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Conferencia de Xavier Terri para UNT. Tres teorías sobre la gravedad

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Conferencia de Xavier Terri para UNT. Tres teorías sobre la gravedad

  1. 1. TRES TEORÍAS SOBRE LA GRAVEDAD: GRAVITACIÓN UNIVERSAL, RELATIVIDAD GENERAL Y TEORÍA CONECTADA Xavier Terri Castañé  
  2. 2. SUMARIO
  3. 3. PREÁMBULO1. LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA NEWTONIANA(1) Primer caso: cuerpos libres () Segundo caso: graves () Si , entonces , cuya solución es (solución trivial): Principio de Inercia clásico. Para explicar el movimiento de los cuerpos libres que no obedecen la solución trivial del principio de Inercia clásico se postula la existencia de los sistemas no-inerciales. CONCLUSIÓN: La ecuación fundamental de la dinámica newtoniana establece la dicotomía ‘observador inercial-observador no inercial’. Es incompatible con la igualdad de todos los observadores posibles de la naturaleza. Una vez conocida la fuerza, la ecuación fundamental (1) permite determinar el movimiento generado por dicha fuerza. Vamos a estudiar el movimiento de los graves desde el punto de vista de 3 teorías distintas de la gravedad.
  4. 4. GRAVITACIÓN UNIVERSAL: ISAAC NEWTON1. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON (2) 1.Teoría de la gravitación de Newton 2. Reformulación de la teoría de la gravitación de Newton: movimiento + campo Se reduce a dos leyes: 1) 2) Combinando ambas leyes se obtiene la intensidad del campo gravitatorio, o aceleración gravitatoria: (3) Las dos anteriores leyes son matemáticamente equivalentes a las siguientes dos leyes:   1) Ecuaciones de Movimiento: (o ) (4) 2) Ecuaciones de Campo: (5) -El signo ‘ ’ representa al conocido operador diferencial nabla. -Las Ecuaciones de Campo relacionan el campo, , con la densidad de masa de la fuente gravitatoria .
  5. 5. 3. Solución simétricamente esférica 4. Alternativas a la gravitación universal de Newton La solución esférica de las Ecuaciones de Campo (5) es: (6) Combinando ambas leyes se obtiene la intensidad del campo gravitatorio, o aceleración gravitatoria: (7) La aceleración (7) coincide con la aceleración (3):ambas formulaciones de la teoría de la gravedadde Newton son equivalentes. Por varias razones las teoría de la gravitación universal de Newton quedó obsoleta desde la Relatividad especial de Einstein. CONCLUSIÓN: Hay que buscar una alternativa tetradimensionala las Ecuaciones de Movimiento (3) y las Ecuaciones de Campo (4) de Newton. Analizaremos dos posibilidades: 1) Relatividad general de Einstein. 2) Teoría conectada.
  6. 6. RELATIVIDAD GENERAL: ALBERT EINSTEIN 1. Ecuaciones de movimiento de la Relatividad General Las ecuaciones geodésicas (9) son matemáticamente análogas a las Ecuaciones de Movimiento de Newton (4) en donde la métrica espaciotemporal, , juega el papel del viejo potencial gravitatorio newtoniano . Esto sugirió a Einstein que en una teoría de la gravitación tetradimensional la propia métrica del espaciotiempo era la que debía representar al potencial gravitatorio. Basándose en su Principio de Equivalencia Einstein establece sus geodésicas gravitatorias como generalización tetradimensional de (3): (8) Las geodésicas gravitatorias de Einstein son una mera generalización tetradimensional del Principio de Inercia clásico correspondiente al movimiento de los cuerpos libres con respecto a un observador inercial. Como el superíndice ‘ ’ puede tomar 4 valores, la ecuación (8) contiene 4 ecuaciones escalares. El signo ‘D’ significa ‘diferenciación covariante’. La matemática demuestra que las ecuaciones geodésicas (8) son equivalentes a: (9) 2. Ecuaciones de campo de la Relatividad General: las ecuaciones de Einstein Einstein considera que la generalización tetradimensional del potencial gravitatorio newtoniano se corresponde con la propia métrica espaciotemporal . Por tanto, considera que la generalización de las Ecuaciones de Campo de Newton (5) deben ser del siguiente tipo general: (10)
  7. 7. El operador ‘O’ representa una generalización del operador diferencial nabla, ‘ ’. El tensor energía-impulso, , es una generalización de la densidad de masa newtoniana . Comparando (10) con (5) vemos que la métrica reemplaza al viejo potencial escalar newtoniano y el tensor energía-impulso, la densidad de masa. La ecuación de campo (10) contiene 10 ecuaciones escalares. En total la Relatividad General contiene 2 ecuaciones que contienen 14 ecuaciones escalares: 4 ecuaciones de movimiento y 10 ecuaciones de campo. Las ecuaciones de campo de la Relatividad General, postuladas por Einstein siguiendo la idea apuntada en (10), se conocen como Ecuaciones de Einstein: (11) CONCLUSIÓN: La Relatividad General de Einstein es una generalización de la Gravitación Universal de Newton construida sobre la hipótesis de que es la propia métrica la que debe representar al potencial gravitatorio. 3. Solución estacionaria simétricamente esférica La Relatividad General representa la fuente gravitatoria mediante el tensor energía-impulso. Como a través de (10) este tensor se relaciona con la métrica, y esta necesita un mínimo de 4 componentes no nulas, incluso para el campo estacionario esférico la Relatividad General se ve obligada a postular un tensor energía-impulso con cuatro componentes. Si la fuente gravitatoria, además de estacionaria, es un “fluido perfecto”, entonces la Relatividad General postula: (12) . Sustituyendo (12) en las Ecuaciones de Einstein (11) se obtiene la solución, conocida como Métrica de Schwarzschild: (13)
