1. Trigonometría
SEMANA 16 RPTA.: D
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 3. En un triángulo ABC, la expresión:
OBLICUÁNGULOS b gsen ( B + C )
W=
c − b gcos A
1. En un triángulo ABC, si: A = 60°; es equivalente a:
b = 4 7; c = 6 7 .
Halle el lado “a” A) tg B B) ctg B C) 1
D) 2 E) 1/2
A) 7 B) 10 C) 13
D) 14 E) 20 RESOLUCIÓN
* ∆ ABC → A + B + C = 180° → B + C = 180° − A
RESOLUCIÓN * Ley de proyecciones:
De la ley de cosenos: c = a gcosB + b gcos A → c − b gcos A = a gcosB
a2 = b2 + c2 − 2bc gcos A
b gsen ( 180° − A ) b gsen A
⇒
( ) ( ) ( )( ) W= =
2 2
a2 = 4 7 + 6 7 − 2 4 7 6 7 gcos 600 a gcosB a gcosB
2
a = 196 2RsenB gsenA
∴ W= = tgB
∴ a = 14 2RsenA gcosB
RPTA.: D
RPTA.: A
2. Los lados de un triángulo son
proporcionales a los números 3;5 4. En un triángulo ABC, se conoce
y 7. Siendo “ θ ” la medida de su que: B = 45°; b = 2 y c = 6 .
menor ángulo interno; halle
Indicar la medida del ángulo C.
" s ec θ " .
7 6 13 A) sólo 30° B) sólo 45º
A) B) C)
13 13 7 C) sólo 60° D) 30° ó 150°
14 13 E) 60° ó 120°
D) E)
13 14
RESOLUCIÓN
B
RESOLUCIÓN
45º
1 6
3 5 sec θ = ? =
cos θ
menor ángulo → θ
7 A 2 C
Ley de cosenos:
32 = 52 + 72 − 2 ( 5) ( 7 ) gcos θ
2 6
13 =
→ c os θ = sen 45° senC
14
14 3
∴ s ec θ = senC =
13 2
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2. Trigonometría
∴ C = 60º ó 120º
RPTA.: E RPTA.: A
5. En un triángulo ABC, se conoce 7. Halle la medida del ángulo B de
que: A = 120°, b = 7 cm y un triangulo ABC cuyos lados a, b,
c = 8 cm. Halle la longitud del y c cumplen la relación:
lado a. ( b + a − c ) ( c − a + b ) = 3 ac
A) 13 m B) 130 m A) 30° B) 45° C) 60°
C) 1,3 m D) 0,13 m D) 120° E) 150°
E) 0,013 m
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
b + ( a − c )  b − ( a − c )  = 3ac
  
B
b2 − ( a − c ) = 3 ac
2
a
8 (a2
) (
+ c2 − 2ac cosB − a2 − 2ac + c2 = 2ac )
120º 1
cosB = −
C A 2
7
∴ B = 120°
a = 7 + 8 − 2 ( 7 ) ( 8 ) cos 120°
2 2 2 RPTA.: D
a = 13 cm = 0,13m
8. En un triangulo ABC de lados
BC = a, AC = b, AB = c Se
RPTA.: D 7 ab
cumple: (a+b+c)(a+ b - c)=
3
6. En un triángulo ABC de lados M = 3 sen 2 C g senC
Calcule:
AB=c; AC = b; BC =a Determine:
M = ab g sen C gctg A + ctgB 
  35 35
A) B)
36 6
A) c2 B) b2 C) a2
C) 35 D) 2 35
a2 c2
D) E) E) 18
2 2
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
7ab 7ab
( a + b + c) ( a + b − c) ⇒ ( a + b ) − c2 =
2
M = ab gsenC ctg A + ctgB
  =
3 3
sen ( A + B ) ab 1
M = ab gsenC g , ⇒ a2 + b2 − c2 = ⇒ cos C =
sen A gsenB 3 6
2ab gcos C
6
a = 2Rsen A 35
Ley de senos b = 2Rsen B
c
c = 2Rsen C Luego: 1
sen C
M = 3 ( 2senC ) ( cos C ) ( senC ) = 6 gsen2C gcos C
sen ( A + B )
M = 4R 2senA gsenB g senC  35   1  35
2
sen A gsenB ⇒ M = 6 g =
 6   6  36
  
M = ( 2R senC ) = c  
2 2
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3. Trigonometría
* ∆ ABC : A + B + C = 180°
RPTA.: A → A + B = 180° − C
9. Siendo P el semiperimetro de un → B + C = 180° − A
triangulo ABC, indicar el Condición:
equivalente reducido de: sen ( A + B ) cos ( B + C )
(b+c)cos A + (a+c) cosB + (a+b)cos C =
c a
sen ( 180° − C ) cos ( 180° − A )
p =
A) p B) 2 p C) c a
2
+ senC − cos A
p =
D) E) 4p 2RsenC 2Rsen A
4
1 = − ctgA
RESOLUCIÓN −1 = ctg A ⇒ A = 135º
E = b cos A + c cos A + a cosB + c cos B RPTA.: D
+ acos C + b cos C
12. En un triángulo uno de sus lados
Si: c = b cos A + acosB
mide 20 cm y los ángulos internos
E = a+b+ c
adyacentes con él miden 16° y
E=2p
37°. Halle su perímetro.
