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Cadernos de
Pós-Graduação
em Engenharia
Elétrica
MACKENZIE
Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003.
Equalização ótima de canais de comunicação
Magno T. M. Silva
Aluno do Curso de Doutorado da Universidade de São Paulo
Maria D. Miranda
Professora do Programa de Engenharia Elétrica da
Universidade Presbiteriana Mackenzie
RESUMO
Neste trabalho são abordados critérios ótimos para equalização de
canais de comunicação. Através da comparação destes critérios é
possívelverificarumalimitaçãonoequalizadorlineartransversalque
corresponde à estrutura mais utilizada na prática. Este equalizador
podeficarbastantelongedoótimopostoquena maioriadasvezes
a solução ótima é não-linear.
Palavras-chave:Filtrosótimos.Equalizaçãonãolinear.
1 INTRODUÇÃO
Nossistemasatuaisdecomunicaçãodigitalpararecuperarosinaldeteriorado
pelasimperfeiçõesdomeiodetransmissão,éusualincluirnoreceptorumequalizador
adaptativo. O modelo simplificado de um sistema de comunicação de tempo discreto
é ilustrado no Diagrama 1 (HAYKIN, 1996). Considera-se que uma seqüência de
símbolos a(n) étransmitidaatravésdeumcanalquefornecenasuasaídaumaversão
distorcidadaseqüênciadesímbolostransmitidos.O sinal recebido
consiste de duas parcelas: o sinal de saída do canal x(n) e o ruído Este sinal
éaplicadoaoequalizadorquedevefornecerumaestimativadaseqüênciadesímbolos
originalmente transmitida. O bloco “canal” do Diagrama 1 representa não só o canal
físicodetransmissãomastambémosistemadetransmissão/modulaçãoeosistemade
recepção/demodulaçãoefetivamentepresentesemqualquersistemadecomunicação
prático. Assim, denomina-se aqui como canal um modelo de tempo discreto para o
sistema de transmissão, o canal físico e o sistema de recepção.
( ) ( ) ( )nnxnu η+=
( )nη .
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Diagrama 1 – Modelo de um sistema de comunicação de tempo discreto.
Canal
na nx
n
naˆnu
Equalizador
Adaptativo
Decisor
ny
Namaioriadasaplicaçõesasdistorçõesintroduzidasporumcanalsãosufici-
entemente bem modeladas por um modelo linear descrito por uma resposta ao pulso
unitário finita, caso em que a função de transferência é modelada por
( ) ∑
−
=
−
=
1
0
,
N
k
k
nk zhnz,H
sendo N o comprimento da resposta ao pulso unitário do canal e hk,n
os coeficientes
que caracterizam o mesmo no instante de tempo n. Supondo um modelo deste tipo,
existem os seguintes aspectos que devem ser considerados em um problema de
equalização:
¨ A interferência intersimbólica (ISI) causada pelo efeito dispersivo do canal. No
modelo linear apresentado, é o resultado da convolução do sinal transmitido pelo
canal com a sua resposta ao pulso unitário. Este efeito dispersivo é devido aos
diferentes atrasos na propagação do sinal, fala-se de um efeito multipercurso. Em
comunicações sem fio, o sinal pode ser recebido por um percurso direto entre as
antenas de transmissão e recepção e também por reflexões de outros objetos,
como morros, prédios etc. Neste caso, o canal de transmissão pode ser represen-
tado por vários canais em paralelo, gerando uma variação do modelo anterior;
¨ Apresençaderuídointrínsecoatodosistemadetransmissãoqueafetaodesempe-
nhodoequalizador;
¨ O tipo de modelo resultante para o canal. Por exemplo, muitas vezes obtém-se do
processo de modelamento canais de fase não-mínima e/ou canais não-lineares, o
que dificulta a equalização. Além disso, os canais são muitas vezes variantes no
tempo, como é o caso de canais com desvanecimento (fading).
Um outro aspecto bastante importante se refere à adaptação do equalizador
quepodeserfeitadeformasupervisionadaouautodidata.Tipicamente,equalizadores
adaptativos supervisionados usados em sistemas de comunicação digital incluem um
períododetreinamento,durante oqualuma seqüência de símbolosconhecida previa-
mente pelo receptor é transmitida. Nesta fase, o transmissor e o receptor devem estar
sincronizados. Além disso, os parâmetros do equalizador são ajustados de acordo
com a estrutura e o algoritmo empregado no projeto. Quando o treinamento termina,
o equalizador vai para o modo de decisão direta e a transmissão da seqüência de
símbolos pode então começar. Entretanto, em situações práticas, é desejável que o
receptorconsigafazeraadaptaçãocompletasemaajudadotransmissor.Emcomuni-
cações sem fio, por exemplo, isso proporciona um uso mais apropriado da banda de
transmissão (LI; LIU, 1998). Neste caso a equalização é conhecida como cega, não-
,
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supervisionadaouautodidata.Dentreosalgoritmosdeequalizaçãoautodidata,sedes-
tacam os algoritmos de Bussgang que estão associados à minimização estocástica de
uma função custo que depende do sinal de saída do equalizador e de estatísticas do
sinal transmitido.Aequalizaçãoadaptativaé ilustrada noEsquema 1.Neste esquema
H(z) representa a transformada-Z da resposta ao pulso unitário finita (FIR) do canal e
h o ruído branco gaussiano. O problema a ser considerado é usar no instante n a
informação das amostras u(u), u(n – 1), ..., u(n – M + 1), que podem ser agrupadas
no vetor
u(n) = [u(n) u(n _ 1) . . . u(n _ M + 1)]T
,
para estimar o símbolo transmitido a(n – td
) sendo td
o atraso em número de
amostras e M o número de entradas do equalizador. A atualização dos parâmetros do
equalizadorsefazatravésdosinaldeerroe(n)queécalculadoapartirdacomparação
do símbolo a(n – td
) com o sinal de saída do equalizador y(n) no caso supervi-
sionado e a partir de uma função não-linear no caso autodidata.
