Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 8ης ενότητας, κεφ. 46-49 ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά Ε΄
΄΄ Επανάληψη 8ης
Ενότητας, κεφ. 46 - 49΄΄
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Παρουσιάσεις
 Επαναληπτικά
Επιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Αξιολόγηση πληροφοριών
σε ένα πρόβλημα
Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3

Τα γνωστά στοιχεία
ενός προβλήματος
 Τα δεδομένα (γνωστά στοιχεία)
ενός προβλήματος μπορούν να δοθούν
διάφορους τρόπους.

Τα δεδομένα δίνονται:
 Με λόγια
 Με ένα γεωμετρικό σχήμα (το οποίο
αναλύεται σε απλούστερα)
 Με εικόνες
 Με πίνακα
 Με κανόνες παιχνιδιού
Υπάρχει και περίπτωση συνδυασμού των
παραπάνω τρόπων.

Αξιολόγηση δεδομένων
και λύση του προβλήματος
 Εξετάζοντας κάθε φορά τα δεδομένα,
προσπαθούμε να ξεχωρίσουμε
τις μαθηματικές πληροφορίες, οι οποίες
περιέχονται σ’ αυτά και, με βάση τις
πληροφορίες αυτές, να σχεδιάσουμε την
κατάλληλη λύση.
Γιάννης Φερεντίνος

Σύνθετα προβλήματα -
Συνδυάζοντας τις
πληροφορίες
Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια επανάληψης: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

Πώς βρίσκω τη λύση
σε σύνθετο πρόβλημα
Η επιτυχία στην εύρεση της λύσης ενός
σύνθετου προβλήματος εξαρτάται :
 Από την κατανόηση των πληροφοριών
 Τη σωστή αναδιοργάνωση τους από
εμάς
Δεν αρκεί όμως η εύρεση της λύσης.
Πρέπει η παρουσίασή της να γίνει με
οργανωμένο και σαφή τρόπο, για να
είναι κατανοητή σ’ αυτόν που θα τη
διαβάσει:

Στάδια αντιμετώπισης
ενός σύνθετου προβλήματος
1) Εντοπίζουμε τις μαθηματικές
πληροφορίες, οι οποίες περιέχονται στα
δεδομένα.
2) Οργανώνουμε αυτές τις πληροφορίες.
3) Επιλέγουμε τρόπο λύσης.
4) Κάνουμε έναν πρόχειρο υπολογισμό
του αποτελέσματος με
στρογγυλοποιήσεις.

Στάδια αντιμετώπισης
ενός σύνθετου προβλήματος
5) Υπολογίζουμε με ακρίβεια το
αποτέλεσμα.
6) Ελέγχουμε το αποτέλεσμα αν είναι
λογικό και αν απέχει πολύ από τον
πρόχειρο υπολογισμό που κάναμε.
7) Κάνουμε επαλήθευση.

Παράδειγμα
Ένας σκακιστής κρατάει σημειώσεις με τα
αποτελέσματά του στα παιχνίδια
προετοιμασίας τα οποία κάνει, γράφοντας
πρώτα την εβδομάδα και μετά τις νίκες, τις
ισοπαλίες και τέλος τις ήττες.
1η/4 - 2 - 2, 2η/4 - 1 - 3, 3η/4 - 3 - 1,
4η/4 - 1 - 1, 5η/3 - 2 - 1, 6η/2 - 2 - 2

Παράδειγμα
Στο σκάκι η νίκη βαθμολογείται με 1, η
ισοπαλία με 0,5 και η ήττα με 0.
 Ποια βαθμολογία συγκέντρωσε στις παρτίδες
που έδωσε;
 Πόσες παρτίδες κέρδισε στη διάρκεια των έξι
εβδομάδων;
 Ποια εβδομάδα ήταν η χειρότερη
βαθμολογικά;
 Ποια εβδομάδα ήταν η καλύτερη
βαθμολογικά;

Λύση – Συγκέντρωση όλων των
στοιχείων σε πίνακα
Εβδομάδα Νίκες Ισοπαλίες Ήττες Σύνολο
παρτίδων
1η 4 2 2 8
2η 4 1 3 8
3η 4 3 1 8
4η 4 1 1 6
5η 3 2 1 6
6η 2 2 2 6

Λύση - Με βάση τα στοιχεία του πίνακα
βρίσκουμε τη βαθμολογία
κάθε εβδομάδας:
παρτίδων
Βαθμοί
1η 4 2 2 8 5
2η 4 1 3 8 4,5
3η 4 3 1 8 5,5
4η 4 1 1 6 4,5
5η 3 2 1 6 4
6η 2 2 2 6 3

Λύση
 Για να βρούμε πόσες παρτίδες κέρδισε στη
διάρκεια των έξι εβδομάδων, αρκεί να
προσθέσουμε τα στοιχεία της β΄ στήλης:
4 + 4 + 4 + 4 + 3 + 2 = 21 νίκες.

Λύση
 Αν κάθε εβδομάδα έπαιζε τον ίδιο αριθμό
παρτίδων, εύκολα θα βρίσκαμε την
καλύτερη και τη χειρότερη εβδομάδα.
 Καλύτερη θα ήταν αυτή κατά την οποία
συγκέντρωσε τους περισσότερους βαθμούς
και χειρότερη αυτή που συγκέντρωσε τους
λιγότερους βαθμούς.

Λύση
 Με δεδομένο όμως ότι ο αριθμός των
παρτίδων κάθε εβδομάδας δεν είναι ίδιος,
θα σχηματίσουμε κλάσματα.
 Αυτά αντιπροσωπεύουν το βαθμό επιτυχίας
ανά εβδομάδα, δημιουργώντας μια
καινούρια στήλη.
 Στη συνέχεια θα μετατρέψουμε τα
κλάσματα σε ομώνυμα, σε άλλη στήλη,
ώστε να είναι συγκρίσιμα.

Λύση
παρτίδων
Βαθμοί Βαθμός
επιτυχίας
Συγκρίσιμη
επιτυχία
1η 4 2 2 8 5 5/8 30/48
2η 4 1 3 8 4,5 4,5/8 ή
9/16
27/48
3η 4 3 1 8 5,5 5,5/8 ή
11/16
33/48
4η 4 1 1 6 4,5 4,5/6 ή
9/12
36/48
5η 3 2 1 6 4 4/6 32/48
6η 2 2 2 6 3 3/6 24/48
•Η στήλη αυτή μας επιτρέπει να διαπιστώσουμε ότι
καλύτερη εβδομάδα ήταν η 4η και χειρότερη εβδομάδα
ήταν η 6η

