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# 2019年 演習II．第2章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇

テキスト「Pythonで体験するベイズ推論」

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### 2019年 演習II．第2章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇

1. 1. 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」 の悲劇 市東 亘 西南学院大学 経済学部 July 31, 2019 講義ノート: https://courses.wshito.com/semi2/2019-bayes-AI 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 1 / 25
2. 2. 概観 概観 テキスト「Python で体験するベイズ推論」pp.63–74 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 ▶ 分析の背後にある統計モデルを理解する． ▶ PyMC3 による実装方法を学ぶ． 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 2 / 25
3. 3. 分析の目的 分析の目的 目的 ▶ 外気温が与えられた時の O リングの破損確率を推定したい． ▶ 標本データは 23 回のフライトデータから得られた外気温（華氏）と O リング不良の有無．https://git.io/vXknD 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 3 / 25
4. 4. 分析の目的 説明したい事象と確率分布 ▶ カンニングのケース カンニング総数 ⇒ 2 項分布 ▶ チャレンジャーのケース 個別の O リングが破損するか否か ⇒ ベルヌーイ分布 ▶ ベルヌーイ分布 確率 p で 1 を，確率 1 − p で 0 をとる離散確率分布． f(x) = px(1 − p)1−x for x = 1 or 0 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 4 / 25
5. 5. 分析の目的 統計モデルの構築 与えられるデータ 温度 O リング破損 統計モデルの構築 この確率は外気温に依存すると考えられる． ロジスティック関数 ロジスティック関数の形状は分からない のでαとβも推定すべきパラメータとなる ti Di Di ∼ Bernoulli(p) Di ∼ Bernoulli(p(ti)) p(ti) = 1 1 + e−(βti+α) 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 5 / 25
6. 6. 分析の目的 統計モデルの構築 与えられるデータ 温度 O リング破損 統計モデルの構築 この確率は外気温に依存すると考えられる． ロジスティック関数 ロジスティック関数の形状は分からない のでαとβも推定すべきパラメータとなる ti Di Di ∼ Bernoulli(p) Di ∼ Bernoulli(p(ti)) f(p|Di) ∝ f(Di|p)f(p) f(α, β|Di, ti) ∝f(Di, ti|α, β)f(α, β) =f(Di, ti|α, β)f(α)f(β) αとβは独立 p(ti) = 1 1 + e−(βti+α) 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 6 / 25
7. 7. 分析の目的 なぜロジスティック関数なのか？ ▶ Di ∼ Bernoulli(p(ti)) の p は 0 から 1 の値をとる確率． ▶ 温度 ti を 0 から 1 の値にマッピングする関数が必要． ⇒ シグモイド曲線 6 4 2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 7 / 25
8. 8. 分析の目的 ロジスティック曲線 温度が高い方が破損確率が高いケース p = 1 1 + e−(βti+α) β = 1, α = 0 6 4 2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 8 / 25
9. 9. 分析の目的 ロジスティック曲線 温度が低い方が破損確率が高いケース p = 1 1 + e−(βti+α) β = −1, α = 0 6 4 2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 9 / 25
10. 10. 分析の目的 ロジスティック曲線 水平方向のシフト p = 1 1 + e−(βti+α) β = −1, α = 50 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 10 / 25
11. 11. 分析の目的 ロジスティック曲線 変曲点の移動 p = 1 1 + e−(βx+α) β = −0.93, α = 50 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 11 / 25
12. 12. 分析の目的 統計モデル再掲 与えられるデータ 温度 O リング破損 統計モデルの構築 この確率は外気温に依存すると考えられる． ロジスティック関数 ロジスティック関数の形状は分からない のでαとβも推定すべきパラメータとなる ti Di Di ∼ Bernoulli(p) Di ∼ Bernoulli(p(ti)) f(p|Di) ∝ f(Di|p)f(p) f(α, β|Di, ti) ∝f(Di, ti|α, β)f(α, β) =f(Di, ti|α, β)f(α)f(β) αとβは独立 p(ti) = 1 1 + e−(βti+α) 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 12 / 25
