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随机变量的联合概率分布

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随机变量的联合概率分布

  1. 1. 多元随机变量的分布 @IMSRCH 1
  2. 2. §1 二维随机变量的联合概率分布 到现在为止,我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的等等. 2
  3. 3. 一般地,我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, …,Xn)为n维随机变量或随机向量. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,为简单起见,我们重点讨论二维随机变量 . 请注意与一维情形的对照 . 3
  4. 4. 一、二维离散型随机变量的联合分布律1. 联合分布对 二 维 离 散 型 随 机 向 量 ( X , Y ) , X 的 可 能 取 值 为 x1 , x2 ,  ,Y 的 可 能 取 值 为 y1 , y2 , , 如 果P{ X  xi , Y  y j }  pi j , X Y y1 y2  y j  i , j  1,2, x p11 p12  p1 j  1则称二维表 x2 p21 p22  p2 j  为(X,Y)的联合分     布律。 xi p i 1 pi 2  p i j      4
  5. 5. X Y y1 y2  y j  x1 p11 p12  p1 j  x2 p21 p22  p2 j      xi p i 1 pi 2  p i j     显 然 , pi j 必 须 满 足 以 下 两 个 性 质:( 1) 非 负 性 pi j  0 , i , j  1,2, ( 2) 规 范 性  p i j ij 1. 5
  6. 6. 例1 袋中有2只白球3只黑球,还原摸球两次,定义X为第一次摸得的白球数,Y为第二次摸得的白球数,求(X,Y)的联合分布律。解 Y 0 1 X 32 9 3 2 6 0 2  2  5 25 5 25 2 3 6 22 4  1  2 5 2 25 5 25 6
  7. 7. 例1 袋中有2只白球3只黑球,还原摸球两次,定义X为第一次摸得的白球数,Y为第二次摸得的白球数,求(X,Y)的联合分布律。解 Y 0 1 X 9 6 0 25 25 6 4 1 25 25 7
  8. 8. 例2 设 A, B 为随机事件, 且 P( A)  1 , P( B A)  1 , P( A B )  1 , 4 3 2 1, A发生, 1, B发生, 令 X  Y  0, A不发生; 0, B不发生.求二维随机变量( X , Y ) 的联合概率分布。 1 P( AB ) 1解 由于 P( AB )  P( A)P( B A)  , P( B)   , 12 P( A B) 6 1所以 P{ X  1, Y  1}  P( AB )  , 12 1 P{ X  1, Y  0}  P( AB )  P( A)  P( AB )  , 6 1 P{ X  0, Y  1}  P( A B )  P( B )  P( AB )  , 12 8
  9. 9. 1 1P{ X  1, Y  1}  , P{ X  1, Y  0}  , 12 6 1P{ X  0, Y  1}  , P{ X  0, Y  0}  P( A B ) 12 2 1  P( A  B)  1  P( A)  P( B )  P( AB )  , 3故(X,Y)的联合概率分布为 Y 0 1 X 2 1 0 3 12 1 1 1 6 12 9
  10. 10. 2. 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为一个整体, 用联合分布来刻画. 而X和Y都是一维随机变量, 各有自己的分布,称为边缘分布. 设( X,Y )是离散型二维随机变量,联合分布律为 P{ X  x i , Y  y j } p i j , i , j  1, 2 , 则边缘分布为 记作P{ X  x i }   P{ X  xi , Y  y j }   pi j  pi  , i  1, 2 ,  j jP{Y  y j }   P{ X  x i , Y  y j }   pi j  p j , j  1, 2 ,  i i 10
  11. 11. 例3 袋中有2只白球3只 X Y 0 1黑球,还原摸球两次, 9 6 3定义X为第一次摸得的白 0 25 25 5球数,Y为第二次摸得的 6 4 2 1 25 25 5白球数,则(X,Y)的联合分布律为 3 2 Y的边缘分布 5 5 X的所以的边缘分布律分别为 边缘 分布 X 0 1 Y 0 1 3 2 3 2 P P 5 5 5 5 11