1
z . . 1
z
ne
na
n
nu 1Mnu
EQUALIZADOR
zH
dnaˆ
DECISOR
2Mnu
ny
Eq. Supervisionada
d
z
Eq. Autodidata
Estatísticas
de na
Cálculo do
erro
Esquema 1 – A equalização adaptativa.
2 CRITÉRIOSÓTIMOSDEEQUALIZAÇÃO
Considerando inicialmente um canal fixo, não variante no tempo, podem-se
utilizar diferentes critérios para obter equalizadores ótimos (FIGUEIRAS-VIDAL,
1996):
i) Critérios baseados na solução de Wiener;
ii) CritériodeBayesparaminimizaçãodaprobabilidadedeerrodossímbolosrecebi-
dos;
iii) Critériosorigináriosdateoriadainformaçãocomoodamáximaverossimilhançae
damáximaentropia.
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Os critérios do tipo (i) levam a soluções para o equalizador que consistem de
um filtro transversal linear (LTE – Linear Transversal Equalizer) seguido de um ele-
mentonão-lineardedecisão.Considerandooproblemadeequalizaçãocomoumpro-
blema de classificação das diferentes saídas do canal, isto é, de diferentes estados,
observa-se que este tipo de solução é linear, pois consiste na divisão do espaço de
estados por um hiperplano (HAYKIN, 1996).
O critério (ii), conhecido como critério MAP (Maximum a Posteriori
Probability), é não-linear no sentido em que divide o espaço de estados do canal de
forma ótima por uma hipersuperfície que não é um simples hiperplano como no caso
do LTE (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993; PROAKIS, 1996).
Em relação ao critério da máxima verossimilhança que pertence ao conjunto
de critérios (iii), Forney (1972) demonstrou que o equalizador ótimo é formado por
umfiltrocasadocomocanaldetransmissãoseguidodoalgoritmodeViterbi(FORNEY,
1983;VITERBI,1967).Esteequalizadorénão-linearebuscaaseqüênciademáxima
verossimilhança. Aseguirestescritériossãodescritoscommaisdetalhes.
2.1 SOLUÇÃODEWIENER
O Diagrama 2 apresenta o diagrama simplificado de um sistema adaptativo.
Na ausência de ruído, o sinal de saída y(n) pode ser representado como uma combi-
nação linear entre a seqüência discreta de entrada x(n) e os coeficientes deste siste-
ma, ou seja
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
−
=
− −=+−++−+=
1
0
110 11
M
i
iM winxwMnxwnxwnxny L (1)
y nx n Filtro Adaptativo
e n
d n
+
Diagrama 2 – Diagrama simplificado de um sistema Adaptativo.
Considere x(n) = [x(n) x(n – 1) ... x(n – M + 1)]
T
o vetor de entradas,
w = [w0
w1
... wM–1
]T
o vetor dos parâmetros do filtro e [.]T
o transposto do
vetor. Observe que x(n) e w são vetores coluna de dimensão M. Usando notação
vetorial a saída do sistema da Figura 3 pode ser expressa como
97
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( ) ( ) ( )T T
y n n n= =x w w x . (2)
O erro entre a saída do sistema e a resposta desejada pode ser expresso como
( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T
e n d n y n d n n d n n= = − = −x w w x . (3)
O vetor de coeficientes do filtro deve ser ajustado para que a saída y(n) se aproxime
aomáximodarespostadesejada d(n).Umcritérioéconsideraraminimizaçãodoerro
quadrático médio em relação ao vetor de parâmetros. Considere E [.
] a operação de
esperançamatemática.Ovetordecoeficientesótimoséaquelequeminimizaaseguin-
tefunção
2
E[ ( )]e nξ = . (4)
E[ ( ) ( )]T
n n=R x x (5)
considere
a matriz de autocorrelação das entradas do sistema e
E[ ( ) ( )]d n n=p x (6)
o vetor coluna de correlação cruzada entre a resposta desejada e a seqüência de
entrada. Substituindo a expressão (3) em (4) resulta
2 2
E[ ( )] E[ ( )] 2T T
e n d nξ = = + −w Rw p w . (7)
O vetor gradiente da função custo em relação ao vetor de parâmetros w é
2 2∇ = −Rw p (8)
O vetor de coeficientes ótimos, aqui denotado como w*
, é aquele que anula o vetor
gradiente, ou seja *
2 2− =Rw p 0 . Assumindo que a matriz de autocorrelação é
não-singular, o vetor de coeficientes que minimiza a função custo pode ser calculado
como
1−
=*
w R p . (9)
Esta equação é chamada de Equação de Weiner-Hopf e o vetor de coeficientes óti-
mos w*
de vetor de Weiner (WIDROW; STEARNS, 1985). Observe que a solução
ótima depende da correlação dos dados da entrada e de uma resposta desejada.
