Este documento presenta varias identidades trigonométricas y ejercicios de simplificación relacionados con funciones trigonométricas. Se definen identidades como sen2x + cos2x = 1 y se piden simplificar expresiones utilizando estas identidades.
1. Trigonometría
SEMANA 9
1 sen x 1 sen x
4 1 sen2 x
2 2
2 2
IDENTIDADES Q
1 cos x 1 cos x 4 1 cos x
2 2 2
2 2
TRIGONOMÉTRICAS PARA
EL ARCO SIMPLE
Q tg2 x
1. Simplifique: RPTA.: B
W
cos sen sec Csc
tg ctg 3. Simplifique:
cosb tgb senb secb tgb
1
A) 2 B) -2 C) A) 2 sen b B) 2 cos b C) tg b
2
D) sec b E) ctg b
D) 1 E) -1
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
senb 1 senb
1 1 V cos b senb
cos sen cosb cosb cosb
cos sen
W sen b
2
1 senb
sen cos V cos b
cos sen cosb cosb cosb
sen cos cos b sen2 b 1 senb
2
sen cos
V
cos sen cosb
W V tgb
sen 2 cos2
sen cos RPTA.: C
W
sen2 cos2 4. Indique el equivalente de la
sen cos 2 2 expresión:
P sen2 x cos2 x tgx ctgx
2 2
W 1
RPTA.: E
A) sen6 x cos6 x
2. Simplifique:
B) 1 sen2 x cos2 x
sec x sen x tg x cos x
2
2 2 2 4
Q C) 1 sen2 x cos2 x
csc x cos x ctg x sen x
2
2 2 2 4
D) 1 3 sen2 x cos2 x
A) 1 B) tg2x C) ctg2x
E) sen6 x cos6 x
D) sec2 x E) csc2 x
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
P sen4 x cos4 x 2 sen2 x cos2 x senx csc x
2
1 1
2
1
P 1 2 sen x cos x 2 sen x cos x
2 2 2 2
cos x senx
sec x tg x sen x cos x
2 2
2 2 2 2
Q
P 1 4 sen2 x cos2 x cos x senx
2
csc x c tg x cos x sen x
2 2
2 2 2 2
P 1 4 sen2 x cos2 x sen2 x cos2 x
“1” P 1 3 sen2 x cos2 x
Página 1
2. Trigonometría
P sen6 x cos6 x A) 4 b2 B) 4 b2
RPTA.: E
C) b2 4 D) b2 4
5. Simplifique: E) b2 4
P sen2 tg cos2 ctg 2 sen cos
RESOLUCIÓN
A) sec csc B) sec csc
2 2
tgx ctgx b
C) tg ctg D) tg c tg Elevando al cuadrado:
E) 1 tg2 x ctg2 x 2 b2
tg2 x ctg2 x 2 b2 4
RESOLUCIÓN tg x ctg x b2 4
2
P sen2 tg cos2 ctg 2 sen cos
sen3 cos3
tg x ctg x b2 4
P 2 sen cos RPTA.: D
cos sen
sen4 cos 4 2 sen2 cos2 8. Calcule: senx cos x
P
sen cos a b
Si:
1 2 sen cos2 2 sen2 cos2
2
sen x cos x
P
cos sen
P sec csc a2 b2 b2 a2
A) B)
P tg ctg ab ab
RPTA.: C ab ab
C) 2 D) 2
a b2 a b2
6. Reducir: a2
E tg 1 ctg2 ctg 1 tg2 E)
ab
A) sen B) cos RESOLUCIÓN
C) tg D) sen 30º 1 1
senx cos x ??