13. 13. 分析の目的 統計モデル f(α, β|Di, ti) ∝ f(Di, ti|α, β)f(α)f(β) ▶ f(Di, ti|α, β): Di ∼ Bernoulli(p(ti)) where p(ti) = 1/(1 + e−(βti+α)) ▶ f(α): α ∼ N(0, 1000), µ = 0, σ2 = 1000 ▶ f(β): β ∼ N(0, 1000), µ = 0, σ2 = 1000 ▶ Precision: τ = 1/σ2 = 1/1000 = 0.001 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 13 / 25
14. 14. 分析の目的 PyMC3 による実装 コード 1 データの読み込み 1 import numpy as np 2 3 # データは， Date,Temperature,Damage Incident のフォーマット．欠損値は NA が記されている 4 data = np.genfromtxt("challenger_data.csv", skip_header=1, 5 usecols=[1,2], missing_values="NA", delimiter=",") 6 data = data[~np.isnan(data[:, 1])] 7 data.shape Out: (23, 2) 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 14 / 25
15. 15. 分析の目的 PyMC3 による実装 コード 2 モデル: チャレンジャー号の悲劇 1 import numpy as np 2 import pymc3 as pm 3 4 temperature = data[:, 0] # 外気温 5 D = data[:, 1] # 破損の有無 6 7 with pm.Model() as model: 8 beta = pm.Normal("beta", mu=0, tau=0.001, testval=0) # βの事前分布 9 alpha = pm.Normal("alpha", mu=0, tau=0.001, testval=0) # αの事前分布 10 # ロジスティック関数 11 p = pm.Deterministic("p", 1.0/(1. + np.exp(-beta*temperature - alpha))) 12 D = pm.Bernoulli("D", p=p, observed=D) # 尤度 13 14 start = pm.find_MAP() 15 trace = pm.sample(60000, start=start) # 初期値を指定して MCMC を開始 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 15 / 25
16. 16. 分析の目的 生成サンプルの視覚化 pm.traceplot(trace["alpha"]) pm.traceplot(trace["beta"]) 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 16 / 25
17. 17. 分析の目的 破損発生確率の視覚化 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 17 / 25
18. 18. 分析の目的 破損発生確率の視覚化 コード 3 破損発生確率の視覚化コード 1 temperature = data[:, 0] 2 D = data[:, 1] 3 4 # t は 50x1．p は 100000 x 50 5 t = np.linspace(temperature.min()-5, temperature.max()+5, 50)[:, None] 6 p = logistic(t.T, beta=trace["beta"][:, None], alpha=trace["alpha"][:, None]) 7 8 mean_p = p.mean(axis=0) 9 10 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12.5, 4)) 11 ax.grid(True) 12 ax.plot(t, mean_p, lw=3, label="破損の平均事後確率") 13 ax.plot(t, p[100, :], ls="--", label="事後分布からのサンプル") 14 ax.plot(t, p[180, :], ls="--", label="事後分布からのサンプル") 15 ax.scatter(x=temperature, y=D, s=50, color="k", alpha=0.5) 16 17 ax.legend(loc="lower left") 18 ax.set_title("破損発生確率の事後期待値と 2 つのサンプリング値", fontsize=18) 19 ax.set_ylabel("確率", fontsize=16) 20 ax.set_xlabel("外気温", fontsize=16) 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 18 / 25
