К.В. Воронцов "Метрические методы классификации"

1. Метрические алгоритмы классификации Отбор эталонов и оптимизация метрики Профиль компактности и скользящий контроль Метрические методы классификации К. В. Воронцов vokov@forecsys.ru Этот курс доступен на странице вики-ресурса http://www.MachineLearning.ru/wiki «Машинное обучение (курс лекций, К.В.Воронцов)» март 2011 К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 1 / 31

2. Метрические алгоритмы классификации Отбор эталонов и оптимизация метрики Профиль компактности и скользящий контроль Содержание 1 Метрические алгоритмы классификации Гипотеза компактности Метод ближайших соседей и его обобщения Снова метод парзеновского окна Метод потенциальных функций 2 Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие отступа Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Понятие конкурентного сходства Простой жадный алгоритм оптимизации метрики 3 Профиль компактности и скользящий контроль Полный скользящий контроль CCV Понятие профиля компактности Отбор эталонов по функционалу CCV К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 2 / 31

3. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Гипотеза компактности Задача классификации: X — объекты, Y — ответы (идентификаторы классов); X ℓ = (xi , yi )i=1 — обучающая выборка; ℓ Гипотеза компактности: Схожие объекты, как правило, лежат в одном классе. Формализация понятия «сходства»: Задана функция расстояния ρ : X × X → [0, ∞). Например, евклидово расстояние: n 1/2 2 ρ(u, xi ) = j u − xij , j=1 где u = (u 1 , . . . , u n ), xi = (xi1 , . . . , xin ) — признаковые описания объектов. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 3 / 31

4. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Пример: задача классификации цветков ириса [Фишер, 1936] n = 4 признака, |Y | = 3 класса, длина выборки ℓ = 150. длина чашелистика ширина чашелистика длина лепестка ширина лепестка 7 6 5 4 3 2 6 4 2 2 1 0 5 6 7 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 1 2 3 4 5 6 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Iris-setosa Iris-versicolor Iris-virginica К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 4 / 31

5. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Обобщённый метрический классификатор Для произвольного u ∈ X отсортируем объекты x1 , . . . , xℓ : (1) (2) (ℓ) ρ(u, xu ) ρ(u, xu ) ··· ρ(u, xu ), (i) xu — i-й сосед объекта u среди x1 , . . . , xℓ ; (i) yu — ответ на i-м соседе объекта u. Метрический алгоритм классификации: ℓ (i) a(u; X ℓ ) = arg max yu = y w (i, u), y ∈Y i=1 Γy (u,X ℓ ) w (i, u) — вес (степень важности) i-го соседа объекта u, неотрицателен, не возрастает по i. Γy (u, X ℓ ) — оценка близости объекта u к классу y . К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 5 / 31

6. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Метод ближайшего соседа w (i, u) = [i=1]. Преимущества: простота реализации; интерпретируемость решений, вывод на основе прецедентов (case-based reasoning, CBR) Недостатки: неустойчивость к погрешностям (шуму, выбросам); отсутствие настраиваемых параметров; низкое качество классификации; приходится хранить всю выборку целиком. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 6 / 31

7. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Метод k ближайших соседей w (i, u) = [i k]. Преимущества: менее чувствителен к шуму; появился параметр k. Оптимизация числа соседей k: функционал скользящего контроля leave-one-out ℓ LOO(k, X ℓ ) = a xi ; X ℓ {xi }, k = yi → min . k i=1 Проблема: неоднозначность классификации при Γy (u, X ℓ ) = Γs (u, X ℓ ), y = s. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 7 / 31

8. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Пример зависимости LOO(k) Пример. Задача UCI: Breast Cancer (Wisconsin) частота ошибок на обучении и контроле (исключая и не исключая себя) 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 число соседей k — смещённое число ошибок, когда объект учитывается как сосед самого себя — несмещённое число ошибок LOO В реальных задачах минимум редко бывает при k = 1. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 8 / 31

9. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Метод k взвешенных ближайших соседей w (i, u) = [i k]wi , где wi — вес, зависящий только от номера соседа; Возможные эвристики: wi = k+1−i — линейное убывающие веса; k wi = q i — экспоненциально убывающие веса, 0 < q < 1; Проблемы: как более обоснованно задать веса? возможно, было бы лучше, если бы вес w (i, u) зависел не от порядкового номера соседа i, (i) а от расстояния до него ρ(u, xu ). К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 9 / 31

10. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Снова метод парзеновского окна (i) w (i, u) = K ρ(u,xu ) , h где K (r ) — ядро, невозрастающее, положительное на [0, 1]. Метод парзеновского окна фиксированной ширины: ℓ (i) (i) ρ(u, xu ) a(u; X ℓ , h, K ) = arg max [yu = y ] K . y ∈Y h i=1 w (i,u) Метод парзеновского окна переменной ширины: ℓ (i) (i) ρ(u, xu ) a(u; X ℓ , k, K ) = arg max [yu = y ] K (k+1) . y ∈Y ρ(u, xu ) i=1 w (i,u) К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 10 / 31

11. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Метод парзеновского окна Пример: классификация двумерной выборки. 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 11 / 31

12. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Метод потенциальных функций (i) (i) ρ(u,xu ) w (i, u) = γu K (i) hu Более простая запись: ℓ ρ(u, xi ) a(u; X ℓ ) = arg max [yi = y ] γi K , y ∈Y hi i=1 где γi — веса объектов, γi 0, hi > 0. Физическая аналогия: γi — величина «заряда» в точке xi ; hi — «радиус действия» потенциала с центром в точке xi ; yi — знак «заряда» (предполагается, что Y = {−1, +1}); в электростатике K (r ) = 1 или r +a . r 1 К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 12 / 31

13. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Алгоритм настройки весов объектов Простой эвристический алгоритм настройки γi . Вход: X ℓ — обучающая выборка; Выход: Коэффициенты γi , i = 1, . . . , ℓ; 1: Инициализация: γi = 0 для всех i = 1, . . . , ℓ; 2: повторять 3: выбрать объект xi ∈ X ℓ ; 4: если a(xi ) = yi то 5: γi := γi + 1; 6: пока число ошибок на выборке Q(a, X ℓ ) > ε. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 13 / 31

14. Гипотеза компактности Метрические алгоритмы классификации Метод ближайших соседей и его обобщения Отбор эталонов и оптимизация метрики Снова метод парзеновского окна Профиль компактности и скользящий контроль Метод потенциальных функций Анализ преимуществ и недостатков Преимущества: простота реализации; не надо хранить выборку (потоковый алгоритм обучения); разреженность: не все обучающие объекты учитываются. Недостатки: медленная сходимость; результат обучения зависит от порядка просмотра объектов; слишком грубо настраиваются веса γi ; вообще не настраиваются параметры hi ; вообще не настраиваются центры потенциалов; может, некоторые γi можно было бы обнулить? Вывод: EM-RBF, конечно, круче... К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 14 / 31

15. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Понятие отступа Рассмотрим классификатор a : X → Y вида a(u) = arg max Γy (u), u ∈ X. y ∈Y Отступом (margin) объекта xi ∈ X ℓ относительно классификатора a(u) называется величина M(xi ) = Γyi (xi ) − max Γy (xi ). y ∈Y yi Отступ показывает степень типичности объекта: чем больше M(xi ), тем «глубже» xi в своём классе; M(xi ) < 0 ⇔ a(xi ) = yi ; К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 15 / 31

16. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Типы объектов, в зависимости от отступа Э — эталонные (можно оставить только их); Н — неинформативные (можно удалить из выборки); П — пограничные (их классификация неустойчива); О — ошибочные (причина ошибки — плохая модель); Ш — шумовые (причина ошибки — плохие данные). Margin 0,8 0,6 0,4 0,2 ɒ Ɉ ɉ ɇ ɗ 0 -0,2 -0,4 -0,6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 i К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 16 / 31

17. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Типы объектов, в зависимости от отступа эталонные (можно оставить только их); неинформативные (можно удалить из выборки); пограничные (их классификация неустойчива); ошибочные (причина ошибки — плохая модель); шумовые (причина ошибки — плохие данные). Идея: шумовые и неинформативные удалить из выборки. Алгоритм STOLP: основная идея исключить выбросы; найти по одному эталону в каждом классе; добавлять эталоны, пока есть отрицательные отступы; К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 17 / 31

18. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Алгоритм STOLP Вход: X ℓ — обучающая выборка; δ — порог фильтрации выбросов; ℓ0 — допустимая доля ошибок; Выход: Множество опорных объектов Ω ⊆ X ℓ ; Классификатор будет иметь вид: (i) a(u; Ω) = arg max yu = y w (i, u), y ∈Y xi ∈Ω (i) xu — i-й сосед объекта u среди Ω; (i) yu — ответ на i-м соседе объекта u; w (i, u) — произвольная функция веса i-го соседа. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 18 / 31

19. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Алгоритм STOLP 1: для всех xi ∈ X ℓ проверить, является ли xi выбросом: 2: если M(xi , X ℓ ) < δ то 3: X ℓ−1 := X ℓ {xi }; ℓ := ℓ − 1; 4: Инициализация: взять по одному эталону от каждого класса: Ω := arg max M(xi , X ℓ ) y ∈ Y ; xi ∈Xy ℓ 5: пока Ω =X ℓ; 6: Выделить множество объектов с ошибкой a(u; Ω): E := {xi ∈ X ℓ Ω : M(xi , Ω) < 0}; 7: если |E | < ℓ0 то 8: выход; 9: Присоединить к Ω объект с наименьшим отступом: xi := arg min M(x, Ω); Ω := Ω ∪ {xi }; x∈E К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 19 / 31

20. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Алгоритм STOLP: преимущества и недостатки Преимущества отбора эталонов: сокращается число хранимых объектов; сокращается время классификации; объекты распределяются по величине отступов; Недостатки алгоритма STOLP: необходимость задавать параметр δ; относительно низкая эффективность O(|Ω|2 ℓ). Другие методы отбора: стратегия последовательного удаления не-эталонов; минимизация полного скользящего контроля (CCV); FRiS-STOLP на основе оценок конкурентного сходства. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 20 / 31

21. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Оценка близости i-го объекта к своему классу Среднее расстояние до k ближайших объектов... ri = r (xi , yi ) — из своего класса; ¯i = r (xi , yi ) — из всех остальных классов; r ¯ Функция конкурентного сходства (function of rival similarity, FRiS-функция)  ¯i − ri r +1, объект близок к своим;  di = ≈ 0, объект пограничный; ¯i + ri r   −1, объект близок к чужим; Назовём di благонадёжностью объекта xi . Как и отступ, di — это характеристика типичности объекта относительно выборки. Преимущество — di величина безразмерная и нормированная. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 21 / 31

22. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Благонадёжность выборки Суммарная благонадёжность выборки характеризует то, насколько функция расстояния ρ подходит для данной задачи ℓ ℓ ¯i − ri r D(ρ) = di = ¯i + ri r i=1 i=1 распределение объектов по благонадёжности di 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 i К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 22 / 31

23. Понятие отступа Метрические алгоритмы классификации Алгоритм отбора эталонных объектов STOLP Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие конкурентного сходства Профиль компактности и скользящий контроль Простой жадный алгоритм оптимизации метрики Жадное добавление признаков 1. А вдруг одного признака уже достаточно? Расстояние по j-му признаку: ρj (u, xi ) = u j − xij . Выберем наиболее благонадёжное расстояние: D(ρj ) → max. j 2. Пусть уже есть расстояние ρ. Попробуем добавить к нему ещё один признак j. ρjt (u, xi ) = (1 − t) · ρ(u, xi ) + t · ρj (u, xi ). Найдём t ∈ [0, 1] и признак j, при которых благонадёжность D(ρjt ) максимальна (два вложенных цикла перебора). 3. Будем добавлять признаки до тех пор, пока благонадёжность D(ρjt ) увеличивается. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 23 / 31

24. Метрические алгоритмы классификации Полный скользящий контроль CCV Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие профиля компактности Профиль компактности и скользящий контроль Отбор эталонов по функционалу CCV Полный скользящий контроль CCV Функционал полного скользящего контроля (complete cross-validation, CCV): 1 1 CCV(X L ) = ℓ a(xi , X ℓ ) = yi , CL ℓ q q q xi ∈X X ⊔X где X ℓ ⊔ X q — все CL разбиений выборки X L на обучающую ℓ подвыборку X ℓ и контрольную X q . Замечание 1. При q = 1 имеем: CCV(X L ) = LOO(X L ). Замечание 2. CCV характеризует лишь среднюю частоту ошибок, но не учитывает её разброс. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 24 / 31