AimplementaçãodasoluçãodiretadeWienerémuitasvezesinviávelnaprá-
tica. O que se usa são algoritmos de busca do gradiente como, por exemplo, o LMS
(Least Mean Squares) e o RLS (Recursive Least Squares). Estes algoritmos conver-
gemparapróximodasoluçãodeWienerdeformaiterativaepermitemimplementação
em tempo real em um equalizador linear transversal (HAYKIN, 1996).
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2.2 EQUALIZAÇÃO LINEAR E CLASSIFICAÇÃO
Aequalizaçãodecanaisdecomunicaçãopodeserconsideradacomoumpro-
blema de desconvolução, e o equalizador é projetado para que a combinação da sua
resposta ao pulso unitário com a do canal esteja o mais próximo possível de um sim-
ples atraso. No entanto, essa aproximação se torna bastante complicada quando há
não-linearidades no canal. Por outro lado, a equalização pode ser encarada como um
problema de classificação, e o equalizador é projetado como um dispositivo de deci-
são a fim de reconstruir a seqüência de símbolos transmitida de forma mais precisa
possível (GIBSON; COWAN; GRANT, 1990).
Um equalizador linear clássico faz o cálculo de uma projeção linear
y(n) = uT
(n)w,sendowovetor de coeficientesdoequalizador.Nestecaso,procura-se
a melhor projeção das amostras de u(n) na direção de w. No sentido de classificação,
istocorrespondeaencontrarodiscriminantelineardeFisherw(DUDA;HART,1973;
MONTALVÃO FILHO; DORISSI; MOTA, 1999). A Figura 1 ilustra duas possíveis
direções de w. Nesta figura, o vetor da esquerda é claramente melhor que o outro
(MONTALVÃO FILHO; DORISSI; MOTA, 1999). Neste caso, o filtro linear e o
decisorconstituemumdispositivodeclassificaçãoquetentafazerumaseparaçãoline-
ar entre as classes correspondentes aos níveis +1 (*) ou –1 (o).
Encontrar o discriminante linear de Fischer é um critério ótimo no sentido de
se obter o vetor de coeficientes que satisfaz w = S–1
(m1
– m2
) sendo Sw
a matriz de
dispersão intra-classes e m1
e m2
os centros de massa de cada classe (DUDA; HART,
1973).Nestecaso,considerou-seaexistênciaapenasdeduasclasses.Asdefiniçõesda
matriz Sw
edosvetores m1
e m2
,bemcomoageneralizaçãodessecritérioparamais
deduasclassespodemserencontradasnareferência(DUDA;HART,1973).
*
*
*
*
*
*
*
*
** * *
w nu
1nu
*
*
*
*
w
1nu
nu
Figura 1 – Projeção das amostras (estados) em duas diferentes direções de w, para M = 2.
Tanto o critério do discriminante de Fischer quanto a solução de Wiener são
critérioslinearesótimos.OprimeiropodeserusadoquandoseinterpretaoLTEcomo
umclassificador,osegundoquandoaequalizaçãolinearétratadacomoumproblema
de desconvolução e se deseja minimizar um erro quadrático.
w
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2.3 CRITÉIRO DE BAYES
O Critério de Bayes, também conhecido como critério MAP (Maximum a
Posteriori Probability), consiste na determinação do símbolo ak
que maximiza a
probabilidade (PROAKIS, 1996). Usando a regra de Bayes, calcula-
se a probabilidade de ter sido transmitido ak
dado que se recebeu u(n) como
( )( )naP k u|
( )( )
( )( ) ( )
( )( )np
aPanp
naP kk
k
u
u
u
|
| = (10)
sendo ( ) ( ) ( ) ( )[ ]11 +−−= Mnununun Lu . O cálculo dessa probabilidade
deve ser feito para todos os símbolos ka , Kk ,,2,1 L= , s sendo K o nú-
mero de símbolos do alfabeto. Feitos estes cálculos, decide-se pelo símbolo ka ,
Kk ,,2,1 L= , cuja probabilidade ( )( )naP k u| é maior.
O denominador da Equação (10) pode ser desconsiderado pois independe
de ak
e não influi na decisão do símbolo que maximiza a probabilidade a posteriori.
Alémdisso,seossinaistransmitidosforemequiprováveisentão
( ) ( ) ( ) KaPaPaP k /121 ==== L ,
o cálculo de ( )( ){ }naP k u|max se reduz ao cálculo de ( )( ){ }kanp |max u e o cri-
tério MAP coincide com o critério da máxima verossimilhança (ML) (PROAKIS,
1996).
Para exemplificar, vamos considerar a transmissão de sinais binários +1 e
–1 equiprováveis através de um canal com coeficientes reais que assume a forma
e um equalizador com M = 2 entradas. Assim, a cada instante de
tempo n, os possíveis vetores de entrada do equalizador podem ser obtidos pela
seguinteequação
( ) 1
10
−
+= zhhzH
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )





−
+










−
−





=





− 1
2
1
0
0
1 10
10
n
n
na
na
na
hh
hh
nu
nu
η
η
, (11
que pode ser reescrita de forma mais compacta como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn çxçHau +=+= . (12)
Generalizando, para o caso em que o vetor u(n) possui M elementos e a
interferência intersimbólica (ISI) se estende sobre N símbolos, a matriz de resposta
impulsiva H possui M linhas e M + N – 1 colunas e o número máximo de possíveis
valores de x(n) = Ha(n) é dado por Nx
= KM+N–1
sendo N o número de coeficientes
do canal H(z) e K o número de símbolos do alfabeto. Neste caso, a matriz de
Toeplitz H que descreve o canal tem a seguinte forma
(11)
(10)
100
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











=
−
−−
−
10
1210
1210
0000
00
00
N
NN
N
hh
hhhh
hhhh
LL
MMM
LL
LL
H .
