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Prueba de Hipotesis Est ind clase01

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Prueba de Hipotesis Est ind clase01

  1. 1. PRUEBA DE HIPOTESIS I ESTADISTICA INDUSTRIAL Ing. William León Velásquez TEMA 01
  2. 2. PRUEBA DE HIPOTESIS
  3. 3. CONTENIDO CONCEPTOS BÁSICOS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA MUESTRAS GRANDES PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS MUESTRAS GRANDES Ing. William León Velásquez 3
  4. 4. Ing. William León Velásquez 4 CONCEPTOS BÁSICOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS
  5. 5. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA  Las Hipótesis estadísticas es una afirmación o suposición sobre un valor de un parámetro. Ejemplo de parámetros: –La media poblacional. –La proporción poblacional  Una Prueba de Hipótesis estadística es un procedimiento basado en evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable Ing. William León Velásquez 5 5
  6. 6. DETERMINACIÓN DE LA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA a. Como resultado de la experiencia o conocimientos pasados de un proceso, o incluso de experimentación previa.  El objetivo de la prueba de hipótesis es determinar si la situación experimental ha cambiado. Ing. William León Velásquez El valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis se determina de tres maneras: 6 6
  7. 7. b. A partir de una teoría o modelo con respecto al objeto que se estudia.  El objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo. Ing. William León Velásquez 7 DETERMINACIÓN DE LA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA 7
  8. 8. c. Como resultado de consideraciones experimentales, como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales.  El objetivo de la prueba de hipótesis es la prueba de conformidad. Ing. William León Velásquez 8 DETERMINACIÓN DE LA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA 8
  9. 9. IDENTIFICACIÓN DE HIPÓTESIS  En una prueba de hipótesis se inicia, asumiendo un valor de un parámetro que, a juicio del investigador, es el más adecuado de acuerdo con la información disponible, a este supuesto se le llama hipótesis nula y se representa con Ho. Ing. William León Velásquez 9 •La otra hipótesis que se define a continuación se llama hipótesis alternativa, que es la opuesta de lo que se afirma en la hipótesis nula. La hipótesis alternativa se representa como Ha o H1 9
  10. 10. IDENTIFICACIÓN DE HIPÓTESIS Hipótesis nula Ho – La que se contrasta – Los datos pueden rechazarla – No debería ser rechazada sin una buena razón. Ing. William León Velásquez Hipótesis. Alternativa H1 – Es la negación de la H0 – Los datos pueden mostrar evidencia a favor – No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.    :H :H 1 0 0.5p  0.5p    ,, 1010
  11. 11. EJEMPLO ¿Debo tomar Aspirina o Ibuprofeno para el dolor de cabeza? Laboratorios Bayer me dice que tome Aspirina   Existe teoría (antigua) de que lo mejor es Aspirina  Laboratorios Cinfa me dice que tome Ibuprofeno   Existe teoría (nueva) de que lo mejor es Ibuprofeno Se tiene dos teorías que compiten. En estadística se va a llamar hipótesis. Ing. William León Velásquez 11
  12. 12. DEFINICIONES  La hipótesis nula, denotada por Ho, es el “status quo”, lo convencional, lo que sabemos de la población, lo aceptado hasta el momento.  La hipótesis alternativa, denotada por H1, es una alternativa a la hipótesis nula – implica cambio, es lo que el investigador espera que sea cierto. Ho: El nuevo medicamento es tan efectivo como el antiguo. H1: El nuevo medicamento es más efectivo que el antiguo. Ing. William León Velásquez 12
  13. 13. Problema: El tiempo de vida promedio de una determinada pieza usada en el ensamblaje de una marca de computadoras es de 20,000 horas. Solución: – Traducir a lenguaje estadístico: – Establecer su opuesto: – Seleccionar la Hipótesis alternativa – Seleccionar la hipótesis nula ¿Cuál es H0? Ing. William León Velásquez 𝜇 = 20,000 𝐻1: 𝜇 ≠ 20,000 𝜇 ≠ 20,000 13 𝐻 𝑜: 𝜇 = 20,000
  14. 14. Problema: ¿El colesterol medio para la dieta de los trabajadores de las empresas textiles es 6 mmol/l? Solución: – Traducir a lenguaje estadístico: – Establecer su opuesto: – Seleccionar la Hipótesis alternativa: – Seleccionar la hipótesis nula ¿Cuál es H0? 6 Ing. William León Velásquez 6 𝐻1: 𝜇 ≠ 6 14 𝐻0: 𝜇 = 6
  15. 15. Problema: ¿La altura media o promedio de los obreros de la empresa de confecciones es de 1.60 m? Solución: – Traducir a lenguaje estadístico: – Establecer su opuesto: – Seleccionar la Hipótesis alternativa: – Seleccionar la hipótesis nula ¿Cuál es H0? 60.1 Ing. William León Velásquez 60.1 𝐻1: 𝜇 ≠ 1.60 15 𝐻0: 𝜇 = 1.60
  16. 16. Ing. William León Velásquez ¿Cuál es H0?  Problema: El porcentaje de personas atacadas por cierta enfermedad laboral en una fabrica grande, no es mayor del 10%.  Solución:  Traducir a lenguaje estadístico:  Establecer su opuesto:  Seleccionar la Hipótesis alternativa:  Seleccionar la hipótesis nula 10.0p 10.0p 𝐻1: 𝜇 > 0.10 16 𝐻0: 𝜇 = 0.10
  17. 17. Problema: ¿El estrés laboral está relacionada con el género? Solución: – Traducir a lenguaje estadístico: – Establecer su opuesto: – Seleccionar la Hipótesis alternativa – Seleccionar la hipótesis nula Ing. William León Velásquez 0.5p  ¿Cuál es H0? 0.5p  𝐻1: 𝑝 ≠ 0.5 17 𝐻0: 𝑝 = 0.5
  18. 18. Ing. William León Velásquez  La región crítica es el conjunto de valores de la prueba estadística que puede causar el rechazo de la hipótesis nula. REGIÓN CRÍTICA Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓN 18 Región de no rechazo • El nivel de significancia (denotado por α) es la probabilidad de que la prueba estadística caerá en la región crítica cuando la hipótesis nula es actualmente cierta.
