Libro recopilacion demre

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Libro recopilacion demre

  1. 1. LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRECONTENIDOSEJERCICIOS PSURESPUESTASENSAYOS ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA 2010 1
  2. 2. INDICE Contenido Página1 Números Enteros, operatoria, propiedades 32 Números racionales, operatoria, propiedades 103 Potencias, propiedades, aplicaciones 204 Operatoria algebraica 265 Simbología 386 Razones y proporciones 427 Tanto por ciento 498 Raíces, propiedades, aplicaciones 579 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de 64 ecuaciones10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 7911 Ecuación de segundo grado 8312 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 8513 Funciones, operatoria, tipos de funciones 8814 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de 108 Pitágoras, teorema de Euclides15 Congruencia de triángulos 12916 Semejanza de triángulos 13317 Cuadriláteros 14118 Polígonos 15219 Ángulos en la circunferencia 15320 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 16221 Poliedros, volumen 16622 División interior y exterior 17323 Trigonometría 17524 Probabilidad 18325 Estadística 19826 Transformaciones isométricas 20927 Teorema de Tales 22128 Evaluación de suficiencia de datos 22629 Respuestas 24330 Resumen contenidos Primer año medio 24831 Resumen contenidos Segundo año medio 25832 Resumen tercer año medio 26933 Resumen Cuarto año medio 28034 Ensayo 1 29035 Ensayo 2 30836 Ensayo 3 32937 Ensayo 4 34838 Ensayo 5 36539 Ensayo 6 384 2
  3. 3. RESUMEN PSU MATEMATICAI. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 )Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, …} se denominan “números naturales”. Si a esteconjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, …} llamado“conjunto de los números cardinales”.NÚMEROS ENTEROS (Z)Los elementos del conjunto Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros”Algunos subconjuntos de Z son: +Z+ = {1, 2, 3, …} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2, … } enteros no negativos −Z- = {-1, -2, -3, …} enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3, …} enteros no positivos1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,256, …2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …MÚLTIPLO Y DIVISOREn la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de co bien b y c son divisores o factores de a.REGLAS DE DIVISIBILIDADUn número entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once. 3
  4. 4. NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORESNúmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no sonprimos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …TEOREMA FUNDAMENTALTodo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factoresde números primosMÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORESPRIMOSSe descomponen los números en factores primos:1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existirfactores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerandoaquel que posea el exponente menor.OPERATORIA EN ZADICIÓNi. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservandoel signo común.ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el demenor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.MULTIPLICACIÓNi. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.VALOR ABSOLUTOEs la distancia que existe entre un número y el 0 n, si n ≥ 0DEFINICIÓN:  − n si n < 0ALGORITMO DE LA DIVISIÓNSi D: d = c, entonces D = d ⋅ c + r r //D = dividendod = divisorc = cuociente o cocienter = resto 4
  5. 5. OBSERVACIONES:1) 0 ≤ r < d2) La división por cero no está definida.PRIORIDAD DE LAS OPERACIONESAl realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:1. Resolver los paréntesis.2. Realizar las potencias.3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.RELACIÓN DE ORDEN EN ZSi a y b son números enteros, entonces diremos que:i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resultaA) – 2B) 2C) 4D) – 4E) ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m yel de las unidades es n, entonces a + 1 =A) m + n + 1B) 10m + n + 1C) 100m + n + 1D) 100m + 10n + 1E) 10(m + 1) + nEJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)?A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7 5
  6. 6. EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para quecada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?A) 11B) 20C) 21D) 0E) 7EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tardedepositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en elbanco?A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14pEJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: elúltimo número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último númerode cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?A) 5 x 4 20B) 7 4 9C) 8 8 13D) 9 24 16 55E) 16EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número imparde círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figurasconsecutivas es 2A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 6
  7. 7. EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto dedinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-9: Se define a ◊ b = ab + b y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, elvalor de (2 ◊ 5) # (-2) es:A) 82B) 66C) 60D) 38E) 22EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7),3(3x - 9), 4(4x + 11), . . . , resultaA) 41x - 2B) 61x + 25C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, unacuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?A) De 1 formaB) De 2 formasC) De 4 formasD) De 3 formasE) De 6 formasEJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, apartir de hoy?A) ViernesB) SábadoC) LunesD) MiércolesE) Jueves 7
  8. 8. EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180cada uno?A) $280B) $200C) $120D) $100E) $ 40EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3),respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tresartículos T?A) 6n - 14B) 6n – 6C) 5n – 14D) 3n – 14E) 3n - 6EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enterospositivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q?A) p = nq + rB) q = np + rC) q = npD) p = nq p 1E) =1+ q qEJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de lasiguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”.¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?A) 8B) 6C) 9D) 10E) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual aA) -12B) -7C) -2D) 4E) 12 8
