenta a Ia siguiente, haciéndola girar, en las computadoras un circuito pasa la corriente a otro circuito contiguo, mediante impulsos de electricidad. Cada ruedá del odómetro tien e diez divisiones; por tanto, este aparato forma números de varias cifras en grupos de diez. Cada circuito en una computadora electrónica sólo tiene dos posicidnes, por lo que los números que forma'son de varias cifras, en Las calculadoras el.ectrónicas funcionan sumando Enoí,an y cortan impulsos de corriente eléct¡ica a tneros de oarias cifras en grupos de dos dos cifras iuntas a gran oelocid,ad. urw serie de óircuitos, formando nú- grupos de dos. Aunque esto parece una forma muy lenta de contar, las computadoras funcionan a alta veloci- dad, porque la corriente eléctrica viaia casi tan rápidamente como la luz. Las computadoras que forman nú- meros de varias cifras en grupos de dos, escriben los números en una fotma especial. Para nosotros, los nú- meros del 1 al 10 significan un grupo de diez, y para la computadora, el dígito I del número 10 expresa un grupo de dos. En su sistema de escri- tura, conocida como rutmeroción bi- naria, el 10 significa dos; el 11 se escribe tres, y el 100 atatro. El odómetro, la calculadora y la computadora electrónica reciben el nombre de m.óqulnns dl,gttalns, porque eiecutan todos sus cálculos con los niimeros dígitos. Existe otto tipo de aparato que míde, en vez de contar. Este aparato transforma primero los números en medidas, como la longi- tud, el ángulo y las unidades de la corriente eléctrica. La regla de cálculo es un ejemplo de este tipo de aparato. j,, 4ii,l 39
  40. 40. t q# "& # **-$ry6"-"+ #% #% ffiffi %ss$scd ffi Las Matemáticas yla IVIúsica Una nota musical es producida por una vibración. Por ejemplo, si se es- tira una cuerda y se pone tensa y después se puntea, vibrará y produ- cirá un sonido. Cómo suene la cuerda, dependerá del número de vibraciones que ésta produzca. El número de vi- braciones por segundo se llama frecuencia de la nota. Cuando una canción u obra musical se escribe, generalmente está compuesta de una familia de notas llamada escaln. para comprénder cómo Se relacionan en- tre sí las notas de una escala, haga- mos una epcala musical. La nota, más importante de una escala es aquella en que la canción termina. Se llama tónica. Escoiamos como tónica Ia nota que se produce al vibrar una cuerda 256 veces por segundo. A esta nota Ia llamam os do. Si cortamos la cuerda a Ia mitad, vibrará dos veces más aprisa. La nota que producirá esta cuerda más cor- La nota que produce una cuerda de oiolín depende del ntimero de oeces que ésta oibre vlotoNcEto vrorí¡l f # F CONTRABAJO 40
  41. 41. Do Re Mi Fa Sol La Si Do ta también se llama do. Su frecuencia es de 512 vibraciones por segundo. La frecuencia de 256 es el doble de 128, el que a su vez es el doble de 64, etc. Damos el mismo nombre a estas notas, porque pensafnos en ellas como una inismá nota, pero tocadas a dife- rentés "riiveles".