Σε κάθε περίπτωση
να θυμάσαι:
Η λύση βρίσκεται
στην εκφώνηση
Γιάννης Φερεντίνος

Χρυσάνθη Διαμαντίδου
ΔΙΑΜΑΝΤΙΔΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ
Ε΄ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ 8Η
ΕΝΟΤΗΤΑ
Ονοματεπώνυμο_________________________Ημερ/νία_______
1) Φτιάξε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο 32 εκ.
Μπορείς να δώσεις δυο λύσεις;
2) Η Άννα είναι 12 χρονών. Η μητέρα της είναι 5 χρόνια μικρότερη
από τον πατέρα της. Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών είναι
77. Πόσο χρονών είναι ο πατέρας και η μητέρα της Άννας;
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
Απάντηση:____________________________________________
3) Η Μαρία και η μαμά της αγόρασαν από την ανθοκομική έκθεση
του σχολείου ίδια γλαστράκια και πλήρωσαν συνολικά 18,50 ευρώ.
Κάθε γλαστράκι έκανε 3,70 ευρώ. Πόσα γλαστράκια αγόρασαν;
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
Απάντηση_____________________________________________

gkatsao
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τάξη: Ε2΄ Όνομα: ………………………
ΜΕΘΟΔΟΣ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
1. Διαβάζω το πρόβλημα τουλάχιστο 2 φορές
2. Το διαβάζω χωρίς αριθμούς
3. Σκέφτομαι ξανά την ερώτηση
Σκέφτομαι τι ξέρω και τι ζητώ
4. Σκέφτομαι τι θα βρω πρώτα και τι στη συνέχεια
(και με ποια πράξη)
5. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις
6. Ελέγχω αν το αποτέλεσμά μου είναι ΛΟΓΙΚΟ.
7. Γράφω την απάντηση
 Συμπλήρωσε ό,τι λείπει και λύσε το πρόβλημα:
Ένας κτηνοτρόφος έχει 50 κατσίκες και 12 αγελάδες. Η κάθε
κατσίκα τού δίνει (κατά μέσο όρο) 2 λίτρα γάλα την ημέρα, ενώ η
κάθε αγελάδα 10 λίτρα. Πόσο γάλα παίρνει από τα ζώα του ο
κτηνοτρόφος σε ένα μήνα (30 ημέρες);
1. Διαβάζω το πρόβλημα 2 φορές.
2. Διαβάζω το πρόβλημα χωρίς αριθμούς: « Ένας κτηνοτρόφος έχει μερικές
κατσίκες και μερικές αγελάδες. Η κάθε …………………………………………………….................
…………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………
3. Σκέφτομαι την ερώτηση: «Πόσο γάλα ………………………………………………………… ……………
………………………………………………………………
4. Σκέφτομαι τι ξέρω:
Ξέρω πόσες κατσίκες και πόσες …………………… έχει ο κτηνοτρόφος.
Ξέρω πόσο γάλα δίνει η κάθε ……………………… και πόσο η κάθε ………………………
Σκέφτομαι τι ζητώ:
Ζητώ πόσο ………………………………………………………… ……………………………………… …………………
5. Σκέφτομαι ότι πρώτα θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι κατσίκες κάθε ημέρα
(πολλαπλασιασμός), στη συνέχεια θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι
………………….………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………..
……………………………………………………………………………………………………… …………..………………………
….………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ΧΩΡΙΣΑΡΙΘΜΟΥΣ

gkatsao
6. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις τους:
7. Είναι το αποτέλεσμά μου ΛΟΓΙΚΟ; ΝΑΙ ΟΧΙ
8. Απάντηση:
Σε ένα μήνα ο κτηνοτρόφος παίρνει από τα ζώα του ……… λίτρα γάλα.
Λύσε τώρα ακριβώς (μα ακριβώς) με τον ίδιο τρόπο και γράφοντας παρόμοια, το
επόμενο πρόβλημα στο τετράδιο των Μαθηματικών σου!
Ένας ελαιοπαραγωγός έβγαλε από τα
περιβόλια του 5.450 κιλά ελιές βρώσιμες και
2.142 λίτρα λάδι. Πούλησε τις ελιές προς 2 €
το κιλό και το λάδι προς 3 € το λίτρο. Πόσα
χρήματα εισέπραξε συνολικά;

Σύνθετα προβλήματα – Συνδυάζοντας πληροφορίες (1) 4/5/2011
1. Η Ηρώ έφτιαξε ένα κολιέ με 14 κόκκινες και 21 ροζ χάντρες.
 Πόσες χάντρες έχει συνολικά το κολιέ;
…………………………………………………………………………………………………
 Εκφράζω με κλάσμα τις κόκκινες και τις ροζ χάντρες.
…………………………………………………………………………………………………
2. Τα 2,5 κιλά τυρί κοστίζουν 17,5€.
 Πόσο κοστίζει το 1 κιλό τυρί;
Σκέφτομαι τι θα πράξη θα κάνω: ……………………………………………………………………………………
Υπολογίζω ακριβώς:
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
 Πόσο κοστίζει το μισό ( )κιλό τυρί; …………………………………………………………………………..
 Πόσο κοστίζει το ¼ κιλό τυρί;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….

3. Δυο αθλητές κάνουν προπόνηση στο στάδιο. Ξεκινούν μαζί από το ίδιο σημείο. Ο
πρώτος κάνει το γύρω του σταδίου σε 40 ‘’ (δευτερόλεπτα) και ο δεύτερος σε 50 ‘’
(δευτερόλεπτα).Σε πόση ώρα θα ξανασυναντηθούν στο σημείο από το οποίο
ξεκίνησαν;
Σκέφτομαι τι θα κάνω: …………………………………………………………………………………………………
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
4. Ο ιδιοκτήτης ενός καταστήματος ηλεκτρικών ειδών πούλησε το Σεπτέμβριο 12
ψυγεία και τον Οκτώβριο 9.Αν η τιμή πώλησης κάθε ψυγείου ήταν 815 ευρώ, πόσα
χρήματα εισέπραξε συνολικά ο καταστηματάρχης;
Σκέφτομαι τι θα κάνω: ……………………………………………………………………………………………………
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
5. Η Τερψιχόρη για να πάει στο σχολείο περπατάει 584 μέτρα. Στα της απόστασης
είναι το σπίτι της φίλης της Καλλιόπης. Ποια είναι η απόσταση από το σπίτι της
Καλλιόπης μέχρι το σχολείο; (Θα σε βοηθήσει να κάνεις ένα σχήμα.)
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
Όνομα: …………………………………………………………………… Nansy Tzg

Σύνθετα προβλήματα – Συνδυάζοντας πληροφορίες (2) ……………….
1. Ο Δημήτρης έχει 40 πολύχρωμους βόλους. Από αυτούς τα είναι κόκκινοι, τα είναι
πράσινοι και οι υπόλοιποι κίτρινοι.
 Πόσοι βόλοι έχουν κόκκινο χρώμα;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
 Πόσοι βόλοι έχουν πράσινο χρώμα;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
 Πόσοι βόλοι έχουν κίτρινο χρώμα;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
2. Ο κύριος Κώστας έχει στο ανθοπωλείο του 160 λουλούδια . Τα των λουλουδιών είναι
τριαντάφυλλα. Από τα τριαντάφυλλα τα είναι κόκκινα και τα υπόλοιπα άσπρα.
Α) Πόσα είναι τα τριαντάφυλλα;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….