19. 19. 分析の目的 破損発生確率の視覚化コード解説 ▶ 5 行目: グラフを 50 個の点を接続して描くために，外気温の最小値か ら最大値まで 50 個の均等な値を変数 t に用意． ▶ 6 行目: MCMC で生成した 100000 個の α と β のサンプルデータ毎 に，50 個の t の値に対応した確率 p の値を計算する．p は 100000 × 50 の配列． ▶ 7 行目: 100000 個の確率データの平均を計算． ▶ 13–14 行目: 100000 個のサンプルデータからインデックス番号 100 と 180 の p の値をそれぞれ点線でプロット． 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 19 / 25
20. 20. 分析の目的 破損発生確率の 95%信用区間 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 20 / 25
21. 21. 分析の目的 破損発生確率の 95%信用区間 コード 4 破損発生確率の 95%信用区間コード 1 from scipy.stats.mstats import mquantiles 2 3 qs = mquantiles(p, [0.025, 0.975], axis=0) 4 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12.5, 4)) 5 ax.grid(True) 6 7 ax.fill_between(t[:, 0], *qs, alpha=0.7, color="#7A68A6") # 第１引数は 1 次元でなけれ 8 ax.plot(t, qs, label="95%信用区間", color="#7A68A6", alpha=0.7) # 信用区間下側境界 9 ax.plot(t, qs, color="#7A68A6", alpha=0.7) # 信用区間上側境界線 10 ax.plot(t, mean_p, lw=1, ls="--", color="k", label="破損の平均事後確率") 11 ax.scatter(x=temperature, y=D, s=50, color="k", alpha=0.5) 12 13 ax.legend(loc="lower left") 14 ax.set_xlim(t.min(), t.max()) 15 ax.set_title("破損発生確率の事後期待値と 95%信用区間", fontsize=18) 16 ax.set_ylabel("確率", fontsize=16) 17 ax.set_xlabel("外気温", fontsize=16) 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 21 / 25
22. 22. 分析の目的 破損発生確率の 95%信用区間コード解説 ▶ mquantiles() は指定された割合にデータを分割し，その境界になる データの値を返す関数． ▶ 3 行目: 引数 p は 100000 × 50 の配列．axis=0 はデータ p を列方向 に見ていく．したがって，50 の列ごとに 100000 個のサンプリング データから 2.5%と 97.5%に入るデータの境界値（2 × 50 の配列）を 返す． ▶ 7 行目: fill_between() の引数のアスタリスクは配列のアンパッキン グを表す．つまり 2 × 50 の配列が，50 個の要素を持つ 2 つの配列と して渡される． 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 22 / 25
23. 23. 分析の目的 事故当時の外気温における破損確率 チャレンジャー号が打ち上げ失敗した日の気温華氏 31 度で，O リングが破 損する確率を推定してみる． 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 23 / 25
24. 24. 分析の目的 破損発生確率の 95%信用区間 コード 5 破損発生確率の 95%信用区間コード 1 fig, ax = plt.subplots(figsize=(12.5, 2.5)) 2 ax.grid(True) 3 4 # 華氏 31 度の時の事後確率サンプルデータを計算 5 prob_31 = logistic(31, beta=trace["beta"][:, None], 6 alpha=trace["alpha"][:, None]) 7 # 1000 分割のヒストグラム．確率 0.001 ごとに頻度集計 8 ax.hist(prob_31, bins=1000, density=True, histtype="stepfilled") 9 ax.set_xlim([0.990, 1]) 10 ax.set_ylabel("密度") 11 ax.set_xlabel("O リングで破損が起こる確率") 12 ax.set_title("外気温が華氏 31 度のときの破損が発生確率の事後分布") 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 24 / 25
25. 25. 分析の目的 事故当時の外気温における破損確率コード解説 ▶ 5 行目: 100000 個の α と β のサンプルデータを利用して，事故があっ た日の気温華氏 31 度における O リング破損の事後確率のサンプル データを生成． ▶ 8 行目: この 100000 個の事後確率サンプルデータを 1000 個の区間に 分割し，その頻度からヒストグラムを作成．確率 0 から 1 まで 1000 分 割すると 0.001 毎にグラフが描かれる． ▶ 9 行目: ヒストグラムは 0.990 から 1 までのデータのみ描画． 市東 亘 (西南学院大学 経済学部) 第 2 章 例題: スペースシャトル「チャレンジャー号」の悲劇 July 31, 2019 25 / 25

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