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Aplicação da
Transformada de Laplace
na Determinação de
Tensões e Correntes
em Circuitos Elétricos
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PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS
Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt,
constante, ...
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Sinal impulso unitário
É um sinal que é zero para qualquer 0≠t e é infinito para 0=t . Entretanto sua área é
igual a 1. ...
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A função ( )tE δ× representa um impulso com área E.
Rampa unitária
É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela...
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aplicação
A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução de
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Aplicação da transformada de Laplace para a determinação de tensões e correntes
em circuitos elétricos.
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Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )ti .
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Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos

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Circuitos Elétricos

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Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos

  1. 1. Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes em Circuitos Elétricos
  2. 2. 1 PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt, constante, para t >0. Ver fig. 1-a. t E E vR (a) (b) v 0 0 Fig. 1 A fig. 1-b mostra um exemplo da geração desse sinal. Com a chave aberta, a tensão em R é igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tensão E volt. Supondo que a chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a. Degrau unitário – É o degrau em que o valor para t > 0 é 1. Neste caso ele é designado por ( )tu . Ver fig. 2. t0 1 ( )tu + 0− 0 0 Fig. 2 Uma dúvida que se poderia ter seria sobre o valor da função para t = 0, uma vez que, pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1. Por convenção, em t = 0, a função ( )tu é descrita analiticamente pelas expressões: Para )0( − =t ( ) 0=tu Para )0( + =t ( ) 1=tu O sinal degrau representado na fig. 1-a é designado por: ( )tuEv ×=
  3. 3. 2 Sinal impulso unitário É um sinal que é zero para qualquer 0≠t e é infinito para 0=t . Entretanto sua área é igual a 1. Ver fig. 3. 0 t ∞ ( )tδ Área = 1 0 Fig. 3 Este sinal é, também, chamado de função Dirac e é representado por ( )tδ . Uma das maneiras matemáticas de descrevê-lo se refere à fig. 4. t τ 1 =h τ 0 0 Fig. 4 Nessa figura temos um pulso ( )tf de duração τ e amplitude τ 1 =h . Sua área fica: 1 1 =×= τ τA Portanto, a área é igual a 1 independentemente do valor de τ . Neste caso poderíamos dizer que hlim= ∞= 0→τ τ 1 lim 0→τ =( ) ( )tft lim=δ 0→τ Portanto, tem-se para ( )tδ : 0=τ ∞→h 1=área
  4. 4. 3 A função ( )tE δ× representa um impulso com área E. Rampa unitária É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela é definida como sendo a função ( )tf que obedece as seguintes características: Para 0<t ( ) 0=tf Para 0≥t ( ) ttf = Matematicamente, designa-se este tipo de função como sendo ( )tu 1− A fig. 5-a mostra essa função. A fig. 5-b mostra o sinal ( )tua 1− × que vem a ser uma rampa com inclinação igual a a . 0 1 ( )tu 1− t 1 0 0 1 ( )tua 1− × t a 0 (a) (b) Fig. 5