  19. 19. Ing. William León Velásquez REGIÓN CRÍTICA Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Región de no rechazo • Si la prueba estadística cae en la región crítica, se rechaza la hipótesis nula, entonces α es la probabilidad de cometer el error de rechazar la hipótesis nula cuando ésta es cierta. • Los valores mas usados de α son 0.05, 0.01, y 0.10. 19
  20. 20. Ing. William León Velásquez Región crítica  Valores ‘improbables’ si...  Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que refutarían H0 REGIÓN CRÍTICA Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓNNivel de significación: α  Número pequeño: 1% , 5%  Fijado de antemano por el investigador  Es la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta No rechazo H0 Reg. Crit. Reg. Crit. a=0.05 H0: =40 20
  21. 21. PRUEBA: UNILATERAL Y BILATERAL  Las pruebas pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis, Ing. William León Velásquez  Si se define en términos de igual y diferente se esta ante una prueba bilateral,  Si se coloca una dirección (en términos de mayor o menor) se esta ante uno prueba unilateral 2121
  22. 22. PRUEBA: UNILATERAL Y BILATERAL Ing. William León Velásquez 22 La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa Unilateral Unilateral Bilateral H1:  < 40 H1:  >40 H1:   40 22
  23. 23. SIGNIFICACIÓN: p  El grado de significación 'p' o 'sig' es la probabilidad de error al rechazar la hipótesis nula. Ing. William León Velásquez 23 • Cuanto más pequeño sea su valor más probable será que la hipótesis nula sea falsa. 23
  24. 24. El grado de significación está relacionado con el nivel de significación es decir con el riesgo de error que se está dispuesto a asumir en caso de rechazar la hipótesis nula. Ing. William León Velásquez 24 . SIGNIFICACIÓN: p 24
  25. 25. • El grado de significación se calcula 'a posteri', es decir cuando se conoce el resultado de haber aplicado una prueba de significación. • El grado de significación indica la probabilidad de error calculada al rechazar la hipótesis nula. Ing. William León Velásquez 25 En la práctica la forma de ejecutar es la siguiente: Si p >= α no se rechaza la hipótesis nula. Si p < α se rechaza la hipótesis nula SIGNIFICACIÓN: p 25
  26. 26. Ing. William León Velásquez SIGNIFICACIÓN: p 43X No se rechaza H0:  =40 p es la probabilidad que tendría una región crítica que comenzase exactamente en el valor del estadístico obtenido de la muestra. Es la probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra de H0. Es la probabilidad de que por puro azar se logre una muestra “más extraña” que la obtenida. p es conocido después de realizar el experimento aleatorio. La verificación es no significativa cuando p>a P P a a 26 H0:  =40 H1:  >40 26
  27. 27. Ing. William León Velásquez SIGNIFICACIÓN: p Pa a 50X Se rechaza H0:  =40 Se acepta H1:  >40 La verificación es estadísticamente significativa cuando p < α Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori. P 27 H0:  =40 H1:  >40 27
  28. 28. RESUMEN: α, p y criterio de rechazo Sobre α  Es un número pequeño, preelegido al diseñar el experimento – Conocido a sabemos todo sobre la región crítica Ing. William León Velásquez Sobre p – Es conocido tras realizar el experimento – Conocido p sabemos todo sobre el resultado del experimento  Sobre el criterio de rechazo  La verificación es significativa si p menor que a (cuando se rechaza Ho) 28
  29. 29. Ing. William León Velásquez H0: Hipótesis nula – No es culpable H1: Hipótesis alternativa – Es culpable – No es inocente RIESGOS AL TOMAR DECISIONES Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presunta ejecución de un delito Los datos pueden rechazarla No se rechazará si las pruebas no indican lo contrario Rechazarla por error tiene graves consecuencias No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor. Rechazarla por error tiene consecuencias consideradas menos graves que la anterior 2929
  30. 30. RIESGOS AL CONTRASTAR HIPÓTESIS Ing. William León Velásquez Ejemplo 2: Se cree que la implementación de un nuevo proceso ofrece buenos resultados Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de productos defectuosos más alta de lo normal 3030
  31. 31. RIESGOS AL CONTRASTAR HIPÓTESIS H0: Hipótesis nula – (Ej.1) No es culpable – (Ej.2) El nuevo proceso no tiene efecto en los resultados – (Ej.3) No hay nada que destacar en los productos H1: Hipótesis alternativa – (Ej.1) Es culpable – (Ej.2) El nuevo proceso es útil – (Ej. 3) Hay una situación anormal en los productos Ing. William León Velásquez No especulativa Especulativa 3131
  32. 32. TIPOS DE ERROR AL TOMAR UNA DECISIÓN  En este proceso podemos incurrir en dos tipos de errores según sea la situación real y la decisión que tomemos. Ing. William León Velásquez • La verificación de la hipótesis no establece la verdad de la hipótesis, sino un criterio que nos permite decidir SI UNA HIPÓTESIS NO SE RECHAZA O SE RECHAZA, o • El determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados. 3232