25. Метрические алгоритмы классификации Полный скользящий контроль CCV Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие профиля компактности Профиль компактности и скользящий контроль Отбор эталонов по функционалу CCV Понятие профиля компактности Определение Профиль компактности выборки X L — это функция доли (m) объектов xi , у которых m-й сосед xi лежит в другом классе: L L 1 (m) K (m, X ) = y i = yi ; m = 1, . . . , L − 1, L i=1 (m) где xi — m-й сосед объекта xi среди X L ; (m) yi — ответ на m-м соседе объекта xi . Теорема (точное выражение CCV для метода 1NN) k ℓ−1 L CL−1−m CCV(X ) = K (m, X L ) ℓ . m=1 CL−1 К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 25 / 31

26. Метрические алгоритмы классификации Полный скользящий контроль CCV Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие профиля компактности Профиль компактности и скользящий контроль Отбор эталонов по функционалу CCV Профили компактности для серии модельных задач 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 средний ряд: профили компактности, нижний ряд: зависимость CCV от длины контроля q. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 26 / 31

27. Метрические алгоритмы классификации Полный скользящий контроль CCV Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие профиля компактности Профиль компактности и скользящий контроль Отбор эталонов по функционалу CCV Свойства профиля компактности и оценки CCV Выводы K (m, X L ) является формальным выражением гипотезы компактности, связывая её с качеством классификации. CCV практически не зависит от длины контроля q. Для минимизации CCV важен только начальный участок ℓ−1 CL−1−m профиля, т. к. ℓ CL−1 → 0 экспоненциально по m. Минимизация CCV приводит к эффективному отбору эталонных объектов, без переобучения. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 27 / 31

28. Метрические алгоритмы классификации Полный скользящий контроль CCV Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие профиля компактности Профиль компактности и скользящий контроль Отбор эталонов по функционалу CCV Модельные данные 13 12 11 10 9 8 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Модельная задача классификации: 1000 объектов. Алгоритм 1NN К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 28 / 31

29. Метрические алгоритмы классификации Полный скользящий контроль CCV Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие профиля компактности Профиль компактности и скользящий контроль Отбор эталонов по функционалу CCV Последовательный отсев не-эталонных объектов 13 12 11 10 9 8 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 эталонные кл.1 эталонные кл.2 шумовые кл.1 шумовые кл.2 неинформативные кл.1 неинформативные кл.2 К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 29 / 31

30. Метрические алгоритмы классификации Полный скользящий контроль CCV Отбор эталонов и оптимизация метрики Понятие профиля компактности Профиль компактности и скользящий контроль Отбор эталонов по функционалу CCV Последовательный отсев не-эталонных объектов 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 0 10 20 30 40 50 980 990 [0-60] [980-1000] функционал CCV на обучении частота ошибок на тесте Зависимость CCV от числа удаленных неэталонных объектов. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 30 / 31

31. Метрические алгоритмы классификации Отбор эталонов и оптимизация метрики Профиль компактности и скользящий контроль Резюме в конце лекции Метрические классификаторы — одни из самых простых. Качество классификации определяется качеством метрики. Что можно обучать: — число ближайших соседей k; — набор эталонов (prototype selection); — как вариант — веса объектов; — метрику (distance learning, similarity learning); — как частный случай — веса признаков. Распределение отступов делит объекты на эталонные, неинформативные, пограничные, ошибки и выбросы. Профиль компактности выборки позволяет судить о том, насколько удачно метрика подобрана под задачу. К. В. Воронцов (www.ccas.ru/voron) Метрические методы классификации 31 / 31

К.В. Воронцов "Метрические методы классификации"

You are reading a preview.

Check these out next

К.В. Воронцов "Метрические методы классификации"

More Related Content

Similar to К.В. Воронцов "Метрические методы классификации" (9)

More from Yandex (20)