  9. 9. EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tienefactores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?A) 7B) 5C) 4D) 3E) 1EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios decada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Sirepetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es: 1.000A) 12  1.000 B) 6 •    2  1.000C) 26 1.000D) 6 1.000E) 25EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9Es(son) verdadera(s):A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto aestos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 9
  10. 10. II. NÚMEROS RACIONALES aLos números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números benteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por laletra Q.2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALESADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a cSi , ∈Q, entonces: b dOBSERVACIONES a a1. El inverso aditivo (u opuesto) de es - , el cual se puede escribir también como b b−a a ob −b b2. El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula: cMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a cSi , ∈Q, entonces: b dMULTIPLICACIÓNDIVISIÓNOBSERVACIÓN −1 a  a bEl inverso multiplicativo (o recíproco) de es   = , con a ≠ 0 b b  a 10
  11. 11. RELACIÓN DE ORDEN EN QOBSERVACIONES1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientesprocedimientos:a) igualar numeradores.b) igualar denominadores.c) convertir a número decimal.2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.NÚMEROS DECIMALESAl efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene undesarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifrasdecimales.Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimalesb) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parteentera y el período.Ejemplo: 0,444.... = 0, 4c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por laparte entera, un anteperíodo y el período.Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 23OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimalesse ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimalbajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,202. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales,se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, dederecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números enconjunto.Así por ejemplo: 3,21 · 2,3 963 642 7,383 11
  12. 12. 3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformarel dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enterosTRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el númerodecimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimalestenga dicho número. 324Por ejemplo: 3,24 = 1002. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el númerodecimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras queanteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. 215 − 2Por ejemplo: 2, 15 = 993. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre elnúmero completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras queanteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga elperíodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. 534 − 53Por ejemplo: 5,3 4 = 90  0,05 EJEMPLO PSU-1: 5 •      0,5 A) 0,5B) 0,05C) 0,005D) 50E) 500 2 5 3EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a = , b = y c = de menor a mayor es 3 6 8A) a < b < cB) b < c < aC) b < a < cD) c < a < bE) c < b < aEJEMPLO PSU-3: 40 - 20 ⋅ 2,5 + 10 =A) 0B) -20C) 60D) 75E) 250 12
  13. 13. 9 3EJEMPLO PSU-4: − = 8 5A) 0,15B) 0,5C) 0,52D) 0,525E) 2 5 1EJEMPLO PSU-5: Si a se le resta resulta: 6 3 1A) − 2 1B) 2 2C) 3 4D) 3 2E) 9 1 1EJEMPLO PSU-6: + 3 3 − 0,75 − 0,25 8 8 15A) 3 16B) 3 16C) − 3D) 4 8E) 3 t −rEJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces = rA) 80,89B) 80,9C) 88,9D) 89E) Ninguno de los valores anteriores 13
  14. 14. 1 1 1EJEMPLO PSU-8: En la igualdad = − , si P y R se reducen a la mitad, entonces P Q Rpara que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debeA) duplicar.B) reducir a la mitad.C) mantener igual.D) cuadruplicar.E) reducir a la cuarta parte.EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe quecobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internetA) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III 1 1 1EJEMPLO PSU-10: + + = x x xA) 3 1B) x3 3C) x 1D) 3x 3E) x3 14
  15. 15. 1EJEMPLO PSU-11: Si P = RH , entonces H-1 es igual a: 2 2PA) R RB) − 2P 2PC) − R 2RD) P RE) 2P 1 1 1EJEMPLO PSU-12: + ⋅ = 3 6 2 5A) 12 2B) 15 1C) 9 2D) 3 1E) 4 2,6 − 2 ⋅ 3,8EJEMPLO PSU-13: = 2,6 ⋅ 6 + 3,8 1A) − 3 5B) − 19,4 5C) 19,4 2,28D) 19,4 7,6E) 9,8 15
  16. 16. 1 2EJEMPLO PSU-14: + = 3 1 1− 4 3A) 2 1B) 3 11C) 6D) 1E) 3 50 + 0,5EJEMPLO PSU-15: 100 = (0,5) ⋅ 2A) 10B) 1C) 0,1D) 0,25E) 0,75EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?A) 4,45 kmB) 4,55 kmC) 5,55 kmD) 5,45 kmE) 6,62 kmEJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta 3 3 3entre las fracciones: p = t = r = a a−1 a+1A) p <t < rB) r < p < tC) t < r < pD) r < t < pE) p < r < t 16
  17. 17. EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros dellicor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla? a+bA) $ 3 a+bB) $ 5C) $(2a + 3b) 3a + 2bD) $ 18 5 ⋅ (3a + 2b)E) $ 18 1EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 2 3litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo? 1A) 2 3 2B) 2 3 3C) 2 2 1D) 3 3 2E) 1 3 1 1 2EJEMPLO PSU-20: + • = 3 4 3 1A) 2 1B) 4 1C) 5 1D) 12 4E) 21 17
  18. 18. 1EJEMPLO PSU-21: Se define a ∗ b = , entonces a ∗ (b ∗ c) es igual a: ab 1A) abc aB) bc bcC) a abD) c cE) abEJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si a aP = + d y Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre b cverdadera(s)? I) P - Q ≠ 0 P c II) = Q b a2 III) P — Q = + d2 bcA) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas. 1EJEMPLO PSU-23: = 1 1+ 1 1+ 1+1 5A) 2 2B) 5C) 1 3D) 5 1E) 2 18
  19. 19. EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a lameta III) Arturo llegó primeroA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos deazúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debemultiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan?A) 33, 3B) 200C) 1.200D) 6E) 0,03 a aEJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si S = + , entonces S −1 es: b d bdA) 2a ad + abB) bd b+dC) a b+dD) 2a bdE) a( b + d )EJEMPLO PSU-27: (0 ,2 ) −2 =A) 5B) 10C) 25 1D) 25 1E) 5 19
