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Tema Progresiones

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Sucesiones, cálculo de los términos de una sucesión a partir del término general, calculo del termino general. Sucesiones aritméticas y geometricas. Sucesiones recurrentes

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Tema Progresiones

  1. 1. Tema – Progresiones Fibonacci Recursos subvencionados por el… Profesor Juan Sanmartín Matemáticas
  2. 2. Se llama sucesión a un conjunto de números dados de forma ordenada. De modo que se puedan numerar: primero (a1), segundo (a2), tercero(a3), etc… ,...a,a,a,a ,...27,9,3,1 4321 Los elementos de una sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con un subíndice a1. El subíndice de cada elemento indica el lugar que ocupa en la sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …. an ,...b,b,b,b ,...8,6,4,2 4321 ,...c,c,c,c ,...14-,11-,8-,-5 4321 Se puede designar una sucesión con cualquier letra del abecedario: b , c , d, t, z , r , ….
  3. 3. Término general de una sucesión Se llama término general de una sucesión a, y se representa como an, a la expresión que representa un término cualquiera de esta. 50n220an  En este caso, el término general puede expresarse mediante una fórmula, an =f(n), en la cual, dando a n un cierto valor, se obtiene el término correspondiente a la posición que indica ese valor. Es decir, para obtener a1 se sustituye n por 1.   170150220a1    120250220a2    70350220a3    20450220a4 
  4. 4. Ejemplos sucesión a partir del término general           ... 53352a 35342a 21332a 11322a 5312a 32na 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 n                                         ... 12342)(515b 6232)(414b 2122)(313b 0012)(212b 0102)(111b 2n1nb 5 4 3 2 1 n       Para obtener cada uno de los términos, se sustituye la n por el valor correspondiente a la posición del término, es decir, en a5 se sustituye n por 5
  5. 5. Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se dice que están dadas en forma recurrente. ,...13,8,5,3,2,1,1 Famosa Sucesión de Fibonacci, donde se obtiene cada término de la suma de los dos anteriores y por lo tanto su expresión seria. 2n1nn fff   1223133 fffff   Sucesión recurrente
  6. 6. Ejemplos sucesión recurrente 2n1nn t3t2t   En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los anteriores debemos conocer de antemano dichos términos, en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.  1t1   2t2  23133 t3t2t   12 t3t2     1322  34 1 24144 t3t2t   23 t3t2     2312  62 4 25155 t3t2t   34 t3t2     1342  38 11 26166 t3t2t   45 t3t2     43112  1222 10 ... 2n1nn t3t2t  
  7. 7. Ejemplos sucesión recurrente 2n1nn fff   En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los anteriores debemos conocer de antemano dichos términos, en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores. 0f1   1f2  23133 fff   12 ff    01  1 24144 fff   23 ff     11  0 25155 fff   34 ff     1-0  1 ...
  8. 8. Sucesiones – progresión aritmética Una progresión aritmética es una sucesión en la que para pasar de un término al siguiente se suma una cantidad fija y siempre la misma (positiva o negativa) a la que se denomina diferencia d de la progresión ,...17,14,11,8,5,2 diferencia 3 3 El término general de una progresión aritmética, conociendo el primer término a1 y la diferencia d, viene dado por la siguiente expresión:   d1naa 1n 
  9. 9. Ya que para obtener el término an tenemos que sumarle (n-1) veces a a1 (primer término) la diferencia d.   d1naa 1n  Ejemplo: ,...17,14,11,8,5,2 3 3 1a 3a 4a 5a 6a2a Es decir, para obtener el término a6=17 debemos sumarle a a1=2 la diferencia +3 un número de veces (n-1=6-1=5), es decir cinco veces.   17532a6 
  10. 10. Teniendo en cuenta esto, para la sucesión anterior, el término general será.     44n1641n16bn  Otros ejemplos de sucesiones aritméticas… 4,0,4,8,12,16  4 4 1b 3b 4b 5b 6b2b   31-n2an  13nan  4n20bn  5´7,7,5´6,6,5´5,5 5´0 5´0 1c 3c 4c 5c 6c2c    0´5n5´05´55´01n5´5cn  n5´05cn    d1naa 1n  33n2an 
  11. 11. Ejemplos obtención término general de una progresión aritmética Ejemplo ,...22,17,12,7,2na         5d 2a d1naa 1 1n     35n55n2a51n2a n resolvemos n     2235535na 5 ejemplo n   a Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión    51n2an 
  12. 12. Ejemplo ,...5,3,1,1,3,5,7,9 nb         2d 9b d1nbb 1 1n     2n1122n9b21n9b n resolvemos n     314117211211b 7 ejemplo n   bn Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión    21n9bn 
  13. 13. Desde muy pequeño Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo, y sin que nadie lo ayudara aprendió muy rápido la aritmética desde muy pequeño. En 1784 a los siete años de edad ingresó en la escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética el profesor propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética.Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» (ya está). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta mientras muchas de las de sus compañeros no. Anécdota de gauss Carl Friedrich Gauss
  14. 14. “…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad… pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante: 1011011011011011011011011011012 12345...979899100 10099989796...4321    n n n S S S 1001012Sn  La suma de la sucesión de los cien números naturales con la misma sucesión invertida da 101 cada término, es decir, sumaríamos 100 veces 101. 2 100101 Sn   Carl Friedrich Gauss 5050 2 10100 