Β) Πόσα είναι τα κόκκινα τριαντάφυλλα;
Σκέφτομαι τι θα πράξη θα κάνω: ……………………………………………………………………………… ……
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
Γ) πόσα είναι τα άσπρα τριαντάφυλλα;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
3. Σχεδιάζω:
4. Η απόσταση Λάρισα- Φλώρινα είναι 231 χμ. Ο κ. Σταμάτης έχει διανύσει τα της
διαδρομής.
Πόσα χιλιόμετρα έχει διανύσει; ………………………………………………………………………………………..
Πόσα του μένουν ακόμα για να φτάσει στον προορισμό του;
Απαντώ: ……………………………………
Όνομα: ……………………………………………………………………………………………… Nansy Tzg.
Ένα τετράγωνο με περίμετρο 16 εκ. Ένα τετράγωνο με εμβαδόν 9 τ.εκ.

Σύνθετα προβλήματα – Συνδυάζοντας πληροφορίες (3) ……………….
1. Η κυρία Ελένη αγόρασε από τη Βιέννη σοκολατάκια. Συνολικά πλήρωσε 39,2€. Το
κάθε κουτί κόστισε 5,6€. Πόσα κουτιά αγόρασε;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
2. Μια παρέα παιδιών πήγε στον κινηματογράφο. Πλήρωσαν συνολικά 46,8€. Αν το
κάθε εισιτήριο κοστίζει 7,8€, πόσα εισιτήρια αγόρασαν;
Σκέφτομαι τι θα πράξη θα κάνω: ……………………………………………………………………
Απαντώ: …………………………………………………………………………………………………………
3. Τον ποδοσφαιρικό αγώνα για την κατάκτηση του ευρωπαϊκού πρωταθλήματος 2004,
που έγινε στη Λισαβόνα της Πορτογαλίας, παρακολούθησαν στο γήπεδο 12.750
Έλληνες θεατές. Οι Πορτογάλοι θεατές ήταν τετραπλάσιοι.
Α) Πόσοι ήταν οι Πορτογάλοι θεατές;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
Β) Πόσοι θεατές συνολικά παρακολούθησαν τον αγώνα;
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….

4. Με το σχολείο μας θα πάμε μια εκδρομή στα Καλάβρυτα. Το τουριστικό γραφείο που
βρήκαμε μας έκανε δύο προσφορές.
Συνολικά οι μαθητές του σχολείου είναι 260.
Ποιο από τα δυο λεωφορεία μας συμφέρει να διαλέξουμε;
Πόσο θα πληρώσουμε για το λεωφορείο των 48 θέσεων
Πόσο θα πληρώσουμε για το λεωφορείο των 65 θέσεων
Απαντώ: ………………………………………………………………………………………………………………………….
Πόσο είναι το εισιτήριο για το ένα παιδί; ……………………………………………………………………….
Όνομα: ……………………………………………………………………………………………
Nansy Tzg
Λεωφορείο 48 θέσεων
312€
Λεωφορείο 65 θέσεων
403€

gkatsao
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Τάξη: Ε2 ΄ 24-9-2009 Όνομα: ……………
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΕΡΩΤΗΣΗ
Οδηγίες: Στα παρακάτω προβλήματα λείπει η ερώτηση. Μπορείς να τη συμπληρώσεις
και να λύσεις τα προβλήματα στο πίσω μέρος του χαρτιού σου; Για το κάθε
πρόβλημα να γράψεις τις πράξεις κάθετα και οριζόντια και μια ολοκληρωμένη
απάντηση.
1. Αγόρασα 4 κιλά αχλάδια προς 2 € το κιλό και 5 κιλά πατάτες προς 2 € το
κιλό. Έδωσα στο μανάβη ένα χαρτονόμισμα των πενήντα ευρώ.
………………………………………………………………………………….
2. Ένας αγρότης φόρτωσε στο φορτηγάκι του 345 κιλά πατάτες και 124 κιλά
μήλα. Θέλει ακόμη να φορτώσει και πορτοκάλια, αλλά το φορτηγάκι μπορεί
να σηκώσει βάρος μόνο μέχρι 600 κιλά.
…………………………………………………………………………………..
3. Ένας υπάλληλος ξοδεύει 450 € από το μισθό του για φαγητό, 300 € για
ενοίκιο του σπιτιού του και του μένουν άλλα τόσα για να καλύψει τα
υπόλοιπα έξοδά του.
…………………………………………………………………………………..
4. Ο κύριος Κώστας έχει στην αποθήκη του τρία βαρέλια γεμάτα με κρασί. Το
πρώτο βαρέλι έχει 1.210 λίτρα, το δεύτερο 970 λίτρα και το τρίτο έχει τα μισά
λίτρα από ότι και τα άλλα δύο μαζί.
…………………………………………………………………………………..
Μπορείς να γράψεις τέτοιες
ερωτήσεις, ώστε τα προβλήματά
σου να λύνονται με ΔΥΟ
τουλάχιστο πράξεις;

elena
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ . . . ΓΕΡΑ ΜΟΛΥΒΙΑ
Δύο αθλητές αγωνίστηκαν στο άλμα . Ο πρώτος πήδησε 6,95 μέτρα και ο
δεύτερος 7,1 μέτρα.
Ποιο άλμα ήταν το μικρότερο;
Ποια ήταν η διαφορά των δύο αλμάτων;
Ο Γιάννης έχει ύψος 1,43 μέτρα, ενώ Η Σοφία 1,33 μέτρα.
Ποιο παιδί είναι πιο ψηλό;
Πόση διαφορά ύψους έχουν τα δύο παιδιά;
Η ψηλότερη κορυφή του κόσμου είναι το Έβερεστ της οροσειράς των
Ιμαλαΐων με ύψος 8,848 χιλιόμετρα, ενώ η ψηλότερη κορυφή της
Ευρώπης είναι το Λευκό Όρος της οροσειράς των Άλπεων με ύψος 4,81
χιλιόμετρα .
Ποια είναι η ψηλότερη κορυφή;
Πόση είναι η διαφορά ύψους μεταξύ του Έβερεστ και του Λευκού Όρους;
Η ημερήσια παραγωγή πετρελαίου μιας πετρελαϊκής εταιρείας στη Σαουδική
Αραβία είναι 120,8 τόνοι. Ο Σαουδάραβας πρόεδρος της εταιρείας δήλωσε
πως η εταιρεία του θα αυξήσει την παραγωγή της, ώστε να φτάσει τους 166,9
τόνους την ημέρα. Πόσοι τόνοι θα είναι η αύξηση της παραγωγής;
Ένας εκδοτικός οίκος τύπωσε 3.000 αντίτυπα ενός βιβλίου με παιδικά
διηγήματα.
από τις πωλή
Η κυρία Έλλη αγόρασε μια βιντεοκάμερα και συμφώνησε να την εξοφλήσει
τα
κόστισε η βιντεοκάμερα στην κυρία Έλλη;
Ένας μελισσοκόμος πούλησε 4 δοχεία με μέλι. Το πρώτο δοχείο περιείχε
8,5 κιλά, το δεύτερο περιείχε 4,750 κιλά, το τρίτο 7 κιλά και το τέταρτο
10 κιλά. Πόσα
μέλι πούλησε ο μελισσοκόμος;