  33. 33. TIPOS DE ERROR AL TOMAR UNA DECISIÓN  Si se rechaza una hipótesis nula, cuando debe no ser rechazada, se comete un error de tipo I, mientras que  Si no se rechaza una hipótesis nula, debiendo ser rechazada se comete un error de tipo II. Ing. William León Velásquez 3333
  34. 34. TIPOS DE ERROR AL TOMAR UNA DECISIÓN  Minimizar los errores no es un asunto sencillo, un caso suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir uno suelen producir el aumento del otro. Ing. William León Velásquez 34 La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra. 34
  35. 35. TIPOS DE ERROR AL TOMAR UNA DECISIÓN REALIDAD Inocente Culpable VEREDICTO Inocente OK Error Menos grave Culpable Error Muy grave OK Ing. William León Velásquez 3535
  36. 36. TIPOS DE ERROR AL CONTRASTAR HIPÓTESIS REALIDAD CONCLUSIÓN H0 cierta H0 Falsa No Rechazo H0 Correcto El tratamiento no tiene efecto y así se decide. Error de tipo II El tratamiento si tiene efecto pero no lo percibimos. Probabilidad β Rechazo H0 Acepto H1 Error de tipo I El tratamiento no tiene efecto pero se decide que sí. Probabilidad α Correcto El tratamiento tiene efecto y el experimento lo confirma. Ing. William León Velásquez 3636
  37. 37. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA. MUESTRAS GRANDES Ing. William León Velásquez 37
  38. 38. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA MUESTRAS GRANDES  Cuando se plantean hipótesis para la media de una población y para la diferencia de medias de dos poblaciones y las desviaciones estándar poblacionales son conocidas o el tamaño de la muestra es grande El estadístico de prueba está dado por: z Ing. William León Velásquez 38
  39. 39. CINCO PASOS PARA PROBAR UNA HIPOTESIS PARA LA MEDIA  En la prueba de hipótesis, se debe establecer el valor supuesto o hipotetizado del parámetro de la población antes de comenzar a tomar la muestra.  La suposición que se desea probar se conoce como hipótesis nula: Ho. Ing. William León Velásquez 39 1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha 39
  40. 40. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS  En base a los datos muestrales la hipótesis nula se rechaza o no rechaza.  Nunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera, para demostrar sin lugar a dudas que la hipótesis es verdadera, se tendría que conocer el parámetro de la población.  El no rechazo solamente significa que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte como para llevar a su rechazo. Ing. William León Velásquez 40 1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha 40
  41. 41. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS  Es importante recordar que, sin importar como se determina el problema, la hipótesis nula siempre lleva el signo de igual ( = ). Ejemplo:  Si se desea probar la hipótesis de que la media de la población es igual a 16.  Se simbolizará y leerá de la siguiente manera:  “La hipótesis nula es que la media de la población es igual a 16”. Ho: μ= 16 Ing. William León Velásquez 1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha 4141
  42. 42. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS  La hipótesis alternativa describe la conclusión a la que se llegará si se rechaza a la hipótesis nula.  También se conoce como hipótesis de investigación.  La hipótesis alternativa se acepta si los datos de la muestra proporcionan suficiente evidencia estadística de que la hipótesis nula es falsa. Ing. William León Velásquez 42 1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha 42
  43. 43. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS  Se considera tres hipótesis alternativas posibles: Ha: ≠ 16 Ha: > 16 Ha: < 16  El signo de igual ( = ) nunca aparecerá en la hipótesis alternativa. Porque la hipótesis nula es la declaración que se prueba, y es necesario incluir un valor especifico en los cálculos.  La hipótesis alternativa se considera, sólo si se demuestra que no es verdadera la hipótesis nula. Ing. William León Velásquez 43 1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha 43
  44. 44. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS  El estadístico de prueba es un valor que se calcula en base a la información de la muestra, y que se utiliza para determinar si se rechaza o no la hipótesis nula.  Existen muchos estadísticos de prueba que pertenecen a una distribución muestral con su propia forma, media y desviación estándar. Z, t, χ2, F Ing. William León Velásquez 2. Establecer el estadístico de prueba que sea apropiado. 4444
  45. 45. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ejemplo: • En la prueba de hipótesis para la media, el estadístico de prueba es la Z y se calcula por: Ing. William León Velásquez n X z    45 2. Establecer el estadístico de prueba que sea apropiado. 45
  46. 46. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS  El nivel de significancia es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera es a lo que se llama error Tipo I.  El nivel de significancia se define con la letra griega alfa (α ).  Se le llama también nivel de riesgo. Ing. William León Velásquez 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo 4646
