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Medidas de Tendência Central e Dispersão

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Medidas de Tendência Central e Dispersão

  1. 1. Medidas de Tendência Central e Dispersão Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  2. 2. Distribuição normal • Formato de sino onde a maioria dos valores se concentram em torno da média. • É uma distribuição simétrica em relação a média • Variável quantitativa σ=1 µ=0 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  3. 3. Distribuição normal Por que é importante que as variáveis possam ser descritas por uma distribuição normal? Para utilizar uma gama modelos estatísticos mais robustos e utilização de testes paramétricos Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  4. 4. Distribuição normal Se a distribuição da população for normal e a amostra retirada aleatoriamente for maior que 30 casos, vale afirmar que a distribuição da amostra também será normal População (N) | Média: µ | Variância: σ2 Amostra (n) | Média: x | Variância: s2 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  5. 5. Distribuição normal Distribuição binomial tende para a normal quando a amostra > 30 Histograma: (p=q=0,5) n=31, ou seja, (0,5 + 0,5)31 *Probabilidade de sucesso: p e Probabilidade de falha q=1-p Bernoulli Distribuição binomial simétrica Distribuição normal (1654-1705) % y 15 10 Moivre 5 (1667-1754) 0 x 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Acontecimentos favoráveis Gauss (1777-1855) Teorema binomial (Ars conjectandi, Bernoulli 1713) Approximatio ad summam terminorum binomii (Moivre, 1733) Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  6. 6. Conceitos MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO Representação por meio de um valor único ou central, determinado conjunto de informações que variam Valor central = “abstração” Medidas mais utilizadas em análise estatística Média Aritmética Mediana Moda Quartis Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  7. 7. Média Aritmética ou Média ( x ) soma de um conjunto de observações (∑ x) dividida ∑ pelo número de observações (n) X1+X2+X3+...+Xn x= n ∑x x= n Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  8. 8. Média Aritmética Centro de gravidade – ponto de equilíbrio 19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4 Média = 12 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  9. 9. ~ Mediana (x) É o valor que divide a distribuição ordenada da amostra em duas partes iguais Mediana 50% 50% Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  10. 10. Mediana Centro de gravidade – ponto de equilíbrio 12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4 Mediana = 12 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  11. 11. Mediana Centro de gravidade – ponto de equilíbrio Média = 16 12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 46 Média = 12 19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 22 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  12. 12. Propriedades da mediana • Não sofre influência quando temos no conjunto valores discrepantes (tanto para mais como para menos) • Para definir a mediana os dados devem estar ordenados (crescente ou decrescente) • A mediana é o ponto central da distribuição • Quando o total de observações for um número par a mediana é a média aritmética dos valores centrais Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  13. 13. Comparação MÉDIA X MEDIANA Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  14. 14. Simetria MÉDIA=MEDIANA=MODA MÉDIA<MEDIANA<MODA MÉDIA>MEDIANA>MODA Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  15. 15. Moda • Valor mais freqüente em uma distribuição • Única medida de tendência central que pode ser utilizada para variáveis categóricas • Uma distribuição pode ser modal, bimodal ou polimodal 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  16. 16. Moda Estatura em 213 estudantes universitários da UFRGS (Callegari-Jacques) 30 25 20 15 10 5 0 40 30 35 25 30 20 25 20 15 15 10 10 5 5 0 0 Mulheres (n=140 – Média 164) Homens (n=73 – Média 177) Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  17. 17. Quartis Valores que dividem uma série ordenada de dados em quatro grupos, cada um reunindo 25%. • A distância interquartílica (Q3 – Q1) representa melhor uma distribuição assimétrica, quando comparada ao desvio-padrão ou amplitude. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Q3 Q1 Q2 P75 P25 P50 Mediana Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  18. 18. Conceitos MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE Amplitude de Variação Variância Desvio Padrão Quartis e Percentis Distância Interquartílica Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  19. 19. Amplitude Definição: Diferença entre o mais alto e o mais baixo escore em uma distribuição A=S–I S – escore mais alto I – escore mais baixo Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  20. 20. Amplitude • Vantagens: • Rápido e fácil • Desvantagens: • Índice aproximado da variabilidade de uma distribuição • Sensível a um único valor Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  21. 21. Exemplo de Amplitude T u rm a Id ad e A m p litu d e A 1345678 8–1=7 B 2456679 9–2=7 C 123344 4–1=3 D 1 2 3 3 4 13 13 – 1 = 12 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  22. 22. Amplitude da variação Centro de gravidade – ponto de equilíbrio Média = 16 12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 46 Média = 12 19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 22 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  23. 