elena
Τον προηγούμενο μήνα η κυρία Βασιλική πλήρωσε το λογαριασμό της ΔΕΗ με
Πόσα ήταν συνολικά τα έξοδα της κυρίας Βασιλικής για πληρωμή
λογαριασμών και κοινοχρήστων;
Μια ημέρα ένας ψαράς έπιασε 8,370 κιλά μπαρμπούνια, 12,450 κιλά
σαρδέλες, 4,5 κιλά λιθρίνια, 5 κιλά τσιπούρες 1,445 κιλά γόπες. Πόσα
κιλά ψάρια έπιασε συνολικά;
0
ένα μέρος των χρημάτων αγόρασε ένα cd με τραγούδια και του περίσσεψαν
cd;
Ο ιδιοκτήτης μιας κτηνοτροφικής μονάδας πούλησε 10 βαρέλια με τυρί προς
Ο Χάρης έχει στον κουμπαρά του 163
περισσότερα
από το Χάρη.
α) Πόσα χρήματα έχει η Μίνα;
β) Πόσα χρήματα έχουν και τα δύο παιδιά μαζί;
Σε έναν βρεφονηπιακό σταθμό φιλοξενούνται 142 παιδάκια, καθένα από τα
οποία καταναλώνει καθημερινά 0,250 λίτρα γάλα. Πόσο γάλα καταναλώνουν
τα παιδάκια σε μία ημέρα;
Χθες το πρωί η Λάρισα είχε θερμοκρασία 6,8°0. Το μεσημέρι η θερμοκρασία
ανέβηκε κατά 7,9°Ο και το βράδυ έπεσε κατά 5,3° Ο.
α) Ποια ήταν η θερμοκρασία της Λάρισας το μεσημέρι;
β) Ποια θερμοκρασία είχε η Λάρισα το βράδυ ;

elena
Ο παππούς του Θοδωρή έβγαλε από το αμπέλι του 2 τον. 240 κ. 750 γραμ.
μούστο. Πούλησε 1 τον. 825 κ. 500 γραμ. και με τον μούστο που έμεινε γέμισε
ένα βαρέλι που έχει στην αποθήκη του. Ποια είναι η χωρητικότητα του
βαρελιού;
Η Αναστασία είναι καθηγήτρια Αγγλικών και εργάζεται σε ένα
φροντιστήριο ξένων γλωσσών. Καθημερινά αρχίζει την παράδοση
μαθημάτων στις 4:30 μ.μ. και τελειώνει στις 10 : 30 μ.μ. Πόσες ώρες
εργάζεται καθημερινά η Αναστασία;
Δύο αθλητές διάνυσαν την ίδια απόσταση. Ο ένας έκανε 3 ωρ. 57
λ. 45 δ. και ο άλλος 4 ωρ. 2λ. 23 δ. Πόσο νωρίτερα έφτασε στο τέρμα ο πρώτος από τον
δεύτερο αθλητή;
Ένας ταξιδιώτης έφτασε στο αεροδρόμιο Ελευθέριος Βενιζέλος και
χρησιμοποίησε το Αττικό Μετρό για να πάει στο Σύνταγμα. Αν γνωρίζετε
ότι αναχώρησε από το αεροδρόμιο στις 10 : 25 π.μ. και έφτασε στο
Σύνταγμα στις 11 : 07 π.μ., να βρείτε πόση ήταν η διάρκεια του
δρομολόγιου.
Ο Γιώργος αποφάσισε να διανύσει με ποδήλατο την απόσταση από την
Τρίπολη έως την Χαλκίδα, που είναι 261 χμ. Το πρωί διάνυσε 93 χμ. 980
μ. και το απόγευμα 77 χμ. 65μ. Πόση είναι η απόσταση που απομένει να
διανύσει ακόμη για να φτάσει στον προορισμό του
Ο Θοδωρής μέτρησε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της βιβλιοθήκης του.
Το μήκος είναι 1 μ. 8 δεκ. 4 εκ. και το πλάτος είναι 4 δεκ. Το ύψος της
βιβλιοθήκης είναι 1 δεκ. 4 εκ. λιγότερο από το μήκος και το πλάτος μαζί.
Πόσο είναι το ύψος της βιβλιοθήκης;
Σε έναν αγώνα στίβου μια αθλήτρια αγωνίζεται στο άλμα επί κοντώ. Στην
πρώτη της προσπάθεια πέρασε με ευκολία τον πήχη που ήταν τοποθετημένος
στα 4 μ.6 δεκ. 4 εκ. Στην επόμενη προσπάθεια ανέβασε τον πήχη κατά 8 εκ.
και τον πέρασε και πάλι, καταρρίπτοντας έτσι το ατομικό της ρεκόρ, που
ήταν 3 εκ. λιγότερο. Ποιο ήταν το ατομικό ρεκόρ της αθλήτριας;
Ο ναός του Δία, που βρίσκεται στην Ολυμπία, έχει ύψος 20 μ. 2 δεκ. 5 εκ. Το μήκος
του είναι 43 μ. 8 δεκ. 7 εκ. μεγαλύτερο από το
ύψος. Το πλάτος είναι 36 μ. 4 δεκ. 4 εκ. μικρότερο από το μήκος. Πόσο είναι το
μήκος και το πλάτος του ναού;

242
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ
ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ
Ðåñéå÷üìåíá:
46. Aîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá ............ óåë. 243
47. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá -
ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)................................... óåë. 250
48. Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí -
äéüñèùóç ðñïâëÞìáôïò .............................................. óåë. 259
49. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá -
ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (â)................................... óåë. 264
50. Óìßêñõíóç - ÌåãÝèõíóç ............................................. óåë. 271
8ï
Åðáíáëçðôéêü .......................................................... óåë. 276
Ãéá ðåñéóóüôåñç åîÜóêçóç ........................................... óåë. 278
ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò.................................................. óåë. 286
Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïò
âéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçí
Ýããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.
Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:
ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ
Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:
ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓ
ÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ
Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:
FORWARD CREATIVE BUREAU
210 9585645
DTP - ÃñáöéêÜ:
ÔÓÅËÉÊÈÅÏ×ÁÑÉÄÏÕ ÖÙÔÅÉÍÇ
ÅéêïíïãñÜöçóç:
ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓ
ÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇË
ÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
Copyright:
Ç. ÌáíéáôÝáò
ÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.
ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝá
ôçë. 210 9546555

243
46. Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
¢óêçóç á
Íá õðïëïãéóôåß óôï äéðëáíü ó÷Þìá:
á. ç ðåñßìåôñïò ôïõ
â. ôï åìâáäüí ôïõ
ëýóç
á. Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé ç åîÞò:
3 + 7 + 6 + 3 + 3 + 4 = 26 åê.
â. Ãéá íá õðïëïãßóù ôï åìâáäüí ôïõ ó÷Þìáôïò èá ôï ÷ùñß-
óù óå ãíùóôÜ ó÷Þìáôá áðü ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé. Èá
áèñïßóù ôá åðéìÝñïõò åìâáäÜ ôïõ ó÷Þìáôïò êáé Ýôóé èá
âñù ôï åìâáäüí ôïõ áñ÷éêïý ìïõ ó÷Þìáôïò.
Åìâáäüí (1) = 3 · 4 = 12 ô.åê.
Åìâáäüí (2) = 3 · 6 = 18 ô.åê.
Åìâáäüí ó÷Þìáôïò = 12 + 18 = 30 ô.åê.