  47. 47. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS  No hay un nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas.  Se toma la decisión de utilizar los niveles 0.05 ( que con frecuencia se conoce como un nivel del 5%),  Pero se puede tomar 0.01, 0.10, o cualquiera entre 0 y 1 a elección de la persona que realiza la prueba. Ing. William León Velásquez 47 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo 47
  48. 48. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS La zona de rechazo tiene:  Una magnitud dada por α y  Una dirección dada por la hipótesis alternativa. Ing. William León Velásquez 48 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo 48
  49. 49. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ing. William León Velásquez Ejemplo 49 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo 49
  50. 50. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ing. William León Velásquez Existe un 95% de probabilidad de que los resultados muestrales puedan caer entre ± 1.96 si la hipótesis nula es verdadera Si μ = 16, existe sólo un 2.5% de oportunidad de que una media muestral produzca un valor de Z < -1.96 Si μ = 16, existe sólo un 2.5% de oportunidad de que una media muestral produzca un valor de Z > 1.96 50 3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo 50
  51. 51. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ing. William León Velásquez 4. Calcular el estadístico de prueba a partir de los datos muestrales considerando H0 como verdadera 5151
  52. 52. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ing. William León Velásquez 5. Decidir si H0 no se rechaza o se rechaza. Y Concluir en términos del contexto del problema. 5252
  53. 53.  ¿Es la experiencia, distinta de la expresada por el fabricante al nivel de significación de 0.05? Datos:  = 60,000 Km σ = 5,000 Km n = 48 llantas a = 0.05 = 59,500 Km EJEMPLO 1 Ing. William León Velásquez x  El fabricante de una llanta especial para camiones afirma que la duración media de la parte rodante de agarre es de 60,000 Km. La desviación estándar del kilometraje es de 5,000 Km.  Una empresa de transportes compró 48 llantas y halló que la duración media para sus vehículos fue de 59,500 Km. 53
  54. 54. Solución: Paso 1 Las hipótesis se expresan de la siguiente manera: H0 :  = 60,000 Km La duración de las llantas es de 60,000 Km H1 :  60,000 Km La duración de las llantas es distinta a 60,000 Km Ing. William León Velásquez 54
  55. 55. Solución: Paso 2 El estadístico de prueba mas apropiado. Teniendo en cuenta que se tiene una muestra de 48 llantas y se conoce la desviación estándar de la población n = 48 llantas σ = 5,000 Km Se utilizará la distribución Z Ing. William León Velásquez 55
  56. 56. Solución: Paso 3 El nivel de significancia es de 0.05 Y por la hipótesis alternativa: H1 :  60,000 Km Se trata de una prueba bilateral Ing. William León Velásquez En el siguiente paso es obtener el valor de “Z” y para ello se debe apoyar en la gráfica siguiente: Como se trata de una prueba bilateral: Para un α= 0.05 Se calcula α/2=0.025 *Se recurre a las tablas de la distribución normal * Este procedimiento va depender del tipo de tabla que se tenga 56
  57. 57. Solución: Ing. William León Velásquez Con el valor de α/2=0.025 Se resta de 1 1- 0.025=0.975, Luego se ubica un valor de Z = 1.96 Para el caso de una tabla acumulativa de -∞ hasta z 57 Paso 3
  58. 58. Solución: Ing. William León Velásquez Con el valor de α/2=0.025 Se ubica directamente un valor de Z = 1.96 Para el caso de una tabla acumulativa de z hasta ∞ 58 Paso 3
  59. 59. Solución: Paso 3 Ing. William León Velásquez En el siguiente paso es definir la zona de rechazo Con z= 1.96 y una hipótesis alternativa con operador ≠ que representa una prueba de dos colas Se rechaza la Ho si el Zc es >1.96 o Zc<-1.96 59-1.96 1.96
  60. 60. Solución: Ing. William León Velásquez Paso 4 Se calculará el estadístico de prueba Zc a partir de los datos muestrales considerando H0 como verdadera 693.0 71.721 000,60500,59    Zc Zc 𝑍 𝑐 = 𝑥 − 𝜇 𝜎𝑥 𝜎𝑥 = 𝜎 𝑛 𝜎𝑥 = 5000 48 = 5000 6.928 =721.71 Donde: 60
  61. 61. Solución: Ing. William León Velásquez Paso 5 • Se va ha decidir si H0 se rechaza o no se rechaza . Como -0.693 es menor que -1.96 NO se rechaza la hipótesis nula Es decir el z de los datos (Zc) se encuentra en la zona de no rechazo 61 61 -1.96 1.96 -0.693 ZONA DE NO RECHAZ O
  62. 62. Solución: Ing. William León Velásquez Paso 5 • Conclusión: . • Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que la duración de las llantas NO es distinta a 60,000 Km • Entonces se concluye que la duración media de las llantas es muy cercana a la que afirma el fabricante de 60,000 millas. 62
  63. 63. Solución:  Primero, se va a calcular el error estándar de la media y para ello se empleará la expresión del error estándar: Ing. William León Velásquez Sustituyendo valores en ella, se tiene: El Error Estándar de la media mide con cuánta precisión la media de la muestra estima la media de la población y se utiliza para crear intervalos de confianza para la media de la población. Los valores del Error Estándar de la Media más bajos indican con mayor precisión las estimaciones de la media de la población Desarrollando bajo el enfoque del intervalo de confianza: 63 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 𝜎 𝑋 = 5,000 48 = 𝜎 𝑋 = 5,000 6.9282 = 𝜎 𝑋 =721.69 Km