- ^ Hagamos vibrar ahora una cuerda cuya longitud sea de las dos terceras partes de la cuerda original. La nota que se produce es la paribnte más cercana de la tónica. A esta nota la llamamo's dominante. Su frecuencia es 8/z veees mayor que la frecuencia de la tónica. Una escala es unn farnilin de notas en la que cada nota es ln ¿lunfuwnte dp otra nota en eI Wpo de notas. Para encontrar la domi- nante de cualquier nota de la eseala, multiplicamos su frecuencia por 3/2, ó por I/2. Al multiplicar una y otra vez por 3/z obtenemos una serie de notas, cafla una de las cuales es la dominante de Ia que le precede.'Estas notas se lla- man sol,'re, ln mi y si. Al dividír 256 entre 3/2, obtenemos L7L,la frecuencia de la nota fa, de la cual do es la do- minante. Estas notas forman la escala de do. ,- . Empezamos con la nota dg;cuya frecuencia es 256. Bl do Sigulente tiene, a su vez, una frecuencia de 512. Podemos obtener todos los tonos de la escala que se encuentran entre estos dos límites, porquo.'cuando la frecuencia de una nota es demasiado alt4 podemos dividirla a Ia mitad, y obtener otra nota igual, pero de fre- cuencia menor. La frecuencia de sol ho es demasiado alta, así que la man- tenemos. Todas las demrás notas, excepto fa, son demasiado altas, así Podemos producir el mismo tono a üferen- tes "nioelef', acortando por la mitad o d,upkcando ln langitud de la cuerda de los instrumentos que dividimos las frecuencias entre dos, repetidamente, hasta que la fre- cuencia quede entre 256 y 5I2. La frecuencia de fa es demasiado baia, así que habrá que duplicarla. Ahora, arregladas las notas en orden de fre- cuencia, formamos una "escalera" de notas llamada escaln de do mayor, y cuyo orden es: Do Qrc), re (288), ni (3%*), fa (A4, sol (3S4), In (432),.sí (486) y'do (512). Este es el or.den de Ias teclas blancas de un piano. 4t
  42. 42. Las Ulatemáticas y el Arte Pintura egípcia antigua trazn- d.a, sin aplicar la perspec'tioo Comparemos las dos ilustraciones de esta págna. La de la parte supe- rior es una antigrra pintura egipcia. Las figuras que allí aparecen se ven planas. Es difícil decir qué partes de la pintura están más cerca o más leios del observador. El grabado de la parte inferior es una pintura de Chirieo, un artista italiano. Los edificios üenen relieve. También podemos apreciar que algunos son más altos que otros, y que algunos p¿uecen más leianos. Además, se observa que hay un gran patio que se extiende, aleiándose del observador. El espacio en el cuadro de Chirico es mucho más real que en la pintura egipcia, porque el pintor italiano empleó las matemáticas al En esta obra "Delicias del Poeta.", d"e Chirico empleó ln perspectioa para lograr el efecto de profundi- fud V la distancia Adquirida por donación de la señorita Litlie P. Büss, Colección del Museo de A¡te Moderno, Nueva York
  43. 43. h"9:I el bosquejo de su obra en tela. cómo aplicó dos 'de las reglas de la Alberto Durero- el gran artista ale- p-"rrp".iiu"r "rrtr" más le¡o?-esté oo Táo, expresó: "La. giometría es e.l gl¡"io, más pequero ap¿¡ecerá. Las cimiento adecuado de F pintura." Hnlas paral"i"s' q"" r" pierden en }" ^11:1^9"" un cuadro parezca la dist"ir"i*, ";;" hs vías de un tren, real, eI pintor fiene que pensar en su parece como si Ilegaran a un p""to.tela como si fuese '"a ventan4 a H"y ,^,;il pientes que unen las través de la cuSl mira lo que está más matemáticas "Jn el artt. - HL- . "qoíallá de ella. Razona de'este -oa"t **o las fracciones de Fibonaeci"cada plnto_ de la escena envra un (n4ga"-- rzi ,rr""" d" p,rérrt", Norayo de luz hlcia la