El documento presenta varios problemas de trigonometría relacionados con sectores circulares. 1) Calcula la longitud de un arco de 1° en un círculo de radio 1800 cm. 2) Determina x en sectores circulares concéntricos si el área S = 8L2. 3) Calcula el área de un sector dado su ángulo central y el área de otro sector.

1. Trigonometría
SEMANA 2 1
3L  x  2L   8 L²
LONGITUD DE ARCO 2
3L  x  8 L
1. Calcule la longitud de un arco en x  5L
un sector circular cuyo ángulo RPTA.: C
central mide 1º y su radio mide
1800 cm.
3. Si: AB + CD = 26. Halle el área
del sector circular EOF.
  
A) m B) m C) m
2 5 8 A
4
  A) 1
D) m E) m C
10 20
B) 2
RESOLUCIÓN 2 4 E 4
o
C) 3 
D
18
D) 4
L F
1º
E) 6 B
Si: RESOLUCIÓN A
 4
1º  rad ; 1800 cm = 18 m C
180 8
Se pide: o
2 4 E 4
 
D
L x 18
180
 F
L m
10 B
RPTA.: D
AB  CD  26
2. Se muestra sectores circulares
concéntricos, donde S representa 12 3   8 2   26
área, obtener x. si S = 8L² 52  26
2L 1
A) 2 L 
2
B) 4 L
S x R 2 1  1 
C) 5 L 3L SEOF      4 ²
2 2 2
D) 6 L
SEOF  4
E) 8 L RPTA.: D
RESOLUCIÓN 4. Una regadera instalada en un
S = 8 L² parque, tiene un alcance de 8 m y
barre un ángulo de 120g. Calcule
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2. Trigonometría
el área del sector circular que Se pide:
genera esta regadera. 
R
V 3
A) 19,2  m² B) 17,6  m² 
C) 18,9  m² D) 12,6  m² R
9
E) 14,4  m² V=3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
6. Si a un sector circular le
cuadruplicamos su ángulo central
y aumentamos 5 m a su radio,
S se obtendrá un nuevo sector
8 circular que tiene un área que es
120 g 49 veces el área del sector
circular inicial. Determine el radio
8
del nuevo sector.
3 A) 2 m B) 3 m C) 5 m
Si: 120g = rad
5 D) 7 m E) 9 m
Se pide:
S
1 3
8² RESOLUCIÓN
2 5 Inicialmente:
S = 19,2  m²
RPTA.: A
rad S R²
S
5. Si CAE es un sector circular y 2
ED
AB  BC. Halle : V  Finalmente:
DC
A R + 5m= ?
A) 2
E
B) 3
4 rad 49 S
C) 4 B 20º
D) 5
E) 6  4  R  5 ²
D 49 S 
C 2

RESOLUCIÓN
 R² 4 R  5  ²
A
49 
R 2 2
E 60º
20º
B 20º R 7R  2 R  5 
80º
R  2m
80º
D
C R  5m  7m
RPTA.: D
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3. Trigonometría
RESOLUCIÓN
x²
7. Halle el área sombreada:
5
A x (x + 1)
A)  C  x (x - 1)
B) 2 
C) 3  o 30º 6
D) 4  x  x  1
5  x  x  1    .........(1)
5
E) 5  D
B Luego :
 x  1
RESOLUCIÓN x  x  1   x²  5  x   
 5 
A 5(x+1) = (x²+5)(x1)
a C 5x + 5 = x³  x² + 5x  5
10 = x³  x²
 E = x³  x²  1
o 30º 6 E=9
RPTA.: E
b
D
B 9. En la figura, el trapecio circular
ABCD y el sector circular COD
Sx = SAOB  SCOD
m
  tienen igual área. Halle:
Sx  a²  b² n
2 2

