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カークマンの女学生問題と有限幾何

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第三回 物理と情報と幾何のインフォーマルかもな勉強会@スマートニュース株式会社での発表スライドです.
http://atnd.org/events/42643

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カークマンの女学生問題と有限幾何

  1. 1. カークマンの女学生問題 と有限幾何の分割 Kirkman s problems and Parallelisms @yam6da
  2. 2. Kirkmanの女学生問題 問題 組合せ デザイン Design 有限幾何 平行 Finite Geometry Parallelism
  3. 3. Kirkmanの女学生問題 問題
  4. 4. カークマンの女学生問題  15人の女学生がいる。この女学生たち は、毎日3人ずつ5組の班に分かれて登校す る。1週間のうちに、どの学生も他の14人 とちょうど1回ずつ一緒に登校できるよう に、一週間の班の振分けを考えよ。
  5. 5. カークマンの女学生問題  15人の女学生がいる。この女学生たち は、毎日3人ずつ5組の班に分かれて登校す る。1週間のうちに、どの学生も他の14人 とちょうど1回ずつ一緒に登校できるよう に、一週間の班の振分けを考えよ。
  6. 6. 1 2 3 4 5 6 7 日目 日目 日目 日目 日目 日目 日目 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  7. 7. 1 2 3 4 5 6 7 日目 日目 日目 日目 日目 日目 日目 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  8. 8. 1 2 3 4 5 6 7 日目 日目 日目 日目 日目 日目 日目 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  9. 9. 1 2 3 4 5 6 7 日目 日目 日目 日目 日目 日目 日目 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  10. 10. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) • 15人の女学生 • 5組 7日=35個の3人組に分ける • どの2人も1回しか同じ組にならない • どの人も7回出現する • 毎日全員が登校する 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  11. 11. 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  12. 12. 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  13. 13. 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  14. 14. 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  15. 15. 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  16. 16. 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  17. 17. 15人を毎日3人ずつ5組の班に分ける。7日間で全員が他14人と1度は一緒になる振分けは?
  18. 18. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) • 15人の女学生 • 35個の3人組に分ける • どの2人も1回しか同じ組にならない • どの人も7回出現する • 毎日全員が登校する
  19. 19. 組合せデザイン Combinatorial Design
  20. 20. カークマンの女学生問題の答えは ブロックデザイン (Balanced Incomplete Block Design, BIBD) の一種
  21. 21. ブロックデザイン(BIBD) (Balanced Incomplete Block Design) 点と呼ばれる有限集合Xと、ブロックと呼ばれる Xの部分集合族Bの組(V,B)で、次の性質を満たすもの。 1-均衡性 どの1点も、 2-均衡性 どの 正則性 それを含むブロックの数は同じ 2点も、 それらを同時に含むブロックの数は同じ ブロックの要素数は一定
  22. 22. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 2 4 7個の点を 2 3 5 0から6までの 3 4 6 7つのブロックに分けます。 0 4 5 1 5 6 0 2 6
  23. 23. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  24. 24. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  25. 25. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  26. 26. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  27. 27. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  28. 28. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  29. 29. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  30. 30. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 0 1 3 1 1 2 4 2 3 5 2 3 4 6 5 0 0 4 5 4 1 5 6 0 2 6 3 6
  31. 31. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 1-均衡性 どの1点も、 それを含むブロックの数は同じ 3 どの点も つの ブロックの上にある 1 2 5 0 4 3 6
