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Tema Geometrìa Analítica

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Calculo módulo de un vedtor, ecuaciones de la recta y producto escalar.

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Tema Geometrìa Analítica

  1. 1. Tema Geometría Analítica Profesor: Juan Sanmartín Matemáticas  Módulo de un Vector.  Ecuaciones de la Recta.  Producto Escalar. Recursos subvencionados por el…
  2. 2. AB En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Los vectores en un espacio se pueden representar geométricamente como segmentos de recta , en el plano o en el espacio. Dentro de este ámbito científico, y también de las Matemáticas, se hace necesario dejar patente que existe una gran variedad de vectores. De tal manera, que podemos hablar de fijos, paralelos, deslizantes, opuestos, concurrentes, libres o colineales, entre otros muchos más. Definición de Vector ABu  u Punto de aplicación Dirección .- línea sobre la que se encuentra Sentido .- lo indica la flecha Un vector se escribe con una letra o conjunto de letras (punto inicial y punto final) y una flecha sobre ellas indicando que es un vector. El vector es el vector que va desde el punto A al punto B.AB
  3. 3. Para calcular las coordenadas de un vector a partir de dos puntos se restan las coordenadas x e y del punto final menos el punto inicial. En el ejemplo… Componentes de un Vector  ABAB yy,xxABu     262,01y,x uu   4,8  2,2  60,1 Módulo de un Vector 2 u 2 u yxu     22 48u  80 El módulo es el valor del vector, se calcula por el Teorema de Pitágoras, es decir, por la raíz cuadrada de cada una de las componentes al cuadrado del vector (la componente en el eje x y en el eje y). En nuestro ejemplo…
  4. 4. El producto de un número por un vector se obtiene multiplicando cada una de las componentes de dicho vector por el número. Producto de un número por un vector  uu ky,kxuk  Suma de dos vectores En la suma de dos vectores se suman las componentes x de los vectores y las componentes y.       9,63-2,33u33,2u Ejemplo           2,253-,4-2vu 4,5v 32,u             vuvuvvuu yy,xxy,xy,xvu 
  5. 5. Ejercicio.- Dados los puntos A(-2,4), B(3,-2) y C(5,3). Calcula las coordenadas y los módulos de los siguientes vectores  ABAB yy,xxABu    42,2-3   BCBC yy,xxBCv    2-3,35   6,5   5,2 Para calcular las coordenadas de un vector se restan las coordenadas del punto final menos las del inicial de la siguiente manera. 2 u 2 u yxu     22 65  61 ABu  BCv  El módulo de un vector se calcula realizando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas, igual que en el teorema de Pitágoras ya que están relacionados. 2 v 2 v yxv     22 52  29
  6. 6. Mediante un punto y un vector director, que puede ser obtenido mediante dos puntos como ya hemos visto podemos obtener las diferentes ecuaciones de la recta. Ecuaciones de las rectas      uuAA y,xty,xyx,  Ecuación Vectorial Ecuación Paramétrica       uA uA ytyy xtxx Componentes del punto.  uu y,xABu  AA y,xA  Punto Vector Componentes del vector. A continuación tenéis un ejemplo del cálculo de ambas ecuaciones…
  7. 7. Ejercicio.- Halla la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por los siguientes puntos: A(-3,-2) y B(3,5).  ABAB yy,xxABu      2-5,3-3   7,6 Para obtener las ecuaciones vectorial y paramétrica debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta… ABu           6,7ABu 23,A      uuAA y,xty,xyx,       6,7t3,-2-yx,  Ecuación Vectorial       uA uA ytyy xtxx      72 63 ty tx Ecuación Paramétrica Aquí podríamos utilizar A o B indistintamente
  8. 8. Mediante un punto y un vector director, que puede ser obtenido mediante dos puntos como ya hemos visto podemos obtener las diferentes ecuaciones de la recta. Ecuaciones de las rectas Componentes del punto.  uu y,xABu  AA y,xA  Punto Vector Componentes del vector. A continuación tenéis un ejemplo del cálculo de ambas ecuaciones… u A u A y yy x xx    Ecuación continua 0CByAx  Ecuación general A partir de la ecuación continua se obtiene la ecuación general, tal y como muestra el ejemplo.
  9. 9. Ejercicio.- Halla la ecuación continua y general de la recta que pasa por los siguientes puntos A(4,3) y B(7,-2).  ABAB yy,xxABu   324,7   5,3  Para obtener las ecuaciones continua y general debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta… ABu           5,3 3,4 ABu A u A u A y yy x xx    5 3 3 4     yx Ecuación continua 0CByAx  Ecuación general Aquí podríamos utilizar A o B indistintamente      3345  yx 93y205x  20-93y50  x 0923y5 x