  5. 5. 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE Aplicação A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução de equações diferenciais de uma maneira puramente algébrica. É muito útil para o cálculo de tensões e correntes transitórias em circuitos elétricos. Definição Define-se como transformada de Laplace, de uma função temporal ( )tf , a igualdade: ( )[ ] ( ) dtetftf st− ∞ = 0 Esta operação transforma uma função da variável tempo em outra função que depende apenas da variável s. Por isto, é comum dizer: Função ( )tf Transformada de Laplace dessa função ( )sF onde ( ) ( ) dtetfsF st− ∞ = 0 (1) --------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 1 : Determinação da transformada de Laplace de um degrau unitário ( )tu . Ver fig. 6. t 0 1 ( )tu 0 Fig. 6 Neste caso ( ) dtesF st ∞ − ×= 0 1 st e s − −= 1 0 ∞ = ( ) ( ) ss ee s 1 10 11 0 =−−=−−= ∞−
  6. 6. 5 ( )=sF ( ) s tu 1 = (2) ----------------------------------------------------------------------------------------------- Teorema 1: A multiplicação de uma função temporal, por uma constante, equivale a multiplicação, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante Seja ( ) ( ) dtetfsF st− ∞ = 0 Neste caso, ( ) dtetfa st− ∞ × 0 ( ) dtetfa st− ∞ = 0 ( )sFa×= --------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 2 – Determinação da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E. Ver fig. 7. t 0 E ( )tf Fig. 7 Neste caso, ( ) ( )tuEtf ×= De acordo com o teorema 1, tem-se: ( )=× tuE ×E ( ) s E s Etu =×= 1 ( ) s E tuE =× (3) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 3 - Determinação da transformada de Laplace da função: ( ) t etf α− = ( ) dteesF stt − ∞ − = 0 α = ( ) dte ts ∞ +− 0 α Portanto:
  7. 7. 6 ( )ts e s +− + − α α 1 0 ∞ αα + = + −−= ss 11 0( )=sF -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo - 3 - Determinação da transformada de Laplace da derivada de uma função: ( ) dt tdf Sabemos que ( ) dt dU V dt dV UVU dt d ×+×=× Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica: ( ) dUVdVUVUd ×+×=× Integrando os dois lados da igualdade tem-se: +=× VduUdVVU ou −= VdUUVUdV (4) Sabemos que ( ) ( )sFdtetf st =− ∞ 0 (5) Vamos fazer ( ) Utf = e dtedV st− = Neste caso, st e s V − −= 1 Vamos aplicar estas igualdades na equação (4) ( )[ ]tfde s st ∞ − + 0 1 ( ) ( ) stst etf s dtetf −− ∞ ×−= 1 0 0 ∞ ou
  8. 8. 7 ( ) ( ) ( ) dte dt tdf ss f dtetf stst − ∞ + − ∞ += 00 10 ou ( ) ( ) ss f sF 10 += + ( ) dt tdf ou ( ) ( ) ( )+ −= 0fssF dt tdf (6) -------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 4 – Transformada de Laplace da integral de uma função ( )tf . Supondo que ( )sF é a transformada de Laplace de ( )tf é demonstrável que se ( ) ( )dttfAtv t ×= 0 então ( ) ( ) ( ) s v s sF Atv + +×= 0 (7) --------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 5 - Transformada de um impulso de área A. É, também, demonstrável que: ( ) AtA =δ (8) --------------------------------------------------------------------------------------------------- Exemplo 6 – Transformada de Laplace de uma rampa de inclinação C. ( ) 0=tf para t < 0 ( ) Cttf = para 0≥t Resultado: ( ) 2 s C sF = -----------------------------------------------------------------------------------------------------
  9. 9. 8 Exemplo 7 - Transformada de Laplace de uma senoide ( ) tAtf βsen= Resultado: ( ) 22 β β + = s AsF ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exemplo 8 – Transformada de Laplace de uma co-senoide ( ) tAtf βcos= Resultado: ( ) 22 β+ = s s AsF --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Anti-transformada de Laplace Se a transformada de Laplace de ( )tf é ( )sF , então a anti-transformada de Laplace de ( )sF , é ( )tf , ou seja: se ( )[ ] ( )sFtf = então ( )[ ] ( )tfsF = 1− (9) É costume designar a função no tempo com letra minúscula e a transformada com letra maiúscula. Exemplo: i ⇔ I Equivale a ( )ti ⇔ ( )sI