Para o exemplo considerado (M = 2, N = 2, K=2), o número de possíveis valores
do vetor x(n) é Nx
= 23
= 8. Esses Nx
vetores são denominados de estados
desejados do canal. Considerando ruído branco, gaussiano, de média nula e
variância por sua vez, consiste de Nx
nuvens de
pontos (agrupamentos) cujas médias são dadas pelos Nx
possíveis valores de x(n).
Os estados desejados do canal H(z) = 0,5 + 1,0z-1
para M = 2 são mostrados na
Tabela 1.
( )nη
2
ησ , o sinal ( ) ( ) ( )nnn çxu += ,
( )na ( )1−na ( )2−na ( )nx ( )1−nx
1 1 1 1,5 1,5
1 1 -1 1,5 -0,5
-1 1 1 0,5 1,5
-1 1 -1 0,5 -0,5
1 -1 1 -0,5 0,5
1 -1 -1 -0,5 -1,5
-1 -1 1 -1,5 0,5
-1 -1 -1 -1,5 -1,5
Considerando um atraso de dτ amostras, para se fazer a detecção do sinal trans-
mitido, os estados desejados x(n), podem ser divididos em K classes dependendo
do valor de Deve-se notar que neste caso, o equalizador faz o papel de
classificador. Para o caso binário, pode-se escrever
( )dna σ− .
( ) ( ){ }1|, =−=+
dM nanX d
ττ x e (13)
( ) ( ){ }1|, −=−=−
dM nanX d
ττ x . (14)
No nosso exemplo, os símbolos são considerados equiprováveis, ou seja, cada esta-
do desejado ++
∈ dMi X τ,x ou −−
∈ dMi X τ,x tem probabilidade ip , igual a xN/1 .
Os números de estados em +
dMX τ, e −
dMX τ, são denotados respectivamente por
+
xN e −
xN , sendo −+
+= xxx NNN .
Devidoaoruídobranco,aditivo,gaussianoe de média nula,ovetorde obser-
vação u(n) é um processo aleatório que possui uma função densidade de probabili-
dade condicional gaussiana centrada em cada estado desejado x do canal, sendo que
Tabela 1 – Entrada e estados desejados do canal ( ) 1
0,15,0 −
+= zzH para 2=M .
101
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as observações do canal formam agrupamentos cujas médias são estes estados. De-
terminar o valor do símbolo transmitido baseado no vetor de observação
u(n) pode ser considerado como um problema de determinação de regiões de decisão
no espaço de estados. A teoria de decisão de Bayes proporciona a solução ótima ao
problema de decisão e pode ser aplicada na determinação da solução ótima para o
equalizador da Figura 2 (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993).
Paraoexemploconsiderado,épossívelverificarqueasoluçãoótimabayesiana
édefinidacomo
( )dna τ−
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
1, 0
ˆ sgn
1, 0,
B
d B
B
f n
a n f n
f n
τ
 ≥
− = = 
− <
u
u
u
(15)
sendo a função ()⋅Bf dada por
( )( ) ( ) ( )∑∑
−+
=
+
=
+




 −−−



 −−=
xx N
j
j
N
i
iB xnxnnf
1
2
2
1
2
2
2exp2exp ηη σσ uuu . (16)
e 2
ησ é a variância do ruído.
−−
∈ dMj X τ,x
Nesta equação, a primeira somatória é relativa à a segunda à++
∈ dMi X τ,x ,
O equalizador ótimo depende tanto da distribuição de ruído quanto dos esta-
dos desejados do canal. Multiplicando por uma constante, não há mudança
na determinação da solução ótima. Desta forma, o espaço de estados deve ser dividi-
do em duas regiões limitadas por Estas regiões correspondem às
duas decisões A função de decisão bayesiana (16) é claramente
não-linear o que faz com que um equalizador linear não seja uma solução ótima na
maioria dos casos (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993; GIBSON; COWAN;
GRANT, 1990).
Dado o sinal u(n), num caso em que o alfabeto possui K símbolos, deve-se
dividir os estados desejados em K classes, calcular a probabilidade condicional de
cada uma separadamente e decidir pela classe cuja probabilidade é maior.
Voltando novamente ao exemplo da Tabela 1, pode-se observar na Figura 5
os estados representados por * e o respectivamente. Para uma rela-
ção sinal-ruído de 15 dB, 1000 amostras de u(n), representadas por pontos, podem
ser vistas nos gráficos da Figura 2. As observações formam agrupamentos ao redor
dos estados desejados. A curva que separa o espaço de estados em duas regiões,
quando se considera atraso de 2 amostras foi calculada usando a Equa-
ção (16) e pode ser vista na Figura 2-a. Quando u(n) cai acima da curva, toma-se
( )( )nfB u
( ){ }0| =uu Bf .
( ) 1±=− dna τ .
+
1,2X e −
1,2X
( 2=dτ ),
( ) 12ˆ =−na , caso contrário faz-se ( ) 12ˆ −=−na .
Umavariaçãodoexemploanterioréquandoseconsideraatrasodeumaamos-
tra Nestas situações as regiões associadas a
+ 1 e – 1 e se alteram, como pode ser observado na Figura 2-b e c para SNR=15 dB.
