1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-III
TRIGONOMETRÍA
“TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS ’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez
IDENTIDADES PARA AL SUMA Y
PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS.
Caso I:
Para la suma o diferencia de dos senos o
cosenos a producto.
SenA + SenB = 2Sen (
A + B
2
) Cos (
A − B
2
)
SenA − SenB = 2Cos (
A + B
2
) Sen (
A − B
2
)
CosA + CosB = 2Cos (
A + B
2
) Cos (
A − B
2
)
CosA − CosB = −2Sen (
A + B
2
) Sen (
A − B
2
)
Demostración:
Conocemos:
{
Sen(x + y) = SenxCosy + CosxSeny
Sen(x − y) = SenxCosy − CosxSeny
Cos(x + y) = CosxCosy − SenxSeny
Cos(x − y) = CosxCosy + SenxSeny
Si sumamos (1) + (2) obtenemos:
Sen(x + y) + Sen(x − y) = 2SenxCosy (∗)
Hacemos un cambio de variable:
Sea
x + y = A
x − y = B
}
Obtenemos:
x =
A + B
2
∧ y =
A − B
2
Luego de (∗):
SenA + SenB = 2Sen (
A + B
2
) Cos (
A − B
2
)
Las restantes identidades pueden
verificarse en forma analoga.
APLICACIÓN 1
1. Simplificar la expresión:
E =
Cos2x + Cos4x + Cos6x
Sen2x + Sen4x + Sen6x
a) Cosx b) Tanx c) -1
d) Cot4x e) Sen6x
2. Calcular el valor de:
E = [Sen38° + Sen22°]Sec8°
a) 1 b) 1/2 c) -1
d) 2 e) 0
3. Simplificar la expresión:
E =
Sen(3x + y) + Sen(x + 3y)
Sen2x + Sen2y
. Sec(x + y)
a) 3 b) 2 c) 4
d) 1 e) 0
4. Simplificar la siguiente expresión:
Sen10°
Cos20°
+
Cos40°
Sen70°
a) -1 b) 1 c) -2
d) ½ e) - ½
Caso II:
Para el producto de dos términos, Senos
y/o Cosenos a suma o diferencia.
Siendo x > y.
2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x − y)
2SenyCosx = Sen(x + y) − Sen(x − y)
2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x − y)
−2SenxSeny = Cos(x + y) − Cos(x − y)
APLICACIÓN 2
5. Simplificar la expresión:
Semana Nº 11
2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
2
E = Sen6x. Sen4x − Sen15x. Sen13x
+ Sen19x. Sen9x
a) 0 b) -1 c) -2
d) 1 e) 0
6. Simplificar la expresión:
E =
Sen50° − 2Cos40°. Sen10°
Cos80° + 2Sen70°. Sen10°
a) -1 b) 0 c) 1
d) ½ e) -2
NOTA:
Sen2
x − Sen2
y = Sen(x + y). Sen(x − y)
Cos2
x − Sen2
y = Cos(x + y). Cos(x − y)
APLICACIÓN 3
7. Simplificar la expresion:
E = Cos(A + B). Cos(A − B) + Sen2
A
a) Cos2
B b) -1 c) Sen2
B
d) 1 e) 0
SUMA DE SERIES TRIGONOMÉTRICAS
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos
ángulos están en progresión aritmética.
∑ Sen(x + (k − 1)r) =
Sen (
nr
2
)
Sen (
r
2
)
. Sen (
P + U
2
)
n
k=1
∑ Cos(x + (k − 1)r) =
Sen (
nr
2
)
Sen (
r
2
)
. Cos (
P + U
2
)
n
k=1
n=# de términos.
r= razón de P.A
P=primer ángulo
U=último ángulo
PROBLEMAS PROPUESTOS
CEPUNS 2010 II - TECER EXAMEN SUMATIVO
8. La expresion:
Senα + Sen3α
Sen2α + Sen4α
es equivalente a:
a) Cos2α/Sen3α b) Sen2α/Sen3α
c) Sen4α/Sen6α d) 1
e) Sen6α/Sen4α
9. Si Sen64° = k
¿A que es igual?
E = Cos2
43° − Sen2
17°
a)k/2 b) 2k c) 4k
d)k/4 e) 3k
10. Simplificar:
E = 2(Cos5x + Cos3x)(Sen3x − Senx)
a) Sen16x b) Sen8x c) Sen4x
d) 2Sen16x e) 2sen8x
11. Simplificar:
Sen7x − Sen5x
Cos7x + Cos5x
+
Sen3x − Senx
Cosx − Cos3x
a) Csc2x b) Sec2x c) Csc3x
d) Sec3x e) Cscx
12. Si 𝑥 = 20°; Calcular:
Sen2x + Sen3x + Sen4x
Cos2x + Cos3x + Cos4x
a) 1 b) ½ c) √3
d) 2 e) -1
13. Halle el valor de Q en la siguiente
ecuación:
QSen70° − Sen80° − Cos50° = 0
a) 2√2 b) √3 c) -2
d) 2 e) 0
TERCER EXAMEN SUMATIVO
14. Si: 𝑥 =
𝜋
13
𝑟𝑎𝑑 , entonces el valor de la
expresión: 𝐸 =
𝐶𝑜𝑠𝑥.𝐶𝑜𝑠10𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝑥+𝐶𝑜𝑠4𝑥
, es:
a) - ½ b) ½ c) 1
d) – 3/2 e) - 1
TERCER EXAMEN SUMATIVO
15. En un triángulo ABC, se cumple que:
𝑆𝑒𝑛𝐴 = 𝑛. 𝑆𝑒𝑛𝐵. 𝑆𝑒𝑛𝐶
Cos𝐴 = 𝑛. 𝐶𝑜𝑠𝐵. 𝐶𝑜𝑠𝐶
Entonces el valor de TgA, es:
A) n-2 B) n-1 C) n
3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
3
D) n+1 E) n+2
TERCER EXAMEN SUMATIVO
16. Al reducir la expresión se obtiene:
𝑅 =
𝐶𝑜𝑠10°−𝐶𝑜𝑠70°
𝑆𝑒𝑛40°+𝑆𝑒𝑛20°
a)
20
10
Sen
Cos b)
40
20
Cos
Sen c)
10
40
Cos
Sen
d)
20
40
Cos
Sen e) N.A.
