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Tema Cosmología

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Leyes de Kepler y Gravitación Universal. Temas ampliables. Planteamiento y resolución de problemas

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Tema Cosmología

  1. 1. Profesor.- Juan Sanmartín Física y Química Leyes de Kepler Tema Cosmología Imagen.- www.nasa.gov Recursos subvencionados por el…
  2. 2. Introducción La NASA está explorando nuestro Sistema Solar y más allá para comprender el funcionamiento del Universo, buscando agua y vida entre las estrellas. Image Credit: NASA Imagen.- www.nasa.gov
  3. 3. Imágenes de la Nasa NASA still images, audio files, video, and computer files used in the rendition of 3-dimensional models, such as texture maps and polygon data in any format, generally are not copyrighted. You may use this material for educational or informational purposes, including photo collections, textbooks, public exhibits, computer graphical simulations and Internet Web pages. This general permission extends to personal Web pages.
  4. 4. Galileo Galilei (1564-1642) 1609 Galileo Galilei (1564-1642) observa el cielo con el telescopio e inicia la etapa de la astronomía instrumental. En los años siguientes observó: montañas en la Luna, manchas en el Sol, fases en el planeta Venus. De manera similar detectó que la Vía Láctea estaba compuesta por numerosas estrellas. Uno de los primeros en usar experimentos para deducir leyes físicas: leyes de movimiento, velocidad, aceleración, inercia, péndulo, cuerpos cayendo (ver Video de la torre de Pisa) • Usó telescopios para la astronomía. • Después de su escepticismo inicial, adoptó el modelo de Copérnico ya que las evidencias empíricas lo apoyaban.
  5. 5. El 21 de agosto de 1609, apenas terminado su segundo telescopio (aumenta ocho o nueve veces), lo presenta al Senado de Venecia. La demostración tiene lugar en la cima del Campanile de la plaza de San Marco. Los espectadores quedan entusiasmados: ante sus ojos, Murano, situado a 2 km y medio, parece estar a 300 m solamente.
  6. 6. Descubrimientos de Galileo Los cuerpos celestes no son perfectos: montañas sobre la luna, manchas solares. La Tierra no es solamente el centro de rotación (p.ej. Lunas de Jupiter). Venus pasa por el frente y por detrás del Sol (no puede ocurrir si el sistema de Tolomeo es correcto). Ilustración elaborada por Galileo sobre las fases lunares. Fuente .- wikipedia
  7. 7. Johannes Kepler 1571-1630 Nació enfermo y pobre. 1604: Reporta la presencia de una "estrella nueva" en la constelación del Serpentario. Johannes Kepler (1571-1630) publica su obra “El misterio del Universo” obra de enfoque casi místico. Escribe su frase célebre "entre Marte y Júpiter yo coloco un planeta“. 1611: Publica “Dioptrik” el primer tratado sobre las bases numéricas de la óptica. 1609: Publica las dos primeras leyes sobre el movimiento de los planetas en el Sistema Solar en el libro "Astronomia nova". 1619 Johannes Kepler (1571-1630) publica la tercera ley del movimiento planetario en su libro "Harmonices mundi".
  8. 8. Johannes Kepler 1571-1630 1621 Willebrod Snell (1591-1626) descubre la refracción de la luz. 1619 Johannes Kepler (1571-1630) postula la existencia de un viento solar en su explicación de la dirección de la cola de los cometas. 1627 Johannes Kepler (1571-1630) publica sus Tabulae Rudolphinae (Tablas Rodolfinas), que constituyeron la base para el cálculo de los movimientos planetarios. Estas tablas obtienen su nombre del Emperador Rodolfo II de Alemania, al cual fueron dedicadas. En ellas se predice por primera vez el tránsito de Venus y Mercurio por el disco del Sol para 1631. Modelo platónico del Sistema Solar presentado por Kepler en su obra Misterium Cosmographicum (1596) (es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler)
  9. 9. Ramón María Aller (1878-1966) Nacido en Filgueiroa (Lalín), realizó sus primeros estudios en el colegio de Lalín y el bachillerato en A Guarda, en el colegio de los jesuítas, donde se despertó su vocación sacerdotal y la pasión por las Matemáticas y la Astronomía. A partir de 1894, comenzó la carrera sacerdotal, primero en el Seminario de Lugo y a continuación en el de Santiago de Compostela. El extraordinario aprovechamiento de su trabajo le permitió adelantar dos años a edad canónica sacerdotal, por lo que se vino en el deber de solicitar dispensa para obtener a los veinte años el título de doctor en Sagrada Teología. Por aquel entonces ya disponía de un anteojo de 67 mm de apertura.