  32. 32. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 2-均衡性 2 どの2点も、 それらを同時に含むブロック数は同じ 1 どの 点も つの ブロックの上にある 1 2 5 0 4 3 6
  33. 33. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 点と呼ばれる有限集合Xと、ブロックと呼ばれる Xの部分集合族Bの組(V,B)で、次の性質を満たすもの。 1-均衡性 どの1点も、 2-均衡性 どの 正則性 それを含むブロックの数は同じ 2点も、 それらを同時に含むブロックの数は同じ ブロックの要素数は一定
  34. 34. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) v 点と呼ばれる有限集合Xと、ブロックと呼ばれる Xの部分集合族Bの組(V,B)で、次の性質を満たすもの。 Xの要素数 1-均衡性 どの1点も、 2-均衡性 どの 正則性 それを含むブロックの数は同じ 2点も、 それらを同時に含むブロックの数は同じ ブロックの要素数は一定
  35. 35. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) v 点と呼ばれる有限集合Xと、ブロックと呼ばれる Xの部分集合族Bの組(V,B)で、次の性質を満たすもの。 Xの要素数 1-均衡性 どの1点も、 2-均衡性 どの 正則性 それを含むブロックの数は同じ 2点も、 それらを同時に含むブロックの数は同じ ブロックの要素数は一定 k ブロックサイズ
  36. 36. ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) v 点と呼ばれる有限集合Xと、ブロックと呼ばれる Xの部分集合族Bの組(V,B)で、次の性質を満たすもの。 Xの要素数 1-均衡性 どの1点も、 λ それを含むブロックの数は同じ 会合数 2-均衡性 正則性 2点も、 どの それらを同時に含むブロックの数は同じ ブロックの要素数は一定 k ブロックサイズ
  37. 37. 強さ ブロックデザインとは (Balanced Incomplete Block Design) 2-(v,k,λ)デザイン 全体集合 の要素数 各ブロック の要素数 2点を 含むブロックの数 1 2 5 0 2-(7,3,1)デザイン 4 3 6
  38. 38. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) • 15人の女学生 • 5班 7日=35個の3人組に振分け • どの2人も1回だけ同じ組になる • どの人も7回出現する • 毎日全員が現れる
  39. 39. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) 正則性 • 15人の女学生 • 5班 7日=35個の3人組に振分け • どの2人も1回だけ同じ組になる • どの人も7回出現する • 毎日全員が現れる
  40. 40. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) 正則性 2-均衡性 • 15人の女学生 • 5班 7日=35個の3人組に振分け • どの2人も1回だけ同じ組になる • どの人も7回出現する • 毎日全員が現れる
  41. 41. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) 正則性 2-均衡性 1-均衡性 • 15人の女学生 • 5班 7日=35個の3人組に振分け • どの2人も1回だけ同じ組になる • どの人も7回出現する • 毎日全員が現れる
  42. 42. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) 正則性 2-均衡性 1-均衡性 分解可能性 • 15人の女学生 • 5班 7日=35個の3人組に振分け • どの2人も1回だけ同じ組になる • どの人も7回出現する • 毎日全員が現れる
  43. 43. カークマンの問題の条件 (Kirkman s school girl problem) 正則性 2-均衡性 1-均衡性 分解可能性 • 15人の女学生 • 5班 7日=35個の3人組に振分け • どの2人も1回だけ同じ組になる • どの人も7回出現する • 毎日全員が現れる 作りたいのは、分割可能 - 2-(15,3,1)デザイン
  44. 44. 35個のブロックを7つに分割・各分割に全員入る
  45. 45. 分割可能デザイン (Resolvable Balanced Incomplete Block Design) ブロックの分割があって、 各分割に全ての点が1つずつ入っている ようなデザインを分割可能であるといいます。 特に、分割可能なk=3, λ=1のデザインは、 カークマンの三つ組系として Kirkman Triple System 深く研究されています。
  46. 46. t-デザイン (t-design) 点と呼ばれる有限集合Xと、ブロックと呼ばれる Xの部分集合族Bの組(V,B)で、次の性質を満たすもの。 1-均衡性 どの1点も、 t -均衡性 どの 正則性 それを含むブロックの数は同じ t 点も、 それらを同時に含むブロックの数は同じ ブロックの要素数は一定
  47. 47. • 強さt は大きい方がよい(対称性が高い) • 会合数λは小さい方がよい 強さが4以上で会合数が1のものはとても珍しい
  48. 48. デザイン理論の興味 • あるパラメタのデザインが存在するか • 存在すれば(同型を除いて)いくつあるか • 系統的にデザインを得るアルゴリズム • デザインと等価な概念 • デザインの応用
  49. 49. 一般カークマン問題  v人の女学生がいる。この女学生たち は、毎日3人ずつの班に分かれて登校す る。(v-1)/2日間のうちに、どの学生 も他の全員とちょうど1回ずつ一緒に登校で きるように、(v-1)/2日分の班の振分けを考 えよ。
  50. 50. 一般カークマン問題 v人が3人ずつの班に分けられるので vは3の倍数 日程 (v-1)/2 が整数でないといけないので vは2で割って1余る数 v 3 (mod 6) が必要条件 (これが十分条件であることが1971年に示され、一般カークマン問題は解決された。) 一般カークマン問題の解決は1971年! (1850年の問題が120年かかった!)