  12. 12. 若改为非还原摸球,则(X,Y)的联合分布律为 Y 0 1 P32 3 3 2 3 X   2 2 3 3 3 P5 10 P5 10 0 10 10 5 2 3 3 P22 1 3 1 2  2  1 P52 10 P5 10 10 10 5 3 2 5 5边缘分布为 12
  13. 13. 若改为非还原摸球,则(X,Y)的联合分布律为 Y 0 1 Y 0 1 X X 3 3 3 9 6 3 0 10 10 5 0 25 25 5 3 1 2 6 4 2 1 10 10 1 25 25 5 5 3 2 3 2 5 5 5 5边缘分布为与还原的情况比较,两者的联合分布完全不同,但边缘分布却完全相同。 13
  14. 14. 说明:联合分布可以唯一确定边缘分布,但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即,二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定,还要考虑分量之间的联系,这也说明了研究多维随机向量的作用。 14
  15. 15. 3. 条件分布 在第一章中,我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 P ( AB ) P( A | B )  P( B ) 推广到随机变量 设有两个随机变量X,Y ,在给定Y取某个或某些值的条件下,求X的概率分布. 这个分布就是条件分布. 15
  16. 16. 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量,对于固定的 j,若P(Y=yj)>0,则称 P{ X  x i , Y  y j } pi jP{ X  x i Y  y j }   ,i  1, 2 ,  P{Y  y j } p j为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.类似地,对于固定的 i,若P(X=xi)>0,则称 P{ X  x i , Y  y j } pi jP{Y  y j X  x i }   ,  1, 2 ,  j P{ X  x i } pi 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律. 16
  17. 17. 条件分布是一种概率分布,它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率,具有概率的一切性质.例如: P { X  x i | Y  y j }  0 , i  1, 2 ,   P{ X  x i i |Y  yj}  1 . 17
  18. 18. 例4 设(X,Y )的联合分布律为 X Y 1 2 3 求在给定Y=2下随机变量X的 1 1 0 12 0 4 条件分布律和在给定X=1下随 1 1 1 机变量Y的条件分布律。 1 6 12 12 1解 因为 P{Y  2}  , 1 1 6 2 4 12 0 所以在给定Y=2下随机变量X的条件分布律为 P{ X  0, Y  2} P{ X  0 Y  2}  0, P{Y  2} 1 1 P{ X  1 Y  2}  , P{ X  2 Y  2}  , 2 2 18
  19. 19. Y 1 2 3 或写为 X 1 1 X k 0 1 2 0 12 0 4 1 1 1 1 1P{ X  k Y  2} 0 1 6 12 12 2 2 1 1 2 4 12 0 19
  20. 20. Y 1 2 3 或写为 X 1 1 X k 0 1 2 0 12 0 4 1 1 1 1 1P{ X  k Y  2} 0 1 6 12 12 2 2 1 1 1 2 0 P{ X  1}  , 4 12 3 所以在给定X=1下随机变量Y的条件分布律为 Y k 1 2 3 1 1 1 P{Y  k X  1} 2 4 4 20
  21. 21. 例5 一射手迚行射击, 击中目标的概率为 p, (0<p<1),射击迚行到击中目标两次为止. 以X 表示首次击中目标所迚行的射击次数,以Y 表示总共迚行的射击次数.试求X和Y的联合分布及条件分布.解 依题意,{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次, 1 2 ………………. n-1 n mn次射击 击中 击中 21
  22. 22. 1 2 ………………. n-1 n mn次射击 击中 击中X和Y的联合概率函数为 P{ X  m , Y  n }  p 2 q n  2 ,其中 q  1  p . n  2,3,;m  1,2,, n  1 .再求边缘分布.  P{ X  m }   P{ X  m , Y  n }  n m 1 pq n m 1 2 n 2 m  1 2 q m 1  p 2  pq ,m  1,2, . 1 q 22
  23. 23. P{ X  m , Y  n }  p q 2 n 2 , n  2,3,;m  1,2,, n  1 . P { X  m }  pq m  1 , m  1,2, . n 1 P {Y  n }   P{ X  m , Y  n} m 1 n 1   p 2 q n  2  ( n  1) p 2 q n  2 , n  2,3, . m 1再求条件分布. 当 n  2,3, 时 P{ X  m , Y  n }P { X  m | Y  n } P{Y  n} 23