RPTA.: B
A) 22 cm B) 24 cm C) 42 cm
10. En un triangulo ABC, reduce: D) 44 cm E) 50 cm
(b cos C − a) tgB
E=
b sen C
RESOLUCIÓN
A) 1 B) -1 C) -2
1 x 180º-53º y
D) 2 E) -
2
16º 37º
RESOLUCIÓN 20 cm.
b cos C − ( b cos C + c cos B )  tgB
E=  
Aplicando “Ley de senos”
b senC
x 20 y
c cosB senB = =
E=− g sen37° sen ( 180° − 53°) sen16°
bsenD cosB
E = -1 sen 53º
RPTA.: B
x 2 y x = 15 cm
=
→ 3 4 7 → y = 7cm
11. En un triangulo ABC se cumple: =
sen ( A + B ) cos ( B + C ) 5 20 25
= ∴ Perímetro ∆ = x + y + 20 = 42 cm
c a
Luego su ángulo “A” mide: RPTA.: C
A) 120° B) 127° C) 143° 13. En un triángulo ABC, simplifique
D) 135° E) 150° la expresión:
E =bg cos B + c gcos C
RESOLUCIÓN
A) b cos (B-C) B) a cos (B-C)
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4. Trigonometría
C) c cos (B-C) D) a sen (B-C) RESOLUCIÓN
E) b sen (B-C)
→ ( )
M = acos A b2 + c2 + b cosB a2 + c2 +( )
RESOLUCIÓN (
c cos C a2 + b2 )
E = 2RsenB gcosB + 2R senC gcos C → M = ab2 cos A + ac2 cos A + a2b cosB +
E = R sen2B + R sen2C bc2 cosB + a2c cos C + b2c cos C
E = R 2 sen ( B + C ) cos ( B − C ) 
  M = ab ( b gcos A + a gcosB ) + ac ( c gcos A + a gcosC ) +
E = acos ( B − C ) “c” “b”
RPTA.: B bc ( c gcosB + b gcos C )
14. Halle “x” en la figura: “a”
∴ M = 3 abc
RPTA.:E
x
16. En un triángulo ABC, simplifique la
expresión:
a B b A
E = cos2 + cos2
5 3 2 2 2 2
Siendo p el semiperimetro de
A) 6 B) 7 C) 8 dicho triángulo
D) 9 E) 10
p
RESOLUCIÓN A) p B) 2p C)
2
D) p/4 E) 4p
60º
5 x=? RESOLUCIÓN
B A
4 E = a g2 cos2 + b g2 cos2
120º
2 2
60º
4E = a ( 1 + cos B ) + b ( 1 + cos A )
60º
5 3
4 E = a + a cos B + b + b cos A
4 E = a+b+ c
Aplicando ”Ley de cosenos”
x2 = 32 + 52 − 2 ( 3 ) ( 5) cos120° P
E=
∴ 2
x=7
RPTA.: C
RPTA.: B
17. En un triángulo ABC, determine el
15. En un triángulo ABC reduce:
valor de x para que verifique la
( )
M = a b2 + c2 cos A + b a2 + c2 cosB ( ) siguiente expresión:
+c a +b ( 2 2
) cos C B + C B − C  2c x
tg   − tg  2  = b + c
 2   
A) 3 B) a + b + c
C) 3 (a + b + c) D) abc
E) 3abc
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5. Trigonometría
A A M = a2 − 2a2 sen2 B + 2b2 sen2 A = a2
A) tg B) 4tg
2 2
A A RPTA.: C
C) ctg D) 2 tg
2 2
A 19.