  10. 10. 9 Aplicação da transformada de Laplace para a determinação de tensões e correntes em circuitos elétricos. Exercício 1: - Determinar a corrente i no circuito da fig. 8, após o fechamento da chave. Suponha que o capacitor está descarregado. E i R C Fig. 8 Solução: Após o fechamento da chave, tem-se um circuito fechado. Neste caso, pode-se aplicar a segunda lei de ohm: 0 1 0 =×++− t dti C RiE (10) Vamos aplicar a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a fonte de alimentação excita o circuito na forma de degrau. Portanto sua transformada é ( )=sE s E Ver equação (3). A tensão no capacitor é ( ) ×= t c dti C tv 0 1 Sua transformada é: ( ) ( ) s V Cs I sV c c + += 0 Ver expressão (7) Como, em nosso caso, a tensão no capacitor, no instante inicial, é zero, resulta: ( ) Cs I sVc = Portanto, a transformada de Laplace da expressão (10) fica:
  11. 11. 10 0=++− Cs I RI s E (11) Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )ti . A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I: s E Cs RI =+ 1 + = R Cs s E I 1 Rs C E + = 1 ou RC s R E I 1 1 + ×= (12) Finalmente, faz-se a anti-transformada de I. Dessa maneira, obtém-se a expressão da corrente i em função do tempo. Para a anti-transformação usa-se tabelamentos, das transformadas de Laplace, publicados em manuais ou em livros didáticos que tratam do estudo de transitórios em circuitos elétricos. Nas últimas páginas desta apostila temos reproduções parciais desse tabelamento. Para o caso deste exercício precisamos anti-transformar a expressão RC s 1 1 + . A linha 1.102 da tabela mostra que 1− t e s α α − = + 1 Por comparação concluímos que: 1− t RC e RC s 1 1 1 − = + Portanto, a corrente ( )ti fica representada pela expressão: ( ) t RC e R E ti 1 − = (13) A fig. 4 mostra como varia essa corrente ao longo do tempo.
  12. 12. 11 R E ( )ti t0 Fig. 9 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 2: - Determinar a corrente i e a tensão v, no circuito da fig. 10, logo após o fechamento da chave. E v R L i Fig. 10 Solução: a) Determinação da corrente i. Após o fechamento da chave, aplica-se a segunda lei de ohm: 0=++− dt di LRiE (14) Aplica-se a transformada de Laplace a todos os termos, lembrando que a excitação é um degrau de amplitude E. Portanto sua transformada é dada pela igualdade (3). Para transformar o termo dt di aplica-se a expressão (6), lembrando que a corrente no indutor, no instante inicial, é zero. 0=++− LsIRI s E (15) Nesta expressão, I representa a transformada de Laplace da corrente ( )ti . A seguir, determina-se, algebricamente, a expressão de I:
  13. 13. 12 ( ) s E LsRI =+ ( )RLss E I + = ou + ×= L R ss L E I 1 (16) Precisamos determinar a anti transformada da expressão + L R ss 1 No tabelamento, fornecido, não encontramos nenhuma expressão semelhante a essa. Entretanto, a linha 1.105 informa que a anti-transformada de ( )( )γα ++ ss 1 é αγ γα − − −− tt ee Se fizermos 0=α concluiremos que a anti-transformada de ( )γ+ss 1 é γ γt e− −1 Fazendo a identidade com o resultado do nosso problema, tem-se: ( ) + ≡ + L R ss ss 11 γ Concluímos que γ≡ L R Portanto, a anti-transformada da função + ×= L R ss L E I 1 resulta: ( ) L R e L E ti t R L − − ×= 1
  14. 14. 13 ou ( ) −= − t L R e R E ti 1 (17) A fig. 11 mostra esta corrente em função do tempo. t R E ( )ti 0 Fig. 11 a) Determinação da tensão no indutor Pela expressão (13) sabemos que a tensão no indutor é dada pela expressão: ( ) dt di Ltv = Pela expressão (6) sabemos que, quando a corrente inicial é nula, a transformada de Laplace desta tensão é: LsIsV =)( Substituindo o valor de I pelo valor fornecido pela expressão (16), tem-se: ( ) + ×= + ×= L R s E L R ss L E LssV 11 ( ) + = L R s EsV 1 A anti-transformada resulta: ( ) t L R Eetv − = (18) A fig. 12 mostra a variação dessa tensão no indutor ao longo do tempo.