  24. 24. P{ X  m , Y  n }  p q 2 n 2 , n  2,3,;m  1,2,, n  1 . P { X  m }  pq m  1 , m  1,2, . n 2 P {Y  n }  ( n  1) p q 2 , n  2,3, .当 n  2,3, 时 P{ X  m , Y  n } P{ X  m | Y  n }  P{Y  n} p 2q n 2 1  2 n 2  , ( n  1) p q n1 m  1,2,, n  1 . 离散均匀分布 24
  25. 25. P{ X  m , Y  n }  p q 2 n 2 , n  2,3,;m  1,2,, n  1 . P { X  m }  pq m  1 , m  1,2, . n 2 P {Y  n }  ( n  1) p q 2 , n  2,3, .当 m  1,2, 时 P{ X  m , Y  n } P {Y  n | X  m }  P{ X  m } 2 n 2 pq  m 1  pq n  m  1 , pq n  m  1,m  2, . 25
  26. 26. 二、二维随机变量的(联合)分布函数 二维随机变量(X,Y) 一维随机变量X X和Y的联合分布函数 X的分布函数F ( x , y )  P{ X  x , Y  y } F ( x )  P{ X  x }    x, y   y  x ( x, y ) O x 26
  27. 27. y y ( x, y ) d (a , d ) ( b, d ) c (a , c ) ( b, c ) O x a b x O设 a  b, c  d , 则有P{a  X  b, c  Y  d }  F (b, d )  F (b, c )  F (a, d )  F (a, c ) . 27
  28. 28. 二维随机变量分布函数的基本性质 F ( x , y )  P{ X  x , Y  y }( 1) 0  F ( x, y)  1 ;( 2) F ( x, y) 关 于 变 量 x 或 y 单 调 不 减 ;( 3) F ( x , y ) 关 于 变 量 x 或 y 都 是 右 连 续 的 ;( 4) F (, y )  0 , F ( x,  )  0 , F (,  )  0 , F (,  )  1 . 28
  29. 29. 三、二维连续型随机变量的联合概率密度1. 联合分布 设 F ( x , y ) 是 二 维 随 机 向 量( X, Y ) 的 联 合 分 布函 数 ,如 果 存 在 一 个 非 负 可 积 函 数 f ( x , y ) ,使 得 对任 意 的 实 数 x, y , 有   x y F ( x, y)  f ( u, v ) dudv  则 称 ( X, Y ) 是 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ,称 f ( x , y ) 为 二 维连 续 型 随 机 变 量 ( X, Y ) 的 联 合 概 率 密 度 函 数 。 29
  30. 30.   x y F ( x, y)  f ( u, v ) dudv  联 合 密 度 函 数 f ( x, y) 具 有 以 下 性 质 :( 1) 非 负 性 : f ( x, y )  0 . F (,  )  1 .  ( 2) 规 范 性 :     f ( x , y ) dx d y  1 .  F ( x, y)2( 3) 若 f ( x , y ) 连 续 , 则  f ( x, y) . x y( 4) P{( X , Y )  D}   f ( x, y) dx d y , D 其 中 D 为平面 上的一个区域. 30
  31. 31. 例6 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为  Ae  ( 2 x  y ) , x  0, y  0 f ( x, y )    0, 其它 ( 1) 求系数 A ; 2) 求 分 布 函 数 F ( x, y ) ; ( ( 3) 求概率 P{Y  X } .解 (1) 由规范性         f ( x , y ) dx d y  A  0 e 2 x dx  0 y e dy 1  A  1 , A 2. 2 31
  32. 32.  Ae  ( 2 x  y ) , x  0, y  0 f ( x, y )    0, 其它( 2) F ( x , y )    x y f ( x , y ) d xd y    2 x e  2 x dx   e  y dy , x  0, y  0  0 0   0,  其它 (1  e 2 x )(1  e  y ) , x  0, y  0   0, 其它 32