  20. 20. III. POTENCIAS EN ZDEFINICIÓNPROPIEDADES1. 0 n = 0, si n ∈Z+2. 1 n = 13. Si n es par, (−1) n = 14. Si n es impar, (−1) n = -1 Positivo si a ≠ 0 y n es parSignos de una potencia: a n =  Negativo si a < 0 y n es imparMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIASSean a y b ∈ Z, m y n ∈ Z+1.- Multiplicación de potencias de igual base2.- División de potencias de igual base3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente4.- División de potencias de distinta base e igual exponenteDEFINICIÓNOBSERVACIÓN:0 0 no está definidoPOTENCIA DE UNA POTENCIAPOTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVOPOTENCIAS DE BASE 10 110 0 = 1 10 −1 = =0,1 10 20
  21. 21. 110 1 = 10 10 −2 = =0,01 100 110 2 = 100 10 −3 = =0,001 100010 3 = 1000Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k · 10 n , en que 1≤ k < 10 y n ∈ Z.2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p · 10n, en que p esel menor entero y n ∈ Z.3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como lasuma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por lapotencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,centésima...) abcde = a · 10 2 + b · 10 1 + c · 100 + d · 10 −1 + e · 10 −2 3 −1 + 4 −1EJEMPLO PSU-1: = 5 −1 12A) 35 35B) 12 7C) 5 5D) 7 5E) 12 0 ,0009 ⋅ 0 ,0000002EJEMPLO PSU-2: = 6 ⋅ 0 ,0003A) 10-15B) 10-12C) 10-7D) 10-6E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51⋅ 10 −6 ; N = 45,1⋅ 10 −5 y P = 451⋅ 10 −7 ,de menor a mayor, esA) M, N, PB) P, M, NC) N, M, PD) P, N, ME) M, P, N 21
  22. 22. −3 1 EJEMPLO PSU-4:  a − 2  = 2  6A ) 8aB ) 8a − 5 1C ) a −5 2 1D ) a −6 8 1 6E) a 2EJEMPLO PSU-5: Si 2 2 x = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?A) 6 9B) 2C) 3 3D) 2E) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-6: 4 −2 + 2 −3 − 2 −4 = 1A) 8 1B) 4 1C) 6D) − 8E) − 6EJEMPLO PSU-7: ( 2a ) 3 • ( 3a) 2 =A) 72a2B) 72a5C) 6a5D) 36a6E) 36a5 22
  23. 23. EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 2 6 ?A) 25B) 23C) 16 3 1D)   2 6 1E)   2EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)? I) a n ⋅ a n = a 2 n II ) a 2 n − a n = a n III ) ( 2 a n ) 2 = 2 a 2 nA) Solo IB) Sólo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41? I) 2 4 + 5 2 II ) 6 ⋅ 7 − 6 0 ⋅ 7 0 III ) 7 2 − 2 3A) Solo I y IIB) Solo I y IIIC) Solo II y IIID) I, II, IIIE) Ninguna de ellas 4 ⋅ 18 nEJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión es 3 −1 ⋅ 6 2 n +1 ⋅ 2 − nA) 2 nB) 4⋅ 2 nC) 2D) 6E) 36 23
  24. 24. 3,6 ⋅ 10 6 ⋅ 0 ,00006EJEMPLO PSU-12: = 20.000.000A ) 1,08 ⋅ 10 −4B ) 1,08 ⋅ 10 − 5C ) 1,08 ⋅ 10 −6D ) 1,08 ⋅ 10 −7E ) 1,08 ⋅ 10 −15EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 4 n + 4 n + 4 4 + 4 n = 2 44 , el valor de n es: 11A) 2B) 11C) 21D) 22E) ninguno de los valores anteriores –2EJEMPLO PSU-14: (0,2) =A) 5B) 10C) 25 1D) 25E) 5 a6b −15EJEMPLO PSU-15: = a − 2b − 5 9A) − 7B) a8b − 10C) a 4b − 20D) a − 3b 3E) − 9EJEMPLO PSU-16: Si 9 ⋅ 9 = 3 x . Entonces x=A) 2B) 3C) 4D) 6E) 27 24
  25. 25. EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmentehay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es:A) 5.000 ⋅ 33 bacteriasB) 5.000 ⋅ 34 bacteriasC) 5.000 ⋅ 39 bacteriasD) 5.000 ⋅ 360 bacteriasE) 5.000 ⋅ 3180 bacteriasEJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3? 1 I) 4x = 64 II) 4x ⋅ 43 = 1 III) (4−1 )x = 64A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-19: Si p = 5,2 • 10 −3 y q = 2 • 10 −3 , ¿cuál(es) de las siguientes igualdadesse cumple(n)? I) p + q = 7,2 • 10 −3 II) p • q = 1,04 • 10 − 5 III) p − q = 3,2A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y IIIEJEMPLO PSU-20: Si 3 x + 3 −x = P , entonces 9 x + 9 − x es igual a:A) P2B) P2 + 2C) P2 – 2D) P2 – 1E) 3P 25
  26. 26. IV. ALGEBRA y FUNCIONESEVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEvaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricosdados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entreparéntesis.TÉRMINOS SEMEJANTESSon aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y losmismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTESPara reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos ymantener su factor literal.USO DE PARÉNTESISEn Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Losparéntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos delos términos que están dentro del paréntesis.Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signosde cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez seencuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden alos paréntesis desde adentro hacia fuera.OPERATORIA ALGEBRAICAADICIÓN DE POLINOMIOSPara sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términossemejantes y uso de paréntesis.MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSMONOMIO POR MONOMIO:Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usandopropiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto demonomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a · (b · c) = (a · b) · cMONOMIO POR POLINOMIO:Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad 26
  27. 27. POLINOMIO POR POLINOMIO:Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomioy se reducen los términos semejantes, si los hay.PRODUCTOS NOTABLES:∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3EJEMPLO PSU-1: La expresión a 4 − b 4 se puede escribir comoA) (a − b) 4B) (a + b) 2 (a − b) 2C) (a 3 − b 3 )(a + b)D) (a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 )E) (a − b )(a 3 + b 3 )EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a · b = n−pA) 2 n − p4 4B) 4 n − p2 2C) 4 n−pD) 4E ) 4( n − p) 27
  28. 28. xy − x ay − aEJEMPLO PSU-3: La expresión : es igual a: y y2A) 0 aB) xy axC) y xa(y − 1)2D) y3 xyE) aEJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n)1? 2a + 3 I) 3 + 2a a2 − b2 II ) (a − b ) 2 ( b − a) 2 III ) a 2 + b 2 − 2 abA) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-5: El doble de − [− (a − ( − b ))]A) 2a + 2bB) a - b + 2C) a + b + 2D) a + bE) -2a - 2bEJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y,¿cuánto mide el ancho del rectángulo?A) 2x + yB) 4x + 2yC) 7x + 4yD) x + 2y 7E) x + 2y 2 28
  29. 29. EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2 x 2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x -3), el otro lado mideA) (x + 8)B) 2(x + 8)C) 2(x - 4)D) 2(x - 3)E) 2(x + 4) 1 a2 b2 − 1 1EJEMPLO PSU-8: Si a + =9 y 2 = 36 , entonces a − b b bA) -9B) 6C) 4D) 3E) 1EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de laexpresión algebraica 2 x 2 − 6x − 20 ? I) 2 II) (x − 5) III) (x + 2)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III zEJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide , entonces ¿cuánto 2mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo? zA) 4 zB) 2 2C) z zD) 2 z2E) 4EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2 x 2 − 3) =A) − 45B) − 75C) 15D) 75E) 105 29