244
Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 6
• Ïé ëéãüôåñïé âáèìïß óõãêåíôñþíïíôáé êáôÜ ôç äéáäñïìÞ:
100 + 200 + 300 + 70 +1.100 = 1.770
• Ïé ðåñéóóüôåñïé âáèìïß óõãêåíôñþíïíôáé óôç äéáäñïìÞ:
100+500 + 900 + 1.000 + 600 + 200 + 300 + 400 + 800 + 1.200 + 1.100 = 7.100
• Áí áêïëïõèÞóïõìå ôç äéáäñïìÞ: 100-500-600-200-300-700-1100
ïé âáèìïß ðïõ óõãêåíôñþíïíôáé åßíáé100 + 500 + 600 + 200 +300 + 700 + 1.100 = 3.500

245
¢óêçóç â
• Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ôïõ ó÷Þìáôïò.
• Ðüóï åßíáé ôï åìâáäüí ôïõ ÷ñùìáôéóìÝíïõ ôìÞìáôïò;
ëýóç
• Ôï ó÷Þìá áðïôåëåß ìïôßâï, ôïõ ïðïßïõ ôï åðáíáëáìâáíüìåíï êïììÜôé åßíáé
Ôï åìâáäüí ôïõ åßíáé 2 · 1,5 = 3 ô.åê.
Ïðüôå ôï åìâáäüí ôïõ ó÷Þìáôïò èá åßíáé 6 ÷ 3 = 18 ô.åê.
• 3 : 2 = 1,5 ô.åê.
6 ÷ 1,5 = 9 ô.åê. åßíáé ôï åìâáäüí ôïõ ÷ñùìáôéóìÝíïõ ôìÞìáôïò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
Åêôéìþ: ðåñßðïõ 20ô.åê. äéüôé åßíáé 9 ïñè. ôñßãùíá ðïõ ôï êáèÝíá Ý÷åé åìâáäüí ôï
1
4
ôïõ ôåôñáãþíïõ ðïõ åßíáé 9ô.åê. Üñá ôï êáèÝíá Ý÷åé ðåñßðïõ 2ô.åê.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá: τριγ τετραγώνου
1 21
Ε Ε 200 42
4 100
= = ⋅ = Ôï óõíïëéêü åìâáäüí åßíáé
9 81
9 τ.εκ.
4 4
⋅ =
• åßíáé ôï
1
4
ôïõ ôåôñáãþíïõ: κόκκινηςεπιφάνειας
9
Ε τ.εκ.
4
=

246
¢óêçóç ã
ÄéáèÝôïõìå ôïõò áñéèìïýò 100, 200, 300, 400, 500, ........, 1800, 1900, 2000 êáé ôñåßò ößëïé ï ÊùóôÜêçò, ç
ÑÜíéá êáé ç Ëüëá ðáßæïõí Ýíá ðáé÷íßäé ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôïõò ðáñáðÜíù áñéèìïýò ìå ôïõò åîÞò êáíüíåò.
Ê1. Ï ÊùóôÜêçò åðéëÝãåé Ýíáí áñéèìü ôï ðñþôï øçößï ôïõ ïðïßïõ áí åßíáé ôñéøÞöéïò Þ ôá äýï ðñþôá
øçößá áí åßíáé ôåôñáøÞöéïò üôáí äéáéñïýíôáé ìå ôï 2 áöÞíïõí õðüëïéðï 1.
Ê2. Óôç óõíÝ÷åéá ç ÑÜíéá êáé ç Ëüëá åðéëÝãïõí Ýíá áðü ôá äýï ãñÜììáôá Ð Þ Ì (áí ð.÷. ç ÑÜíéá
åðéëÝîåé Ð, ç Ëüëá åðéëÝãåé áíáãêáóôéêÜ Ì ãé’áõôü åðéëÝãåé ðñþôá ìéá öïñÜ ç ìßá êáé ôçí Üëëç
öïñÜ ç Üëëç). Ìå ôï ãñÜììá Ð ðáñéóôÜíåôáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí áñéèìþí ðïõ åßíáé ìéêñüôåñïé
áðü ôïí áñéèìü ðïõ åðÝëåîå ï ÊùóôÜêçò, ôùí ïðïßùí üìùò ôï ðñþôï øçößï áí åßíáé ôñéøÞöéï Þ ôá
äýï ðñþôá øçößá áí åßíáé ôåôñáøÞöéïé äéáéñïýíôáé áêñéâþò ìå ôï 2.
Ìå ôï ãñÜììá Ì ðáñéóôÜíåôáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí áñéèìþí ðïõ åßíáé ìåãáëýôåñïé áðü ôïí
áñéèìü ðïõ åðÝëåîå ï ÊùóôÜêçò ìå ôçí ßäéá âÝâáéá ðñïõðüèåóç ãéá ôá øçößá ôïõò üðùò óôï
ãñÜììá Ð.
Ê3. Ôá áèñïßóìáôá Ð, Ì áðïôåëïýí ôïõò âáèìïýò ôïõ ðáéäéïý ðïõ ôá åðéëÝãåé. Êåñäßæåé üðïéï ðáéäß
Ý÷åé óõãêåíôñþóåé óôï ôÝëïò ôïõ ðáé÷íéäéïý ôï ìåãáëýôåñï Üèñïéóìá âáèìþí.
1. Íá õðïëïãßóåôå, óå êÜèå ðåñßðôùóç áñéèìïý ðïõ åðéëÝãåé ï ÊùóôÜêçò, ôá Ð, Ì.
2. Ìðïñåß ç ÑÜíéá êáé ç Ëüëá óå êÜðïéá öÜóç ôïõ ðáé÷íéäéïý íá åðéëÝîïõí ð.÷. ç ÑÜíéá Ð êáé ç Ëüëá
Ì êáé íá éó÷ýåé Ð + Ì = 11.000
3. Ðïéïí áñéèìü ðñÝðåé íá åðéëÝîåé ï ÊùóôÜêçò þóôå ç ÑÜíéá íá åðéëÝîåé ôï Ð ãéá ôï ïðïßï íá éó÷ýåé
Ð = 9000 êáé ç Ëüëá ôï Ì ãéá ôï ïðïßï íá éó÷ýåé Ì = 11.000
4. ¼ôáí ï ÊùóôÜêçò åðéëÝãåé áñéèìü ôÝôïéïí þóôå ôï ðëÞèïò ôùí áñéèìþí ðïõ öôéÜ÷íïõí ôï Ð åßíáé ßóï
ìå ôï ðëÞèïò ôùí áñéèìþí ðïõ öôéÜ÷íïõí ôï Ì. Íá õðïëïãßóåôå ôá Ð, Ì êáé íá ôá óõãêñßíåôå.
5. ÕðÜñ÷åé ðåñßðôùóç åðéëïãÞò áñéèìïý áðï ôïí ÊùóôÜêç Ýôóé þóôå Ð = Ì êáé ðïéïò åßíáé áõôüò ï
áñéèìüò;
6. Áí ç ÑÜíéá äéáëÝîåé üëá ôá Ð êáé ç Ëüëá üëá ôá Ì ðïéÜ èá åßíáé êåñäéóìÝíç êáé ðïéá èá åßíáé ç
äéáöïñÜ óôçí âáèìïëïãßá ôïõò;´
Óçìåßùóç: Ôïõò áñéèìïýò ðïõ äéáéñïýìåíïé ìå ôï 2 áöÞíïõí õðüëïéðï 1 ôïõò ïíïìÜæïõìå ðåñéôôïýò
(ìïíïýò).
Ôïõò áñéèìïýò ðïõ äéáéñïýìåíïé ìå ôï 2 áöÞíïõí õðüëïéðï 0 (äéáéñïýíôáé äçëáäÞ áêñéâþò)
ôïõò ïíïìÜæïõìå Üñôéïõò (æõãïýò).

