UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA                                                   y                     Se define:         ...
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                           ...
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Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                           ...
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  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define: CEPUNS P(x ;y ) o o yo y x Sen   o Cot  o r yo r x Ciclo 2013-I Cos  o r Sec   r xo  y Tan   o r Csc  TRIGONOMETRÍA xo x xo yo “F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04Definiciones Previas: y Se defin P(x ;y ) o o yo Sen  I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALLlamado también en posición canónica o estándar. rEs aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide Cos con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en xo x Tan  uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éstepertenece a tal cuadrante. y Se define: P(x ;y )Del gráfico: o o y x y yo Sen   o Cot  o r yo r xo Cos  r Sec   r xoLado Fina l  yo Tan   r x (+ ) x Csc   o xo yo Vértice x Lado Inicial r  x2  y2 * o o*  : es un ángulo en posición normal * α´: se denomina ángulo de referencia*   IIC ;   0 Signos de las R.T. en los cuiadrantes y Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro adjunto Vértice Lado Inicial x  (-)Lado Final* β : Es un ángulo en posición normal*   IIIC ;   0Definición de las Razones Trigonométricas:Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en Propiedad:posición normal, tomaremos un punto perteneciente Si  es un ángulo en posición normal positivo ya su lado final. menor que una vuelta entonces se cumple: Si   I  0 <  < 90º Si   II  90º<  <180º 1Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  2. 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. Si   III  180º <  < 270º i) ii) Si   IV  270º <  < 360º Lado inicial Ángulos Cuadrantales Lado Son ángulos en posición normal, cuyo lado final final coincide con cualquiera de los semiejes del  sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no Vértice pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son  P(x ;x o ángulos frontera. y i) ii) Lado inicial Lado  final  x Vértice Forma General  P(x ;x ) o o < Cuadrantal = 90º.k ; k  Z Se tiene que: También * α y  : son coterminales * Ф y β: son coterminales (están en P. N.) <Cuadrantal = k ;k Z 2 Propiedades: Observación: para determinar si un ángulo es cuadrantal, se divide entre 90º ó  rad . según Si α y  son coterminales se cumple que: 2 I. II. corresponda; si el resultado de la división es un  -  = 360º n ; n Z numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.I. II. Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales  -  = 360º n ; n Z R.T. () = R.T.() 0º 90º 180º 270º 360º SEN 0 1 0 -1 0 Observacion: en forma practica para determinar COS 1 0 -1 0 1 si dos angulos son coterminales: TAN 0 ND 0 ND 0 Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o 2rad. y si el resultado es un numero entero , COT ND 0 ND 0 ND entonces los angulos son coterminales. SEC 1 ND -1 ND 1 CSC ND 1 ND -1 ND R.T. de Ángulos Negativos: Nota: N.D. no definido Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos   Ángulos Coterminales: Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg  Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc  Ejemplo: 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  3. 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.¡Muy importante! Y Q (–b;a ) P (a ;b) X R(–a ; –b) M(b;–a ) a) – 49 b) -9 c) 1 d) 9 e) 49PROBLEMA DE CLASE 5) De la figura mostrada, calcular: F= 3sec2 - tg1) Si: cos2   1 ,   IV C 16 Calcule: sec   csc  M 1  ctg  a) 15 b) 1 c)  15 d) 1 e) 4  4 4 4 42) De la figura mostrada, determine: M  tan   tan  a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 a) 1 (-3;2) y 3 6) Las medidas de dos ángulos coterminales son  proporcionales a los número 5 y 2. Además la b) 2 3 medida del mayor ellos está comprendida  entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas c) 1 x de dichos ángulos. d) 2 e) 3 a) 1880º b) 1860º c) 1680º d) 1660º e) 1200º3) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) . 7) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular el Calcular ctg valor de: E = tg.tg a) - 4/3 b) - ¾ c) - 1/7 d) -7 e)  5 2 2 2 2 a)-1 b)   b  c)  a  d) 1 e)  b        a  b  a 4) De la figura mostrada calcular: 9tg E  8) Sabiendo que cos = 1 , 270º <  < 360º , tg 4 3Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  4. 