E) 2 ctg
2
RESOLUCIÓN
 B + C
tg  
b+c  2 
Si: =
b−c B − C
tg  
 2 
B + C  B − C 
2c
tg   − tg  2 
=  2   
b+c B + C 
tg  
 2 
como:
A B+C B + C A
+ = 90º ⇒ tg   = ctg 2
2 2  2 
A
∴ x = ctg
2
RPTA.: C
18. En un triángulo ABC, BC = a,
AC = b, AB = c
Simplifique:
M = a2 cos ( 2A + 2C ) − b2 gcos ( 2B + 2C ) + b2
a2 b2
A) B)
2 2
C) a2 D) b2
2
E) 2 a
RESOLUCIÓN
Como: 2A + 2B + 2C = 360°
c os ( 2A + 2C ) = cos2B ∧ cos ( 2B + 2C ) = cos2A
→ M = a2 cos 2 B − b2 cos 2A + b2
M = a2 cos 2B + b2 ( 1 − cos 2A )
1 − 2 sen2 B 2 sen2 A
Ley de senos:
a = 2R sen A ∧ b = 2R senB
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6. Trigonometría
20. En un triángulo ABC  A +B 
tg  
(AB = c, AC = b, BC = a), si a +b  2  =?
W = =
b = 3a, m S ACB = 60° , calcule el a −b  A +B 
valor de: tg  
 2 
M = 5 tg A + ctg A
 72°  sen36°
tg 
 2  = tg36°
3 5 3 W= = cos 36°
A) B) 3 C)  36°  tg18° sen18°
3 3 tg  
 2  cos18°
8 3 2sen36° gcos18° sen54° + sen18°
D) 2 3 E) → W= =
3 2 cos 36° gsen18° sen54° − sen18°
RESOLUCIÓN  5 + 1  5 − 1
Si: C = 60 → A+B = 120°, b = 3a  + 
Ley de tangente: cos36° + sen18°  4   4 
    = 5
∴W = =
B − A B − A cos36° − sen18°  5 + 1   5 − 1 
b−a
tg   tg    4 − 4 
   
=  2  ⇒ 2a =  2     
b+a B + A 4a tg60° RPTA.: A
tg  
 2 
B − A 3 B − A 22. En un triángulo ABC, BC = a,
⇒ tg  = ∧ tg  = 3
 2  2  2 
AB = c, AB = c si
( )
c − 2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0
4
3−
3 3 Halle la medida del ángulo agudo
B + A B − A 2 = 2 = 3
⇒ tgA = tg  − = C.
 2 2  3 5 5
1+
2 2
A) 90° B) 60° C) 45°
Luego:
D) 30° E) 15°
 3 5 8 8 3
M = 5 + = =
 5 
 3 3 3 RESOLUCIÓN
 
RPTA.: E ( )
c 4 − 2 a2 + b2 c2 + a4 + a2b2 + b4 = 0
a4 + b4 + c4 − 2 a2 c2 − 2b2 c2 + 2 a2 b2 = a2 b2
21. En un triángulo ABC, si:
A + B = 72° ∧ A - B =36°
Halle: W =
a+b (a 2
+ b2 − c2 ) 2
= a 2 b2
a−b ⇒ ( 2 ab cos c ) 2 = a2 b2 ⇒ 4 a2 b2 cos2 c = a2 b2 ⇒
1
5 cos2 c =
A) 5 B) C)1 4
5 1
1 ∴ cos C = → C = 60° (Agudo)
D) 5 E) 2
5 RPTA.: B
RESOLUCIÓN 23. En un triángulo ABC (BC = a;
En triángulo ABC, de la Ley de AC = b, AB = c) inscrito en una
tangentes: circunferencia de radio R, se
cumple m S C= 45º , además
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7. Trigonometría
a2 − b2 = 2 2 R 2
Calcule: M = tg2A − 3 tg2B
A) -1 B) -2 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
a2 − b2 = 2 2 R 2 …………………………*
Ley de senos: a = 2R sen A ,
b = 2R senB
2 2
( 2
)
En (*) 4R sen A − sen B = 2 2 R
2
2
⇒ sen ( A + B ) g sen ( A − B ) =,
2
Pero: C = 45° ⇒ (1) A + B = 135°
⇒ sen135 : sen ( A − B ) = 2 ⇒ sen ( A − B ) = 1
2
2
2
→ (2) A − B = 90°
(1) + (2): 2A = 225° → ∧ (1)-(2)
= 2B = 45°
Luego:
M = tg 225° − 3tg 45° = 1 − 3(1) = − 2
RPTA.: B
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