person_a que la üdo"s tár rátaog"rár r"ti"st"á"¡b,está mirando. Estos tayos de luz-p_asan a Ia vista. Hay {órmas d;üiilg"I",por la ventana que está entre él o¡o placenter"r, "í las cuales Ia razón de y Ia escena. El sitio donde el rayo de t anchura r f" f""jiñi"r;tb" el luz cÍuza la ventana, es el i,rg"t "o*¡r" l¿ -, ilo aoríao.L"r-irüio- en el que el punto df d.g{: pto"á" nes de Fibonacci ," "pro*iman a esta apaxeeer á, en el cuadro." El c-oniunto razón. Entre ;á" glande ,"" .rr"de ray9,s Que van de la "sc"á" d fracción en la serie, ;;;;állr¿*iojo se-ilry" progección. La imagen ma a la media d;;;d;.-E-E ¡¡¡Eu r'¿ formada donde Ia ventana cruza" Ia Las mat"-ati"", han sido de gran proyección se llama sección.Imaginar utilidad al ,tte-nrádñi;-il *;rñ*-cómo se verá el -corte, T un-plobIema tiva. y er arte ha pagado su deuda, de perspe_cthsa. Las reglas_dé Ia pers- porque "l est,ráiá de Ia perspectiva pect_iva_ fueron establecidas coo la ^conáu¡o al desar;il d" ;;;t;;""ayuda de la-geometría. rama 'de las _"t"_¿n""i-U"*"a"En el cuadro de chirico 4preciamos geometría pnogiJruo. : Las líneas naral¿las dan ta impresión d,e que se ooncentran en un punto al aleiarsedel obsercádor HORIZONTE **.*¡ 1;¡11 ¡1,1;;liii#"Ñi+!'i:*'N ;:::' :::**-* - *:,"¡' $$ ---."::.¡ssJ;:-'^"-..- s RAYOS DE PROYECCIÓN PTANO DEL GRABADO 43
  44. 44. ^,&- YÜ HNúmeroenlosNaiPes LV !trY Hay muchos trucos de n-aiPes que ," pold"n efectuar aplicando.las ma- i"ni¿ti""t. El que a continuación pre- sentamos es sencillo, aunque parece muy misterioso. Útilice una baraia de 62 cart*s Y U"t¿i"itt perfectamente' Pida a algu- na persona que sePare la baraia en tres montones, mientras da usted la Ápdda. Quien separe las cartas debe- rf seguir estas instrucciones:-- Q"E ponga la- Primera carta con la figüa hacia arriba y empiece a contar " "p"ttit det número de esa carta' "¿iirti¿"dole que el as vale uno, el ;¡""k"' once, lá reina doce Y el reY r3 r2 il I 44
  45. 45. -__- l l SU'IAE ET VATOR DE ESTAS DOS CARTAS J+8:11 21 - 11 o sEA Er vAroR I I DEI "JACK- Hay, rnuólws *ryú9{ con twipes que se pucdcn lucer maten&iumetc. En ln otnse describe los *i*lu-, ¡eínas y reybs oatei 7r, rz y ls, ,"tp""th;;;;;, gü;;ñ voltee la crarta de encima de dos de Ios tres montones. Entonces, dfuá usted, sin verla, cr¡áI es la carta que está encima del otro montón. Para 'adivinar" Ia carta, se hacen los siguientes cálculos: se suman los valores de las cartas que se han vuelto y se añade diez al resultado; luegq se resta el número de cartas qoe sóbra- ron. Por eiemplo, si las cartas que se voltearon fuesen un 3 y un 8, y LI nú- mero de las cartas que sobraron fuese 32, se suman 3 + I + f0 :21, Lue- go, se resta 21 de 32 y se obüene ll. Esta es la respuesta- Así se 'adivind' que la carta que está encima del ter- oer montón es un 'iacK. LáIJ ¡ AGREGUE IO aa . rrr Ftr JY REstE Et REsurTADo l oel'núrrteno DE NAtpEs QUE SOBRARON, t t I trece. Qo" cuente más cartas sobre Ia primera hasta que llegue a trece. Si la primera carta es seis, por eiemplo, conta¡á: siete, ocho, nueve, diez, on- _ce,- doce y treee. Al llegar a trece, habrá puesto siete cartas áncima de la primera. Si la primera carta es un rey, el cual tiene el valor de trece, ya no pondrá más cartas encima. Oue vuelva el montón con las figuras hicia abaio y eppiece un nuevo montón, contan- do hasta trece. Qo" repita el procedi- miento hasta que haya tres rnontones sobre Ia mesa, con las figuras hacia ab1io. _Pida las cartas quelobraron y cuéntelas. Procure no olvidar este número. Pida a otra persona que 32