Sx  a²  b² 2 A
2 
A) D
2
1
Sx    6²
2 6  1
B) m n
36 2 o
Sx 
12 C) 2
Sx  3 C
RPTA.: C D) 2 B
E) 1
8. Calcule: E = x³  x²  1, si:
A
x² RESOLUCIÓN
C
5
x (x + 1)
o x (x - 1)
rad S n
D
m S
B
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
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4. Trigonometría
m² 
menor : S 
2   (2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²)

  4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
 
 4R²  4R.L +L² = 0
n² 
mayor : 2S    (2RL)² = 0  2R  L = 0
2 
  2R = L  2R =  R   = 2
1 m²

2 n² RPTA.: B
1 m m 2
   11. De la figura mostrada, AOF,
2 n n 2
BOE y COD son sectores
circulares, además:
RPTA.: A
BC = DE = a, AB = EF = 2a,
10. Se tiene un sector circular y un
LCD  x, LBE  y, L AF  Z
cuadrado, con equivalente área e
igual perímetro; luego la medida,
en radianes, de su ángulo central Calcule: M = (2x + z) y1
correspondiente resulta ser: A
A) 1 B
1 B) 2 C
A) 1 rad B) 2 rad C) rad
2
1 C) 3 o
D) 4 rad E) rad
4 D) 4 D
E) 5 E
RESOLUCIÓN F
R RESOLUCIÓN
A
2a
 rad B
S L C
a
R o  x y z
Condiciones: D
a
LR E
i) S =S   a² 2a
2 F
 R.L = 2a² De la figura:
ii) Perímetro = Perímetro yx zy
 
a 2a
 2R + L = 4a
 2y  2x = z  y
a
 3y = 2x + z
Luego:
a S a M = (3y) . y1
M=3
RPTA.: C
a
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5. Trigonometría
S2  S3 12 11
12. Calcule: M  A) mts B) mts
S1 5 5
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de 5 12
C) mts D) mts
las regiones sombreadas 12 7
5
E) mts
11

S2 RESOLUCIÓN
2 1 1
S1 S= L R  7,2  L(6)
S3 2 2
24
144
  L(6)
12 13 1 10
A) B) C)
7 2 12
D) 5 + 2 E) 5  2 12
L  mts
5
RESOLUCIÓN RPTA.: A
14. Se tiene una bicicleta cuyas
ruedas tienen por radios R1 y R2
(R1 < R2); cuando la rueda menor
S2 = 3S
 gira º la mayor gira g. ¿En qué
2  S1 = 2S relación se encuentra los radios?
6S
S3. = 10S
3 8 9
A) B) C)
7 13 10
3 9
S1 = 2S D) E)
10 4
S2 = 3S
S3 = 10S
RESOLUCIÓN
Si 1 y 2 son los ángulos que
S2  S3 13
M  giran la rueda menor y mayor
S1 2 respectivamente.
RPTA.: B
13. Dos postulantes de la UNAC,
observan un reloj eléctrico cuyas
g
agujas están detenidas, luego de
º
la falla eléctrica en el Callao, uno R2
de los estudiantes dice que el R1
área que hacen las agujas es
de 7,2 m² y si el reloj tiene un
radio de 6 m. ¿Cuál será el arco En una bicicleta se cumple que:
entre las agujas? 1 R1 = 2 R2
22 ºR1 = (g)R2
Considere  
7
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6. Trigonometría
16. En el sistema mostrado, si la
 9  3
ºR1   º    R2 rueda A da de vuelta, entonces
 10  4
R1 9 la longitud recorrida por la rueda

R 2 10 C es:
RPTA.: C
15. Se tienen dos ruedas conectadas B
por una faja; si hacemos girar la
faja, se observa que las ruedas
giran ángulos que suman 144º. 2 6
8
Determine la diferencia de los
números de vueltas que dan estas A
C
ruedas si sus radios miden 3 m y
5m
A) 3,6  B) 36  C) 1,8 
1 1 1
A) B) C) 9
3 8 9 D) 18  E)
4
1 1
D) E)
4 10
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN A
B
1 + 2 = 144º
2
8 6
5
3 C
3
# VA  V
4
 L1 = L2  1 R1 = 2 R2
3 3
1 R2 V 5  A  2 rad  rad
  1  4 2
2 R1 V2 3
* A  B:
1  144 1 LA = LB
 2 
2 2 180 2 A RA = B RB
2 2  3 
 2   6   B 2 
V1  V2   8k   V1  V2  2k
5 5  
1 1 9
k V1  V2  2 B 
20 20 2
1