E) sen 180º sec x csc x tgx ctgx
a b a
tg x
RESOLUCIÓN sen x cos x b
E tg 1 ctg2 ctg 1 tg2 sen x cos x
1
2
ab
E tg ctg tg ctg tg ctg
2 2 a b a b2
E tg ctg ctg tg b a
E0 RPTA.: D
E sen180º
9. Reduce:
RPTA.: E
E sen cos tg ctg csc
7. Si: tgx ctgx b
Calcule: E tgx ctgx A) sen B) cos
C) sec D) csc
E) 1
Página 2
3. Trigonometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
2
E 4 sen6 x cos6 x 3 cos2 x sen2x
H sen cos tg ctg csc
2
E 4 1 3sen2 x cos2 x 3 cos4 x sen4x 2sen2x cos2 x
H sen cos sec csc csc
2
H csc sen sec 1 1
E 4 12sen2x cos2 x 3 1 2 sen2x cos2 x 2 sen2x cos2 x
H csc sen sec E 4 12sen2x cos2 x 3 1 4 sen2x cos2 x
1
H sec
E 4 12 sen2x cos2 x 3 12 sen2x cos2 x
RPTA.: C
E 43 1
1 RPTA.: A
10. Si: sen2 x sen2 y
8 12. Halle el valor de “A” si:
Halle: sec4 x sec2 x tg4 x A
A cos x cos y sen x sen y
2 2 2 2
A) tg x B) ctg x
1 5 7 C) ctg2 x D) tg2 x
A) B) C)
8 8 8 E) 1
9 11
D) E)
8 8 RESOLUCIÓN
sec4 x sec2 x tg4 x A
RESOLUCIÓN
1
sen2 x sen2 y ……………..….. I sec4 x tg4x sec2 x A
8
E cos x cos y sen x sen y
2 2 2 2 sec 2
x tg2x sec2 x tg2x sec2 x A
E 1 sen2 x 1 sen2 y sen2 x sen2 y 1
E 1 sen x sen y sen x sen y sen x sen y
2 2 2 2 2 2
sec x tg x sec2 x A
2 2
E 1 sen2 x sen2 y A tg2 x
1 RPTA.: D
E 1
8
13. Si: 12 cos2 x 23 senx 22
7
E= Entonces “sen x” es:
8
RPTA.: C
5 2 1
A) B) C)
11. Reduce: 4 3 3
2 4 2 5
E 4 sen6 x cos6 x 3 cos2 x sen2 x
D) E) ;
5 3 4
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
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4. Trigonometría
RESOLUCIÓN 16. Si: 2 ctg2 x 3 ctg2 y 1
Donde: Halle: sen2 x csc2 y
12 1 sen x 23 sen x 22
2
12 sen2 x 23 senx 10 0 1 2
A) 1 B) C)
3 sen x 2 4 sen x 5 0 3 3
1
2 D) 2 E)
sen x 9
3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
2 ctg2 x 3 ctg2 y 1
14. Simplifique:
2 csc2 x 1 3 csc2 y 1 1
V sec6 x tg6 x 3tg4 x 3tg2 x
2 csc2 x 3 csc2 y
2
A) 0 B) 1 C) 2 sen2 x csc2 y
D) 3 E) 4 3
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
17. Indique el equivalente de :
3
V 1 tg2 x tg6x 3 tg4x 3 tg2x cos x 1 sen x
2
1
2
W
V 1 3tg2x 1 tg2 x tg6x 3 tg4x 3tg2 x
1 sen x ctg x 1 cos x tg x
V 1
RPTA.: B A) sec2 x cos2 x
B) sen2 x cos2 x
15. Calcule “n” para que la siguiente
igualdad sea una identidad. C) sen2 x csc2 x
D) sec2 x csc2 x
1 cos x 1 cos x E) 1
sen x n
sen x cos x n
RESOLUCIÓN
A) tg x B) ctg x C) sen x 1 sen x
2
1 cos x
2
D) cos x E) sec x W tgx ctgx
cos x sen x
2
1 cos x cos x
2
RESOLUCIÓN 1 senx senx
W
El primer miembro:
cos x cos x cos x senx senx senx
1 cos x
N sen x W sec x csc x
2 2
sen x cos x
N 1 cos x tgx ctgx senx W sec2 x csc2 x
N 1 cos x tgx (1 cos x)ctgx senx
W sec2 x csc2 x
1 cos x RPTA.: D
N tgx
tgx
N tg x
RPTA.: A
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5. Trigonometría
18. Si: csc x ctgx 3;Halle : " tgx " 20. Si: cos2 x cos x 1 0 .
Halle: W sec2 x ctg2 x
3 3 4
A) B) C)
4 4 3 A) 0 B) 1 C) 2
4 1 D) -1 E) -2
D) E)
3 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN * cos2 x cos x 1 0 cos x
Piden: tg x =? 1 cos2x cos x sen2x
Dato: cos x senx 1
csc x ctgx 3 csc x 3 ctgx senx tgx csc x
senx cos x senx
csc2 x 3 ctgx 1 ctg2x
2
tg 2x csc2 x sec2 x 1
9 6 ctgx ctg2 x 1 ctg2x sec2 x ctg2x 2
1 6 3 RPTA.: C
8 6 ctgx tgx
ctgx 8 4
RPTA.: B 21. Si: " sec " y "csc " son las
“raíces” de la ecuación:
19. Si: 2 sen cos x; halle: x2 p x q 0 ; luego se cumple
" 2 sen cos " la relación:
A) x 2 x 2 A) q2 2q p2
B) x 3 x 1 B) p2 2p q2
C) q2 2q p2
C) x 3 x 1
D) p2 2p q2
D) x 3 x 1
E) p2 q2 1
E) x 3 x 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÒN x1 sec
Piden: 2 sen cos ?