( 1=dτ ) ou atraso nulo ( 0=dτ ).
102
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Quandoseutilizaumequalizadorlinear,observa-sequeháumagrandeimpor-
tância na escolha do atraso ou seja, para um certo atraso, o equalizador funciona
melhor que para outros. Isto pode ser observado nesse exemplo simples. Quando
um equalizador linear é capaz de separar as classes + 1 e – 1 facilmente,
embora não seja a solução ótima. Já com a solução obtida pelo LTE se afas-
ta ainda mais da ótima e finalmente com uma única reta não é capaz de
separar as classes e conseqüentemente de solucionar o problema de equalização.
dτ ,
2=dτ ,
1=dτ ,
0=dτ ,
Figura 2 –Estadosdesejados,agrupamentosecurvaótimadeseparaçãodasregiõesdedecisãosegundoBayespara
2.4 CRITÉRIODAMÁXIMAVEROSSIMILHANÇA
Forney demonstrou que o equalizador ótimo é formado por um filtro casado
branqueador, seguido do algoritmo de Viterbi (FORNEY, 1975). Este equalizador é
não-linear e busca a seqüência de máxima verossimilhança. No Esquema 2 é mostra-
do um esquema de tal equalizador. O fato de se usar o filtro casado e de se estimar a
( ) 1
0,15,0 −
+= zzH , 2=M , SNR=15 dB, 1000 amostras de u(n) e a) 2=dτ , b) 1=dτ , c) 0=dτ .
103
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Canal
)(zH
nu
n
na
Seqüência
transmitida
Sinal
recebido
Filtro casado
branqueador
1
zW
Algoritmo
de Viterbi
naˆ
Estimativa da
seqüência
transmitida
nsny
Esquema 2 – Esquema do equalizador ótimo segundo Forney.
Segundo Forney, esta solução é ótima no sentido de garantir a menor taxa de erros. O
usodofiltrobranqueadorestáligadoaofuncionamentodoalgoritmodeViterbi,poiso
ruído da seqüência de entrada desse algoritmo deve ser não-correlacionado.
Ungerboeck (1974) propôs uma modificação no algoritmo de Viterbi, permitindo o
uso apenas de um filtro casado com o canal. No projeto desses equalizadores ótimos,
no entanto, o conhecimento do canal se faz necessário. Em (MAGEE Jr.; PROAKIS,
1973), foi utilizado um algoritmo adaptativo para estimação do canal e se observou
que o resultado da equalização se afastava um pouco do ótimo.
Supondo que a função de transferência do canal seja conhecida, pode-se
projetarofiltrocasadobranqueadorcomoexplicadonasreferências(FORNEY,1972;
SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2001). Uma vez projetado este filtro deve-se partir
para a implementação do algoritmo de Viterbi que é discutido a seguir.
OalgoritmodeViterbi(AV)foiinicialmentepropostocomoumasoluçãopara
decodificação de códigos convolucionais por A. J. Viterbi (1967). Posteriormente,
Omura (1969) e Forney (1974) mostraram que este algoritmo pode ser considerado
como um decodificador de máxima verossimilhança. O AV é freqüentemente visto
como um algoritmo que minimiza a probabilidade de erro através da comparação de
um conjunto de verossimilhanças de possíveis estados de transição que podem ocor-
rer e decide qual deles possui a maior probabilidade de ocorrência. No Diagrama 3 é
mostradaumapossívelimplementaçãodoalgoritmodeViterbiconsiderandoumcanal
de três coeficientes (FIGUEIRAS-VIDAL, 1996). Cada amostra do sinal s(n) é
comparada com as possíveis amostras de saída do filtro casado branqueador sem
ruído A partir dessa comparação, calcula-se a probabilidade
deocorrênciadecadasímbolopossível,considerandoaqueledemaiorprobabilidade.
Arealimentaçãoexistentenaimplementaçãodestealgoritmolevaemcontaasproba-
bilidades dos estados de amostras anteriores para buscar a seqüência de máxima ve-
rossimilhança. A função depende da distribuição do ruído Neste caso,
considerando o ruído branco e gaussiano, a função é uma gaussiana com média
zero e variância igual à do ruído.
( oo
ss 111000 ,, L ).
()⋅nf ( )nη .
()⋅nf
seqüência (de símbolos) de máxima verossimilhança, faz com que este equalizador
ótimodifiradocritériodeBayes(MAP),mesmoquandoossímbolossãoequiprováveis.
104
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Pós-Graduação
em Engenharia
Elétrica
MACKENZIE
Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003.
nu
o
n ssf 000ln
o
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ns
naˆ
Min
Min
Min
Min
Min
Min
1
z
FILTRO CASADO
BRANQUEADOR
)(nw
Diagrama 3 – Implementação do equalizador ótimo segundo Forney para um canal com três coeficientes
e transmissão binária.
AimplementaçãodoalgoritmodeViterbidoDiagrama3nãoéamaiseficien-
te. Uma implementação mais eficiente do AV pode ser encontrada em (FORNEY
Jr.,1973).
No caso de constelações complexas, é fácil estender o esquema do Diagrama
3. Para 4-QAM, por exemplo, o alfabeto é formado por quatro símbolos:
Considerando um canal com 3 coeficientes há 43
estados possíveis, que devem ser
comparados com um símbolo de saída do filtro casado branqueador. Num primeiro
estágio, sobram 16 estados e num segundo 4, dos quais apenas 1 é escolhido por ter
a máxima probabilidade de ocorrência. Considerando um canal com mais coeficien-
tes, existirão mais estágios até que sobre um único símbolo de maior probabilidade.