  46. 46. El Razonamiento en las Matemáticas averiguar el valor de r, Para que la igualdad sea cierta. La ecuación expresa que el número que representa 3r * 5 Y el número 20 ó" igirales. Este es el primer esla- bón á" la cadena. Lo unimos al segundo eslabón mediante la aYuda dJ una regla que sabemos que es cierta. Esta regla nos dice Qü€, si res- tamos el mismo número a números menudo se emplea en matemáticas es el llamado ,ázoromiento en cade' rur. En este tipo de comProbación, llegamos al resultado mediante una r"ri" de pasos, cada uno de los cuales conduce al siguiente, como los esla- bones de una cadena. Utilizamos este tipo de razonamiento, por ejemplo, al resolver una ecuación como 3r * 5 : 20. Nuestro problema en este caso es iguales, obtenemos resultados iguales' ñot lo tanto, restemos 5 a ambos nú- meros, y nuestra ecuación queda como 3x :'i5. Ett" es el segundo eslabón de la cadena. Lo unimos a un tercer eslabón aplicando otra regla que tam- bién sabémos que es cierta. Esta regla expresa que si dividimos núme- rol iguales entre el mismo nrimero, se obtiáen resultados iguales. Por lo que a 3X+5-20$ 3X+5)-5:20-5 3X =15 3X+ 5 -20
  47. 47. i tanto, dividimos entre 3 y llegamos al resultado: x, - 5. Este es el iercer eslabón de la cadena. Los tres esla- bones expresan que si Br * 5 : 2.A, entonces r es igual a cinco. Hay otra forma de comprobar si lo que afirmamos es cierto, en la que iniciamos nuestro razonamiento a par- , tir del,resultado. Es el procedimiénb de eliminación Bn 'éstá, primero ha- cemos una lista de resultados, escogi- dos de modo tal que estemos seguros de que uno de ellos es el verdaáero. A continuación, eliminamos todas las afirmaciones, excepto una, probando que son falsas. Y Ia afirmacién que no podamos eliminar será Ia verdadera. pleaños son en meses diferentes, esto sería tanto como af. irmar que hay más de doce meses diferenteJ. y esto es imposiblo, yL que sólo hay doce me- sbs. Por lo tanto, debemos eliminar la I segunda aseveración. Ahora estamos se$uros de que la número uno es la cierta, porque es la única que quedó. Existe un tercer tipo de comproba- ción, en Ia cual una teoría se com- prueba en dos pasos. Primero, se apli- can las leyes de Ia probabilidad, pára sacar conclusiones de la teoría. Lue- go, _estas conclusiqnes se comparan con los resultados de una serie de ex- pe¡imentos.' Se determina Ia proba- Ulidad de que la teoría sea cierta, 3X*5=20 3X =15 3X +- 3 - 15 '-- 3 x:5 . He aquí un ejemplo de razona¡nien- _to por eliminación: supongamos que hry más de doce p"tisoa" en una habitaeión. Probareiros que por Io menos dos de ellas cotriplei arios el mismo mes. Hacemos prlmeto ,rtta lista de dos aseveraciones. l ) por lo menos dos de las person"r q,r" están en la habitación cumplen añós el mis- mo m_es. 2 ) No hay dos personas en la habitación que c,rmpiin años el mismo mes. Estamos seguros de que alguna de estas dos á"urr"ra"iones tiene que ser cierta. Si la aseveración número dos fuera cierta, Ias