TEORÍA DE POLINOMIOS INTERPOLARES

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín toro
Facultad de Ingeniería
Cabudare – Estado Lara
Teoría de Interpolación
Integrante:
Wilmer Leon
C.I 8.513.667
Sección: SAIA

2. 1.) Introduccion a la Teoría de Interpolación
Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en
ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”) de
la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos
datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado
experimento en el que se relacionan dos o más variables e involucran valores de
una función y/o de sus derivadas. El objetivo será determinar una función que
verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su
sencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones
interpolantes.
Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la siguiente forma:
Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o sus
derivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · ,n, que llamaremos nodos,
nuestro objetivo es construir otra función que coincida con la función dada en los
datos de interpolación.
Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar los siguientes
tipos de interpolación:
Interpolación de Lagrange
Interpolación de Taylor
Interpolación De Hermite
2.) Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss
3- ) Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede
aproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio
que pasa por un conjunto de puntos esquiespaciados, es la fórmula del polinomio
interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
4.) Fórmula de Avance
5.)Fórmula de Retroceso
6.) Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de formulas de interpolación además del método de
Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias; por ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss( en avance

3. y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores
desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig.zag.
En el caso de la formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag,
iniciando primero hacia hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y asi
sucesivamente. En formula de avance los valores son tomados en forma de zig-
zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y asi
sucesivamente.
7.) Interpolación De Hermite
Disponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadas
sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntos
distintos, xi, i = 0, 1, · · ·, n
En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensión
finita, es decir son del tipo:
Ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x),
Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones dadas que forman base del espacio
vectorial correspondiente y ai, i = 0, 1, ·, n numeras reales a determinar.
Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la
interpolación se llamara polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.
Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para
operar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de
interpolación, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, · · ·, n.
Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la
solución del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo,
si se observa un comportamiento periódico en los datos de interpolación. Por
simplicidad, nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particular de la
interpolación polinómica de Langrange.
8.) Interpolación Usando Splines
En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva
diferenciable definida en porciones mediante polinomios.
En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante
splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de
polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría
de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado

4. elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas
complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los
splines los hacen populares para la representación de curvas en informática,
particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.
El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son
utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado
de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias
dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se
determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de
restricciones.
Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que
se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra
función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto
es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.
Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un
total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que
van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que
unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos
puntos, pero no derivable en general.
Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4
F (1) = 1
F (2) = 0.5
F (4) = 0.25
El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de
coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos
incógnitas:
(1) 1=a+b
(2) 0.5=2a+b
De (1) se obtiene:
a=1-b (3)
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
0.5=2(1-b)+b

5. Luego
b=1.5
Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene:
a = - 0.5
Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) =
ax + b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25).
Análogamente a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:
(1) 0.5 = 2a + b
(2) 0.25 = 4a + b
a = - 0.125, b = 0.75
Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75
9- ) Polinomio Interpolante De Lagrange
El problema de la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo siguiente:
Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi, i = 0, 1, · · ·, n
de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado no
superior a n, que coincida con la función f en estos n + 1 puntos, es decir,
Pn (xi) = f (xi), Para i = 0, 1, · · ·, n.
El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de grado
menor o igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma
Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,
Y, para determinarla, habría que hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · ·, an.
En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n.
La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn (x) se prueba en el
siguiente resultado, adamas se determina una primera forma de construirlo.
Sean f: [a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b].
Entonces, existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que n, que
verifica
Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · ·, n.

6. A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los nodos {x0,
x1, · · · , xn} y viene dado por
Pn (x) =Xni=0f (xi) Li (x), (1.1)
Donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6 ix – xj xi – xj
Tabla de Diferencias
Resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores x en orden
ascendente. Además de las columnas
para x y f(x), se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. La tabla
que se muestra a continuación es llamada tabla de diferencias.
2 3
x f(x) f(x)  f(x)  f(x)
4 5 6
 f(x)  f(x)  f(x)
0,0 0,000 0,203 0,017 0,024
0,020 0,032 0,127
0,2 0,203 0,220 0,041 0,044
0,052 0,159
0,4 0,423 0,261 0,085 0,096
0,211
0,6 0,684 0,346 0,181 0,307
0,8 1,030 0,527 0,488
1,0 1,557 1,015
1,2 2,572
Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar los
coeficientes de polinomios interpolantes. Es convencional que la letra h sea la
diferencia uniforme de los valores x, es decir, h= x. Utilizando subíndices para
representar el orden de los valores x y f(x)
10- ) Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton
La diferencia dividida de newton para la interpolación de polinomios está entre los
modelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n+1
puntos. Se usan estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias
divididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomio
de interpolación por diferencias divididas por newton, no es necesario que los
datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban
estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de newton
está sujeto a un error.

7. 11.) Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La
Resolución De Problemas
Formulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite, newton, etc,
son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares
disponibles, como subrutinas de librerías; dichas formulas tienen relevancia en la
solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función
tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla.
El aumento de grado no siempre mejora la aproximación
El polinomio es muy sensible a los errores de los datos