No caso de outras constelações, o número de estados possíveis muda e o penúltimo
estágio sempre corresponde ao tamanho do alfabeto.
Uma limitação no uso deste equalizador ótimo na prática é a complexidade
computacionaldoalgoritmodeViterbiquecresceexponencialmentecomonúmerode
coeficientesdocanal.
3 CONCLUSÕES
Comparando os critérios ótimos para equalização apresentados na Seção 2,
percebe-se uma limitação fundamental do equalizador linear transversal (LTE). De-
pendendo do canal, este equalizador poderá estar muito longe do ótimo segundo o
critériodeBayesoudoótimosegundoocritériodamáximaverossimilhança.Poreste
motivo, surgiram variações do mesmo, como oDecision Feedback Equalizer (DFE)
{ }jjjj −+−++−−− 1,1,1,1 .
105
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Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003.
quepodeproporcionarmelhorassignificativasnosresultadosdaequalização(GERSHO;
LIM, 1981; QUERESHI, 1985). O DFE nada mais é do que um LTE em que são
também utilizadas decisões passadas. Isso faz com este tipo de sistema tenha uma
estrutura onde a não-linearidade do decisor está posicionada em uma malha de reali-
mentaçãoconstituindo-seemumsistemanão-linear.
Diante disso, surgiram vários estudos na direção de se obter um equalizador
intermediário entre o ótimo e o LTE. Várias estruturas não-lineares têm sido estuda-
das, como as baseadas em séries de Volterra (BORYS, 2001) e as que utilizam redes
neurais (DESTRO FILHO, 1998; SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2000; SILVA,
2001). As redes neurais, apesar de serem computacionalmente complexas, apresen-
tamvantagenssobreoutrasestruturasnão-linearesdevidoaoseualtograudeparalelismo
oqueastornamatraentesparaimplementaçãoemcircuitosintegrados(BOUCHIRED;
ROVIRAS; CASTANI, 1999). Em geral, estas estruturas são adaptadas de forma
supervisionada. Isto ocorre pois há muitos aspectos importantes da equalização auto-
didataqueaindanecessitamdeestudosmaisaprofundadosantesquesepossaesperar
aplicarefetivamenteestastécnicasaestruturasnão-lineares.
Por outro lado, não se deve esquecer que a grande vantagem do LTE / DFE é
asuasimplicidadequepermiteodesenvolvimentodealgoritmosdebaixacomplexida-
de para a adaptação em tempo real dos coeficientes. A variação dos parâmetros do
canalcomotempoouautilizaçãodeummesmodispositivoequalizadorcomdiferen-
tes canais leva a necessidade de se ajustar os coeficientes do equalizador de forma
automática. Neste contexto, o desenvolvimento de equalizadores ótimos segundo os
critérios de Bayes ou de máxima verossimilhança que sejam menos complexos é um
problema de interesse. Da mesma forma, também o desenvolvimento de algoritmos
eficientes de ajuste ou treinamento para estes equalizadores é um problema que tem a
suaimportância.
Demodogeral,emsituaçõesemqueumaestruturanão-linearsimplescomoo
DFE não funciona bem, se faz necessário utilizar uma estrutura não-linear mais com-
plexa. Nessas situações, uma rede neural por exemplo pode apresentar um desempe-
nho mais interessante. Neste contexto, um equalizador híbrido composto de uma es-
trutura linear e uma não-linear pode ser uma solução de grande interesse (SILVA,
2001; SILVA; GERKEN, 2002).
On optimal equalization of communication channels
ABSTRACT
In this paper optimal criteria for equalization of communication
channelsareconsidered.Throughcomparisons,itispossibletoverify
alimitationontheLinearTransversalEqualizer,whichisthe most
106
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em Engenharia
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Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003.
used structure in practical situations. Several times, this equalizer
presents a sub-optimal performance since the optimal solution is
non-linear.
Keywords:Optimalfilter.Non-linearequalization.
REFERÊNCIAS
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and nonlinear echo cancellation. New York: CRC Press, 2001.
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DESTRO FILHO, J. B. Egalisation aveugle de canaux de communication à
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GERSHO, A.; LIM, T. L. Adaptive cancellation of Intersymbol Interference for data
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HAYKIN, S. Adaptive filter theory. 3rd ed. New Jersey: Prentice Hall, 1996.
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107
Cadernos de
Pós-Graduação
em Engenharia
Elétrica
MACKENZIE
Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003.
MAGEE Jr., F. R.; PROAKIS, J. G. Adaptive maximum-likelihood sequence
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QUERESHI, S. H. Adaptive equalization. Proceedings of the IEEE, New Jersey,
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UNGERBOECK,G.Adaptivemaximum-likelihoodreceiverforcarrier-modulated
data-transmission systems. IEEE Transactions on Communications, (COM 22),
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VITERBI,A.J.Errorboundsforconvolutionalcodesandasymptoticallyoptimum
decoding algorithm. IEEE Transactions on Information Theory, New Jersey, p.
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WIDROW, B.; STEARNS, S. D. Adaptive signal processing. New Jersey:
Prentice-Hall, Inc., 1985.