personas que están en la habitación cumplirán años en meses diferenúes. pero Ji hay más de doce personas allí, y sus cum- ¿¡laliz¿¡do cuán bien se aiustan los resultados a las conclusiones. Supon- gamos, por ejemplo, que un iugador apuesta que al aroiar una moneda cinco veces al aire siempre caerá de cara. Seghn la ley de las probabilida- des, cinco caras sucesivás ocurrirán una vez cada 32 ocasiones en que se arroie al aire la moneda. Observemos al iugador arroiar Ia moneda. Cada vez que lo haga, será un intento o ex- perimento. Supongamos que Ia arroió 300 veces, y que de ellas, 150 cayeron de eara. Seglrn lo anterior, los resul- tados de los experimentos no concuer- dan con las conclusiones de Ia teoría. Y de esto deducimos que la teorla es probablemente falsa. 47
  48. 48. La deAplicación T'¡ n ' .,J c las Matemáticas hoy dia Las matemáticas son Parte de nues- tras actividades diarias. Las amas de casa emplean las matemáticas cuando van de compras. ComParan los Pre- cios, calcuhñ el importe y cuentan el dinero que les dan de cambio. Los cóntadores utilizan las matemá- ticas pana llevar el registro de los ingresos y de los egresos. Los torneros usan las matemáticas para planear sus trabaios. Deben me- dir y calcular cómo colocar sus herra- mientas de corte para tornear las piezas, dándoles la forma y dirnensio- nes requeridas. r Los pilotos aplican las matemáticas para trazar sus rutas. Deben calcular las distancias y las direcciones para volar de un aeropuerto a otro. Los astrónomos se valen de las matemáticas para averiguar las distan- cias que nos separan de los astros. Utilizan fórmulas que les permiten explicar cómo se formaron las es- trellas, por qué brillan, y los cambios que en ellas se producen. Los físicos se sirven de las matemá- ticas para explorar los misterios del átomo. Sus experimentos les propor- cionan datos, las ecuaciones les per- miten relacionarlos y esos datos los conducen a nuevas invenciones. Así, en distintos modos, las mate- máticas han moldeado Ia civilización, tal como la conocemos actualmente. 48
  49. 49. ILIBROS T}F] ft{Tü il}HL.SABEffi Libros de temas ob¡aioos Wre ióoenes lec"tores ' Textos, inter€ssntes, ingttuctivos y amenos:,' Ctda lib'ro ha sido revisado minuciosamente por un experto en Ia materia ' Bellarnénte ifu$trádo$''br¡. ctlores- con fotografias, dibu¡x, diagramas y euadr-os si*ópücos .r$n extenso camfp-de faselnantes matelias ' Preparados bai*ll¿' direcc¡én del doctol llerbert S. Zim, recanocida autoridatl en I¿f ñanza'de lañ cietcias. 4í"*l*, I I I I I I i,,, '' -, '1 : : -*" *"¿¿ *.'!iiLt É*r q I TÍTULOS DE ESTA COTECCIóN T EI. 'IIUNDO DE LAS HORIIIGAS 2 Er ftiuNDO DE 10S INSEC¡OS O tA LUNA 4 SUBI'IARINOS 5 Aromos ó AVES DEI. I'IUNDO 7 moToREs g I.A VIDA DE tOS REPTITES O tOS PTANETAS IO ¡IATEINATICAS I I tA VIDA DE tos PECES t2 ROCAS 15 tos vlAJcs DE Los ANII'tAIES 16 ENERGíA Y POTENCIA t7 r.A VlSlóN T8 I.A5 REGIONES POLARES 19 vuEros EsPAclALEs 20 Et MAR 2I LOS PRIMEROS AUTOMóVITES 22 tA HISTORIA DE IO5 TIAPAS 23 ANIMALES PREHISTóRICOS 24 AN¡TÁAIES OUE VUE1AN 25 rvrARrPOSAS Y PArOftllllAS 26 I.AS GRANDES coNSTRUCCIONES 27 Er f,tAGNETlSllO 28 ET CUERPO HU,I,IANO 29 EAIIENAS Y DE1FINES =*tEEXTCTüAL JE IAJEOI

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