  10. 10. 4 libros, 5 tesis de doctorado dirigidas y 4 estrellas dobles descubiertas. Además, fue autor de numerosos diseños de instrumentos científicos y una infinidad de observaciones, cálculos, notas y catálogos estelares que se encontraron inéditos. Por todo ello está considerado cómo uno de los astrónomos españoles más salientables del siglo XX. Producción científica La producción científica de Aller, habida cuenta los medios, la época y los lugares donde la desarrolló, fue excepcional: 78 artículos en revistas Astronomische Nachrichten, L´Astronomie, Observatorio de Santiago, Revista de Geofísica, Revista Matemática hispano-americana, Revista Sociedad Astronómica de España y América y 10 en Urania). Despacho de D. Ramón en el Museo de Lalín
  11. 11. Leyes de Kepler Imagen.- www.nasa.gov
  12. 12. Leyes de Kepler – Primera Ley Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos. Nota: no hay nada en el otro foco o en el centro EjeMenor Eje Mayor Foco 2 Perihelio Sol Foco 1 Afelio Planeta
  13. 13. Leyes de Kepler – Segunda Ley El radiovector (línea imaginaria que uniría el sol con cada planeta) barre áreas iguales en tiempos iguales Segunda Ley quiere decir que los planetas giran alrededor del Sol mas rápido cuando están mas cerca de él. Estas leyes valen para cualquier cosa que esté orbitando alrededor de cualquier cosa debido a la gravedad. De esto tenemos que deducir que si el Sol está en uno de los focos de la elipse (Primera Ley), habrá un momento en que el planeta esté más cerca del Sol y por lo tanto tendrá que ir más rápido en su órbita para barrer un área igual Fuente.- cienciacomonunca.blogspot.com.es
  14. 14. Leyes de Kepler – Tercera Ley Que los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas dividido entre el cubo de sus radiovectores permanece constante. La forma mas general de esta ley es: ...3 2 3 2 3 2  Jupiter Jupiter Marte Marte Tierra Tierra R T R T R T Según esto podemos expresar: Sabemos que la distancia de la Tierra al Sol son aprox. 150.000.000 Km y su periodo es de 1 año = 365,25 dias T.- periodo del planeta, tiempo que tarda en dar una vuelta a su órbita. R.- radiovector, linea que une el Sol con cada planeta. .3 2 Cte R T planeta planeta 
  15. 15. Problema: El planeta Saturno, es el Sr. de los anillos del Sistema solar y el sexto en su posición con respecto al sol. Dados los siguientes datos calcula el periodo de Saturno. Consideramos el periodo de la Tierra como 365 días DSATURNO-SOL=1.429.400.000 km. DTIERRA-SOL= 149.000.000 km. m.101,490km149.000.00R m.101,43000km1.429.400.R 11 SolTierra 12 SolSaturno     ¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I. 3 2 3 2 Saturno Saturno Tierra Tierra R T R T  Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)       s10852,2dia 101,49 101,43365 T 311 3122 saturno          312 2 311 2 1043,11049,1 365     SaturnoT
  16. 16. Problema: Supongamos ahora un planeta que tarda 200 días en dar una vuelta al Sol, Calcula a que distancia se encuentra de este. DTIERRA-SOL= 149.000.000 km. Consideramos el periodo de la Tierra como 365 dias m.101,490km149.000.00R 11 SolTierra  ¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I. 3 2 3 2 planeta planeta Tierra Tierra R T R T  Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)       .1097,9 365 2001049,1 103 2 2311 mRplaneta          3 2 311 2 200 1049,1 365 planetaR   
  17. 17. Leyes de Kepler – Ampliación La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las masas en astronomía) es: centralM a T 3 2  Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si las unidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) en años, la constante de proporcionalidad es 1. Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital? 2.11125;125532  TT Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba que surgían debido a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través de un magnetismo.