247
ëýóç
Áñ÷éêÜ ðáñáôçñïýìå ôïõò áñéèìïýò ðïõ äéáèÝôïõìå êáé ãéá áðëïýóôåõóç, ÷ùñßò íá ÷Üíïõìå ôßðïôá
áðü ôéò ðñïõðïèÝóåéò ðïõ ðñÝðåé íá ðëçñïýíôáé óôç óõíÝ÷åéá, ôïõò äéáéñïýìå üëïõò ìå 100.
¸ôóé ãßíïíôáé:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
Óôç óõíÝ÷åéá êáôáóôñþíïõìå ôïí ðáñáêÜôù åõöõÞ êáé óõíïðôéêü ðßíáêá ðÜíù óôïí ïðïßï öáßíåôáé
îåêÜèáñá ç ó÷Ýóç ôïõ Ð,Ì ãéá ïðïéáäÞðïôå åðéëïãÞ áñéèìïý, åîçãþíôáò ïôé ïé áñéèìïß ðïõ ìðïñåß
íá åðéëÝîåé ï ÊùóôÜêçò åßíáé:
100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
êáé ïé áñéèìïß ðïõ ìåôÝ÷ïõí óôá áèñïßóìáôá Ð,Ì åßíáé:
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1. Õðïëïãßæïõìå ôá Ð,Ì óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ï ÊùóôÜêçò åðéëÝãåé ôïí áñéèìü 900 (9):
Ð = 200 + 400 + 600 + 800 = 2000
äçë. Ð = 2 + 4 + 6 + 8 = 20
êáé Ì = 1000 + 1200 + 1400 + 1600 + 1800 + 2000 = 9000
äçë. Ì = 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 90
¼ìïéá êáé óôéò Üëëåò ðåñéðôþóåéò êáé êáôáóôñþíïõìå ôïí ðßíáêá.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ð Ì
1: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 110
3: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 108
5: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 6 104
7: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 12 98
9: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 20 90
11: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 30 80
13: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 42 68
15: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 56 54
17: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 72 38
19: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 90 20
Óýíïëï 330 770

248
2. Óå êÜèå ðåñßðôùóç åðéëïãÞò áñéèìïý áðü ôïí ÊùóôÜêç éó÷ýåé Ð + Ì = 11.000
3. Äåí õðÜñ÷åé êáíÝíáò ôÝôïéïò áñéèìüò, äéüôé áí õðÞñ÷å ôüôå Ð + Ì = 9.000 + 11.000 = 20.000, ôï
ïðïßï åßíáé áäýíáôïí óýìöùíá ìå ôï 2 åñþôçìá.
4. Ï áñéèìüò ðïõ åðéëÝãåé ï ÊùóôÜêçò åßíáé 1.100 êáé ôüôå
Ð = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 (3000) êáé
Ì = 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 80 (8000)
5. Ðåñßðôùóç ôÝôïéá üðùò öáßíåôáé áðü ôïí ðßíáêá äåí õðÜñ÷åé.
6. Ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç åßíáé ïé âáèìïß ôçò ÑÜíéáò, ðïõ åðéëÝãåé üëá ôá Ð, 33.000 êáé ôçò Ëüëáò ðïõ
åðïëÝãåé üëá ôá Ì, 77.000. ÅðïìÝíùò èá åßíáé êåñäéóìÝíç ç Ëüëá êáé ç äéáöïñÜ ôçò âáèìïëïãßá
ôïõò èá åßíáé: 77.000 - 33.000 = 44.000
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 7 Óôá ó÷Þìáôá (â), (ã), (ä) ãíùñßæù êÜèå öïñÜ ôï åìâáäü
ôïõ ìåãÜëïõ ôåôñáãþíïõ êáé ðáñáôçñþ üôé 2 ìéêñÜ ôñß-
ãùíá Ý÷ïõí ßóï åìâáäü ìå 1 ìéêñü ôåôñÜãùíï.
ÅêöñÜæù óå êÜèå ðåñßðôùóç ôç ÷ñùìáôéóìÝíç åðéöÜíåéá:
( )α
3
4
Þ 0,75 ( )β
4
9
Þ 0,44
( )γ
2 1
ή
4 2
Þ 0,5 ( )δ
3
4
Þ 0,75

249
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
• ÁèÞíá - Áãñßíéï: 300÷ì., ÓðÜñôç - Áãñßíéï: 400÷ì, ÐÜôñá - Áãñßíéï: 90÷ì.
• ÐñïóèÝôù ôá ÷éëéüìåôñá êÜèå óôÞëçò åîáéñþíôáò ôç ãñáììÞ ðïõ áíáöÝñåôáé óôï Áãñßíéï.
Ôá ëéãüôåñá ÷ì. ôá äéáíýïõí áí óõíáíôçèïýí óôçí ÁèÞíá: 210 + 230 = 440

250
47. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
¢óêçóç á
¸íáò êáèçãçôÞò ñùôÜåé ôïõò ìáèçôÝò ôçò ôÜîçò ôïõ. “ ¢í äéðëáóéÜóù ôï
ôñéðëÜóéï ôïõ ìéóïý ôçò çëéêßáò ôïõ ãéïý ìïõ èá Ýâñéóêá ôçí çëéêßá ìïõ.
Ç çëéêßá ìïõ åßíáé áñéèìçôéêÜ ßóç ìå ôï 21% ôïõ 200. Ðüóùí ÷ñïíþí Þôáí
ï ãõéüò ìïõ ôï 1996;
ëýóç
Áñ÷éêÜ âñßóêïõìå ôçí çëéêßá ôïõ êáèçãçôÞ:
21
200 42
100
⋅ = ÷ñïíþí
Ôï äéðëÜóéï ôïõ ôñéðëÜóéïõ ôïõ ìéóïý ôçò çëéêßáò ôïõ ãéïý åßíáé ç çëéêßá
ôïõ êáèçãçôÞ ðïõ üðùò âñÞêáìå åßíáé 42 ÷ñïíþí. ¢ñá ôï ôñéðëÜóéï ôçò
çëéêßáò ôïõ ãéïý ôïõ åßíáé 21 ÷ñüíéá.
¢ñá ï ãéüò ôïõ åßíáé áõôÞ ôçí óôéãìÞ (2006) 14 ÷ñïíþí.
2006 - 14 = 1992. ÃåííÞèçêå ôï 1992.
¢ñá ôï 1996 Þôáí 4 ÷ñïíþí.
¢óêçóç â
Óôá 100 ãñáìì. óïêïëÜôáò õðÜñ÷ïõí 620 èåñìßäåò.
• Ðüóç åßíáé ç èåñìéäéêÞ áîßá 125 ãñáìì. óïêïëÜôáò;
• Ðüóç åßíáé ç èåñìéäéêÞ áîßá 20 ãñáìì. óïêïëÜôáò;