  10. 10. Mediante un punto y un vector director, que puede ser obtenido mediante dos puntos como ya hemos visto podemos obtener las diferentes ecuaciones de la recta. Ecuaciones de las rectas Componentes del punto.  uu y,xABu  AA y,xA  Punto Vector Componentes del vector. A continuación tenéis un ejemplo del cálculo de ambas ecuaciones… Siendo m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen. b es el valor de y cuando x vale 0, o el punto donde la recta corta al eje y. u u x y m  bxmy  AA xxmyy 
  11. 11. Ejercicio.- Halla la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos A(-1,-5), B(2,4).  ABAB yy,xxABu      5-,41-2   9,3 Para obtener ecuación punto pendiente debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta… u u x y m  Definimos Ordenada en el Origen b como el valor que toma y cuando x=0. Es decir, conde la recta corta al eje y. Definimos pendiente m como lo que aumenta la recta en las Y cuando aumenta una unidad en las X. Representa la tangente de la recta con el eje de X. 3 3 9   AA xxmyy  bxmy      1-x35y  335y  x 5-33y  x 2-3y x Ecuación punto pendiente
  12. 12. El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva. Ecuaciones de las rectas   cosvuv,ucosvuvu  vuvu yyxxvu  Producto Escalar O también… A partir de las componentes de los vectores podemos calcular el producto vectorial… vu yyxx vu vu cos vuvu      
  13. 13. Calcula el valor de m para que los vectores y sean perpendiculares. Dos vectores son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90º. Para calcularlo vamos a utilizar el producto escalar  m22,u   31,-v m  m22,u   31,-v m   cosvuv,ucosvuvu  vuvu yyxxvu  Producto Escalar   0º90cos  entonces 0vu        032m1m2-vu  06m22m  2-6m2m  2-m4  2 1 4 2- m 
  14. 14. Ejercicio.- Siendo los vértices de un triángulo A(3,1), B(2,-2) y C(0,0), comprueba que sus ángulos suman180º.             0,0C 22,B 3,1A Lo que primero vamos a hacer es la representación de los tres puntos. Para ello utilizamos Geogebra. Os invito a ver el capítulo de videos de Geogebra.  ABAB yy,xxABu   123,2   ACAC yy,xxACv   13,00   31,  13, Vamos a calcular el producto escalar de los vectores AB y AC para poder obtener el ángulo de ambas rectas.
  15. 15.  31,ABu   13,ACv  Producto Escalar 2 u 2 u yxu     22 31  10 2 v 2 v yxv     22 13  10        1-3-3-1vu  33  6 vu vu cos    1010 6   10 6  6,0  0,6cos6)arcocos(0, 1  53,13º   cosvuv,ucosvuvu  vuvu yyxxvu 
  16. 16.    22 31  10    22 22  8        232-1vu  62  4 810 4   54 4  45,0 5 1   0,45cos45)arcocos(0, 1  º26,63             0,0C 22,B 3,1A  BABA yy,xxBAu    21,23   BCBC yy,xxBCv    20,20   3,1  2,2 2 u 2 u yxu  2 v 2 v yxv  vu vu cos   
  17. 17.    22 13  10    22 22  8        2-123vu  26  4 810 4   54 4  45,0 5 1   0,45cos45)arcocos(0, 1  º26,63             0,0C 22,B 3,1A  CACA yy,xxCAu   01,03   CBCB yy,xxCBv    02,02   1,3  2,2  º180º75,179º26,63º26,63º13,53  vu vu cos    2 u 2 u yxu  2 v 2 v yxv 
  18. 18. Ejercicio Siendo los vértices de un triángulo A(-1,1), B(5,2) y C(2,0), comprueba que sus ángulos suman180º.            2,0C 5,2B 1,1-A Lo que primero vamos a hacer es la representación de los tres puntos. Para ello utilizamos Geogebra. Os invito a ver el capítulo de videos de Geogebra.  ABAB yy,xxABu    1,21-5   ACAC yy,xxACv    1,01-2   1,6  13, Vamos a calcular el producto escalar de los vectores AB y AC para poder obtener el ángulo de ambas rectas.
  19. 19.  1,6ABu   13,ACv  Producto Escalar    22 16  37    22 13  10        1-136vu  118 17 1037 17   88,0  0,88cos88)arcocos(0, 1  º9,72   cosvuv,ucosvuvu  vuvu yyxxvu  2 u 2 u yxu  2 v 2 v yxv  vu vu cos   
  20. 20.    22 16  37    22 23  13        2-1-3-6vu  218 20 1337 20   91,0  0,91cos91)arcocos(0, 1  º2,24  BABA yy,xxBAu   21,51   BCBC yy,xxBCv   20,52   1,6  2,3             2,0C 5,2B 1,1-A 2 u 2 u yxu  2 v 2 v yxv  vu vu cos   
  21. 21.    22 13  10    22 23  13        2133vu  29  7 1310 7    61,0  0,61-cos,61)arcocos(-0 1  º9,127  CACA yy,xxCAu   01,21   CBCB yy,xxCBv   02,25   1,3  2,3 º180º9,127º2,24º9,27             2,0C 5,2B 1,1-A 2 u 2 u yxu  2 v 2 v yxv  vu vu cos   
  22. 22. Fin de Tema Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net

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