TERCER EXAMEN SUMATIVO
17. Al simplificar:
𝑆𝑒𝑛(45°+𝑥)−𝑆𝑒𝑛(45°−𝑥)
𝐶𝑜𝑠(45°+𝑥)+𝐶𝑜𝑠(45°−𝑥)
A)
1
2
𝑆𝑒𝑛𝑥 b) 𝑇𝑔𝑥 c) 2√2𝐶𝑡𝑔𝑥
d) −
√2
2
𝐶𝑜𝑠𝑥 e) 2𝐶𝑜𝑠𝑥
18. Si: α + β = 60° y α − β = 45°
Calcular: E = Sen2
α − Sen2
β
a)√6/8 b) √6/6 c) √6/3
d)√6/4 e) √6/2
19. Si la siguiente igualdad es una
identidad, halla el valor de “A”
Sen2x + nSen3x + Sen4x
Cos2x + nCos3x + Cos4x
= 𝐀. Tan3x
a) n b) 1 c) 2n
d) 2 e) 3
20. En que triangulo ABC se cumple que:
Sen2B + Sen2C = Sen2A
a) Acutángulo b) rectángulo
c) No existe d) Obtusángulo
e) Faltan datos
21. ¿En que triangulo ABC, se cumple?
SenA =
SenB + SenC
CosB + CosC
a) Equilátero b) Isósceles
c) Rectángulo d) Obtusángulo
e) Acutángulo
22. Simplificar:
E =
Cos1 + Cos3 + Cos5 + Cos9
(Tan1 + cot1)(Sen11 + Sen5)
a) ¼ b) ½ c) 1
d) 2 e) 4
23. Simplificar:
E =
Senθ + SenSenkθ + Sen(2k − 1)θ
Cosθ + Coskθ + Cos(2k − 1)θ
a) Tankθ b) Tanθ c) Cotkθ
d) Cotθ e) 1
24. Si: 90° < 𝑥 < 180°.
Reducir:
S = √Senx(Sen3x + Senx)
a)Sen2x b) 2Cosx c) –Sen2x
d) -1 e) 1
CEPUNS 2009 III -TERCER EXAMEN SUMATIVO
25. Al reducir:
K =
SenxSen2x + Sen2xSen5x + Sen3xSen10x
CosxSen2x + Sen2xCos5x − Cos3xSen10x
n∈ 𝑁; se obtiene:
a) Cot7x b) Tan7x c) –Tan7x
d) –Cot7x e) Cos7x
26. Calcule el equivalente de la siguiente
expresión
2Cos(α + β)Cos(α + 2β) − Cosβ
Cos(2α + 3β)
+ Tan2
β
a) Csc2
β b) Sec2
β c) Sec2
α
d) Csc2
α e) −Tan2
β
27. Simplificar:
E =
Cos(a − 3b) − Cos(3a − b)
Sen2a + Sen2b
a) 2Sen(a + b) b) 2Cos(a + b)
c) 2Sen(a − b) d) 2Cos(a − b)
e) 2
28.Del gráfico , Calcular
AB
BC
T
4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
4
a)tgb) tg2 c) tg3 d) Ctg3e) Ctg2
29.A partir de la figura mostrada calcular el
valor de “x”
a) 33 b) 36 c) 37 d) 39 e) 312
30.Del gráfico, calcule "x" (Cos40º = 0,766)
a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216 d) 3,108 e) 2,748
31. Calcular el máximo valor de:
E = Sen(50° + x) − Sen(10° − x)
a) 1/2 b) 1 c) √3
d) √5 e) 2
32. Si Sen3θCos2θ = Senθ
Calcule:
M =
Sen8θ + Sen2θ
Sen4θ − Sen2θ
a) ½ b) -1 c) 2
d) 1 e) - ½
33. Si θ =
π
8
+ nπ, n ∈ Z
Calcule:
Cos5θCos3θ −
1
2
Cos8θ
Sen5θCos3θ −
1
2
Sen8θ
a) -1 b) ½ c) -2
d) 1 e) - ½
34. Si se cumple que:
Senx + Sen3x + Sen5x
= pSen5
x − qSen3
x + rSenx
Halle E = √p + √q + 1 + √r
a) 8 b) 12 c) 16
d) 20 e) 24
35. Si:
Sen(y + z − x) ; Sen(x + z − y) ;
Sen(x + y − z) Forman en ese orden
una progresión aritmética.
¿A que es igual?
Sen(x − y)
Sen(y − z)
a) CosxSecz b) SenxCscz c) 1
d) TanxCotz e) Cscx
50º
10º
A B
C
D
4
x