251
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
ëýóç
• Áöïý ôá 100 ãñáìì. óïêïëÜôáò Ý÷ïõí èåñìéäéêÞ áîßá 620 èåñìßäåò.
Ôá 25 ãñáìì. èá Ý÷ïõí: 620 : 4 = 155 èåñìßäåò.
Ôá 125 ãñáìì. óïêïëÜôáò Ý÷ïõí 620 + 155 = 755 èåñìßäåò.
• Ôá 20 ãñáìì. óïêïëÜôáò Ý÷ïõí: 620 : 5 = 124 èåñìßäåò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 8 Áãüñáóá 4,5 êéëÜ ôõñß êáé ðëÞñùóá 54 .
Ðüóï êïóôßæåé ôï Ýíá êéëü;
• Ôá 4,5 êéëÜ êïóôßæïõí 54 Üñá ôï 1 êéëü êïóôßæåé 54:4,5 = 12 êáé ôï
1
4
êïóôßæåé
12
3€
4
=
• Áí áãïñÜóïõìå
3
4
ôïõ êéëïý ôõñß, ðüóï èá ðëçñþóïõìå;
¢óêçóç ã
Óå Ýíá êáôÜóôçìá çëåêôñéêþí åéäþí, ï ðùëçôÞò ðïýëçóå Ýíá
ðëõíôÞñéï ðñïò 240 êáé Ýíá øõãåßï ðñïò 420 . Áí ôï Ö.Ð.Á.
åßíáé 19% êáé ôï êÝñäïò ôïõ åßíáé 6% ôçò áñ÷éêÞò ôéìÞò ÷ùñßò
Ö.Ð.Á. ðüóá ÷ñÞìáôá ðÞñå ï ðùëçôÞò;
ëýóç
Ç ôéìÞ ôïõ ðëõíôçñßïõ ÷ùñßò ôï Ö.Ð.Á. åßíáé:
19
240 240 240 45,6 194,4€
100
− = − =

252
Ç ôéìÞ ôïõ øõãåßïõ ÷ùñßò ôï Ö.Ð.Á. åßíáé:
19
420 420 420 79,8 340,20€
100
− = − =
Ï ðùëçôÞò èá ðÜñåé:
6
194,4 11,66€
100
=
6
340,20 20,41€
100
=
ÓõíïëéêÜ: 11,66
+ 20,41
32,07
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
Áí áðü ôï 86 áöáéñÝóïõìå ôçí çëéêßá ôïõ ËïõêÜ
86–11=75 ðáßñíïõìå ôï Üèñïéóìá ôçò çëéêßáò ôïõ
ðáôÝñá ôïõ êáé ôçò ìçôÝñáò ôïõ.
Áöïý Ý÷ïõí äéáöïñÜ 3 ÷ñüíéá, áöáéñïýìå ôï 3 áðü
ôï 75 (75–3=72)
Ôï ìéóü ôïõ 72 åßíáé 36 Üñá ï ðáôÝñáò ôïõ åßíáé 36
êáé ç ìçôÝñá ôïõ 36+3=39.

253
¢óêçóç ä
Ï ÔÜóïò ðÞãå óôï ìáãáæß ôçò ãåéôïíéÜò ôïõ íá áãïñÜóåé îçñïýò
êáñðïýò. Áõôoß ðïõ ôïõ Üñåóáí êüóôéæáí 12 ôï êéëü.
• Ðüóï êïóôßæïõí ôá 100 ãñáìì. ;
• Áí åß÷å ìáæß ôïõ 3,5 ,ìðïñïýóå íá áãïñÜóåé 1/4 ôïõ êéëïý
áðü ôïõò êáñðïýò ðïõ ôïõ Üñåóáí;
ëýóç
Ôá 1.000 ãñáìì. êïóôßæïõí 12 .
Ôá 100 ãñáìì. êïóôßæïõí 1,2 .
Ôá 250 ãñáìì. êïóôßæïõí 12 : 4 = 3 .
Ìðïñåß íá ôá áãïñÜóåé êáé ôïõ ìÝíåé êáé ìéóü åõñþ.
¢óêçóç å
Óôéò áíáãñáöüìåíåò ôéìÝò ôï êÝñäïò ôïõ Ýìðïñïõ åßíáé 25%.
• Ðüóï åßíáé ôï êÝñäïò ôïõ óå êáèÝíá áðü ôá 3 ðñïúüíôá, êáé ðïéï ôï óõíïëéêü êÝñäïò;
• Áí óôéò áíáãñáöüìåíåò ôéìÝò ãßíåé Ýêðôùóç 10% ôé êÝñäïò èá Ý÷åé ï Ýìðïñïò ôåëéêÜ áðü êÜèå
ðñïúüí;
ëýóç
• êÝñäïò 25% óçìáßíåé üôé êåñäßæåé: 25 óôá 100 Þ 1 óôá 4
¢ñá 36 : 4 = 9, êåñäßæåé 9 åõñþ ....
40 : 4 = 10, êåñäßæåé 10 åõñþ ....
60 : 4 = 15, êåñäßæåé 15 åõñþ .....
ÓõíïëéêÜ êåñäßæåé: 9 + 10 + 15 = 34 .

254
Áí ãßíåé Ýêðôùóç 10% äçëáäÞ 1 óôá 10 , ôüôå ç ìðëïýæá èá ðùëçèåß 4 ëéãüôåñï äçëáäÞ 36 .
Ôï êÝñäïò ôïõ åìðüñïõ èá åßíáé ôüôå: 36 : 4 = 9 .
¢ëëïò ôñüðïò:
×ùñßò ôçí Ýêðôùóç êÝñäéæå 10 .
Áí êÜíåé Ýêðôùóç 10% èá êåñäßóåé êáé 10% ëéãüôåñï. Ôï 10% ôùí 10 åßíáé 1 .
¢ñá èá êåñäßóåé 9 . Ìå üìïéï ôñüðï âñßóêïõìå üôé óôï ðáíôåëüíé êåñäßæåé: 9 – 10% ôïõ 9 = 0,9 = 8,1 .
êáé óôï ìðïõöÜí 15 –10% ôïõ 15 = 15 –
10
15 1,5 13,5€
100
− = .
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• Åêôéìþ: Ôï ßäéï
Åîçãþ ðùò óêÝöôçêá: Ôá 250ãñáìì. ÷ïéñéíü êïóôßæïõí 9,5 : 5 ðåñßðïõ 2 .
Ôá 250ãñáìì. ìïó÷Üñé êïóôßæïõí 11,5 : 6 ðåñßðïõ 2
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:
• 9,5 : 5 = 1,9 êïóôßæïõí ôá 250ãñáìì., Üñá ôá 1.000 = 4·250 êïóôßæïõí 4 · 1,9=7,6
• ÐÞñáí äýï óõóêåõáóßåò ìå ÷ïéñéíü êáé ìéá óõóêåõáóßá ìå ìïó÷Üñé áöïý:
1.250 + 1.250 + 1.500 = 4.000 ãñáìì. Þ 4 êéëÜ.