  15. 15. 14 E ( )tv t0 Fig. 12 Exercício 3: - Determinar a corrente i, no circuito da fig. 13, logo após o fechamento da chave. Supõe-se que, tanto a corrente inicial da bobina quanto a tensão inicial no capacitor, são nulos. R C Lv E L Fig. 13 Equação diferencial: 0 1 0 =+++− dt di Lidt C RiE t Transformadas de Laplace: 0=+++− LsI Cs I RI s E onde I representa a transformada de Laplace de ( )ti , ou seja, ( )sII = Determinando, algebricamente, o valor de I, encontra-se: ( ) LC s L R s L E sI 1 1 2 ++ = 19 Precisamos achar a anti-transformada da expressão:
  16. 16. 15 LC s L R s 1 1 2 ++ A tabela não fornece a anti-transformada da forma com que essa expressão se apresenta. Precisamos mudar sua forma para se enquadrar na tabela. Vamos fazer α2= L R e 2 0 1 ω= LC Portanto LC s L R s 1 1 2 ++ 2 0 2 2 1 ωα ++ = ss Vamos somar e subtrair, ao denominador, o termo 2 α Resulta: 2 0 2 2 1 ωα ++ ss 22 0 22 2 1 αωαα −+++ = ss = ( ) ( )22 0 2 1 αωα −++s 20 Caso a Se 022 0 ≥−αω então podemos usar a identidade ( ) ( )22 0 2 1 αωα −++s ( ) 22 1 βα ++ ≡ s 21 22 0 2 αωβ −= Caso b Se 022 0 <−αω então podemos usar a identidade ( ) ( )22 0 2 1 αωα −++s ( ) 22 1 βα −+ ≡ s 22 onde 22 0 2 αωβ −=− ou 2 0 22 ωαβ −= Solução para o caso a A linha 1.301 da tabela fornece:
  17. 17. 16 ( ) te s t β ββα α sen 11 22 − = ++ 1− Neste caso ( ) t e L E ti t β β α sen − = 23 Substituindo os valores: L R 2 =α 22 0 αωβ −= 2 2 4 1 L R LC −= chega-se ao resultado final ( ) t L R LC e R C L E ti t L R − − = − 2 2 2 2 4 1 sen 4 24 A fig. 14 mostra como varia essa corrente em função do tempo. t ( )ti 0 Fig. 14 Solução para o caso b Seguindo procedimento semelhante chega-se ao resultado:
  18. 18. 17 ( ) t LCL R e C LR E ti t L R − − = − 1 4 senh 4 2 2 2 2 25 onde θsenh significa seno hiperbólico de θ . A fig. 15 mostra esta corrente versus variação do tempo. ( )ti 0 t Fig. 15 Maneira prática de resolução do circuito quando as condições iniciais são nulas. Desenha-se o circuito no domínio da transformada de Laplace com as seguintes relações: Impedância de resistor R Impedância de indutor Ls Impedância de capacitor Cs 1 Exemplo: Circuito RLC série. Ver fig. 16. Ls R )(sE ( )sI Cs 1 Fig. 16 Calculando a corrente, resulta
  19. 19. 18 ( ) ( ) Cs LsR sE sI 1 ++ = Supondo excitação em degrau, tem-se: ( ) Cs LsR s E sI 1 ++ = ou ( ) LC s L R s L E sI 1 1 2 ++ = 26 Comparando (26) com (19), vemos que são idênticas. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 4 - Determinar a tensão ( )tvL no indutor do circuito da fig. 13. Solução: Supondo que a transformada de Laplace de ( )tvL é ( )sVL , utilizamos, para esse cálculo, o circuito mostrado na fig. 17, cujos parâmetros estão enquadrados no domínio das transformadas de Laplace. Considere 022 0 ≥−αω Ls R )(sE ( )sI Cs 1 ( )sVL Fig. 17 Pela lei de ohm tem-se: ( ) LssIsVL ×=)( Vimos que ( ) LC s L R s L E sI 1 1 2 ++ = Portanto:
