Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Tema Logaritmos

8,061 views

Published on

Explicacion de logaritmos, propiedades de los mismos y resolución de ecuaciones y sistemas con logaritmos o exponenciales

Published in: Education
  • Be the first to comment

Tema Logaritmos

  1. 1. XPLoga  Profesor: Juan Sanmartín Matemáticas Recursos subvencionados por el…
  2. 2. Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. PaxPLog x a  Ejemplo: 8238log 3 2  Leemos, logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2 elevado a 3 es 8.
  3. 3. Análogamente podemos decir: 84,5310731105051,184,53log 0001,0 10000 1 10 1 1040001,0log 10000001061000000log 813481log 12553125log 731105051,1 10 4 4 10 6 10 4 3 3 5      
  4. 4. Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y son los más utilizados. Por eso, la tecla de la calculadora es para el cálculo de los logaritmos decimales. (también en el uso habitual podemos poner log en lugar de log10 ). Para Calcular, por ejemplo, log10 53,84 se hace: 53,84 1,731105051 El cálculo de logaritmos en otra base se hace a partir de los logaritmos decimales, como se verá en las propiedades
  5. 5. Ejercicio 1.- Decir el valor de los logaritmos poniendo los números en forma de potencias: a. Log6 1296 b. Log2 0,125 41296log61296) 6 4 a Ejercicio 2.- Con la tecla ,calcular log 5, log 50, log 500, log 5000 ...69897,35000log ...69897,2500log ...69897,150log ...69897,05log     3125,0log2 2 1 8 1 1000 125 125,0) 2 3 3   b
  6. 6. Ejercicio 3.-Utilizando la tecla para hallar potencias, ^ ó xy , calcular de forma aproximada log7532. ,...3532log 24017 3437 74 3       ...2,3532log ,...6147 ,...5067 73,3 2,3       ...22,3532log ...5367 ...5267 ,...5167 7 23,3 22,3 21,3          Así sucesivamente, podemos aproximarnos tanto como queramos al valor de log7532. Hallemos la cifra de las décimas Hallemos la cifra de las centésimas
  7. 7. I.- El logaritmo de 1 es 0 cualquiera que sea la base. 01log a Ejemplo: 1501log 0 5  II.- Cualquiera que sea la base, su logaritmo es 1. 1log aa 7717log 1 7 Ejemplo: III.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.   QPQP aaa logloglog  Ejemplo: 9368log64log)864(log512log 2222  51229512log 9 2 
  8. 8. IV.- El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. QP Q P aaa logloglog  Ejemplo: 23527log243log 27 243 log 333  9329log 27 243 log 2 33  V.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. PnP a n a loglog  Ejemplo: 236 49log349log 7 3 7  
  9. 9. VI.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. n P P an a log log  Ejemplo: 3 2 3 4log 4log 23 2  Esta propiedad es consecuencia de la anterior debido a: n P P n PP a a n a n a log log 1 loglog 1  VII.- Cambio de base. El logaritmo en base a de un número se puede obtener, a partir de los logaritmos decimales, según la siguiente igualdad. a P a P Pa log log log log log 10 10  De esta forma se puede hacer por calculadora
  10. 10. Ejercicio 4.-Sabiendo que el log 2=0,301 y aplicando las propiedades anteriores, calcula log 507. 50log750log 7  Ejercicio 5.-Con ayuda de la calculadora, obtener: a. log2 1500 b. log7 593 Tecla 1500255074679,10 301029995,0 176091259,3 2log 1500log 1500log) 55074697,10 2 a 5937281340817,3 84509804,0 773054693,2 7log 593log 593log) 281340817,3 7 b   2log100log7 2 100 log7   893,11301,027 