  30. 30. x yEJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces + = y x x2 + y2A) xy x+yB) xyC) 1 2x + 2yD) xyE) 2EJEMPLO PSU-13: (3w − 2)2 − 2(2w − 3)(2w + 3) =A) w 2 – 12w - 14B) w 2 – 12w + 22C) w 2 – 12w -5D) w 2 – 12w + 13E) w 2 – 12w + 14EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:A) 9B) 16C) 18 27D) 10E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k – 6?A) k + 1B) k + 2C) k – 6D) k – 3E) k – 2 30
  31. 31. EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2 II) El área de la región achurada es (a + b)2 III) El área de AEFD es b2 + abA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo seexpresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados?A) (x – 1) y (x – 5)B) (x + 2) y (x – 3)C) (x – 1) y (x + 6)D) (x + 1) y (x – 6)E) (x – 2) y (x – 3)EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión x 2 y 2 + x 2 y + xy + x , ¿cuál(es) de las siguientesexpresiones es (son) factor(es) de ella? I) xy + 1 II) x + 1 III) y + 1A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III (EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a 3n − 3 − 3n − 2 ) 2es:A ) 2 ⋅ 3 2( n − 3 )B) − 2 ⋅ 3( n −3)C ) 4 ⋅ 3 2( n − 3 )D ) 16 ⋅ 3 2( n − 3 )E) − 8 ⋅ 3 2( n −3 ) 31
  32. 32. EJEMPLO PSU-20: a ⋅ [a − a − (a − a) ⋅ a − a] : −a =A) –a2B) –aC) aD) 2aE) a - 2 5a + 4 2a − 6EJEMPLO PSU-21: − = 3a − 6 2a − 4 2a + 13A) 3(a − 2) 2a − 5B) 3(a − 2) 2a + 5C) 3(a − 2) 2a − 3D) 3(a − 2) 3a − 2E) a − 10EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=A) 1 1B) m 1C) m2 1D) m3 1E) m4EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)A) 1 - aB) aC) 0D) –a2E) a2EJEMPLO PSU-24: Si a ⋅ b = 10 y a2 + b 2 = 29 , entonces el valor de (a – b)2 es:A) 9B) 19C) 29D) 49E) No se puede determinar el valor 32
  33. 33. EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (m + n ) 2 – 4mn?A) (m – n)2B) m2 – 2 + n2C) m2 – 4mn + n2D) 2m – 4mn + 2nE) 2m – 2mn + 2n m − mrEJEMPLO PSU-26: Sea m ≠ 0, al simplificar la expresión resulta: 2mA) 0 rB) − 2 1−rC) 2 m−rD) 2 1 − mrE) 2 x xEJEMPLO PSU-27: Al sumar con m se obtiene , entonces ¿cuál es el valor de de t t +2m?A) 0 2xB) t(t + 2) −xC) t+2 − 2xD) t(t + 2) −2E) t(t + 2) 2EJEMPLO PSU-28: (30 + 5) – (30 + 5)(30 – 5) =A) 0B) 50C) 300D) 350E) 450 33
  34. 34. EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $ay el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costo el tercero?A) $ aB) $ 7aC) $ (3a – b)D) $ (3a + 2b)E) $ (a + 2b)EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5entonces, el sucesor de ese número entero es:A) 6B) 7C) 8D) 14E) Ninguno de los anteriores 3xEJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es y el largo es el doble del ancho. 2¿Cuánto mide su perímetro? 9x 2A) 2B) 3x 9xC) 2D) 9xE) 6x 1 1 1EJEMPLO PSU-32: Si a = ,b= yc= , entonces la expresión x – (a + b + c) 2x 4x 6xequivale a: 12 x 2 − 11A) 12 x 2 x −7B) 12 x 11xC) 12 11D) 12 x 7E) 12 x 34
  35. 35. EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al áreaachurada.II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas delcuadrado de lado a y el lado de b. 2 2III. a(a + b) > a + bA) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadradosde lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?A) 8 – xB) 64 – 4x2C) 64 – x2D) 8 – x2E) 64 – x4EJEMPLO PSU-35: Si a∇b = (a + b) 2 y a# b = (a 2 + b 2 ) , ¿a cuánto equivale la expresiónA) -2m2 + 8p2B) -2m2 + 6mp + 8p2C) 8m2 + 6mp – 2p2D) -2m2 + 3mp + 8p2E) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual aA) -10B) 10C) 13D) -25E) 25 35
  36. 36. EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen deotro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radiosdeben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y lasalturas deben ser iguales. III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y lasalturas deben ser iguales.Es (son) verdadera(s)A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y II.E) sólo I y III nEJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n 2 − + 3n es igual a: 3A) 6B) 9C) 14D) 17E) 18 2  2 EJEMPLO PSU-39:  x + y  x − y  = 3  3  4 2A) x − y2 3 4 2B) x − y2 9 2 2C) x − y2 9 4 2D) x − y2 6E) Ninguna de las expresiones anterioresEJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la regiónachurada se expresa como:A ) x(z − y )B ) x( y − z )C ) xz xyD) 2 x( z + y )E) 3 36
  37. 37. x+y 1− x−yEJEMPLO PSU-41: para que la expresión = sea positiva, se debe cumplir x+y 1+ x−ynecesariamente que:A) xy < 0B) x < 0C) xy > 0D) y < 0E) x > yEJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión x 2 − x 3 + x 4 ?A) -9B) -3C) -1D) 1E) 3 2EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x – 2xy, si x = 2 e y = – 1?A) 8B) 6C) 4D) 2E) 0EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =A) –a + b – cB) a + b – cC) –a – b + cD) a – b – cE) a + b + c 2EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p) = 2 2A) 6m – 10p 2 2B) 9m – 25p 2 2C) 9m – 15mp + 25p 2 2D) 9m – 30mp – 25p 2 2E) 9m – 30mp + 25p 37
  38. 38. V. SIMBOLOGÍA:∗ Números natural cualquiera = n∗ El antecesor de un número = n – 1∗El sucesor de un número = n + 1∗Número natural par = 2n∗ Número natural impar = 2n – 1∗El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2∗El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1∗El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n 1∗El inverso multiplicativo o recíproco de un número = n∗El triple de un número = 3n∗Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifrade las decenas es d = 10d + u∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifrade las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u p∗La razón o cuociente entre p y q = q∗ El valor absoluto de un número = | n | p∗p es directamente proporcional a q = = k( cons tan te ) q∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:A) [2(x-3)]2B) 2(x2 – 32)C) (2x – 6)2D) 2(x – 3)2E) (x2 – 32)2 38
  39. 39. EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguienteproblema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que ati, me quedo con 4”? 2xA) +5 = 4 5 2xB) +5 = x 5 xC) +9=x 5 2xD) +9= x 5 xE) +5 = 4 5EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado semultiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribeA ) d + 2d ⋅ 3d 2B ) d + 2d ⋅ ( 3d ) 2C ) (d + 2d ) ⋅ ( 3d ) 2D ) (d + 2d ) ⋅ 3d 2E ) (d + 2 ) ⋅ ( 3d ) 2EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo alcuadrado, se expresa como 2  1A)  n +   n 2 1 2B) n +   n 2 1C) n +   nD ) n + ( −n ) 2E) n 2 + (−n ) 2EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades, entonces el área delnuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, comoA ) πr 2 + εB ) πr 2 + ε 2C ) π(r 2 + ε 2 )D ) π(r 2 + ε )E ) π(r + ε ) 2 39