  20. 20. 19 ( )=sVL LC s L R s s E 12 ++ Como 022 0 ≥−αω então podemos usar a identidade LC s L R s s 12 ++ ( ) 22 βα ++ ≡ s s onde L R 2 =α e 2 2 1 −= L R LC β Determinação da Anti-transformada de ( ) ( ) 22 βα ++ = s s sF Na linha 1.303, se fizermos 00 =a , teremos ( ) ( ) ( )ψββα β α ++= − tetf t sen 1 2 1 22 onde α β ψ − = −1 tg Após algumas operações e simplificações algébricas chega-se ao resultado da tensão no indutor: ( ) +− − = − ψt L R LC e L CR Etv t L R L 2 2 2 2 4 1 sen 4 1 1
  21. 21. 20 onde 1 4 2 1 −= − CR L tgψ Casos onde se tem valores iniciais não nulos Seja o caso de um indutor de valor L, com uma corrente inicial 0I . Ver fig. 18-a. 0VC 0I L (a) (b) Fig. 18 Neste caso, quando a bobina é percorrida por uma corrente I, a tensão equivalente nesse um indutor fica: ( ) 0LILsIsVL −= A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui valor 0LI . A representação, no circuito, está mostrada na fig.19-a. ( )sVL Ls 0LI ( )sVC s V0 Cs 1 (a) (b) Fig. 19 Seja o caso onde se tem uma tensão inicial, de valor 0V , no capacitor. Ver fig. 19-b. Quando este capacitor é percorrido por uma corrente I, a tensão equivalente neste componente fica: ( ) s V Cs I sVC 0 +=
  22. 22. 21 A segunda parcela corresponde a uma fonte de tensão cuja força eletromotriz possui o valor s V0 . A representação no circuito está mostrada na fig. 19-b. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercício 5 Dado o circuito da fig. 20, a) Determinar a corrente ( )ti após o fechamento da chave. b) Determinar a tenção ( )tvC após o fechamento da chave. E i R C 0V Cv Fig. 20 Solução: A fig. 21 mostra o circuito no domínio da transformada de Laplace: R ( )sVC s E ( )sI Cs 1 s V0 Fig. 21 a) 00 =+++− s V Cs I IR s E RC s R VE C Rs VE Cs R s VE I 1 1 11 00 0 + × − = + − = + − = A linha 1.102, da tabela, nos fornece a anti transformanda. Resulta: ( ) t RC e R VE ti 1 0 −− =
  23. 23. 22 b) ( ) s V Cs IsVC 01 +×= ou ( ) s V RC sCs R VE sVC 00 1 1 + + × − = ou ( ) ( ) s V RC ss RCVEsVC 0 0 1 1 + + ×−= As linhas 1.101 fornece a anti-transformada da segunda parcela. A linha 1.105, quando se faz 0=α , fornece a anti-transformada da primeira parcela. Resulta: ( ) ( ) 0 1 0 1 VeVEtv t RC c +−−= ou ( ) t RC t RC c eVeEtv 1 0 1 1 − +−= --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 6 Dado o circuito da fig. 22, a) Determinar a corrente ( )ti após a chave mudar do ponto A para o ponto B. b) Determinar a tensão ( )tvL após a chave mudar do ponto A para o ponto B. A B Lv L 0I 2E 2R 1R 1E Fig. 22 Solução: Antes de mudar a chave de A para B: Corrente contínua através do indutor: 1 1 0 R E I =