  11. 11. Ejercicio.- Sabiendo el valor de log 2= 0,301030 y el de log 3= 0,477121, calcula los siguientes logaritmos. 4loga).- 2 2log4log  b).- 12log 12log c).- 15log  43log   2 23log  2 2log3log  2log23log  079181,1301030,02477121,0  602060,0301030,022log2  15log 2 30 log 2 103 log      2log10log3log 176091,1301030,01477121,0 
  12. 12. Ejercicio.- Calcula el valor de la siguiente expresión a).- 35 6 2 2 5122 464 log   35 6 2 2 5122 464 log          35 2 6 2 2 5122log464log            3 512log 2log 6 464log 25 2 2 2          3 512log 2log5 6 4log264log 2 2 22 3 19 6 38 6 4810 8 6 10 3 9 15 6 226           
  13. 13. En este tema vamos a ver: 813 52 x Ecuaciones Exponenciales 1502 1 x Ecuaciones Logarítmicas 1log2log  x Sistemas de Ecuaciones       4log 5loglog2 yx yx
  14. 14. Ejercicio 6.-Resuelve 813 52 x  813 52 x 992  xx a).- b).- 1502 1 x Aplicamos el concepto de logaritmo 150log1 2x Como150 no es potencia entera de 2, para despejar x tenemos que tener en cuenta la definición de logaritmo (propiedad VII) 2288,71x 45 33 2 x 452  x 542  x 3 3 2 1   x x 2288,7 301029995,0 176091259,2 2log 150log  2288,612288,7  x
  15. 15. Ejercicio 7.-Resuelve a).- 1log2log  x 1log2log  x Aplicamos la propiedad III, logaritmo de un producto e igualamos logaritmos y la propiedad II. Es lógico que si dos logaritmos son iguales lo que hay dentro tiene que ser igual ¡¡¡IMPORTANTE!!! 10log)2log(  x 10log)2log(  x 5 2 10 102  xx
  16. 16. b).- 23loglog 55 x Aplicamos la propiedad IV, logaritmo de un cociente y aplicamos la definición de logaritmo para transformar 2 en logaritmo. 2 555 5log25log 3 log  x Al igualar logaritmos, igualamos lo que contienen y por lo tanto: 75253255 3 2  x x
  17. 17. c).-   27log3log6 22  x Aplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia e igualamos.   3 22 6 2 3log27log3log x   36 33 x 2 126 12 614366 2 4 066 2 2          x a cabb x xx   36933 22  xxx 2 126 1  x 2 126 2  x
  18. 18. Ejercicio 8.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. a).-      1loglog 22 yx yx Aplicamos las propiedades como en los casos anteriores. 1010loglog1loglog  y x y x yx Resolvemos el sistema 20202102 222112210 10 22        xxy yyyy yx yx Solución del sistema 20;2  xy
  19. 19. Ejercicio 9.-Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones. a).-       4log 5loglog2 yx yx Aplicamos las propiedades como en los casos anteriores. 5loglog2  yx De la otra ecuación obtenemos 52 10logloglog  yx   4log  yx 4 10 yx Con lo que obtenemos un nuevo sistema que pasamos a resolver 52 10log100000logloglog  yx 5 2 5 2 1010loglog  y x y x 4 10log10000log)log(  yx 4 10log)log(  yx
  20. 20.        4 5 2 10 10 yx y x 5 4 3 10 10  x Resolvemos la y Solución x y 4 10  5 4 3 5 4 2 10 10 10 10  x x x 33 993 101010  xx 10 10 10 10 3 4 3  yx 10;103  yx
  21. 21. Ejercicio 9.-Resuelve 1222 1  xx Hacemos que 2x = z y aplicando las propiedades de las potencias: 222 1  xx Llegamos a que: 22222 1   xxxx 242  xz x Resolvemos 123122  zzz 1222    zz x z 4 3 12 123  zz
  22. 22. Ejercicio 10.- Resuelve la ecuación.      23log6log1log  xxx Aplicamos la propiedad V, logaritmo de una potencia e igualamos.       23log61log  xxx      2361  xxx 23652  xxx 0822  xx
  23. 23.      2 62 2 362 x Comprobamos que x=-4 no verifica la ecuación porque log(-5) no existe. La solución es: 21 x 0822  xx   12 81442 2 42       a cabb x 21 x 42 x
  24. 24. Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net

×