  8. 8. El primer elemento de matriz es análogo, salvo constantes, a la solución newtoniana (6), cuyas derivadas producían la aceleración gravitatoria (3) o (7). Con la Métrica de Schwarzschild(13) y las geodésicas gravitatorias (9), la Relatividad General reproduce la famosa aceleración newtoniana apuntada en (3): directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Esta representación geométrica de la gravedad tiene serios inconvenientes. La aceleración radial gravitatoria obtenida de las geodésicas gravitatorias depende de si está expresada en función del tiempo propio o del tiempo coordenado. Expresada en función del primero la aceleración radial es exactamente igual a la aceleración newtoniana (9), pero expresada en función de este último da lugar a resultados absurdos. La discusión requiere tiempo pero está presentada en el artículo de viXra.org La Relatividad General es a lo sumo una teoría de la gravitación La métrica de Schwarzschild Toda métrica es una definición de espaciotiempo, pero la métrica de Schwarzschild tiene un serio problema: el radio crítico, a partir del cual el “tejido” espaciotemporal se rompe. -Radio crítico: (14) El primer elemento de matriz de la métrica (13), la métrica de Schwarzschild, es igual a cero, y el segundo, infinito. ¿Es posible que la Relatividad General de Einstein no sea la generalización adecuada de la Gravitación Universal de Newton?
  9. 9. Aunque matemáticamente la Relatividad General es complicada, la idea en la que se basa es muy simple: una métrica cuyo elemento de matriz “cero-cero” sea análogo al potencial newtoniano y después, mediante las ecuaciones geodésicas (9), derivar con respecto a ‘r’ este elemento de matriz para reproducir la famosa aceleración gravitatoria de Newton. Pero, ¿es correcta semejante idea? ¿Permite eliminar la dicotomía entre observadores inerciales y observadores no-inerciales? La Relatividad General, que aún continúa diferenciando entre observadores inerciales y observadores no-inerciales, es incompatible con la igualdad de todos los observadores posibles de la naturaleza. APUNTE Cuando los elementos de matriz de la métrica son constantes (métrica de Minkowski) las ecuaciones geodésicas (9) dan lugar a la solución trivial del Principio de Inercia clásico: . La idea básica de la Relatividad General consiste en generar métricas “curvas” (mediante las Ecuaciones de Einstein) cuyos elementos de matriz no sean constantes (que sean parecidos al potencial newtoniano (6)) para que, de este modo, las ecuaciones geodésicas (9) puedan dar lugar a soluciones distintas a la solución trivial. Entonces la Relatividad General interpreta que tales soluciones no triviales corresponden al movimiento de los graves.
  10. 10. TEORÍA CONECTADA1. ECUACIÓN FUNDAMENTAL 1. Ecuación fundamental de la Teoría Conectada Supongamos, el pensamiento es libre, que la Relatividad General fuese errónea. Entonces tanto sus ecuaciones de movimiento como sus ecuaciones de campo serían también erróneas. Imaginemos: ¿cómo debería ser la alternativa tetradimensional de la Relatividad General? Empecemos por las ecuaciones de movimiento relativistas, las geodésicas gravitatorias (8). Si éstas estuviesen equivocadas, entonces ya no sería cierto que , lo cual equivale a decir que: (15) La expresión anterior puede ser apuntada como: (16) “algo” representa alguna expresión matemática distinta de ‘0’. Arreglando (16) se obtiene la ecuación fundamental de la teoría conectada: (17)
  11. 11. Segundo caso: graves ( ) Primer caso: partículas libres ( ) Si , entonces se obtiene el nuevo Principio de Inercia: (18) Las ecuaciones geodésicas (18) son las mismas que las anteriores ecuaciones (8), pero su interpretación física es ahora radicalmente distinta: según la Relatividad General los graves obedecen ecuaciones geodésicas (“geodésicas gravitatorias”), pero según la teoría conectada sólo son los cuerpos libres, , los que las obedecen (no existen “geodésicas gravitatorias”). Hay que postular una ley de fuerza gravitatoria tetradimensional que generalice la ley newtoniana (4). Por diferentes motivos esta ley es (ver Extracto de la teoría conectada): (19) El potencial conectado es la generalización tetradimensional del potencial newtoniano “punto y coma” significa derivada covariante con respecto al índice que sigue. ‘ ’ se puede interpretar como una especie de generalización de ‘ ’. La Relatividad General interpreta que la generalización del viejo potencial newtoniano es la propia métrica ( ), en cambio la teoría conectada introduce un nuevo potencial ( ) distinto a la métrica.
