1. SEMANA 4
DIVISIBILIDAD
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN I
RESOLUCIÓN
En la base a la identidad:
( x − y + z ) ( x + y − z ) + mx yz ≡
2
1.
¿Cuál
será
aquel
polinomio
cuadrático de coeficiente principal
4, capaz de ser divisible por
(2x + 1) y que al ser evaluado en
(2) toma el valor de 5?
2
A) 4x + 4x − 3
2
B) 4x − 4x + 3
2
2
2
2
2
2
( x + y + z )q'( x,y,z )
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:
(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0
-8=2m→m=-4
RPTA.: E
3.
2
C) 4x − 4x − 3
2
D) 4x − 4x − 2
2
E) 4x − 4x + 2
Busque la relación que debe
existir entre “p” y“q” a fin de que
el polinomio:
P( x ) = x3 − 3px + 2q
2
Resulte ser divisible por ( x + a)
RESOLUCIÓN
Sea este Polinomio
P( x ) = 4x2 + ax + b :
A) P 3 = q2
B) P 2 = q3
C) P = q
D) P.q = 1 E) P = −q2
Por condición:
4x2 + ax + b ≡ ( 2x + 1) .q'( x ) →
RESOLUCIÓN
2
Aplicando dos veces ruffini bajo el
principio de divisibilidad.
 −1 
 −1 
4
÷ + a 2 ÷ + b = 0
 2 


-a+2b=-2.............................(1)
Además:
4x2 + ax + b ≡ (x − 2)q''( x ) + 5
→
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
2a+b = − 11 .........................(2)
De: 2(1)+(2)
: 5b=-15→b=-3
Si: 3a2 − 3P = 0
3
a2 = P → (a2 ) = P3
Reemplazando en: R1 = 0 ⇒
En (2):2a=-8→a=-4
2
Conclusión: P( x ) = 4x − 4x − 3
3a3 + 2q − a3 = 0 → a3 = −q
RPTA.: C
(a )
3 2
2.
¿Para qué
polinomio:
(x
2
− y2 + z2
valor
) (x
2
de
“m”
el
= ( − q)
2
Conclusión: P3 = q2.
)
RPTA.: A
+ y2 + −z2 + mx2 yz
es divisible por (x+y+z)?
A) 4
D) -8
B) 2
E) -4
C) 1
4.
Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :

2. P( x ) = a + c + (b + c)x + ( a + b ) x 2 − 6x 3 − 2x 4 es
(
RESOLUCIÓN
)
divisible por ( x − 3) x − 1
A) -2
40
D) -1360
2
B) -34
Al ser divisible indistintamente lo
será también por el producto es
decir:
P( x ) ≡ (x − a)(x − b)(x − c) q(x)
C)
E) 2720
x3 − 6x2 + 11x − 6 3er grado
(monico)
RESOLUCIÓN
Por Teorema de divisibilidad
P( x ) ≡ ( x − 1) q'( x ) → R1 = 0
Uno
x3 − 6x2 + 11x − 6 ≡
x3 − ( a + b + c ) x2 + ( ab + bc + ca) x − abc
De donde:
a+b +c =6
ab +bc + cd= 11
abc= 6
P( x ) ≡ ( x + 1) q' '( x ) → R 2 = 0
P( x ) ≡ ( x − 3) q' ' '( x ) → R 3 = 0
Empleando Ruffini ( tres veces)
Se pide:
P( x )
1
1 
 1
x−
+
+
÷
 ab bc ca 
=
P( x )
c + a+ b
x−
÷
 abc 
=
P( x )
x −1
Evaluando en x=1: R = P( 1) = 0
RPTA.: A
6.
Si: a+b+c-4=0→a+b+c=4
b+c-6=0→ b+c=6
a+b-38=0→a+b=38
en (1) c=-34
en (2) b=40
Luego: abc=2720.
(a
A)
B)1
D) −1
B)
a40 − 1
a5 + 1
Por principio teórico de signo y
variación de exponente de 5 en 5,
es la B.
RPTA.: B
¿Cuál será el residuo de:
A) 0
C) ab + bc + ca
D) ab + cb + ca
a36 − 1
a +1
RESOLUCIÓN
por: (x-a), (x-b) y (x-c)
indistintamente.
x − a−1b −1 − b −1c −1 − c −1 a−1
)
a40 − 1
C) 5
a +1
Si el Polinomio:
P( x ) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6; es divisible
P( x )
− a30 + a25 − ... + a5 − 1 .
35
RPTA.: E
5.
¿Cuál será aquella división notable
que
genere
al
cociente
7.
?
Encuentre
( 10
9
)
el
valor
− 1 ÷ ( 999 )
A) 1000001
C) 1001001
E) 1
B) 1010101
D) 0
de:

3. RESOLUCIÓN
T10 = xα−10
xα−10 .x α−50 .x α−100 = x236
Acondicionando el divisor:
( )
3 3
T50 = x α−50
( ) ( )
2
1
109 − 1 10 − 1
=
= 103 + 103 + 1
3
3
10 − 1
10 − 1
T100 = xα−100 x3α−160 = x236
= 1001001
RPTA.: C
8.
De donde:
Luego: # términos=132+1=133
Sabiendo que el cociente de la
división
x 30 − y m
; consta de 10
xn + y2
términos.
3α − 160 = 236
3α = 396
α = 132
RPTA.: B
10.
x P − y 432
Si la división indicada:
x3 − yP
Determine el valor de: mn
genera
un
cociente
notable.
Averigüe al término antepenúltimo
A) 60
D) 600
A) x 2 y 9
6 324
B) x y
36 360
C) x y
D) 0
B) 8000
E) 8
C) 320
6
E) x y
RESOLUCIÓN
Por condición:
30 m
=
= 10
n
2
RESOLUCIÓN
n=3
Si la división indicada es notable,
debe cumplir que:
P 432
=
3
P
P2 = 3.432
m=20
Luego: 20³ = 8000
RPTA.: B
9.
P2 = 3.33.24 → P = 32.22 = 36
Se desea conocer de cuántos
términos
está
constituido
el
Luego:
x −1
cociente de :
sabiendo que
x −1
( T10 )( T50 )( T100 ) = x 236
B) 133
E) 131
C) 132
1
( )
−(y )
− y36
36
12
=
1
antepenúltimo
( )
Tantep = T10 = x3
α
x −1
= x α−1 + x α−2 + x α−3 + ...x α−k + ... + 1
x −1
T3
12
T1 + T2 + ... + T10 + T11 + T12
RESOLUCIÓN
T2
( )
( )
x3
x36 − y 432
=
x3 − y36
x3
α
A) 396
D) 236
314
Tk
12 −10
(y )
36
10 −1
= x6 y324
RPTA.: B
11.
Después de dividir el cociente de
x 6n+1 − 1
; n ∈ N . Entre ( x + 1); se
x −1

4. Q( a,b ) = (1 + b + c + bc ) + a(1 + b + c + bc )
obtiene un nuevo cociente que al
ser
dividido
por
(x
2
)
+ x+1
Extrayendo factor común
Q( a,b ) = (1 + b + c + bc ) [1 + a]
obtendremos como residuo.
A) 0
D) x-1
B) -x
E) 1
Q( a,b ) = { (1 + b ) + c(1 + b )}(1 + a)
Q( a,b ) = ( 1 + c ) g( 1 + b ) ( 1 + a)
C) x+1
Constante
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
Efectuando la división notable
x6n − 1
= x6n−1 + x6n−2 + x6n−3 + x2 + x + 1
x −1
Luego en:
x6n−1 + x6n−2 + x6n−3 + ... + x2 + x + 1
x +1
Aplicando Ruffini
13.
¿Cuántos
factores
primos
binómicos admite el polinomio;
P( x ) = X n+2 − x n + x 3 + x 2 − x − 1; n ∈ N.
A) 1
D) n
B) 2
C) 3
E) ninguno
RESOLUCIÓN
Asociando de 2 en 2:
P( x ) = x n .x 2 − x n + x 3 + x 2 − x − 1
Existen “6n” términos
P( x ) = xn (x2 − 1) + x(x2 − 1) + (x2 − 1)
…
…......
….....
[
]
P( x ) = (x2 − 1) xn + x + 1
(
P( x ) = (x + 1)(x − 1) xn + x + 1
Existen “6n-1” términos
q( x ) = x6n−2 + x6n− 4 + x6n−6 + ... + x4 + x2 + 1
Finalmente en:
(
q( x ) ÷ x2 + x + 1
RPTA.: B
14.
)
Según el teorema del residuo
2
Si: x + x + 1 < >→ x = ω
Que al evaluarlo en este valor
R = q( ω) = ω + ω2 + 1 = 0
Asociando convenientemente
a2 − b2 − c2 + d2 − 2ad + 2bc a =
(a
Factor Primo de:
Q ( a,b ) = 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
2
RESOLUCIÓN
Asociando:
) (
)
− 2ad + d2 − b2 − 2bc + c2 =
( a − d) − ( b − c ) =
( a − d + b − c ) a − d − b + c 


2
será:
B) 1+b
E) 1+abc
B) a+b-c+d
D) a+b+c-d
RESOLUCIÓN
RPTA.: A
A) 1+c
D) 1+bc
Uno de los divisores de:
a2 − b 2 − c 2 + d2 − 2( ad − bc ) Será:
A) a-b+c-d
C) a-b-c + d
E) a-b-c-d
Cero
12.
)
C) 1+ab
2
RPTA.: A
15.
¿Cuál será el divisor trinomio del
polinomio en variables: m,n,p.
m3 ( n − P ) + n3 ( P − m) + P3 ( m − n) ?