  33. 33.  Ae  ( 2 x  y ) , x  0, y  0 f ( x, y )    0, 其它   dx  f ( x , y ) dy x( 3) P{Y  X }  0 0   2 dx  e  y dy x 2 x e 0 0 y   2 e  2 x (1  e  x )d x 0 O 1  . x 3 33
  34. 34. 2. 边缘分布边缘分布函数与联合分布函数的关系 FX ( x )  P{ X  x }  P{ X  x, Y  }  F ( x,  ) ,即 FX ( x )  F ( x ,   ) ,同理, FY ( x )  F ( , y ) . 34
  35. 35. 设( X,Y )是连续型二维随机变量,联合密度函数为f ( x, y) ,关于X的边缘密度函数为  f X ( x)   f ( x , y ) dy 关于Y 的边缘密度函数为  fY ( y )   f ( x , y ) dx  35
  36. 36. 例7 设(X,Y)的概率密度是  cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x f ( x, y)    0 , 其它 求 (1) c的值;(2) 两个边缘密度; y ( 3) 概 率 P{ X Y  1 } . y x  解 (1)   f ( x , y ) d xd y     d x  cy ( 2  x ) d y 1 x 0 1 x 0 0 5 24  c  1,  c  . 24 5 36
  37. 37.  cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x f ( x, y)    0 , 其它  y(2) f X ( x )     f ( x , y ) dy y x 24  x y ( 2  x ) dy 0 5 12 2  x (2  x ) , 0  x  1 0 1 5 x 所以  12 2  x ( 2  x ), 0  x  1 f X ( x)   5  0,  其它 37
  38. 38.  cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x f ( x, y)    0 , 其它  y(2) fY ( y )     f ( x , y ) dx y x 24  1 y ( 2  x ) dx y 5 24 3 y2  y(  2 y  ) , 0  y  1 0 1 x 5 2 2所以  24 3 y2  y (  2 y  ), 0  y  1 fY ( y )   5 2 2  0,  其它 38
  39. 39.  cy ( 2  x ), 0  x  1, 0  y  x f ( x, y)    0 , 其它 y( 3) P{ X Y  1 } x y1 1 1 y x ( , ) 1 2 2 24 1 y  5  dy  y y ( 2  x ) dx 0 2 24 1 3 0 1 x   0 ( 2 y  3 y  y ) dy 2 2 3 5 24 5 3    . 5 64 8 39
  40. 40. 3. 条件分布 定义 设X和Y的联合概率密度为 f ( x , y ) , 边缘概率密度为 f X ( x ), f Y ( y ) , 若对固定的x , f X ( x)  0 ,则称 f ( x, y) fY | X ( y | x )  f X ( x) 为在X=x的条件下,Y 的条件概率密度; 类似地,对一切使 f Y ( y )  0 的 y, 定义 f ( x, y) f X |Y ( x | y )  fY ( y ) 为在 Y=y的条件下,X的条件概率密度 . 40
  41. 41. 例8 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布,概率密度为 1  , x2  y2  1 f ( x, y)   ,求 f Y | X ( y | x ) .  0 , 其它  y 解 X的边缘密度为 y  1  x2  f X ( x)   f ( x , y ) dy x  0 1 x 2 y   1  x2 1  dx  1 x 2  2  1  x 2 , | x | 1   .  0,  | x | 1 41
  42. 42. 1 2  , x  y 1 2 2  1  x 2 , | x | 1f ( x, y)   ,f X ( x )    .  0 , 其它   0,  | x | 1 x 作为已知变量 所以, 当|x|<1时, 有 f ( x, y) 1 1 fY | X ( y | x )    , f X ( x) (2  ) 1  x 2 2 1  x 2 所以当  1  x  1 时 , 1 2 1  x 2 ,  1  x 2  y  1  x 2  fY | X ( y | x )   .  0,  y 取其它值 42
  43. 43. END43

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