  64. 64. Solución: Se va a determinar los límites superior e inferior de confianza para el intervalo de la media poblacional ya que se trata de una prueba de dos extremos. Se aplica la expresión siguiente: Ing. William León Velásquez Sustituyendo valores en ella, se tiene: Lc = 60,000  1.96 (721.69) Ls = 60,000 + 1,414.51 Ls = 61,414.51 Km. Li = 60,000 – 1,414.51 Li = 58,585.49 Km Entonces la media de la población fluctúa entre 58,585.49 y 61,414.51 millas en un nivel de confianza del 95%. xH ZLc   0 64
  65. 65. Solución: Al regresar a la gráfica anterior se observa los límites de confianza y la media muestral. Con ello se analiza si no se rechaza la hipótesis nula además de verificar si es verdadera o falsa. Ing. William León Velásquez 65
  66. 66. Solución: La media muestral se ubica dentro de la zona de no rechazo, por lo que podemos decir que la hipótesis nula es verdadera, Ing. William León Velásquez Entonces la media muestral se ubica en -0.693 𝜎𝑥= -0.693(721.69) 500.13  60,000-500 = 59,500 y se confirma que cae en la zona de no rechazo Concluimos que la duración media de las llantas es muy cercana a la que afirma el fabricante de 60,000 millas, con un nivel de significancia de 0.05. 66
  67. 67. ¿Es dicho tiempo menor de 3 minutos? Datos:  = 3 minutos. σ= 1minuto. n = 50 clientes. a = 0.05 𝑥= 2.75 minutos. EJEMPLO 2 • Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo medio de espera de clientes por atender está distribuido normalmente con una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. • Su departamento de aseguramiento de la calidad halló en una muestra de 50 clientes en un cierto establecimiento que el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos. • Al nivel de significación de 0.05, Ing. William León Velásquez 67
  68. 68. Paso 1 Las hipótesis se expresan de la siguiente manera: Ing. William León Velásquez Ho :  = 3 El tiempo promedio de espera es de 3 minutos. H1 :   3 El tiempo promedio de espera es menor de 3 minutos. EJEMPLO 2 68
  69. 69. SOLUCIÓN: Paso 2 El estadístico de prueba mas apropiado. Teniendo en cuenta que se tiene una muestra de 50 clientes y se conoce la desviación de la población n = 50 clientes σ = 1 minuto Entonces Se utilizará la distribución ZIng. William León Velásquez 69
  70. 70. SOLUCIÓN: Paso 3 El nivel de significancia es de 0.05 Y por la hipótesis alternativa: H1 :   3 Se trata de una prueba unilateral Ing. William León Velásquez En el siguiente paso vamos a obtener el valor de “Z” y para ello vamos a apoyarnos en la gráfica siguiente: * Este procedimiento va depender del tipo de tabla que se tenga 70 Como se trata de una prueba unilateral: Para un α= 0.05 Se calcula con todo su valor *Se recurre a las tablas de la distribución normal
  71. 71. SOLUCIÓN: Ing. William León Velásquez Con el valor de α=0.05 Se resta de 1 1- 0.05=0.95, Luego se ubica un valor de Z = 1.64 aprox. Para el caso de una tabla acumulativa de -∞ hasta z 71 Paso 3
  72. 72. SOLUCIÓN: Ing. William León Velásquez Con el valor de α=0.05 Se ubica directamente un valor de Z = 1.64 Para el caso de una tabla acumulativa de z hasta ∞ 72 Paso 3
  73. 73. Solución: Paso 3 Ing. William León Velásquez En el siguiente paso es definir la zona de rechazo Con z= 1.64 y una hipótesis alternativa con operador < que representa una prueba de una cola Se rechaza la Ho si el Zc<-1.64 73 -1.64
  74. 74. Solución: Ing. William León Velásquez Paso 4 Se Calculará el estadístico de prueba Zc a partir de los datos muestrales considerando H0 como verdadera 77.1 1414.0 375.2    Zc Zc 𝑍 𝑐 = 𝑥 − 𝜇 𝜎𝑥 𝜎𝑥 = 𝜎 𝑛 𝜎𝑥 = 1 50 = 1 7.071 =0.1414 Donde: 74
  75. 75. Solución: Ing. William León Velásquez Paso 5 • Se va ha decidir si H0 se rechaza o no se rechaza . • Como -1.77 es mayor que -1.64 se rechaza la hipótesis nula. • Es decir el z de los datos (Zc) se encuentra en la zona de rechazo 75 75 -1.77 ZONA DE NO RECHAZ O
  76. 76. Solución: Ing. William León Velásquez Paso 5 • Conclusión. Entonces se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que el tiempo medio de espera del cliente para ser atendido en este establecimiento es menor de 3 minutos. 76
  77. 77. Con un a = 0.05 y es una prueba de hipótesis para un extremo, en este caso, el extremo izquierdo, entonces, el nivel de significancia está contenido en este extremo, por lo que el nivel de confianza es 0.5 – 0.05 = 0.45 . Se busca en las tablas de la distribución normal 0.45, y se encuentra que: Z= 1.64 El límite izquierdo del intervalo de confianza será: Li = 3 – 1.64 (0.1414) Li = 3 – 0.2319 Li = 2.768 Calcula el error estándar de la media: Ing. William León Velásquez 1414.0 07.7 1 50 1  xxx  Ejemplo 2.- nX    Desarrollando bajo el enfoque del intervalo de confianza 77
  78. 78. Gráficamente se representa así: Ejemplo 2.- Ing. William León Velásquez 78