  40. 40. EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”,se escribe 5m + m 2A) t m + m2B) 5 t m2C) 5m + t m m2D) + 5 t m + 2mE) 5 tEJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Sihace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se planteancorrectamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan? JA) M − 2 = y J + 2 = 10 4 JB) M − 2 = y J − 2 = 10 4 JC) M + 2 = y J − 2 = 10 4 JD) M − 2 = y J = 10 4 JE) M + 2 = y J + 2 = 10 4EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma desus edades en a años más?A) (11 + 3a) añosB) (11 + 2a) añosC) (11 + a) añosD) (8 + 3a) añosE) (5 + 3a) añosEJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado deldoble de (3 – b)” se representa como:A) [2(3 + b] = 2(3 − b)2 2B) 4(3 + b)2 = 4(3 − b)2C) [2(3 + b] = 2(3 + b)(3 − b) 2D) 2(3 + b)2 = 2(3 − b)2E) 2(3 + b)2 = [2(3 − b)] 2 40
  41. 41. EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el anchodel rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es:A) (4x + 16) metrosB) (2x + 8) metrosC) (2x + 16) metrosD) (4x + 8) metrosE) (4x + 32) metrosEJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291.¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de esteproblema?A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4unidades”, se expresa comoA) 2a + c + 4 = 18B) 2(a + c) – 4 = 18C) 2(a + c) + 4 = 18D) 4 – 2(a + c) = 18E) 2a + c – 4 = 18EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de caféen $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x? 36.000 48.000A) + x x + 40 36.000 48.000B) + x x − 40 x x + 40C) + 36.000 48.000 x x − 40D) + 36.000 48.000 36.000 48.000E) + x 40 41
  42. 42. VI. RAZONES y PROPORCIONES aRAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe o a: b. bY se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente. x yPROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe = ó x: a = y : b a bY se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.TEOREMA FUNDAMENTALEn toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) ⇔ (x — b = y — a)OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante deproporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0PROPORCIONALIDAD DIRECTADos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valorescorrespondientes es constante.OBSERVACIONES:En una proporción directa, si una cantidadaumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta(disminuye) el mismo número de veces.El gráfico de una proporcionalidad directacorresponde a una línea recta que pasa por elorigenPROPORCIONALIDAD INVERSADos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valorescorrespondientes es constante x1 — y1 = x2 — y2 = x3 — y3 = ..........= xn — yn = k k : constanteOBSERVACIONES:En una proporcionalidad inversa, si unacantidad aumenta (o disminuye) n veces, laotra disminuye (o aumenta) el mismo númerode veces.El gráfico de una proporcionalidad inversacorresponde a una hipérbola equilátera 42
  43. 43. EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla: A 10 15 20 B 3 x 1,5¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. III. La constante de proporcionalidad es 3.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces¿cuántos duraznos hay en la quinta?A) 54B) 77C) 84D) 126E) 210 43
  44. 44. EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1.Si x = 8, entonces y = 1A) 2 1B) 4C) 2D) 4E) 9EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que larazón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo alorden de las razones dadas?A) 180 mm 120 mm 90 mmB) 420 mm 180 mm 120 mmC) 320 mm 240 mm 160 mmD) 510 mm 120 mm 90 mmE) Ninguna de las medidas anteriores 1EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número y cuando a btoma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:A ) 10 8B) 5 5C) 8 1D) 10 15E) 4EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km enla realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distanciareal esA) 50 kmB) 65 kmC) 67,5 kmD) 62,5 kmE) ninguno de los valores anteriores. 44
  45. 45. EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Paramantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces NA) aumenta al doble.B) disminuye a la mitad.C) aumenta en dos unidades.D) disminuye en dos unidades.E) se mantiene constante. 1EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a . Según los y adatos registrados, el valor de , es bA) 256 z yB) 16 8 2 1 a 4C) 16 1 16D) 64 1 b 1 4E) 64EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dosciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas?A 1,75 kmB 17,5 kmC 175 kmD 1.750 kmE 17.500 kmEJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre lospesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =A) 4: 7B) 4: 3C) 7: 4D) 3: 7E) 3: 4 45
  46. 46. EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas esP⋅V = constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura Tabsoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al volumen III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la temperaturaA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que susvolúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántoslitros tiene la mezcla total?A 6 litrosB 10 litrosC 12 litrosD 14 litrosE 16 litrosEJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m:h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres? 40mA) m+h 40(m + h)B) m 40(m + h)C) h 40hD) m+h 40mE) h 46
  47. 47. EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entrelas magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellasEJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?A) 8B) 21C) 24D) 28E) 32EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombresse necesitan para fabricar x artículos en un día? hxA) 50 50xB) h xC) 50h hD) 50xE) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes defebrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay enfebrero?A) 416B) 4.000C) 12.500D) 15.000E) 17.500 47