  18. 18. Leyes de Kepler Imagen.- www.nasa.gov
  19. 19. Gravitación Universal Tema 5 Cosmología Imagen.- www.nasa.gov Profesor.- Juan Sanmartín Física y Química Recursos subvencionados por el…
  20. 20. Ley de la Gravitación Universal La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas. La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la constante de la gravitación G, en unidades métricas, Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerza apreciable, p.ej. La masa de la Tierra es 5,98x1024 kg. 2 21 iagravitator d mm GF    Kg mN G 2 11 107,6    A pesar de la masa grande de la Tierra, la fuerza gravitacional que sientes en la superficie de la Tierra, tú peso, es solamente unos cuentos cientos de Newtons.
  21. 21. Para el calculo de la fuerza gravitatoria de un objeto o persona sobre la superficie de un planeta, la distancia d entre ambos cuerpos es el radio del planeta. 2 / 2 21 planeta personaobjetoplaneta iagravitator R mM G d mm GF      En el caso de un satélite girando alrededor del planeta, al radio del planeta tenemos que sumarle la altura, es decir, d=Rplaneta+h. 22 21 )( hR mM G d mm GF planeta satéliteplaneta iagravitator       Y para el caso de dos cuerpos celestes. 2 21 2 21 separa cuerpocuerpo iagravitator d MM G d mm GF     
  22. 22. Problema: Calcula la fuerza gravitatoria con la que la tierra atrae a una persona de 70 kg. de masa. Datos necesarios: MTIERRA= 5,98x1024 Kg ; RTIERRA=6400 Km. ¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.   N7,681 104,6 701098,5 1067,6 26 24 11      Muy parecido a si calculamos el peso por la fórmula de los temas anteriores. 686,7N9,8170gmPeso  Es por lo que definimos… 2 Tierra personaTierra iagravitator R mM GF    Imagen.- www.nasa.gov
  23. 23. Intensidad de campo gravitatorio Si igualamos las dos formas de calcular la atracción de un cuerpo por un planeta. Entonces se deduce que: Definimos entonces g como intensidad de campo, que en la superficie terrestre será… Pesogm d mM GF persona planeta personaplaneta iagravitator    2  2 planeta planeta d M Gg     s mgterrestre 81,974,9 104,6 1098,5 1067,6 26 24 11      La diferencia está en la aproximación de las cantidades.
  24. 24. Problema: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño. Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km. Calcula: a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio. b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio. c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de altura.? d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite. Apartado a).- 2 mercurio personamercurio iagravitator R mM GF    Apartado b).- Para el cálculo de la intensidad de campo, es decir, para la g en Mercurio…   s m7,3 1044,2 103,3 1067,6 26 23 11        N6,321 1044,2 87103,3 1067,6 26 23 11      2 mercurio mercurio R M Gg   mkmrkm MERCURIO MERCURIOMERCURIO 6 1044,27,2439 2 .4,4879   
  25. 25. Apartado c).- Ahora vamos a calcular la fuerza con que Mercurio atrae al satélite, al ser la altura a la que orbita considerable frente al radio de Mercurio tenemos que considerarla… 2 )( satélitemercurio satélitemercurio iagravitator hR mM GF     Apartado d).- Y para finalizar calculamos la intensidad de campo a esa altura…   s m73,2 1041044,2 103,3 1067,6 256 23 11        1091,6N 104102,44 400103,3 106,67 256 23 11      2 )( satélitemercurio mercurio hR M Gg   
  26. 26. ¿Porqué no se caen los Satélites? Hasta ahora vimos la fuerza con la que atrae un planeta a los cuerpos, en el caso de un satélite Tiene que haber una fuerza igual a esta que evite que el satélite caiga. 22 21 )( hR mM G d mm GF planeta satéliteplaneta iagravitator       ¿Cuál es esta Fuerza? Para explicarlo nos tenemos que ir al Tema I - Cinemática Imagen.- www.nasa.gov
  27. 27. ACELERACIÓN CENTRÍPETA En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe aceleración, la aceleración centrípeta. Cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, la tendencia es a salirnos de la curva. La aceleración centrípeta lo impide al tirar de nosotros hacia dentro de la curva. R v a 2 c  Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la aceleración centrípeta.
