Instituto Tecnológico Superior de Teziutlán "Física para Informática"

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEZIUTLÁN
MATERIA:
FÍSICA PARA
INFORMÁTICA
ENERO / JUNIO 2017

2. VECTORES Y SUS
OPERACIONES

3. CONCEPTO DE “MAGNITUD VECTORIAL”
MAGNITUD ESCALAR
Magnitud definida al indicar su CANTIDAD o VALOR NUMÉRICO, y la UNIDAD DE
MEDIDA en la que está expresada.
2 HORAS 90 CENTÍMETROS 30 °C

4. MAGNITUD VECTORIAL
Magnitud definida al indicar su CANTIDAD o VALOR NUMÉRICO, la UNIDAD DE
MEDIDA en la que está expresada y, además, la DIRECCIÓN y el SENTIDO en el
que actúa.
DESPLAZAMIENTO VELOCIDAD FUERZA
CONCEPTO DE “MAGNITUD VECTORIAL”

5. MAGNITUD / INTENSIDAD / MÓDULO
PUNTO DE
APLICACIÓN
DIRECCIÓN
SENTIDO
(HORIZONTAL,VERTICAL)
(ORIGEN)
(VALOR NUMÉRICO Y UNIDAD DE MEDIDA)
(IZQUIERDA,
DERECHA,
ARRIBA,
ABAJO)
( + , - )
Un vector es una forma gráfica para representar una magnitud vectorial, que
consta de un segmento de recta dirigido (Flecha)
𝐹 𝑎 𝑣NOTACIÓN VECTORIAL:
ELEMENTOS DE UN VECTOR
VECTOR

6. +
-
𝑣1
+-
𝑣2
𝑣3
𝑣4
Vector 1
Dirección: Vertical (+)
Sentido: Arriba (+)
ANÁLISIS GRÁFICO

7. -
𝑣2
Vector 2
Dirección: Horizontal (+)
Sentido: Derecha (+)
+
-
+-
𝑣2
𝑣3
𝑣4
ANÁLISIS GRÁFICO

8. 𝑣3
Vector 3
Dirección: Vertical (-)
Sentido: Abajo (-)
+
-
+-
𝑣2
𝑣3
𝑣4
ANÁLISIS GRÁFICO

9. Vector 4
Dirección: Horizontal (-)
Sentido: Izquierda (-)
+
-
+-
𝑣2
𝑣3
𝑣4
ANÁLISIS GRÁFICO

10. Un sistema de vectores puede sustituirse por uno equivalente, que puede
contener un número mayor o menor de vectores que los que contenía el
sistema originalmente.
DESCOMPOSICIÓN COMPOSICIÓN
Si el sistema equivalente tiene
un número mayor de vectores
Si el sistema equivalente tiene
un número menor de vectores
COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

11. DESCOMPOSICIÓN
VECTORIAL

12. Tenemos un vector F cuyo origen está
colocado en el centro de un sistema
de coordenadas.
Si se trazan líneas perpendiculares
partiendo del punto de aplicación de F
en cada uno de los ejes, obtendremos
dos vectores que podemos definir
como Fx y Fy.
Estos nuevos vectores se denominan
Componentes Rectangulares de F, y se
llaman así porque entre ambas
forman un ángulo recto.
Fy
Fx
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

13. EJEMPLO:
De la figura siguiente, encontrar las componentes rectangulares del vector A
30°
𝑨= 40 m
X
Y
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

14. MÉTODO ANALÍTICO:
Nótese que al trazar las líneas
perpendiculares a los ejes, se forman
dos triángulos rectángulos.
Y
30°
X
Y
𝑨= 40 m
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

15. Analizando los componentes de un triángulo rectángulo, obtenemos lo
siguiente:
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

16. Podemos conocer el valor de los catetos mediante el uso del Teorema de
Pitágoras (si se conocen al menos dos de los lados del triángulo) o bien
mediante Funciones Trigonométricas (si al menos se conoce el valor de alguno
de los catetos, el valor de la hipotenusa y alguno de los ángulos agudos)
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA

17. Dependiendo del ángulo al que se haga referencia, los catetos se definen como
Adyacente u Opuesto dependiendo de su cercanía con el ángulo.
Para α:
Cateto Adyacente: c
Cateto Opuesto: a
Para β:
Cateto Adyacente: a
Cateto Opuesto: c
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

18. Para el cálculo de Ay, se tiene la siguiente
función:
sen 30° =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝑦
𝐴
Despejando Ay:
𝐴𝑦 = 𝐴 𝑆𝑒𝑛 30° = 40 𝑚 𝑥 0.5 = 20 𝑚
𝑨𝒚
𝑨𝒙
MÉTODO ANALÍTICO:
Y
30°
X
Y
𝑨= 40 m
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

19. Para el cálculo de Ax, se tiene la siguiente
función:
cos 30° =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝑥
𝐴
Despejando Ax:
𝐴𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 30° = 40 𝑚 𝑥 0.8660
= 30.64 𝑚
𝑨𝒚
𝑨𝒙
MÉTODO ANALÍTICO:
Y
30°
X
Y
𝑨= 40 m
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

20. COMPOSICIÓN
VECTORIAL

21. EJERCICIO:
Encontrar el vector resultante y el valor del ángulo respecto al eje
horizontal, dadas sus componentes rectangulares:
𝑭𝒚= 40 N
𝑭𝒙= 30 N
COMPOSICIÓN VECTORIAL

22. Dado que se conocen los valores de las
componentes rectangulares, es posible
aplicar el Teorema de Pitágoras:
𝐻2 = 𝐶1
2 + 𝐶2
2
𝐹2 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2
Despejando F:
𝐹 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2
Sustituyendo Valores:
𝐹 = 302 + 402 = 50 𝑁
𝑭= 50 N
COMPOSICIÓN VECTORIAL
MÉTODO ANALÍTICO:
𝑭𝒚= 40 N
𝑭𝒙= 30 N

23. Para hallar el ángulo que forma la resultante
con respecto al eje horizontal, se utiliza la
función tangente:
tan θ =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝐹𝑦
𝐹𝑥
Despejando 𝜽 :
θ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝐹𝑦
𝐹𝑥
Sustituyendo Valores:
θ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
40
30
θ = arctan(1.333)
θ = 53.12°
COMPOSICIÓN VECTORIAL
𝑭= 50 N
MÉTODO ANALÍTICO:
𝑭𝒚= 40 N
𝑭𝒙= 30 N

24. VECTORES
CONCURRENTES O
ANGULARES

25. EJEMPLO:
Hallar la resultante y el ángulo de la siguiente suma de vectores:
𝑭𝒚= 30 N
𝑭𝒙= 38 N
30°
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES

26. MÉTODO ANALÍTICO:
Trabajar con Leyes de Senos y Cosenos:
Ley de los Senos:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 α
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 β
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 γ
a
c
b
β
γ
α
𝑭𝒚= 30 N
𝑭𝒙= 38 N
30°
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES

27. MÉTODO ANALÍTICO: Trabajar con Leyes de Senos y
Cosenos:
Ley de los Cosenos:
𝑎2 = b2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠α
𝑏2 = a2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠β
𝑐2 = a2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠γ
𝑭𝒚= 30 N
𝑭𝒙= 38 N
30°
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES

28. «Mover» el vector Fy para
formar un triángulo oblicuo:
β=150°
α
𝑹
Valor Conocido
Valor Conocido
Ángulo formado por
el traslado del vector
Fy
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES O ANGULARES
MÉTODO ANALÍTICO:
𝑭𝒚= 30 N
𝑭𝒙= 38 N
30°

29. Aplicar Ley de Cosenos para
hallar la magnitud de la
resultante:
β=150°
α
𝑹
c
a
b
𝑐2 = a2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠γ
Aplicando términos:
𝑅2 =𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2 − 2𝐹𝑥 𝐹𝑦𝑐𝑜𝑠150°
𝑭𝒚= 30 N
𝑭𝒙= 38 N
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES
MÉTODO ANALÍTICO:

30. β=150°
α
𝑹
c
a
b
Despejando 𝑅 :
𝑅 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2 − 2𝐹𝑥𝐹𝑦𝑐𝑜𝑠150°
𝑭𝒚= 30 N
𝑭𝒙= 38 N
Respuesta:
𝑹 = 65.71 N
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES
MÉTODO ANALÍTICO:

31. Aplicar Ley de Senos para hallar el valor
del ángulo que forma la resultante:
Aplicando términos:
Despejando α :
Respuesta:
α =13.19°
𝑏
𝑠𝑒𝑛 α
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 β
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑏𝑠𝑒𝑛 β
𝑐
= α
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝐹𝑦 𝑠𝑒𝑛 150°
𝑅
= 𝛼
SUMA DE VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES
β=150°
α
𝑹
c
a
b
𝑭𝒚= 30 N
𝑭𝒙= 38 N
MÉTODO ANALÍTICO:

32. SUMA DE DOS O MÁS
VECTORES
CONCURRENTES

33. SUMA DE DOS O MÁS VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES
EJEMPLO:
Hallar la resultante y el ángulo de la siguiente suma de vectores:
𝐹1= 2.5 N
𝐹2= 3 N
𝐹3= 4 N
𝐹3= 2 N
25°
40°

34. SUMA DE DOS O MÁS VECTORES CONCURRENTES O
ANGULARES
MÉTODO ANALÍTICO:
𝐹1= 2.5 N
𝐹2= 3 N
𝐹3= 4 N
𝐹3= 2 N
25°
40°
Obtener las componentes
rectangulares de cada vector:
𝐹1𝑥 = 0 N
𝐹1𝑦 = 2.5 N
F2:
𝐹2𝑥 = 2.71 N
𝐹2𝑦 = 1.26 N
F3:
𝐹3𝑥 = 4 N
𝐹3𝑦 = 0 N
F4:
𝐹4𝑥 = -1.53 N
𝐹4𝑦 = -1.28 N
F1:

35. SUMA DE DOS O MÁS VECTORES CONCURRENTES
O ANGULARES
MÉTODO ANALÍTICO:
𝐹1= 2.5 N
𝐹2= 3 N
𝐹3= 4 N
𝐹3= 2 N
25°
40°
Sumar todas las componentes
de X y Y de todos los vectores:
FXT:
𝐹1𝑥 = 0 N
𝐹1𝑦 = 2.5 N
𝐹2𝑥 = 2.71 N
𝐹2𝑦 = 1.26 N
FXT = 0 N + 4 N + 2.71 N +
(-1.53 N)
FXT= 5.18 N
𝐹3𝑥 = 4 N
𝐹3𝑦 = 0 N
𝐹4𝑥 = -1.53 N
𝐹4𝑦 = -1.28 N
FYT:
FYT = 2.5 N + 1.26 N + 0 N
+ (-1.28 N)
FYT= 2.48 N

36. SUMA DE DOS O MÁS VECTORES CONCURRENTES
O ANGULARES
MÉTODO ANALÍTICO:
Al obtener las resultantes de todas
las componentes de X y Y, podemos
obtener la Resultante Final:
FXT= 5.18 N
FYT= 2.48 N
𝑅
θ
𝑅 = 𝐹 𝑋𝑇
2 + 𝐹 𝑌𝑇
2
Sustituyendo Valores:
𝑅 = 5.182 + 2.482
𝑅 = 5.74 𝑁

37. SUMA DE DOS O MÁS VECTORES CONCURRENTES
O ANGULARES
MÉTODO ANALÍTICO:
Al obtener las resultantes de todas
las componentes de X y Y, podemos
obtener el ángulo de inclinación:
FXT= 5.18 N
FYT= 2.48 N
𝑅
θ
Sustituyendo Valores:
θ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝐹 𝑌𝑇
𝐹 𝑋𝑇
θ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2.48 𝑁
5.18 𝑁
θ = 25.58°