  48. 48. EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional au, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, conconstante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichasvariables representan este hecho? xA) =2 yw • v=8 uB) x – u = 2 y w + v = 8 wC) x • u = 2 y =8 vD) x + u = 2 y w – v = 8E) x + w = 10EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín,otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajanjuntos se demoran 10 días. ¿Cuántos días se demorará Y trabajando solo?A) 30B) 28C) 25D) 20E) 15EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamenteproporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D =0,25, entonces entre ambos índices se cumple:A) D = 0,5CB) D = C2 0,5C) D = CD) D = 0,125C 0,125E) D = CEJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número deelectricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horasdiarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias II) El número de electricistas y el número de días son variables directamenteproporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III 48
  49. 49. TANTO POR CIENTOEl tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de lostérminos de la proporción es 100:P: Es el tanto por cientoC: Es la cantidad de referenciaQ: Es el porcentajeEl tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es P P% de C = C 100OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOSi) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar a% de C ± b% de C = (a ± b)% de Cii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de lostantos por cientos a b El a% del b% de C = ⋅ ⋅C 100 100INTERÉS SIMPLEUna cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de nunidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad detiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por lafórmula:  i  C F = C 1 + n ⋅  100  OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, alfinalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capitalpermanece inalterable.INTERÉS COMPUESTOUna cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de nunidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad detiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es: n  i  C F = C 1 +  100   49
  50. 50. OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, alfinalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capitalpara producir nuevos intereses.EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60%de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de loscajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?A) 108B) 72C) 180D) 90E) 54EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular elinterés simple anual.A) 5%B) 5,25%C) 5,5%D) 5,75%E) 15,75%EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Seofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuentaun 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cadapantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos.¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?A) $ 45.000B) $ 50.000C) $ 57.150D) $ 72.000E) $ 81.900EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de lasventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?A) $ 254.625B) $ 532.000C) $ 1.275.000D) $ 1.812.500E) $ 3.962.500 50
  51. 51. EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos para llenar el jarro. III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personassentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s) ? I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado enéste, menos del 50% de sus asientos vacíos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a lacapacidad de B.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y IIIEJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad,entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregarA) 4 litros.B) 24 litros.C) 40 litros.D) 60 litros.E) ninguno de los valores anteriores. 51
  52. 52. EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%,30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en lasegunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un5,1?A) 5,0B) 5,1C) 5,2D) 6,0E) 6,3EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta sulargo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientesafirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto delárea original?A) Se mantiene igual.B) Aumenta en un 4%.C) Disminuye en un 4%.D) Aumenta al doble.E) Disminuye a la mitad.EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5%del precio de un artículo? 1 I) del precio del artículo 8 II) El precio del artículo multiplicado por 12,5 III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y IIIEJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cerámica y 100m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta$P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces elcosto total es de:A) $ 145⋅PB) $ 170⋅PC) $ 175⋅PD) $ 245⋅PE) $ 195⋅P 52
  53. 53. bEJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de es: a 400A) 7 35B) 8 18C) 35 35D) 18 8E) 35EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividadextraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sextaparte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje deestudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?A) Menos del 91%.B) Entre el 91% y el 93%.C) Entre el 93% y el 95%.D) Entre el 95% y el 97%.E) Más del 97%.EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer pisoy 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p elmetro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresionesrepresenta el costo total C en alfombras?A) C = 1,6 • p • 100 + p • 100B) C = 0,6 • p • 100 + p • 100C) C = 0,6 • p • 60 + p • 40D) C = p • 60 + 0,6 • p • 40E) C = 1,6 • p • 60 + p • 40EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos.¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Faltó la cuarta parte del curso II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del cursoA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 53
  54. 54. EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumentoes: 1A) % 5 1B) % 6C) 3%D) 20%E) 30%EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% esálgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son:A) 4B) 8C) 10D) 12E) 28EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad delprecio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600,¿cuánto me descuentan?A) $ 555B) $ 510C) $ 255D) $ 45E) $ 90EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400,ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja? 4A) % 3B) 10%C) 25%D) 33, 3 %E) 75%EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatroy los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relaciónal total del curso?A) 20%B) 80%C) 16,6…..%D) 83,3…..%E) No se puede determinar 54