  79. 79. Ejemplo 2 Ing. William León Velásquez  La media muestral 2.75, se localiza en la zona de rechazo, por lo que se puede establecer que se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa. • Comprobemos con : x x Z    77.1 1414.0 25.0 1414.0 375.2      ZZZ • Como se puede observar 1.77 está localizado más hacia la izquierda del límite de confianza 1.64. Entonces se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%, que el tiempo medio de espera del cliente para ser atendido en este establecimiento es menor de 3 minutos. 79
  80. 80. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE 2 MEDIAS POBLACIONALES Ing. William León Velásquez 80
  81. 81. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE 2 MEDIAS POBLACIONALES  Si se tienen dos poblaciones y se toman muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2, se puede comparar el comportamiento de dichas poblaciones a través de los promedios.  Las muestras deben obtenerse de poblaciones con distribución normal  El estadístico de trabajo que se va ha utilizar dependerá de las características de las poblaciones y del tamaño de las muestras. Ing. William León Velásquez 81 81
  82. 82. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE 2 MEDIAS POBLACIONALES  Se puede plantear uno de los tres tipos de hipótesis siguientes:  - Prueba de hipótesis a dos colas H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 = 0 H1 : µ1≠µ2 ó H1 : µ1-µ2 ≠ 0  - Prueba de hipótesis a una cola superior H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 = 0 H1 : µ1>µ2 ó H1 : µ1-µ2 > 0  - Prueba de hipótesis a una cola inferior H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 = 0 H1 : µ1<µ2 ó H1 : µ1-µ2 < 0 Ing. William León Velásquez 82 82
  83. 83. PRUEBA DE HIPÓTESIS DE 2 MEDIAS POBLACIONALES Ing. William León Velásquez 83 PRUEBA DE HIPÓTESIS DE 2 MEDIAS POBLACIONALES µ1 y µ2 Si las muestras son mayores o iguales de 30 n1 y n2>=30 Si tienen varianzas poblacionales desconocidas σ2 diferentes Varianzas diferentes σ2 conocidos Varianzas iguales σ2 desconocidos Si tienen varianzas poblacionales conocidas σ2 iguales Si las muestras son menores a 30 n1 y n2<30 83 12 ESQUEMA
  84. 84. P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales conocidas • Se asume que hay dos poblaciones de interés μ1 y μ2, • Además se asume que μ1 tiene media desconocida y varianza conocida y que μ2 tiene media desconocida y varianza conocida . Ing. William León Velásquez 84 • Se estará interesado en la prueba de la hipótesis de que las medias µ1y µ2 sean iguales. 84 1
  85. 85.  Se considera primero las hipótesis alternativas de dos lados: Donde  H0 = Hipótesis nula  H1 = Hipótesis alternativa.  μ1= media de la población 1  μ2= media de la población 2 P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales conocidas H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 = 0 H1 : µ1≠µ2 ó H1 : µ1- µ2 ≠ 0 Ing. William León Velásquez 85 1
  86. 86.  El procedimiento para probar es calcular el estadístico de prueba Zc mediante la siguiente fórmula: P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales conocidas Donde: 𝜇1= media de la muestra 1 𝜇1= media de la muestra 2 𝜎1 2= varianza de la población 1 𝜎2 2= varianza de la población 2 𝑛1 = tamaño de la muestra 1 𝑛2 = tamaño de la muestra 2 𝑍 𝑐 = (𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2) 𝜎2 1 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 Ing. William León Velásquez 86 1
  87. 87. Las hipótesis alternativas de dos lados se analizan de la siguiente manera. Para probar 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 Se calcula el estadístico de prueba Z0 y se rechaza 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 si 𝑧 𝑐 > 𝑧 𝛼 2 o 𝑧 𝑐 < 𝑧 𝛼 2 Donde Zc = Valor calculado del estadístico de prueba 𝑍 𝛼 2 = Valor obtenido de las tablas. P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales conocidas Ing. William León Velásquez 87 1
  88. 88. Las hipótesis alternativas de un lado se analizan de manera similar. Para probar 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 Se calcula el estadístico de prueba Z0 , y se rechaza 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 si 𝑍0>𝑍 𝛼 . Para probar las otras hipótesis alternativas del otro lado 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 Se utiliza el estadístico de prueba Z0 y se rechaza 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 si 𝑍0<−𝑍 𝛼 P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales conocidas Ing. William León Velásquez 88 1
  89. 89. P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales desconocidas • En esta prueba se asume que hay dos poblaciones de interés μ1 y μ2, • Además se asume que μ1 tiene media desconocida y varianza desconocida y que μ2 tiene media desconocida y varianza desconocida . Ing. William León Velásquez 89 • Se estará interesado en la prueba de la hipótesis de que las medias µ1y µ2 sean iguales. 89 2
  90. 90.  El procedimiento para probar es calcular la estadística de prueba Zc mediante la siguiente fórmula: P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales desconocidas y diferentes Donde: 𝑥1= media de la muestra 1 𝑥2= media de la muestra 2 𝑆1 2 = varianza de la muestra 1 𝑆2 2 = varianza de la muestra 2 𝑛1 = tamaño de la muestra 1 𝑛2 = tamaño de la muestra 2 𝑍 𝑐 = (𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2) 𝑆2 1 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 Ing. William León Velásquez 90 2