10 * B  C:
9
RPTA.: E B = C =
2
9
 L C  CRC  8  36
2
RPTA.: B
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7. Trigonometría
17. Determine el área de la región 18. Del gráfico, halle el número de
sombreada, sabiendo que las vueltas que dará una ruedita de
áreas de los sectores AOB y COD radio 1, al ir de A hasta B si
son iguales ( y  en radianes) CB = 8 y AOC es un sector
circular.
o
 
R
A
B
D
A) 2 B) 3 C) 4
M
D) 5 E) 6
C
RESOLUCIÓN
1 1
A) R²      B) R²      A o
2 2
1 1 4
C) R²  ²  ² D) R²  ²   
2 2 L1 L2
1
E) R²    ²
2 C B
8
RESOLUCIÓN
L1 + L2 = 2 (1) . N

1 2 4  8  2 N
 
S  r1 2
2
10  2 N
r1
R2  r1  R 2
2
2
N5
1
S S S R² RPTA.: D
2
19. Halle el número de vueltas que da
SX la rueda de radio (r = 1) al ir de la
posición A hasta la posición B.
S + Sx = S T
Sx = ST  S
1 1 2
Sx  R²  r1 Re emplazando 20
2 2
1 1
Sx  R²  R² o
2 2 r
1 A r
Sx  R²     
o B
2
RPTA.: A
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8. Trigonometría
A) 85 B) 9 C) 10 RESOLUCIÓN
D) 10,5 E) 11 
L AB = 240º 18u  24
180
RESOLUCIÓN
RECORRIDA B
#V 
2 r
r
Sabemos: r = () (21) = 21
21  A
 # vueltas =
2  1
L
r
#v = 10,5
0
24
RPTA.: D
20. De la figura mostrada, la rueda de B
radio r, gira sin resbalar sobre la
superficie de radio 240 r. ¿Cuál es De la figura:
la longitud recorrida por el centro L 24
de la rueda hasta que el punto B 
241r 240 r
este en contacto con la superficie
de la curva, si: m AOB = 120º, L = 24,1 
r = 18u? RPTA.: B
B 21. Sobre una superficie curva de
r radio “R” gira una rueda cuyo
radio es “r” (ver figura). Si dicha
A rueda da una vuelta al ir de “M” a
“N”. Calcule la longitud del arco
MN. ( O y O son centros).
B r
N
o
240 r A
M
R
A) 24  B) 24,1 C) 24,2
D) 24,3 E) 24,4 O
R r Rr
A) B)
Rr R r
2Rr
C) 2Rr R  r  D)
R r
R r
E)
2Rr
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9. Trigonometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
Espacio recorrido por el móvil A
será PR y del móvil B es el arco
QR .
eA = VAtA y eB = VBtB
Pero ambos parten al mismo
tiempo tA = tB
P
r
R 

2

r r Q
Del gráfico: r
L  R  r 
i) n 1
2r 2r
2r eA V 3
=   A   7eA  3eB
R r eB VB 7
ii)  R
MN
 
2Rr eA  LPR      r y eB  L QR       r
  2 
MN
R r
Reemplazando:
RPTA.: D
 
22. Dos móviles A y B parten al 7     r  3   r
mismo tiempo y en las direcciones 2 
indicadas en la figura de los 7 
 7  3  3  10 
puntos P y Q respectivamente, si 2 2
la velocidad de A es a la velocidad 
de B como 3 es a 7. Calcule  rad
20
cuando mide “” si se encuentran
por 1era. vez en el punto R.
RPTA.: D
 P
A) rad
5
 R
B) rad
4


C) rad Q
10

D) rad
20
7
E) rad
10
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