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Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineares

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Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineares

  1. 1. Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co Willian Vieira de Paula 4 de abril de 2012Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 1 / 12
  2. 2. Defini¸˜o caDefini¸˜o caSejam U e V espa¸os vetoriais sobre um corpo K . Uma fun¸˜o c caT : U → V ´ uma transforma¸˜o linear se: e ca 1 T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ), para todos u1 , u2 ∈ U, e 2 T (λu) = λT (u), para todo λ ∈ K e todu u ∈ U. Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 2 / 12
  3. 3. Exemplos 1 T (u) = 0 (fun¸˜o nula). ca T : K 3 → M2 (K ) 2 a+b 0 (a, b, c) → T (a, b, c) = 0 c −b 3 Se Ta : R → R dada por Ta (x) = ax Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 3 / 12
  4. 4. LemaSejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o c calinear. Ent˜o: a 1 T (0U ) = 0V . 2 T (−u) = −T (u), para cada u ∈ U. m m 3 T αi ui = αi T (ui ), onde αi ∈ K e ui ∈ U, para i=1 i=1 i = 1, . . . , m.Demonstra¸˜o = exerc´ ca ıcio! Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 4 / 12
  5. 5. TeoremaSejam U e V espa¸os vetoriais sobre K . Se {u1 , . . . , un } for uma base de cU e se {v1 , . . . , vn } ⊂ V , ent˜o exisgte uma unica transforma¸˜o linear a ´ caT : U → V tal que T (ui ) = vi , para cada i = 1, . . . , n. Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 5 / 12
  6. 6. Defini¸˜o caSejam U e V espa¸os vetoriais sobre um corpo K e T : U → V uma ctransforma¸˜o linear. ca 1 O conjunto {u ∈ U; T (u) = 0} ´ chamado de n´cleo de T. Nota¸˜o: e u ca NucT ou KerT . 2 O conjunto {v ∈ V ; ∃u ∈ U com T (u) = v } ´ chamado de imagem e de T . Nota¸˜o: ImT . ca Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 6 / 12
  7. 7. Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o c calinear.Proposi¸˜o caKerT ´ um subespa¸o vetorial de U e ImT ´ um subespa¸o vetorial de V . e c e c Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 7 / 12
  8. 8. Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o c calinear.Proposi¸˜o caKerT ´ um subespa¸o vetorial de U e ImT ´ um subespa¸o vetorial de V . e c e cProposi¸˜o caT ´ injetora se, e somente se, KerT = {0}. e Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 7 / 12
  9. 9. Sejam U e V espa¸os vetoriais sobre K e T : U → V uma transforma¸˜o c calinear.Proposi¸˜o caKerT ´ um subespa¸o vetorial de U e ImT ´ um subespa¸o vetorial de V . e c e cProposi¸˜o caT ´ injetora se, e somente se, KerT = {0}. eProposi¸˜o caSe B = {u1 , . . . , un } ´ uma base de U, ent˜o {T (u1 ), . . . , T (un )} gera e aImT . Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 7 / 12
  10. 10. Teorema (N´cleo e Imagem) uSejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre um corpo K , com dimU finita e cT : U → V uma transforma¸˜o linear. Ent˜o ca a dimU = dimKerT + dimImT . Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 8 / 12
  11. 11. IsomorfismosDefini¸˜o caSe T : U → V ´ uma transforma¸˜o linear bijetora, dizemos que ela ´ um e ca eisomorfismo.Se existir um isomorfismo entre dois espa¸os vetoriais U e V , dizemos que celes s˜o isomorfos. Nota¸˜o: U ∼ V . a ca = Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 9 / 12
  12. 12. IsomorfismosDefini¸˜o caSe T : U → V ´ uma transforma¸˜o linear bijetora, dizemos que ela ´ um e ca eisomorfismo.Se existir um isomorfismo entre dois espa¸os vetoriais U e V , dizemos que celes s˜o isomorfos. Nota¸˜o: U ∼ V . a ca =Proposi¸˜o caA inversa de uma transforma¸˜o linear bijetora ´ tamb´m linear. ca e e Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 9 / 12
  13. 13. Proposi¸˜o caSejam U e V dois espa¸os vetoriais sobre K de mesma dimens˜o finita c an ≥ 1 e T : U → V uma transforma¸˜o linear. Ent˜o as seguintes ca aafirma¸˜es s˜o equivalentes: co a 1 T ´ um isomorfismo. e 2 T ´ injetora. e 3 T ´ sobrejetora. eDemonstra¸˜o = exerc´ ca ıcio. Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 10 / 12
  14. 14. TeoremaDois espa¸os vetoriais de mesma dimens˜o finita s˜o isomorfos. c a a Willian Vieira de Paula () Aula 6 - Transforma¸˜es Lineares co 4 de abril de 2012 11 / 12

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