  91. 91.  Si las muestras provienen de poblaciones normales con varianzas poblacionales iguales pero desconocidas y tamaños de muestra grandes , es decir, n1 > 30 y n2 > 30.  Como se desconocen las varianzas poblacionales se debe obtener una expresión que represente dichas varianzas. P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales desconocidas pero iguales Donde: 𝑥1= media de la muestra 1 𝑥2= media de la muestra 2 𝑆1 2 = varianza de la muestra 1 𝑆2 2 = varianza de la muestra 2 𝑛1 = tamaño de la muestra 1 𝑛2 = tamaño de la muestra 2 𝑍 𝑐 = (𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2) 𝜎 𝑑𝑖𝑓 𝜎 𝑑𝑖𝑓 = 𝑛1−1 𝑆2 1+ 𝑛2−1 𝑆2 2 𝑛1+𝑛2−2 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Ing. William León Velásquez91 2
  92. 92. EJEMPLO 3  El salario promedio mensual para una muestra de 30 empleados de una empresa manufacturera es de $280.000, con desviación estándar de $14.000.  En otra empresa del mismo tipo, una muestra aleatoria de 40 empleados, tiene un salario promedio de $270.000, con una desviación estándar de $10.000. Ing. William León Velásquez 92 • No se suponen iguales las desviaciones estándar de las poblaciones. Se requiere probar la hipótesis de que no existe diferencia entre los salarios promedios mensuales de las dos empresas, utilizando un nivel de significancia del 5%. 92
  93. 93. EJEMPLO 3 Ing. William León Velásquez 93 1.- Establecer las hipótesis 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0, o que 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2  No existe diferencia entre los salarios promedios mensuales de las dos empresas 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0, o que 𝐻0: 𝜇1 ≠ 𝜇2  Existe diferencia entre los salarios promedios mensuales de las dos empresas 93
  94. 94. EJEMPLO 3 2.- Elegir el modelo probabilístico: – Como n> 30 – Se utiliza la curva Z Ing. William León Velásquez 94 94 𝑛1 =30 𝑋1 = 280,000 𝜎1 =14,000 𝑛2 =40 𝑋2 = 270,000 𝜎2 =10,000 Además: Se conoce σ Se hará P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales conocidas 𝑍 𝑐 = (𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2) 𝜎2 1 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2
  95. 95. EJEMPLO 3 3.- Establecer el criterio de contraste Ing. William León Velásquez 95 REGION DE NO RECHAZO Z1=-1.96 0 Z2=1.96 α=0.5 Para α/2 = 0.025, entonces 𝑍1 = −1.96 y 𝑍2 = 1.96. El Intervalo de los Valores críticos de Z es: −1.96 < 𝑍 < 1.96 α/2=0.025 α/2=0.025 95 Como el operador de la Hipótesis alternativa es ≠ se hará una prueba de dos colas Y el nivel de significancia del 5%
  96. 96. EJEMPLO 3 4.- Calcular el valor del estadístico de prueba  La desviación estándar de cada una de las muestras es: Ing. William León Velásquez 96 𝜎1𝑥 = 𝜎1 𝑛1 = 14000 30 = 2556.04 𝜎2𝑥 = 𝜎2 𝑛2 = 10000 40 = 1581.14 𝜎 = 𝜎1𝑥 2 + 𝜎2𝑥 2 = 2556.04 2 + 1581.14 2 = 3005.53 • Se calcula el valor del estadístico de prueba, en este caso Z* 𝑍 = 𝑋1 − 𝑋2 𝜎 = 280000 − 270000 3005.55 = 3.33 96
  97. 97. EJEMPLO 3 5.- Tomar una decisión e interpretar  Como Z = 3.33 no se encuentra en el Intervalo critico de Z. −1.96 < 𝑍 < 1.96  Es decir no se encuentra en la región de NO RECHAZO según la grafica de la Campana de Gauss.  Por ello se rechaza la Hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa:  Entonces se pude afirmar con un nivel de significancia del 5% que el salario promedio mensual de las dos empresas son diferentes. Ing. William León Velásquez 97 97
  98. 98. EJEMPLO 4 Un analista de salarios consideraba que el salario promedio de la primera empresa era mayor que en la segunda empresa. Con la finalidad de probar tal aseveración se realizará una segunda prueba. Ing. William León Velásquez 98 Con los datos del ejemplo 1 Pruebe la hipótesis, con el nivel de significancia del 1%. Las desviaciones estándar de las dos poblaciones conocidas. 98 𝑛1 =30 𝑋1 = 280,000 𝜎1 =14,000 𝑛2 =40 𝑋2 = 270,000 𝜎2 =10,000
  99. 99. EJEMPLO 4 Ing. William León Velásquez 99 1.- Establecer las hipótesis  𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 o 𝜇1 − 𝜇2 = 0  El salario promedio de la primera empresa es igual que en la segunda empresa.  𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 o 𝜇1 − 𝜇2 > 0  El salario promedio de la primera empresa es mayor que en la segunda empresa. 99
  100. 100. EJEMPLO 4 2.- Elegir el modelo probabilístico:  Como n> 30 Se utiliza la curva Z: Ing. William León Velásquez 100 100 Además: Se conoce σ Se hará P. H. para la diferencia de medias, con varianzas poblacionales conocidas 𝑍 𝑐 = (𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2) 𝜎2 1 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2
  101. 101. Ing. William León Velásquez 101 3.- Establecer el criterio de contraste EJEMPLO 4 101 REGION DE NO RECHAZO 0 Z2=2.33 α=0. 01 Como es para una cola, entonces el nivel de significancia que se tiene es 𝛼 = 0.01 , el z para esta área según la tabla es de Z= 2.33, porque el área es A=0.99.