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  • 1. 93 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. Equalização ótima de canais de comunicação Magno T. M. Silva Aluno do Curso de Doutorado da Universidade de São Paulo Maria D. Miranda Professora do Programa de Engenharia Elétrica da Universidade Presbiteriana Mackenzie RESUMO Neste trabalho são abordados critérios ótimos para equalização de canais de comunicação. Através da comparação destes critérios é possívelverificarumalimitaçãonoequalizadorlineartransversalque corresponde à estrutura mais utilizada na prática. Este equalizador podeficarbastantelongedoótimopostoquena maioriadasvezes a solução ótima é não-linear. Palavras-chave:Filtrosótimos.Equalizaçãonãolinear. 1 INTRODUÇÃO Nossistemasatuaisdecomunicaçãodigitalpararecuperarosinaldeteriorado pelasimperfeiçõesdomeiodetransmissão,éusualincluirnoreceptorumequalizador adaptativo. O modelo simplificado de um sistema de comunicação de tempo discreto é ilustrado no Diagrama 1 (HAYKIN, 1996). Considera-se que uma seqüência de símbolos a(n) étransmitidaatravésdeumcanalquefornecenasuasaídaumaversão distorcidadaseqüênciadesímbolostransmitidos.O sinal recebido consiste de duas parcelas: o sinal de saída do canal x(n) e o ruído Este sinal éaplicadoaoequalizadorquedevefornecerumaestimativadaseqüênciadesímbolos originalmente transmitida. O bloco “canal” do Diagrama 1 representa não só o canal físicodetransmissãomastambémosistemadetransmissão/modulaçãoeosistemade recepção/demodulaçãoefetivamentepresentesemqualquersistemadecomunicação prático. Assim, denomina-se aqui como canal um modelo de tempo discreto para o sistema de transmissão, o canal físico e o sistema de recepção. ( ) ( ) ( )nnxnu η+= ( )nη .
  • 2. 94 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. Diagrama 1 – Modelo de um sistema de comunicação de tempo discreto. Canal na nx n naˆnu Equalizador Adaptativo Decisor ny Namaioriadasaplicaçõesasdistorçõesintroduzidasporumcanalsãosufici- entemente bem modeladas por um modelo linear descrito por uma resposta ao pulso unitário finita, caso em que a função de transferência é modelada por ( ) ∑ − = − = 1 0 , N k k nk zhnz,H sendo N o comprimento da resposta ao pulso unitário do canal e hk,n os coeficientes que caracterizam o mesmo no instante de tempo n. Supondo um modelo deste tipo, existem os seguintes aspectos que devem ser considerados em um problema de equalização: ¨ A interferência intersimbólica (ISI) causada pelo efeito dispersivo do canal. No modelo linear apresentado, é o resultado da convolução do sinal transmitido pelo canal com a sua resposta ao pulso unitário. Este efeito dispersivo é devido aos diferentes atrasos na propagação do sinal, fala-se de um efeito multipercurso. Em comunicações sem fio, o sinal pode ser recebido por um percurso direto entre as antenas de transmissão e recepção e também por reflexões de outros objetos, como morros, prédios etc. Neste caso, o canal de transmissão pode ser represen- tado por vários canais em paralelo, gerando uma variação do modelo anterior; ¨ Apresençaderuídointrínsecoatodosistemadetransmissãoqueafetaodesempe- nhodoequalizador; ¨ O tipo de modelo resultante para o canal. Por exemplo, muitas vezes obtém-se do processo de modelamento canais de fase não-mínima e/ou canais não-lineares, o que dificulta a equalização. Além disso, os canais são muitas vezes variantes no tempo, como é o caso de canais com desvanecimento (fading). Um outro aspecto bastante importante se refere à adaptação do equalizador quepodeserfeitadeformasupervisionadaouautodidata.Tipicamente,equalizadores adaptativos supervisionados usados em sistemas de comunicação digital incluem um períododetreinamento,durante oqualuma seqüência de símbolosconhecida previa- mente pelo receptor é transmitida. Nesta fase, o transmissor e o receptor devem estar sincronizados. Além disso, os parâmetros do equalizador são ajustados de acordo com a estrutura e o algoritmo empregado no projeto. Quando o treinamento termina, o equalizador vai para o modo de decisão direta e a transmissão da seqüência de símbolos pode então começar. Entretanto, em situações práticas, é desejável que o receptorconsigafazeraadaptaçãocompletasemaajudadotransmissor.Emcomuni- cações sem fio, por exemplo, isso proporciona um uso mais apropriado da banda de transmissão (LI; LIU, 1998). Neste caso a equalização é conhecida como cega, não- ,
  • 3. 95 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. supervisionadaouautodidata.Dentreosalgoritmosdeequalizaçãoautodidata,sedes- tacam os algoritmos de Bussgang que estão associados à minimização estocástica de uma função custo que depende do sinal de saída do equalizador e de estatísticas do sinal transmitido.Aequalizaçãoadaptativaé ilustrada noEsquema 1.Neste esquema H(z) representa a transformada-Z da resposta ao pulso unitário finita (FIR) do canal e h o ruído branco gaussiano. O problema a ser considerado é usar no instante n a informação das amostras u(u), u(n – 1), ..., u(n – M + 1), que podem ser agrupadas no vetor u(n) = [u(n) u(n _ 1) . . . u(n _ M + 1)]T , para estimar o símbolo transmitido a(n – td ) sendo td o atraso em número de amostras e M o número de entradas do equalizador. A atualização dos parâmetros do equalizadorsefazatravésdosinaldeerroe(n)queécalculadoapartirdacomparação do símbolo a(n – td ) com o sinal de saída do equalizador y(n) no caso supervi- sionado e a partir de uma função não-linear no caso autodidata. 1 z . . 1 z ne na n nu 1Mnu EQUALIZADOR zH dnaˆ DECISOR 2Mnu ny Eq. Supervisionada d z Eq. Autodidata Estatísticas de na Cálculo do erro Esquema 1 – A equalização adaptativa. 2 CRITÉRIOSÓTIMOSDEEQUALIZAÇÃO Considerando inicialmente um canal fixo, não variante no tempo, podem-se utilizar diferentes critérios para obter equalizadores ótimos (FIGUEIRAS-VIDAL, 1996): i) Critérios baseados na solução de Wiener; ii) CritériodeBayesparaminimizaçãodaprobabilidadedeerrodossímbolosrecebi- dos; iii) Critériosorigináriosdateoriadainformaçãocomoodamáximaverossimilhançae damáximaentropia.