23. Variância Média = 16 12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 46 Desvio = X - X Exemplo: 49 – 16 = 33 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  24. 24. Variância Média = 15,857 12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 46 X X-X Res X X-X Res 3 3-15,857 12 12-15,857 4 4-15,857 20 20-15,857 Quanto > desvio > 4 4-15,857 26 25-15,857 distância da média 4 4-15,857 25 25-15,857 4 4-15,857 25 26-15,857 4 4-15,857 30 30-15,857 4 4-15,857 49 49-15,857 12 12-15,857 Total Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  25. 25. Variância Média = 15,857 12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 46 X X-X Res X X-X Res Soma dos desvios 3 3-15,857 -12,857 12 12-15,857 -3,857 4 4-15,857 -11,857 20 20-15,857 4,143 acima da média é 4 4-15,857 -11,857 26 25-15,857 9,143 igual a soma dos 4 4-15,857 -11,857 25 25-15,857 9,143 desvios abaixo da 4 4-15,857 -11,857 25 26-15,857 10,143 4 4-15,857 -11,857 30 30-15,857 14,143 média 4 4-15,857 -11,857 49 49-15,857 33,143 12 12-15,857 -3,857 Total 0 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  26. 26. Variância Média = 15,857 12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4 Moda = 4 Mediana = 12 Amplitude = 46 Σ(x – x)2 X X-X Res X X-X Res 3 3-15,857 165,3024 12 12-15,857 14,87645 4 4-15,857 140,5884 20 20-15,857 17,16445 Limitação: neste formato 4 4-15,857 140,5884 26 25-15,857 83,59445 só é possível comparar 4 4-15,857 140,5884 25 25-15,857 83,59445 conjuntos de dados com 4 4-15,857 140,5884 25 26-15,857 102,8804 tamanhos idênticos 4 4-15,857 140,5884 30 30-15,857 200,0244 (mesmo número de observações) 4 4-15,857 140,5884 49 49-15,857 1098,458 12 12-15,857 14,87645 Total 2483,714 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  27. 27. Variância X X-X Res X X-X Res 3 3-15,857 165,3024 12 12-15,857 14,87645 4 4-15,857 140,5884 20 20-15,857 17,16445 4 4-15,857 140,5884 26 25-15,857 83,59445 4 4-15,857 140,5884 25 25-15,857 83,59445 4 4-15,857 140,5884 25 26-15,857 102,8804 4 4-15,857 140,5884 30 30-15,857 200,0244 4 4-15,857 140,5884 49 49-15,857 1098,458 12 12-15,857 14,87645 Total 2483,714 n Σ(x – x)2 2.483,714 i=l 177,4082 s2 = = = 14 (n-1) Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  28. 28. Variância • Vantagens: • Valores absolutos • Dá maior ênfase aos valores extremos (>sensibilidade ao grau de desvio na distribuição) • Desvantagens: • Dificuldade na interpretação devido a alteração da medida (elevado ao quadrado) • Valores elevados • Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados originais Ex: variável medida em metros, a variância será expressa em m2 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  29. 29. Desvio Padrão s=v 2 s Vantagens • Apresenta as propriedades da variância • Tem a mesma unidade de medida dos dados originais Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  30. 30. Desvio Padrão s=v 2 s s= 13 X=16 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  31. 31. Desvio Padrão Relação entre a média e desvio padrão em uma distribuição normal s=v 2 s Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  32. 32. Desvio Padrão Relação entre a média e desvio padrão em uma distribuição normal +-1s +-1,96 s +-2,58 s Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  33. 33. Comparações Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  34. 34. Exercício Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando serviço militar no quartel Q, aqueles com uma estatura de no mínimo 180 cm, para formar um time de basquete. Que percentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição normal e, nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio padrão, 6 cm? Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  35. 35. Resultado Para X = 175, z = (x - µ)/σ = 175 – 175) / 6 = 0 Para x = 180, z = (x - µ)/σ = 180 – 175) / 6 = 0,83 A área entre z = 0 e z = 0,83 é 0,2967 e a área além de 0,83 é (0,5 – 0,2967) = 0,2033 Portanto, 20,33% dessa população são constituídos de indivíduos com estatura igual ou superior a 180 cm. (estatura) 175 180 Z (variável padronizada) 0,83 0 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  36. 36. Exercício Se 140 jovens estão prestando serviço militar no quartel Q o número esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de basquete é? Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  37. 37. Resultado Portanto, 20,33% de 140 = 0,2033 x 140 = 28,46, isto é 28 jovens. (estatura) 175 180 Z (variável padronizada) 0,83 0 Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  38. 38. Tela do Epi Info Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  39. 39. “Nós (epidemiologistas) usamos a estatística da mesma maneira que um bêbado usa um poste de luz: muito mais para suporte do que para iluminação” Winifred Castle Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com
  40. 40. Referências • www.famat.ufu.br/ednaldo/ednaldo.htm • Jekel, James F. Epidemiologia, bioestatística e medicina preventiva — Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999 • Beiguelman, Bernardo. Curso prático de bioestatística — Ribeirão Preto, SP: Fundação de Pesquisas Científicas de Ribeirão Preto, 2002 • Métodos quantitativos em medicina / Eduardo Massad... [et al.] — Barueri, SP: Manole, 2004 • Leão, Ennio, et al. Pediatria ambulatorial — 3ª ed. Belo Horizonte: COOPEMED, 1998 • Triola, Mario. Introdução à Estatística. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999 • Epi Info 6.04d Manual • Sidia M. Callegari-Jacques. Bioestatística – Princípios e Aplicações – Editora Artmed. Baixe gratuitamente materiais sobre epidemiologia - http://epilibertas.blogspot.com

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