  51. 51. • もともとのカークマンの問題(15人ver.) の解は同型を除いて7種類であることが 知られています。(Cole 1922) • そのうち2つは、3次元有限射影幾何の 平行類を使って得ることができます。 • ちなみに、21人以上のカークマン問題 の解の個数やその分類は未解決です。 (2010年頃の本より)
  52. 52. 有限幾何 Finite Geometry
  53. 53. 有限幾何 有限個の点の集合 P 、有限個の直線の集合 L、 それらの結合関係を記述した (反射律と対称律を満たす)二項関係 I P Lの組(P,L,I)を 有限幾何という。 対称性は見にくくなるが、 デザインと同様に直線を点の部分集合と捉えて、 (p, l) I p l とすると、直線を点の集合と見なせる。
  54. 54. 有限アフィン幾何
  55. 55. 有限アフィン幾何 位数2のアフィン平面 (0,1) (1,1) y=1 x=y+1 x=0 x=y x=1 y=0 (0,0) (1,0)
  56. 56. 有限アフィン幾何 位数3のアフィン平面 (0,2) (1,2) (2,2) (0,1) (1,1) (2,1) (0,0) (1,0) (2,0) y=2 y=1 y=0 x=0 x=1 x=2
  57. 57. y=2x y=x+2 (0,2) (1,2) y=2 (2,2) y=x y=2x+2 (0,1) (1,1) (2,1) (0,0) (1,0) (2,0) y=1 y=0 y=x+1 y=2x+1 x=0 x=1 x=2
  58. 58. 有限アフィン幾何は自明な平行概念を持つ幾何
  59. 59. 有限アフィン平面 アフィン平面の各点に、人を置いてみます
  60. 60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  61. 61. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  62. 62. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  63. 63. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  64. 64. 9人を3人ずつ班分けして、 4日分の振分けを決める 小さいカークマン問題(9人ver.)の解になっている。 1日目 2日目 3日目 4日目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 6 8 2 4 9 3 5 7 1 5 9 2 6 7 3 4 8 アフィン平面は分解可能デザインの代表的な例 (上の例は分割可能 - 2-(9,3,1)デザイン)
  65. 65. 有限射影幾何
  66. 66. 有限射影幾何 線の公理 VeblenYoungの公理 (簡易版) 非退化性 2点を通る直線は1本 同一平面上にある2本の直線は ちょうど1点で交わる 直線上には少なくとも3点がある 公理ではないが、各直線上にある点の数は一定で、 q+1点とする。このqを射影幾何の位数という。 次元 n, 位数 q の射影幾何を PG(n,q)とかく。
  67. 67. 有限射影幾何 2-均衡性 線の公理 VeblenYoungの公理 (簡易版) 非退化性 2点を通る直線は1本 同一平面上にある2本の直線は ちょうど1点で交わる 直線上には少なくとも3点がある 公理ではないが、各直線上にある点の数は一定で、 q+1点とする。このqを射影幾何の位数という。 次元 n, 位数 q の射影幾何を PG(n,q)とかく。
  68. 68. 有限射影幾何 2-均衡性 線の公理 VeblenYoungの公理 (簡易版) 非退化性 2点を通る直線は1本 同一平面上にある2本の直線は ちょうど1点で交わる 直線上には少なくとも3点がある 1-均衡性 公理ではないが、各直線上にある点の数は一定で、 q+1点とする。このqを射影幾何の位数という。 次元 n, 位数 q の射影幾何を PG(n,q)とかく。
  69. 69. 0 1 3 1 2 4 1 2 3 5 3 4 6 2 0 0 4 5 1 5 6 0 2 6 5 4 3 PG(2,2) = 2-(7,3,1)デザイン = fano平面 6
  70. 70. PG(3,2) 2-(15,3,1)デザイン