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. entonces el valor de la expresión Sec   Csc , es: 1  Ctg a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50 2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III9) En la figura mostrada “ O” es el centro de la circunferencia y además: OA  AB  BC , determine: M  cot   10tg y a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4 a) -1 EXAMEN PREFERENTE 2012 - I b) 0 c) 1 14) Determinar el signo en cada cuadrante de:  2 A 1  cos  x E   sen d) 2 C B o sen . cos  e) 3  a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++ 15) El producto de cinco razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo10) Si cos   0, 63 ,   III C . cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y coseno. Calcular Sen2 a) 0,5850 b) 0,5950 c) 0,6061 a) 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 1 e)  3 5  d) 0,6062 e) 0,6350 5 5 2 2 5 EXAMEN PREFERENTE 2010 cos 11) Si ctg = -4 ,  IV C. calcular : 16) Si: 6 4 sen2   4 sen  R  cos   13sen 2 Además   IV cuadrante. 17 Halle: A  sec   1 tg  a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2 8 2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17) Si: 1 sen   ; tg   012) Si: Csc  Csc 2 Tg    Tg Halle: H  csc   3 ctg  Simplificar: 4Cos   Cos  a) 1 b) 5 c) 4 d) -1 e) 3 E   Sen  Ctg  2Ctg a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1 18) Indicar el signo de cada expresión: I. Sen200ºTan240º II. Cos120ºTan100º13) Del grafico siguiente; hallar tg  + tg  III. Sen150ºCos340º a) +, +, + b) -, -, - c) -, +, + d) +, -, - e) +, -, + 19) Si los puntos P (m, n + 1) y Q (n, m + 1) pertenecen al lado final de un ángulo “  ” en posición normal: Además: n = 2m. Calcular: 4Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  5. 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. V  ctg   csc2   sen  cos  ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 90° y 180°. a) 1 b) -1 c) 2 d)  2 e) -2 a) 858° b) 825° c) 880° d) 902° e) 935° 2 2 2 6) “C” es el radio vector de un punto P(a;b), talPROBLEMA DE REPASO que: asen  b cos  C1) Si: ABCD es un cuadrado, del gráfico, calcule: Si “” es la medida de un ángulo en posición  ctg  AD  OB  y normal. Hallar en función de a, b y c. B C T  Tan  Cot a) 2 a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 2 b) 1 7) Si:  3 Tg   x   c) 1   17  4 2 o x Calcular el valor de:  19  Ctg  x  d) 2  1  34  e) 2  1 A D a) 3 b)  3 c)  4 d) 4 e)  1 4 4 3 3 22) En la figura AOB es un cuarto de circunferencia. 8) El lado final de un ángulo en posición normal, cuya medida es  pasa por el punto (3,-7). Halle: " tg  " y Calcular: E  58  cos   sen  a) 1 A a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 b) 7 24 9) Si  es la medida de un ángulo en posición c)  7 normal, además: 24 2 sen  sen  0 ; tg tg  0 ; cos    0 d) 24 53º x 3 7 B o Calcular: F  5.ctg  Sec   e)  24 a) -1 b) -2 c) -½ d) ½ e) 1 7 10) De la figura mostrada, obtener el valor de:3) Simplificar: E  Tan  Tan 2 3   2 5 (a  b) Sen    (a  b) Cos  L 2 aSen 3   bCos 2  2 2 a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a e) - 4b4) Si el lado final de un ángulo canónico "" pasa por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m-n), 2 2 Calcular: K  Cot   Tan  a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 a) 12 b) 25 c) 7 d)  7 e)  255) Dos ángulos coterminales son entre sí como 2 25 12 12 12 12 es a 11. Calcular la medida del mayor de dichos 5Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  6. 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.11) Si: 1  1 4  1 2   sen ; 3    2    Cos  2    cos   2 2      Calcular: F  16ctg  cos   a)  73 7 b)  67 7 c)  61 7 d)  54 7 e)  27 712) Si  es la medida de un ángulo en posición normal, además; Cos = 0,25; 270º < < a) – 5/2 b) – 3/2 c) -1 d) ½ e) 3/2 360º, Calcular Sec   Csc 16) Para dos ángulos coterminales se cumple que F  1  Ctg dos veces el menor es a la suma de ellos como a)  2 15 b) -4 c) 2 d) 4 e) 5 15 13 es a 23. Hallar la medida del menor si se sabe que está comprendida entre 400° y 500°.13) De la figura mostrada, calcular: F= Ctg.ctg a) 405° b)420° c)468° d)434° e) 476° 17) La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el mayor está comprendido entre 500° y 800°. a) -80° b)-100° c) -90° d) 270° e)720 18) Se tiene un ángulo“  ” en posición normal que verifica las siguientes condiciones: a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -6 i) cos    cos  ii) tg   tg 14) De la figura mostrada, simplifique:    iii) sen   5 M  sen   . cos(  ).Ctg ( )  2  3 Determine el valor de: M  5.csc   9 cos  a) -11 b) -10 c) -9 d) -8 e) -6 19) Si el punto (2m;-3m) pertenece al lado final de un ángulo “” en posición normal. Calcule :    13 sen2  cos2 ;m  0  a) 2.sen b) 2.Cos  c) 2 .sen  a) -5 b) 5 c) 1 d) 1 e) 0 2  5 5 d) 2 e) 2Tg . .Cos  20) Si: 1 2 sen   ; tg   0 215) De la figura mostrada; calcular: F = Sec.Csc Halle: H  csc   3 ctg  a) 1 b) 5 c) 4 d) -1 e) 3 6Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

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