  55. 55. EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: Mrecibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende$ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes,cada empleado? M PA) $ 288.000 $ 72.000B) $ 288.000 $ 172.000C) $ 388.000 $ 172.000D) $ 960.000 $ 240.000E) $ 960.000 $ 340.000EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre unacuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá enla cuenta, en pesos, 100A) 1.000 + 1.000 ⋅ 12 12  100 B) 1.000 + 1.000 •    12 C) 2.000 100D) 1.000 • 12 12  100 E) 1.000 • 1 +   12 EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quintaparte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 4 I) Las gallinas que no son blancas son T 5 II) El 20% de las gallinas son blancas III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número degallinas que son blancasA) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuálnúmero se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?A) Por 15%B) Por 0,15C) Por 1,5D) Por 1,15E) depende del precio de cada artículo 55
  56. 56. EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interéscompuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada nt  1 por: P = C1 +  .Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto  100n trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:A ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 4B ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 3C ) 50.000 ⋅ (1,18) 4D ) 50.000 ⋅ (1,015) 3E ) 50.000 ⋅ (1,015) 4EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya hasido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación?A) $ 21.450B) $ 23.571C) $ 28.050D) $ 55.000E) $ 115.500EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, unaestampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículoen $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento?A) $ 600B) $ 750C) $ 792D) $ 800E) $ 19.200EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practicanteatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatrocon respecto al total de alumnos del curso?A) 83, 3 %B) 80%C) 20%D) 16, 6 %E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000,durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5?A) 5,0%B) 5,5%C) 5,27%D) 5,25%E) 5,05% 56
  57. 57. VII. RAÍCESSi n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, nonegativo, tal que b n = a n a = b ⇔ b n = a, b ≥ 0Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b,tal que b n =a n a = b ⇔ b n = a, b ∈ ROBSERVACIONES1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL n2. La expresión a k , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de kexponente fraccionario n ak = a n3. a 2 = a , para todo número realPROPIEDADESSi n a y n b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n n n a • b = a⋅bDIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n a a = n , b≠0 n b bPOTENCIA DE UNA RAÍZ n am = ( a) n m , a>0RAÍZ DE UNA RAÍZnm nm a = aAMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ n a = mn am m ∈ Z+ , a ∈ R+PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE n a • mb = mn am ⋅ b n , a, b ∈ R +FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL b n a = n b n ⋅ a, b ∈ R + 57
  58. 58. RACIONALIZACIÓNRacionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracciónequivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz aFracciones de la forma b c aFracciones de la forma p b +q cEJEMPLO PSU-1: 5 12 − 2 27A) 16 3B) 4 3C) 2 3D) 3 3E) No se puede det er min ar 1 1 4EJEMPLO PSU-2: 6+ − 5+ + 8− = 4 16 25 61A) 20 7 6 2B) − + 2 4 5 151C) 20 7D) 6 − 5+ 8+ 20E) Ninguno de los valores anteriores a2x + 2 • ax + 1 = 3 3EJEMPLO PSU-3:A) a3x + 3 a3 x + 3 6B)C) a3xD) ax + 3E) a x + 1 58
  59. 59. EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando lavariable x toma los tres valores 0, 1, –1? I) x 2 = −x II) x2 = x III) x2 = xA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Ninguna de ellas.EJEMPLO PSU-5: ( 2 − 2)3( 2 + 2)4 + ( 2 − 2)4( 2 + 2)3 es un número:A) Racional positivoB) Racional negativoC) Irracional positivoD) Irracional negativoE) No real 2EJEMPLO PSU-6: 3 = 2 3A) 4 3B) 2 6C) 8 6D) 2E) 1EJEMPLO PSU-7: Si 2 = a , 3 = b y 5 = c entonces ¿cuál(es) de las expresionessiguientes es(son) equivalentes a 60 I) 2bc 4 II) a 4b 2 c 2 III) a2bcA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III 59
  60. 60. 2 7 + 14EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión resulta 7A) 2 3B) 2 + 14C) 2 + 2D) 2 7 + 2E) 4EJEMPLO PSU-9: 12 − 2 + 8 − 3 =A) 3+ 2B) 15C) 10 + 5D) 20 − 5E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-10: ( 50 + 512 − 242 ) : 2 =A) 10B) 10 2C) 8 5D) 32E) 40 55 + 55 + 55 + 55 + 55EJEMPLO PSU-11: = 3 55 + 55 + 55 + 55 + 55A) 5 5B) 56C) 1 2D) 53 3E) 5 2 60
  61. 61. EJEMPLO PSU-12: Si 2 + 3 − 2 − 3 = t , entonces el valor de t2 – 2 es:A) 2 3 − 2B) 0C) 2 3D) 2E) − 2EJEMPLO PSU-13: (0,25)1 − a = −a 1A)   2 1−a 1B)   2 a − 1 2C)   2 a 12D)   2 a 1E)   2EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) dey = x2 + 5 + x2 I) (2,5) II) (2,-5) III) (2,-1)A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellosEJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? I) 2⋅ 8 II) 3 +3 3 6 III) 24A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III 61
  62. 62. 6 3EJEMPLO PSU-16: − = 2+ 2 2− 2A) 0 3B) 2 2C) 6 − 9 2 6−9 2D) 2 6−3 2E) 2EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?A) x > x 1B) < x x 1C) > x xD) x > 1E) x < xEJEMPLO PSU-18: 3 27x ⋅ 27−3 =A) 27x ⋅ 27−9B) 33x ⋅ 3−9C) 3x +3D) 9x +3E) 3x −3 11 1EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales − 3 2 , − ,− 7 ,− 2 3 ,− 4 , al 3 3ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es:A) − 2 3B) − 3 2C) − 7 11D) − 3 1E) − 4 3 62
  63. 63. EJEMPLO PSU-20: (5 2 − 3 )( 3 + 5 2 ) =A) − 25 5B) 24 5C) 7D) 47E) 0EJEMPLO PSU-21: El número 216 es igual a:A) 2 4B) 32C) ( 2) 4D) 214E) Ninguno de los números anteriores 63