  102. 102. EJEMPLO 4 4.- Calcular el valor del estadístico de prueba  Hallamos el z para comparar. Ing. William León Velásquez 102 𝑍 = 𝑋1 − 𝑋2 𝜎 = 280000 − 270000 3005.55 = 3.33 102
  103. 103. EJEMPLO 4 5.- Tomar una decisión e interpretar  Como zc = 3.33 > z=2.33, entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa:  Por lo tanto se puede afirmar con un nivel de significancia del 1% que el salario promedio de la primera empresa es mayor que el salario promedio de la segunda empresa. Ing. William León Velásquez 103 103 0 Z2=2.33 3.33
  104. 104. EJEMPLO 5  Una empresa está considerando dos lugares alternativos para construir un centro comercial. Como los ingresos de los hogares de una ciudad son un criterio importante en ésta selección, se quiere probar que el ingreso promedio de la primera ciudad excede al promedio de la segunda ciudad en cuando menos $1,500 mensuales. Con la información de un censo realizado el año anterior se sabe que la desviación estándar del ingreso mensual de la primera ciudad es de $1,800 y la de la segunda es de $2,400 Ing. William León Velásquez 104 De una muestra aleatoria de 30 hogares de la primera ciudad, se encuentra que el ingreso mensual promedio es de $35,500 y de una muestra de 40 hogares de la segunda ciudad el ingreso promedio mensual es de $34,600. Probar la hipótesis con un nivel de confianza del 95 por ciento. 104
  105. 105. EJEMPLO 5 Ing. William León Velásquez 105 1.- Establecer las hipótesis  Se desea probar si la diferencia entre los ingresos de la ciudad 1 y la 2 es de $1,500 o más, por lo tanto:  H0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 1,500 La diferencia en el ingreso promedio de la primera ciudad con respecto al promedio de la segunda ciudad es de $1.500 mensuales.  H1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 1,500 La diferencia en el ingreso promedio de la primera ciudad con respecto al promedio de la segunda ciudad es menor de $1.500 mensuales. 105
  106. 106. EJEMPLO 5 2.- Elegir el modelo probabilístico:  El tamaño de las muestras es grande y las varianzas poblacionales son conocidas,  Por consiguiente el estadístico de trabajo a utilizar es: Ing. William León Velásquez 106 106 𝑍 𝑐 = (𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2) 𝜎2 1 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 σ1 =1800 σ2 =2400 n1=30 𝑋1 = 35500 n2=40 𝑋2 = 34600
  107. 107. EJEMPLO 5 3.- Establecer el criterio de contraste Ing. William León Velásquez 107 Para un nivel de confianza del 95 por ciento, el alfa será 0.05 Y la hipótesis alternativa es: H1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 1,500 por lo tanto se trata de una prueba unilateral negativa De la tabla de la distribución normal se tiene un valor de Z de -1.64.. 107
  108. 108. EJEMPLO 5 4.- Calcular el valor del estadístico de prueba  Se halla el z de la prueba, para comparar. Ing. William León Velásquez 108 n1=30 𝑥 = 35,500 σ1=1,800 n2=40 𝑥 = 34,600 σ2=2,400 1-α=0.95 𝑍 𝑥1−𝑥2 = 𝑥1 − 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2) 𝜎2 1 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 𝑍 𝑥1−𝑥2 = 35,500−34,600 −1.500 1,8002 30 + 2,4002 𝑛2 =-1.195 108
  109. 109. EJEMPLO 5 5.- Tomar una decisión e interpretar  De la figura se observa, que el estadístico de trabajo se ubica en la zona de no rechazo de la hipótesis nula;  Por lo tanto se puede afirmar con un nivel de significancia del 5% que la diferencia en el ingreso promedio de la primera ciudad con respecto al promedio de la segunda ciudad NO es menor de $1.500 mensuales  Es decir la empresa puede elegir la primera ciudad para construir el nuevo centro comercial Ing. William León Velásquez 109 - 1.195 109
  110. 110. EJEMPLO 6 Se realizó un estudio con un nivel de significancia de 0.05 para investigar si la prensa popular está más orientada hacia temas sexuales que la prensa dirigida a la clase media. Se considera en ambos casos una variabilidad igual. Se recogieron dos muestras representativas de 40 artículos publicados en ambos tipos de revistas. Ing. William León Velásquez 110 Utilizando un índice que mide el contenido sexual de los artículos, la muestra 1 (popular) tuvo un puntaje medio de 3.5 con una desviación estándar de 2, mientras que la muestra 2 (clase media) tuvo una media de 3 con una desviación de 2.2. 110
  111. 111. EJEMPLO 6 1.- Establecer las hipótesis Ho: µ1 = µ 2  Ho: « La orientación hacia contenidos sexuales en la prensa popular y en la prensa de clase media son iguales» Ha: µ 1> µ 2  Ha: « La orientación hacia contenidos sexuales es mayor en la prensa popular que en la prensa de clase media ». Ing. William León Velásquez 111 111
  112. 112. EJEMPLO 6 2.- Elegir el modelo probabilístico:  Para determinar que tipo de distribución se utilizará: – Si n1 + n2 > 30 entonces se busca en la tabla el valor de z correspondiente a α/2. – Entonces n > 30 y por lo tanto se utiliza la distribución normal a través de la tabla z con α = .05 Ing. William León Velásquez 112 112
  113. 113. Ing. William León Velásquez EJEMPLO 6 3.- Establecer el criterio de contraste Como en este problema, α = .05 y la hipótesis alterna contiene el signo (>) el problema es de una cola, es decir, la región crítica se ubica en el extremo derecho de la curva.  Luego se aplica la fórmula de interpolación: 113 0.05 113 A1 A2 A 𝑍 = 1.64 + (𝑍2 − 𝑍1) (𝐴1 − 𝐴) (𝐴1 − 𝐴2) 𝑍 = 1.64 + (1.65 − 1.64) (.0505 − .05) (.0505 − .04947) 𝑍 =1.6448
  114. 114. EJEMPLO 6 4.- Calcular el valor del estadístico de prueba con varianzas iguales  Se el calcula error estándar de la diferencia de las media Ing. William León Velásquez 114 𝜎 𝑑𝑖𝑓 = 𝑛1−1 𝑆2 1+ 𝑛2−1 𝑆2 2 𝑛1+𝑛2−2 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Se calcula el valor del estadístico de prueba, en este caso Zc 114 𝜎 𝑑𝑖𝑓 = 39 (2)2+ 39 (2.2)2 78 1 40 + 1 40 = 0.47 𝑍 𝑐 = 𝑋1 − 𝑋2 𝜎 𝑑𝑖𝑓 𝑍 𝑐 = 3.5 − 3.0 0.47 = 1.063
  115. 115. EJEMPLO 6  5.- Tomar una decisión e interpretar  El estadístico de prueba queda localizado fuera de la zona crítica, entonces no se rechaza la hipótesis nula ( Ho),  Por lo tanto se concluye lo siguiente:  No hay evidencia suficiente, con un nivel de significancia de .05, de que la prensa popular tenga una mayor orientación al tema sexual que la prensa de clase media Ing. William León Velásquez 115 115
  116. 116. FIN wjleonv@yahoo.com
  117. 117. Ing. William León Velásquez 117

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