  28. 28. La fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que es producida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. La fuerza centrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo. Fuerza Centrífuga giro giro cuerpocentrífugacuerpocentrífuga R v mamF 2   Y por lo tanto, la Fuerza Gravitatoria es contrarrestada por esta Fuerza Centrífuga, de modo que al igualar ambas fuerzas. iagravitatorcentrífuga FF   Obtenemos lo siguiente…
  29. 29. iagravitator cuerpoplaneta giro giro cuerpocentrífuga F d mM G R v mF     2 2 Como el Radio de Giro y la Distancia son iguales, obtenemos… 2 2 d mM G d v m cuerpoplanetagiro cuerpo   Y deducimos d M Gv planeta giro  Velocidad Orbital
  30. 30. Problema anterior: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño. Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km. Calcula: a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio. anterior b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio. anterior c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de altura?. anterior d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite. anterior e. Velocidad de giro del satélite. centrífuga satélitemercurio giro satélite satélitemercurio satélitemercurio iagravitator F hR v m hR mM GF        )()( 2 2 Entonces…  hR M Gv mercurio mercurio giro     h Km s mvgiro 100222784 1041044,2 103,3 1067,6 56 23 11     
  31. 31. Problema: La Luna es el satélite natural de la Tierra. Conociendo los siguiente datos: MLUNA=7,2x1022 Kg.; RLUNA= 1740 km. ; MTIERRA=5,98x1024 Kg.; DTIERRA-LUNA= 384000 km. Calcula: a. El peso de una persona de masa 80 Kg. en la superficie lunar. b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie lunar. c. ¿Con que fuerza atraerá la Tierra a la Luna y viceversa?. d. Velocidad de giro lunar. e. Tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta alrededor de la Tierra. Apartado a).- 2 luna personaluna iagravitator R mM GF    Apartado b).-   s m R M Gg luna luna 59,1 1074,1 102,7 1067,6 26 22 11 2         N9,126 1074,1 80102,7 1067,6 26 22 11      Imagen.- www.nasa.gov
  32. 32. Apartado c).- 2 LunaTierra LunaTierra iagravitator d MM GF       .109,1 1084,3 102,71098,5 1067,6 20 28 2224 11 NF iagravitator       Apartado d).- s m d M Gv LunaTierra Tierra giro 2,1019 1084,3 1098,5 1067,6 8 24 11       Apartado e).- Calculamos la longitud de la órbita de la luna… mrL lunaorbita 98 _ 104,21084,322   d d h h s s s v L t giro orbita periodo 4,27 243600 .1035,2 .1035,2 2,1019 104,2 6 6 9      
  33. 33. Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos). Conociendo los siguiente datos: MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula: a. El peso de la sonda New Horizons de masa 478 kg. en la superficie plutoniana. b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio que sufrirá la sonda New Horizons cuando esté a 12500 km de altura. c. ¿Cuál sería la velocidad de giro en una órbita a esa altura de Plutón?. d. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol. Majestuosas montañas de Plutón, llanuras heladas y neblinas en Plutón captadas por la sonda espacial New Horizons de la NASA. 2 Plutón sondaPlutón iagravitator R mM GF     26 22 11 1037,2 7841025,1 106,67     N70,95PF ón)SONDA(PlutIAGRAVITATOR  .m102,37.km2370R 6 Plutón 
  34. 34. Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos). Conociendo los siguiente datos: MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula: b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio que sufrirá la sonda New Horizons cuando esté a 12500 km de altura. c. ¿Cuál sería la velocidad de giro en una órbita a esa altura de Plutón?. d. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol. Majestuosas montañas de Plutón, llanuras heladas y neblinas en Plutón captadas por la sonda espacial New Horizons de la NASA.  2 sondaPlutón Plutón hR M Gg      s m59,1 1025,11074,1 102,7 1067,6 276 22 11      .m1025,1.km12500R 7 Plutón 