  71. 71. PG(3,2)の15個の点と35本の直線 0 1 C 0 2 9 0 3 4 0 5 A 0 6 8 0 7 D 0 B E 1 2 D 1 3 A 1 4 5 1 6 B 1 7 9 1 8 E 2 3 E 2 4 B 2 5 6 2 7 C 2 8 A 3 5 B 3 6 7 3 8 D 3 9 B 4 6 D 4 7 8 4 9 E 4 A C 5 7 E 5 8 9 5 B D 6 9 A 6 C E 7 A B 8 B C 9 C D A D E
  72. 72. 平面をブロックとすると、(15,7,3)デザイン すべての平面はPG(2,2)=(7,3,1)デザインと同型
  73. 73. 有限射影幾何での 平行 Parallelism
  74. 74. よく知られているように、 有限射影平面では平行線はないが、 3次元有限射影空間PG(3,q)の直線には 平行(Parallelism) という概念がある
  75. 75. 有限射影幾何での 平行 はどのように定義できるだろう
  76. 76. 有限射影幾何での平行 アフィン幾何で定義される平行概念は、 普通は超平面に対して 「交わらない」という関係だけで 自然に定義される同値関係 射影幾何では超平面が必ず交わるので そのままでは定義できない
  77. 77. 平行線の公理 任意の直線gに対して、直線g上にない点をPとする。 このとき、Pを通りgと平行な直線が唯一存在する。
  78. 78. 平行線の公理 任意の直線gに対して、直線g上にない点をPとする。 このとき、Pを通りgと平行な直線が唯一存在する。 平行線の公理を満たすような同値関係(分割)を 射影空間上の直線集合に入れる
  79. 79. この直線の上にない この点を通る平行な直線は これだけ
  80. 80. 点を直線で分割 互いに交わらない直線の集合が射影空間の 全ての点を覆っているとき、この直線の集合を spreadという。これを使って平行類を定義する。 点が どれか1つの直線 全ての の上にある
  81. 81. 直線をspreadで分割 互いに同じ直線を含まないspreadの集合が 全ての直線を分割しているとき、このspreadの集合を 射影空間上の平行(parallelism, packing)という。 直線が どれか1つのspread 全ての の上にある
  82. 82. 直線をspreadで分割 互いに同じ直線を含まないspreadの集合が 全ての直線を分割しているとき、このspreadの集合を 射影空間上の平行(parallelism, packing)という。 直線が どれか1つのspread 全ての の上にある
  83. 83. spread 全ての点が どれか1つの直線 の上にある直線の集合 parallelism 全ての直線が どれか1つのspreadの 上にあるspreadの集合 =
  84. 84. spread存在の条件 射影空間の直線は2次元ベクトル空間 spreadは2次元ベクトル空間の直和で 全空間を埋め尽くしている 全空間は偶数次元でなくてはならない 射影空間としての次元は奇数であることが spread存在のための必要条件 (実は十分でもある)
  85. 85. spreadの中でも、特にキレイなもので regular spreadと呼ばれるものがある。 任意のregular spreadに対して、 3次元射影空間上のParallelism が構成できることが証明されている。 (ただしq>2) (Beutelspacher 1974) 強さ3のデザイン!
  86. 86. spreadの中でも、特にキレイなもので regular spreadと呼ばれるものがある。 任意のregular spreadに対して、 3次元射影空間上のParallelism が構成できることが証明されている。 (ただしq>2) (Beutelspacher 1974) おまけで紹介予定だった Baer subspaceから 簡単に作れる 強さ3のデザイン!
  87. 87. 有限射影平面では平行概念はないが、 3次元有限射影空間PG(3,q)には 平行(Parallelism)が存在する! (Beutelspacher 1974)
  88. 88. PG(3,2)のParallelismはカークマン問題(15人)の解
  89. 89. Thank You!

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