x px q 0
2
Dato: 2 sen cos x
x2 csc
sen cos x 2
sen2 cos2 2 sen cos x2 4x 4 Se observa:
“1” i) x1 x2 q sec csc q …..(I)
2 sen cos x2 4x 3 ii) x1 x2 p sec csc p ..(II)
x -3
(II)2 : sec csc p
2 2
x -1
sec2 csc2 2 sec csc p2
2 sen cos x 3 x 1 "sec2 csc2 "
RPTA.: E sec csc 2 sec csc p2
2
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6. Trigonometría
q2 2q p2 1 cos x 1 cos x 1 cos x
2
RPTA.: A E
2 cos x
22. Si: sen x sen2 x 1 E
1 cos x 1 cos x 1 cos x
2 cos x
Calcule: E 1 cos x 2
E 1 cos x
E 1 1 vers x
A) sen2 x B) cos 2 x
E 2 vers x
C) tg2 x D) ctg2 x RPTA.: C
E) csc2 x
2 2 cos x
24. Simplifique: k 1
RESOLUCIÓN sen x cos x 1
* sen x sen2 x 1
sen x 1 sen2 x cos x 1 sen x
A) B)
sen x cos2 x 1 sen x cos x
tgx cos x ctg x = sec x C) 1- sen x D) 1 + sen x
cos x
E)
E 1 cos2 x 1 sen x
E 1 tg2 x
RESOLUCIÓN
E sec2 x
2 2 cos x
E ctg2 x K 1
sen x cos x 1
RPTA.: D
senx cos x 1 2 2 cos x
K
23. Simplifique: sen x cos x 1
1 cov x 1 vers x cov x K
senx cos x 1 senx cos x 1
E
1 vers x cov x senx cos x 1 senx cos x 1
senx 1
2
cos2 x
A) vers x B) cov x K
C) 2 -vers x D)2-cov x 2 senx cos x
1 senx 1 senx 1 senx
2
E) 2 + cov x
K
2 senx cos x
RESOLUCIÓN
1 cov x 1 vers x cov x K
1 senx 1 senx 1 senx
E 2 senx cos x
1 vers x cov x
1 senx 2 senx k 1 senx
1 1 senx 1 1 cos x 1 senx K
E 2 senx cos x cos x
1 1 cos x 1 senx
senx 1 senx cos x senx cos x 1
RPTA.: B
E
cos x senx 1 senx cos x 1
25. Eliminar “x” si:
sen x 1 cos x sen x
2
2
2 sec2 x atgx
E
2 sen x cos x 2 csc2 x ctgx
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7. Trigonometría
A) a2 b B) a2 b2 0 27. Reducir:
C) a b 0 D) a b 0 H 1 tg2 x tg4 x tg6 x tg8 x ……………
E) a 2b
A) sen2 x B) cos2 x C) tg2 x
RESOLUCIÓN D) ctg2 x E) 1
2 sec x atgx 2 1 tg x
2 2
atgx 1 tg2x atgx ………(*) RESOLUCIÓN
H 1 tg2 x tgx4 tgx6 tgx8 ……………
2 csc2 x b ctgx 2 1 ctg2x H 1 tg2 x 1 tg2 x tg4x tg6 x .............
b ctgx 1 ctg2x b ctgx
“H”
tg2 x 1 b H 1 tg x H 2
tg x
2
tg x H H tg2 x 1
tg x 1 b tgx …………….…(*)(*)
2
H 1 tg2 x 1 Hsec2 x 1
(*) + (*) (*) H cos2 x
0 (a b)tgx a b 0 RPTA.: B
RPTA.: D
28. Si: sen3 x csc3 x 7
tg x sen x
2 2
26. Si: A tgB x Calcule: sen3 x csc3 x
ctg x cos x
2 2
Halle: (A + B) A) 51 B) 53 C) 57
D) 59 E) 61
A) 3 B) 6 C) 7
D) 8 E) 10 RESOLUCIÓN
sen
2
RESOLUCIÓN
3
x csc3 x 72
sen2 x
sen2 x
cos2 x
sen2 x sec2 x 1 sen6 x 2 sen3x csc3 x csc6 x 49
cos 2 x
cos x
2
cos2 x csc2 x 1 49 sen6 x csc6 x 2
sen2 x
51 sen6 x csc6 x
sen2 x 1 tg2 x 1
tg x tg x
2 2
tg6 x
cos x 1 ctg x 1
2
2
1 sen6 x csc6 x 2 sen3 x csc3 x
tg2 x 51 2
sen x csc x
2
B
3 3
53 sen3 x csc3 x
1 tg x A tg x
6
A=1 B=6 53
A + B =7 RPTA.: B
RPTA.: C
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8. Trigonometría
29. Si: csc2 csc 1 1
Halle: csc x csc x
E
H ctg2 1 ctg ctg 1 1 csc2 x 1
1
csc 2 x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0 Reemplazando
5 10 14
RESOLUCIÓN E
9
csc2 csc 1
RPTA.: A
1 ctg 1 csc csc ctg
2 2
H ctg2 1 ctg ctg 1
H ctg2 ctg2 1
H ctg4 ctg2
H csc2 ctg2
H1
RPTA.: A
30. Si: csc x 2 10
Calcule el valor de tgx sec x
5 10 14
A)
9
5 10 14
B)
9
5 5 14
C)
9
5 5 14
D)
9
5 2 14
E)
9
RESOLUCIÓN
sen x 1
E tg x sec x
cos x cos x
sen x sen x
E
cos x 1 sen2 x
2
Página 8