  12. 12. La teoría conectada debe buscar unas ecuaciones de campo en las que sea el nuevo potencial conectado, y no la métrica, el que ejerza el papel de potencial gravitatorio: (21) Las ecuaciones de campo de la teoría conectada tienen la siguiente forma general: (22) Así apuntadas se parecen a las Ecuaciones de Einstein (11), pero no tienen nada que ver, pues ahora es el potencial conectado, y no la propia métrica, el que actúa como potencial gravitatorio. La ecuación (22) contiene 10 ecuaciones. Pero tenemos 20 incógnitas: la 10 componentes de la métrica y las 10 componentes del potencial conectado. Faltan, pues, otras 10 ecuaciones. Éstas son: (23) En total la teoría conectada consta de 3 ecuaciones que equivalen a 24 ecuaciones escalares: 4 de movimiento, 10 de campo y 10 que relacionan la métrica con el campo. 2. Ecuaciones de movimiento de la Teoría Conectada Se obtienen combinando (17) y (19): (20) Estas ecuaciones (20) son la generalización de las Ecuaciones de Movimiento de Newton (4). El potencial conectado no puede coincidir con la propia métrica ( ), pues en tal caso, por ser las derivadas covariantes de la métrica nulas ( ), las ecuaciones de movimiento se reducirían otra vez a las “geodésicas gravitatorias” de la Relatividad General. 3. Ecuaciones de campo de la Teoría Conectada Antes hemos visto que Einstein buscaba una generalización de las Ecuaciones de Campo de Newton (5) en el que la propia métrica jugara el papel de potencial gravitatorio: (10)
  13. 13. Sólo aparecerán otras componentes no nulas según sean las componentes de la velocidad de la fuente gravitatoria con respecto al observador (que siempre tiene derecho a considerarse en reposo). La Relatividad General no puede tratar fuentes en movimiento pues incluso en el caso estacionario necesita 4 componentes no nulas. Ver (12). En el caso estacionario sólo existe una componente no nula para el potencial conectado: la “cero-cero” . Resolviendo las ecuaciones (22) y (23) se obtienen estas soluciones: (26) y: (27) Sustituyendo estas soluciones en (20) se obtiene el movimiento del grave. CONCLUSIÓN La teoría conectada es una generalización de la Gravitación Universal de Newton construida sobre la hipótesis de que el potencial gravitatorio viene representado por un nuevo tensor que no coincide con la propia métrica. 4. Solución estacionaria simétricamente esférica El tensor energía-impulso de la teoría conectada es: (24) Las tetravelocidades contienen la velocidad de la fuente gravitatoria, por ejemplo, la velocidad del sol con respecto a la tierra. Si la fuente es estacionaria (en reposo con respecto al observador), entonces el tensor energía-impulso es (aproximadamente): (25)
  14. 14. Según la Relatividad General las soluciones no triviales de las ecuaciones geodésicas ( ) sirven para explicar el movimiento de los graves. Pero según la teoría conectada las ecuaciones geodésicas tan sólo sirven para explicar el movimiento de los cuerpos libres (los graves no obedecen las ecuaciones geodésicas, sino las ecuaciones de movimiento (20)). ¿Cuál es, pues, la función de tales soluciones no triviales? Respuesta: Eliminar la dicotomía inercial-no inercial y, en virtud de ello, instaurar la invariancia universal de las leyes físicas, la ausencia de observadores privilegiados. Las ecuaciones geodésicas tan sólo corresponden al nuevo principio de inercia para los cuerpos libres. Las soluciones no triviales de las mismas sirven para eliminar los observadores no-inerciales de Newton. Pero al interpretar Einstein, con su Principio de Equivalencia, que estas soluciones no triviales correspondían al movimiento de los graves cerró la puerta a la invariancia universal de las leyes físicas. RESULTADOS -Los 3 test clásicos. -El “tejido” espaciotemporal no se rompe. No hay ceros ni infinitos matemáticos. No existen agujeros negros ni horizontes de sucesos. -Para campos intensos predicen curvas de rotación planas (Materia Oscura): (28) ¿Se imaginan que la teoría conectada hubiese sido establecida en 1915? Aparte de los famosos 3 test clásicos, en lugar de considerar un rompecabezas el problema actual de las curvas de rotación planas estaríamos hablando ahora de otro gran éxito predicho, con considerable antelación, por la teoría conectada.
  15. 15. http://www.librovirtual.org/autor.php?autor=AUT0338 http://xaterri.bubok.com/ © Alicia Pardo Mateo

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