  15. 15. Suma de los términos de una progresión aritmética nn-nn ,a,a,...,a,a,a,aaa 124321  Entonces obtenemos la siguiente expresión general para la suma de los términos de una progresión aritmética.    nnn nnnn nnnnn aaaaS aaaaaaaS aaaaaaaS      11 123421 123321 ()()()()()()2 ... ...   naaS nn  12   2 1 naa S n n  
  16. 16. Ejemplo: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 7 y la suma de los 12 primeros términos ,...220,200,180,160,140,120nc         20d 801c d1ncc 1 1n     nn 201602020180c201n801c nn    300140160720160c7 n20160cn  Obtenemos el término general de la sucesión y con este obtenemos el término 7, es decir b7.    201n801cn 
  17. 17.     2400 2 10360120 2 10101 10      cc S   2 ncc S n1 n   Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión aritmética No tenemos el término 10, por lo que lo tenemos que calcular…   3602001601020160c10  Entonces…   2 10101 10   cc S
  18. 18. Sucesiones - progresión geométrica Una progresión geométrica es una sucesión en la que para pasar de un término al siguiente se multiplica por una cantidad fija, y siempre la misma, a la que se denomina razón r de la progresión. ...243,81,27,9,3,1 razón 3x 3x El término general de una progresión geométrica, conociendo el primer término a1 y la razón r, viene dado por la siguiente expresión: 1-n 1n raa 
  19. 19. Ya que para obtener el término an tenemos que multiplicar el primer término a1 por la razón r un numero de veces igual a n-1. Ejemplo: ,...30000,3000,300,30,3 10x 10x 1a 3a 4a 5a2a Es decir, para obtener el término a5=30000 debemos multiplicar a1=3 por la razón r=10 un número de veces (n-1=5-1=4), es decir cuatro veces.   30000103103 415   1-n 1n raa 
  20. 20. Entonces para la sucesión anterior, el término general será.... Otros ejemplos: ,...5,10,20,40,80 5,0 2 1 x  1b 3b 4b 5b2b 1-n 1n raa  1-n n 1-n 1n 013araa  5,0 2 1 x  1 1-n n 1-n 1n 5,080 2 1 08brbb         n x3 1c 3c 4c 5c2c x3 ,...243,81,27,9,3n1n11-n n 1-n 1n 3333crcc  
  21. 21. Ejemplos obtención término general de una progresión geométrica Ejemplo ,...96,48,24,12,6,3 na   1 n 23a   n       48232323a 415 5 ejemplo1 n    a n Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión        2 3a aa 11 1n r r n
  22. 22. Calcula el término general de la siguiente sucesión 1n 1n rbb     1n n 0,20001b   Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión 6,1;8;40;200;1000 2,0x 2,0x Dividir entre 5 es igual a multiplicar por 0,2 2,0 5 1         0,2r 1000b1     32,00,200010,20001b 516 6 ejemplo   
  23. 23. Suma de los términos de una progresión geométrica La suma de una progresión geométrica es. raaSrS aaaaaaS raaaaaarS nnn nnnn nnnnn      1 12321 1232 ... ... nnnn aaaaaaS   12321 ... raaaaaaa rararararararS nnnn nnnn     12432 12321 ... ... Si multiplicamos dicha suma de la sucesión por r (la razón de una sucesión geométrica)nos queda… Ahora restamos ambas sucesiones… nn SrS 
  24. 24. Es por lo que, podemos deducir que la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es: 1araSrS nnn      1 n 11 1n. 1n 1n.r1ana 1nn araarra1rSara1rS      1r 1ra S n 1 n    Tras las anteriores operaciones obtenemos… Con lo que obtenemos que…   11 ararS nn     1raara1rS n 11 n 1n 
  25. 25. Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 10 y la suma de los 10 primeros términos 0,...0,1250,6252,10,50,25en          5r 2e ree 11n 1n   1n n 52e   Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión   3.906.2505252e 9110 10  
  26. 26. Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión geométrica. Entonces…   1r 1re S 10 1 10      1r 1re S 10 1 10      4.882.812 15 152 10       1r 1re S n 1 n   
  27. 27. Calcula el término general, el término 7 y la suma de los 10 primeros términos de las siguiente sucesión geométrica: b1=2 ; r= 3 .         3r 2b rbb 11n 1n   1n n 32b   Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión   45813232b 617 7  
  28. 28. Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión geométrica. Entonces…   1r 1rb S n 1 n      1r 1rb S 10 1 10      1r 1rb S 10 1 10      59.048 13 132 10    
  29. 29. Ejemplo.- Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que a2=17 y a5=50.   d1naa 1n  1750d4d        d450 d17 1 1 a a 61117a1  511nan            4dad15a50a 1dad12a17a 115 112        d450 d17 1 1 a a d450d17  333d 11 3 33 d    111n6an  1111n6 
  30. 30. Ejemplo : Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que c5=8 y c11=17. ¿Qué lugar ocupa el término que vale 152?.             d10cd111c17c d4cd15c8c d1ncc 1111 115 1n 2 3 6 9 d817d4d10  d1017d48 d1017c d48c d10c17 d4c8 1 1 1 1              
  31. 31. 268 2 3 48 2 3 1 481          cd dc          2 3 12 ncn     1 3 22152 2 3 12152152          nncc nn 1011100n1n100  Un vez que obtenemos el término general de la sucesión aritmética, podemos obtener la posición que ocupa el término 152.
  32. 32. En una progresión geométrica su término tercero es a3 = 50 y el quinto es a5= 2. Calcula la razón, el término general de la progresión, el término 8 y la suma de los 7 primeros términos          4 1 15 15 2 1 13 13 ra50ra2a ra50ra50a          41 4 1 21 2 1 r 2 ara2 r 50 ara50 42 r 2 r 50  50 2 r r 2 4  0,20,04r0,04r2  1n 1n raa   1n n 2,02501a   21 r 50 a  2 2,0 50  1250 04,0 50  término general de la progresión
  33. 33. Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net

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