  64. 64. VIII. ECUACIONES:(a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operacionesadecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.(b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencillasi se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todoslos denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contengafracciones.(c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:Paso 1: Leer con atención el problema.Paso 2: Anotar los datos del problema.Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido porun literal (letra).Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.Paso 5: Resolver la ecuación.Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.PROBLEMAS CON FRACCIONESSon problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un a anúmero. La fracción de un número x se calcula multiplicando por x. b bPROBLEMAS DE DÍGITOSPara este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de laforma x y z queda representado por x · 102 + 101 + z · 100PROBLEMAS DE EDADESEn estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentesindicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,según corresponda: Edad pasada Edad Actual Edad futura (hace b años) (dentro de c años) x-b x x+c y-b y y+cB. ECUACIONES LINEALES:La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1,y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:d AB = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 64
  65. 65. Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento ABsonPENDIENTE DE UNA RECTAEs la tangente trigonométrica del ángulo deinclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje xhacia la recta)RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LARECTASea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:(α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0) L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva(α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si y sólo si (m < 0) L es paralela al eje y L tiene pendiente negativaECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTELa ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es 65
  66. 66. CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, laecuación anterior se escribe: Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posiciónECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOSLa ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) esECUACIÓN GENERAL DE LA RECTAToda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y losnúmeros A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si sedespeja y en función de x se obtiene la ecuación principal: −A −C −A −C y = x+ donde m= y n= B B B BRECTAS PARALELASDos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:RECTAS PERPENDICULARESDos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces: 66
  67. 67. SISTEMAS DE ECUACIONESDos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyenun sistema de ecuaciones lineales.La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambasecuaciones.OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea rectaen un sistema de ejes coordenados.MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CONDOS INCÓGNITASRESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuacioneslineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejescoordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema(figura 1).ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3). L1 ∩ L2 L1 ∩ L2 = L1 = L2 L 1 ∩ L 2 = ∅ (Vacío)RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos:sustitución y reducción.MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de lasecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación conuna incógnita.MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas,en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose unsistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando asíuna ecuación con una incógnita. 67
  68. 68. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOSINCÓGNITAS a1 x + b1 y = c 1Sea el sistema:  Entonces: a2 x + b 2 y = c 2 a1 b* El sistema tiene solución única si ≠ 1 a2 b2 a1 b c* El sistema tiene infinitas soluciones si = 1 = 1 a2 b2 c2 a1 b c* El sistema no tiene solución si = 1 ≠ 1 a2 b2 c2EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece aesta recta, entonces el valor de m esA) –2B) –3 1C) – 2 1D) 2E) 2EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tienependiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2).Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x valeA) − 5B) − 2C) 2D) 5 1E) − 2 1−x 2EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación = ? 15 5A) - 5B) 5C) – 25D) 25E) – 35 68
  69. 69. EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en$ 1.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el preciode venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?A) $ 600B) $ 580C) $ 547D) $ 537E) $ 530EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de lassiguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1? 5A) y = x−2 4 5B) y = (x − 2) 4 4C) y = (x − 2) 5 4D) y = x−2 5 5E) y = − (x − 2) 4EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si sesabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es latemperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente?A) – 21º CB) – 12,7º CC) 12,7º CD) 23º CE) 25,9º CEJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a larecta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál es el valor de k?A) 20 3B) 2C) 8 7D) 2 13E) 6 69
  70. 70. 3EJEMPLO PSU-8: Si 1 − = 9, entonces x = x 9A) − 2 2B) − 9 9C) 2 8D) 3 3E) − 8EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4con y + x = 0?A) B) C)D) E) 3x − my = 9EJEMPLO PSU-10: En el sistema,  nx + 4y = −11¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1,−3) ? m nA) − 2 1B) − 2 − 1C) 2 1D) 4 −23E) Ninguno de los valores anteriores 70
  71. 71. EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) L1 // L2 II) La ecuación de L2 es y = -x + 3 III) Ambas rectas tienen igual inclinaciónrespecto del eje xA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1 es el punto:A) (2,3)B) (2,1)C) (3,-2)D) (0,2)E) (3,2)EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años.¿Qué edad tendrá Juan en un año más?A) 21 añosB) 20 añosC) 16 añosD) 15 añosE) 11 añosEJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y deseanrepartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar lacuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?A) $ 20.000B) $ 22.000C) $ 25.500D) $ 26.000E) $ 29.500 71
  72. 72. EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos deharina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo deharina?A) $(s − 3p)  s − 3p B) $   2   s + 3p C) $   2  s − pD) $   2 E) $(s + 3p) 2x − 1EJEMPLO PSU-16: Si − 3 = , entonces ¿cuánto vale x? 1 − 3x 2A) 7 4B) 7 2C) − 5D) 2E) 4EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:A) 9B) 16C) 18 27D) 10E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada porla ecuación x = a?A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0).E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a). 72

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