  35. 35. Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos). Conociendo los siguiente datos: MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula: b. ¿Cuál sería la velocidad de giro en una órbita a esa altura de Plutón?. c. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol.   sondaPlutón Plutón sondagiro hR M Gv      PlutónIAGRAVITATORPlutónCENTRIFUGA FF     sondaPlutón sondaPlutón centrosdistancia sondaPlutón 2 sonda sonda hR mM G hR v m         76 22 11 1025,11037,2 1025,1 1067,6       s m8,236v sondagiro 
  36. 36. Problema: Pluto es un planeta enano del sistema solar situado a continuación de la órbita de Neptuno. Su nombre se debe al dios mitológico romano Plutón (Hades según los griegos). Conociendo los siguiente datos: MPLUTÓN= 1,25 × 1022 kg.; RPLUTÓN= 2370 km. ;DPLUTÓN-SOL= 39,264 ua. Calcula: c. Tiempo que tarda la Plutón en dar una vuelta alrededor del Sol. m101,49km0149.000.00.A.U 11  m105,85m101,4939,264.A.U39,264 1211  3 2 3 2 PLUTÓN PLUTÓN TIERRA TIERRA R T R T  3 32 TIERRA PLUTÓNTIERRA PLUTÓN R RT T      311 3122 1049,1 1085,5365   PLUTÓN T dias89.794TPLUTÓN 
  37. 37. Apartado c).- 2 LunaTierra LunaTierra iagravitator d MM GF       .109,1 1084,3 102,71098,5 1067,6 20 28 2224 11 NF iagravitator       Apartado d).- s m d M Gv LunaTierra Tierra giro 2,1019 1084,3 1098,5 1067,6 8 24 11       Apartado e).- Calculamos la longitud de la órbita de la luna… mrL lunaorbita 98 _ 104,21084,322   d d h h s s s v L t giro orbita periodo 4,27 243600 .1035,2 .1035,2 2,1019 104,2 6 6 9      
  38. 38. Velocidad de Escape La velocidad de escape depende de la masa y del tamaño del cuerpo. Para la Tierra es cerca de 11 km/s. Cuando la velocidad de escape es la velocidad de la luz, el cuerpo central será un agujero negro. La velocidad de escape será Es importante notar que ninguna de estas velocidades depende de la masa del cuerpo que está orbitando o escapando.    planetaradio planetamasa escape R MG2 v   Imagen.- www.nasa.gov
  39. 39. Ampliación - Movimiento Orbital La fuerza de gravedad siempre hace que las cosas caigan. La pregunta es si la trayectoria de la caída coincide con cualquier superficie. La forma de la órbita depende de la velocidad que el cuerpo tenga en un punto dado. Velocidades bajas recorrerán distancias menores, mientras que velocidades grandes recorrerán distancias mayores. En estos casos se puede decir que las trayectorias son cerradas. Sí la velocidad es bastante grande (mayor o igual a la velocidad de escape), la orbita será una hipérbola en lugar de una elipse y el cuerpo no regresará. Imagen.- www.nasa.gov
  40. 40. Explicación de las Leyes de Kepler Newton pudo explicar matemáticamente (usando su cálculo) que las órbitas de los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo que estos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrar que el periodo y tamaño de una orbita están dados por: 3 2 2 )( 4 a MMG P PlanetaSol    Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constante gravitacional. Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).
  41. 41. Cálculo de la Masa de la Tierra Sabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a la luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca de 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años. 6 62 3 2 3 1025.2 1064 144 12 1 400 1   x xP a M Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Así que la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Para poder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley de Kepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a (metros), G (unidades mks).
  42. 42. Ejercicios - Ampliación ¿Cuál sería el periodo orbital de la Tierra si la masa del Sol fuera 9 veces mayor? Discuta las implicaciones si esto fuera cierto Suponga que se descubrió un nuevo cometa y que las observaciones indican que su periodo es de 1000 años, ¿A qué distancia (promedio) se encuentra del Sol?
  43. 43. Fin Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net

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