255
¢óêçóç óô
Ôñåéò ößëïé îåêéíïýí ìáæß êáé ôñÝ÷ïõí ôï ãýñï åíüò óôáäßïõ. Ï
ðñþôïò êÜíåé ôï ãýñï óå 60’’, ï äåýôåñïò óå 40’’ êáé ï ôñßôïò óå 45’’.
• Óå ðüóç þñá èá óõíáíôçèïýí êáé ïé ôñåéò ìáæß óôçí åêêßíçóç;
• ÕðÜñ÷åé ðåñßðôùóç íá óõíáíôçèïýí óôçí åêêßíçóç ìüíï ï
äåýôåñïò êáé ï ôñßôïò ðñéí óõíáíçèïýí êáé ïé ôñåéò ìáæß;
ëýóç
• Óýìöùíá ìå ôïí ðßíáêá: èá óõíáíôçèïýí ìáæß ãéá ðñþôç öïñÜ ìåôÜ áðü 180’’.
• Äåí õðÜñ÷åé ðåñßðôùóç íá óõíáíôçèåß ï äåýôåñïò êáé ï ôñßôïò ðñéí óõíáíôçèïýí êáé ïé
ôñåéò ìáæß.
÷ñüíï 60’’ 120’’ 180’’
ðñþôïò íáé íáé íáé
äåýôåñïò – íáé íáé
ôñßôïò – – íáé
¢óêçóç æ
Ðáñáôçñþ ôá äåäïìÝíá óôçí åéêüíá. ÅêöñÜæù ìå ëüãéá Ýíá ðñüâëçìá êáé
ðñïôåßíù ôç ëýóç ôïõ.
ëýóç
Ôá 25 êéëÜ ìÞëá êïóôßæïõí 50 . Ðüóï êïóôßæïõí ôá
3
4
ôïõ êéëïý;
Ôï 1 êéëü êïóôßæåé 50 : 25 = 2 Üñá ôï
1
4
ôïõ êéëïý êïóôßæåé: 2 : 4 = 0,5
êáé åðïìÝíùò ôá
3
4
ôïõ êéëïý êïóôßæïõí
3
x2 1,5€
4
= .
50 åõñþ

256
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
•
120
30
4
= êüêêéíåò. Áðü áõôÝò ôï
1
5
Ý÷ïõí ãåýóç öñÜïõëá, Üñá
1
30 6
5
= êáé ôá
3
5
Ý÷ïõí
ãåýóç êåñÜóé äçë.
3
30 18
5
⋅ = .
ÕðÜñ÷ïõí êáé 30 – 6 – 18 = 6 êüêêéíåò êáñáìÝëåò ìå Üëëç ãåýóç.
• Êüêêéíåò ìå ãåýóç öñÜïõëá:
6
5%
120
=
Êüêêéíåò ìå ãåýóç êåñÜóé:
18
15%
120
=
Êüêêéíåò ìå Üëëç ãåýóç:
6
5%
120
=
• åßíáé 120 – 30 = 90 êáñáìÝëåò ôï
3 3 25 75
ή 75%
4 4 25 100
= =
⋅
⋅
ôïõ óõíüëïõ.
¢óêçóç ç
Ï Ãéþñãïò åßíáé 46 ÷ñïíþí. Ï ößëïò
ôïõ ï Óôáýñïò åßíáé 17 ÷ñüíéá ìåãáëý-
ôåñïò áðü ôçí êïéíÞ ôïõò ößëç ôçí Êá-
ôåñßíá. Ðüóï ÷ñïíþí åßíáé ïé ößëïé ôïõ
Ãéþñãïõ áí ôï Üèñïéóìá ôùí çëéêéþí
êáé ôùí ôñéþí åßíáé 115 ÷ñüíéá;

257
ëýóç
Ôï Üèñïéóìá ôùí çëéêéþí ôçò Êáôåñßíáò êáé ôïõ Óôáýñïõ åßíáé: 115 – 46 = 69.
Ï Óôáýñïò åßíáé 17 ÷ñüíéá ìåãáëýôåñïò áðü ôçí Êáôåñßíá, Üñá : 69 – 17 = 52
¼ìùò, çëéêßá Êáôåñßíáò + çëéêßá Óôáýñïõ = 69.
Ç Êáôåñßíá åßíáé 26 êáé ï Óôáýñïò 26 + 17 = 43.
¢óêçóç è
Áðü ôïõò 150 ìáèçôÝò åíüò Äçìïôéêïý ôï
1
3
öïñÜ
ôæéí ðáíôåëüíé. Áðü áõôïýò ðïõ öïñïýí ðáíôåëüíé
ôï
1
5
öïñÜåé ðáíôåëüíé ìáýñïõ ÷ñþìáôïò êáé ôá
2
5
öïñïýí ìðëÝ. Ðüóïé ìáèçôÝò öïñïýí ôæéí ðáíôåëüíé
• ìáýñïõ ÷ñþìáôïò • ìðëå ÷ñþìáôïò
• Üëëïõ ÷ñþìáôïò
ëýóç
Ôï
1
3
ôïõ 150 åßíáé 150 : 3 = 50 ¢ñá 50 ìáèçôÝò öïñïýí ôæéí.
Ôï
1
5
ôïõ 50 åßíáé 50 : 5 = 10 ¢ñá 10 ìáèçôÝò öïñïýí ìáýñï ðáíôåëüíé.
Ôá
2
5
ôïõ 50 åßíáé 2 ÷ 10 = 20 ¢ñá 20 ìáèçôÝò öïñïýí ìðëÝ ðáíôåëüíé.
¢ñá 50 – 10 – 20 = 20 öïñïýí ðáíôåëüíé Üëëïõ ÷ñþìáôïò.

258
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
•
Áí Ý÷åé åìâáäüí 36ô.åê. ðñÝðåé íá Ý÷åé ðëåõñÝò 4åê. êáé 9åê. áöïý 4 · 9 = 36
¢ëëåò ðéèáíÝò ðåñéðôþóåéò åßíáé ïé åîÞò: 4 · 8 = 32 ô.åê. Þ 3 · 12 = 36 ô.åê.
Þ 2 · 17 = 34 ô.åê., áöïý ôï ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï ðïõ èÝëù íá ó÷åäéÜóù
ðñÝðåé íá Ý÷åé åìâáäüí ìéêñüôåñï áðü 40 ô.åê. êáé ìåãáëýôåñï áðü 30 ô.åê.

Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 8ης ενότητας, κεφ. 46-49 ΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 8ης ενότητας, κεφ. 46-49 ΄΄

Similar to Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 8ης ενότητας, κεφ. 46-49 ΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Μαθηματικά Ε΄ - Επανάληψη 8ης ενότητας, κεφ. 46-49 ΄΄