  24. 24. 23 Após a mudança de A para B: Corrente inicial no indutor: R E I 1 0 = a) A fig. 23 mostra o circuito equivalente no domínio da transformada de Laplace: ( )sVL Ls s E2 2R )(sI 0LI Fig. 23 Aplicando a segunda lei de Ohm, tem-se: 02 2 LILsIIR s E −++− =0 L R s I L R ss L E I 2 0 2 2 11 + + + ×= Usando as anti-transformações da linha 1.105 ( fazendo 0=α ) e da linha 1.102, resulta: ( ) t L R t L R eIe R E ti 22 0 2 2 1 −− +−= onde 1 1 0 R E I = b) ( ) 0LILsIsVL −= ou ( ) LI L R s s LI L R s EsVL 0 2 0 2 2 1 − + + + ×= ou ( ) ( ) L R s RIEsVL 2 202 1 + −= Anti transformando (linha 1.102 da tabela), resulta:
  25. 25. 24 ( ) ( ) t L R L eRIEsV 2 202 − −= onde 1 1 0 R E I = Teoremas dos valores iniciais e finais. Sendo ( )sF a transformada de Laplace de ( )tf , o teorema do valor inicial afirma: ( )tflim 0→t ( )ssFlim= ∞→s Portanto, podemos calcular o valor inicial de uma função temporal utilizando sua transformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limite quando s tende para o infinito. Da mesma forma, o teorema do valor final afirma: ( )tflim ∞→t ( )ssFlim= 0→s Portanto, podemos calcular o valor final de uma função temporal utilizando sua transformada de Laplace. Basta multiplicar ( )sF por s e calcular o valor de seu limite quando s tende a zero. Vamos verificar as afirmações utilizando o resultado do exercícios 5. Vimos, no exercício 5 que a corrente no circuito resultou ( ) t RC e R VE ti 1 0 −− = Valor inicial Podemos ver que ( ) − = R VE ti 0 lim 0→t No domínio da transformada de Laplace tínhamos: ( ) RC s R VE sI 1 10 + × − = Podemos ver que
  26. 26. 25 ( )ssIlim ∞→s∞→s R VE RC s s R VE 00 1 − = + × −lim= Isto confirma a validade do teorema do valor inicial Valor final Voltando à expressão de ( )ti ( ) t RC e R VE ti 1 0 −− = Podemos ver que ( ) 0lim =ti ∞→t No domínio da transformada de Laplace tínhamos: ( ) RC s R VE sI 1 10 + × − = Podemos ver que ( )ssIlim 0 1 0 = + × − RC s s R VElim= 0→s0→s Isto confirma a validade do teorema do valor final ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 7 Trabalhando apenas no domínio da transformada de Laplace , determinar os valores inicial e final da corrente no indutor do circuito do exercício 6 Solução: ( ) L R s I L R ss L E sI 2 0 2 2 11 + + + ×=
  27. 27. 26 ( ) L R s s I L R s L E ssI 2 0 2 2 1 + + + ×= Valor inicial 000 II =+= ∞→s ( ) limlim =ssI + + + × L R s s I L R s L E 2 0 2 2 1 ∞→s 0→t ( ) 0lim Iti =Portanto (valor inicial) Valor final 2 2 2 2 0 R E R E =+=( ) limlim =ssI + + + × L R s s I L R s L E 2 0 2 2 1 0→s 0→s ∞→t ( ) 2 2 lim R E ti =Portanto (valor final) Por inspeção no circuito do exercício 6, pode-se confirmar sem dificuldades os resultados deste exercício 7. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Utilização dos teoremas dos valores iniciais e finais. Muitas vezes , quando se trabalha com circuitos muito complicados, a obtenção da anti- transformada de Laplace fica extremamente trabalhosa. Se estamos interessados, apenas, em conhecer os valores iniciais e finais das tensões e correntes, nos diversos pontos do circuito, não teremos a necessidade de calcular as anti-transformadas.

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