5. 17.
A) m-n-P
C) m-n+P
E) mn+nP+Pn
B) m+n-P
D) m+n+P
RESOLUCIÓN
3
R ( a) = a3 + b3 + ( − 3) − 3ab( − 3)
Corresponde
a
la
identidad
Gaussiana, que proviene de:
(n-P) m + n P + nP − mn² − mnP − mP  =


[ (
2
]
)
(n-P) m m2 − n2 − nP( m − n) − P2 ( m − n) =
(m+n)(m-n)
[
)]
(
(n − P) ( m − n) m2 + mn − nP − P2 =
(n − P)( m − n) [ ( m + P )( m − P) + n(m …P ) ] =
−
…
(n − P)(m − n)(m − P )[m + n + P ]
16.
{
2
[
]
= ( a + b + c ) a + b + 9 − ab + 3( a + b)
RPTA.: D
18.
2
2
Cuántos divisores
Polinomio:
(
admitirá
el
)
P( x;y ) = a2bx4 − b3 − a3 x 2y4 − ab2y8
RPTA.: D
A) 8
D) 4
M( x, y ) = ( x + y ) + 3xy(1 − x − y ) − 1 S
3
erá divisible por:
B) 7
E) 3
C) 15
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:
A) x + xy + y + x + y + 1
2
B) x + xy + y + x − y + 1
2
(
2
)
P( x, y ) = a2bx4 − b3 − a3 x 2.y4 − ab2y8
C) x 2 + xy + y 2 + x + y + 1
ax
2
RESOLUCIÓN
ay4
(
)[
P( x,y ) = a2x2 − b2y4 bx 2 + ay4
M( x, y ) = ( x + y ) − 1 − 3xy( x + y − 1)
3
(
)[
)(
P( x, y ) = ax + by2 ax − by2 bx2 + ay4
Diferencia de cubos
2
M ( x, y ) = ( x + y − 1)  ( x + y ) + ( x + y ) + 1 


-3xy(x+y-1)
RPTA.: C
− b2y4
2
bx 2
Asociando convenientemente
Extrayendo el factor común
M ( x, y ) = ( x + y − 1)  x2 − xy + y 2 + x + y + 1 


}
= [ a + b + ( − 3) ] a2 + b 2 + ( − 3) − ab − a( − 3) − ( − 3)b
El Polinomio:
2
de:
2
2
E) a + b + ab − 3( a + b) + 9
(n + P…...... ) …......) (n2 + np + P2 )
)(n − P (n − P
2
racional
3
A) a+b+3
B) a-b+3
C) ab-3(a+b)
2
2
D) a + b − ab + 3( a + b ) + 9
)
2
primo
R ( a) = a + b + 9ab − 27 ; será:
Mediante la distribución en el
segundo y tercer término:
m3 (n − P ) + n3P − n3m + P3m − P3n =
Asociando:
3
m (n − P ) + nP n2 − p2 − m(n3 − p3 ) =
…......
3
factor
3
RESOLUCIÓN
(
Un
]
]
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: A
19.
Halle la suma de los elementos de
aquellos Polinomios irreductibles
que se desprenden de:
(
)
(
Q ( x, y, z ) = z4 − 2 x 2y 2 z2 + x 2 − y 2
)
2

6. A) 4x
D) 2(x-y)
B) 4y
E) 2(x+y)
C) 4z
RESOLUCIÓN
Mediante un aspa simple
(
)
(
Q = z4 − 2 x 2 + y 2 z 2 + x 2 − y 2
z2
2
− (x + y)
2
− (x + y)
z2
[
)
]{
Q = z2 − ( x + y ) z2 − ( x − y )
2
2
2
}
Q( x,y,z ) = ( z + x + y )( z − x − y )( z + x − y )( z − x + y )
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C
20.
Un divisor del Polinomio:
P( x,y ) = 2x ( 2x + 7y ) − 3y(5y + 12) + 48x
será:
A) 3x-4y
D) 2x-3x
B) 4x-3y
C)2x-3y
E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN
Buscando la forma de un aspa
doble:
P( x, y ) = 8x 2 + 14xy − 15y2 + 48x − 36y + 0
4x
0
2x
-3y
5y
12
P( x, y ) = (4x − 3y )[2x + 5y + 12]
RPTA.: B

7. A) 4x
D) 2(x-y)
B) 4y
E) 2(x+y)
C) 4z
RESOLUCIÓN
Mediante un aspa simple
(
)
(
Q = z4 − 2 x 2 + y 2 z 2 + x 2 − y 2
z2
2
− (x + y)
2
− (x + y)
z2
[
)
]{
Q = z2 − ( x + y ) z2 − ( x − y )
2
2
2
}
Q( x,y,z ) = ( z + x + y )( z − x − y )( z + x − y )( z − x + y )
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C
20.
Un divisor del Polinomio:
P( x,y ) = 2x ( 2x + 7y ) − 3y(5y + 12) + 48x
será:
A) 3x-4y
D) 2x-3x
B) 4x-3y
C)2x-3y
E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN
Buscando la forma de un aspa
doble:
P( x, y ) = 8x 2 + 14xy − 15y2 + 48x − 36y + 0
4x
0
2x
-3y
5y
12
P( x, y ) = (4x − 3y )[2x + 5y + 12]
RPTA.: B