  • 4. 96 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. Os critérios do tipo (i) levam a soluções para o equalizador que consistem de um filtro transversal linear (LTE – Linear Transversal Equalizer) seguido de um ele- mentonão-lineardedecisão.Considerandooproblemadeequalizaçãocomoumpro- blema de classificação das diferentes saídas do canal, isto é, de diferentes estados, observa-se que este tipo de solução é linear, pois consiste na divisão do espaço de estados por um hiperplano (HAYKIN, 1996). O critério (ii), conhecido como critério MAP (Maximum a Posteriori Probability), é não-linear no sentido em que divide o espaço de estados do canal de forma ótima por uma hipersuperfície que não é um simples hiperplano como no caso do LTE (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993; PROAKIS, 1996). Em relação ao critério da máxima verossimilhança que pertence ao conjunto de critérios (iii), Forney (1972) demonstrou que o equalizador ótimo é formado por umfiltrocasadocomocanaldetransmissãoseguidodoalgoritmodeViterbi(FORNEY, 1983;VITERBI,1967).Esteequalizadorénão-linearebuscaaseqüênciademáxima verossimilhança. Aseguirestescritériossãodescritoscommaisdetalhes. 2.1 SOLUÇÃODEWIENER O Diagrama 2 apresenta o diagrama simplificado de um sistema adaptativo. Na ausência de ruído, o sinal de saída y(n) pode ser representado como uma combi- nação linear entre a seqüência discreta de entrada x(n) e os coeficientes deste siste- ma, ou seja ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ − = − −=+−++−+= 1 0 110 11 M i iM winxwMnxwnxwnxny L (1) y nx n Filtro Adaptativo e n d n + Diagrama 2 – Diagrama simplificado de um sistema Adaptativo. Considere x(n) = [x(n) x(n – 1) ... x(n – M + 1)] T o vetor de entradas, w = [w0 w1 ... wM–1 ]T o vetor dos parâmetros do filtro e [.]T o transposto do vetor. Observe que x(n) e w são vetores coluna de dimensão M. Usando notação vetorial a saída do sistema da Figura 3 pode ser expressa como
  • 5. 97 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. ( ) ( ) ( )T T y n n n= =x w w x . (2) O erro entre a saída do sistema e a resposta desejada pode ser expresso como ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T e n d n y n d n n d n n= = − = −x w w x . (3) O vetor de coeficientes do filtro deve ser ajustado para que a saída y(n) se aproxime aomáximodarespostadesejada d(n).Umcritérioéconsideraraminimizaçãodoerro quadrático médio em relação ao vetor de parâmetros. Considere E [. ] a operação de esperançamatemática.Ovetordecoeficientesótimoséaquelequeminimizaaseguin- tefunção 2 E[ ( )]e nξ = . (4) E[ ( ) ( )]T n n=R x x (5) considere a matriz de autocorrelação das entradas do sistema e E[ ( ) ( )]d n n=p x (6) o vetor coluna de correlação cruzada entre a resposta desejada e a seqüência de entrada. Substituindo a expressão (3) em (4) resulta 2 2 E[ ( )] E[ ( )] 2T T e n d nξ = = + −w Rw p w . (7) O vetor gradiente da função custo em relação ao vetor de parâmetros w é 2 2∇ = −Rw p (8) O vetor de coeficientes ótimos, aqui denotado como w* , é aquele que anula o vetor gradiente, ou seja * 2 2− =Rw p 0 . Assumindo que a matriz de autocorrelação é não-singular, o vetor de coeficientes que minimiza a função custo pode ser calculado como 1− =* w R p . (9) Esta equação é chamada de Equação de Weiner-Hopf e o vetor de coeficientes óti- mos w* de vetor de Weiner (WIDROW; STEARNS, 1985). Observe que a solução ótima depende da correlação dos dados da entrada e de uma resposta desejada. AimplementaçãodasoluçãodiretadeWienerémuitasvezesinviávelnaprá- tica. O que se usa são algoritmos de busca do gradiente como, por exemplo, o LMS (Least Mean Squares) e o RLS (Recursive Least Squares). Estes algoritmos conver- gemparapróximodasoluçãodeWienerdeformaiterativaepermitemimplementação em tempo real em um equalizador linear transversal (HAYKIN, 1996).
  • 6. 98 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. 2.2 EQUALIZAÇÃO LINEAR E CLASSIFICAÇÃO Aequalizaçãodecanaisdecomunicaçãopodeserconsideradacomoumpro- blema de desconvolução, e o equalizador é projetado para que a combinação da sua resposta ao pulso unitário com a do canal esteja o mais próximo possível de um sim- ples atraso. No entanto, essa aproximação se torna bastante complicada quando há não-linearidades no canal. Por outro lado, a equalização pode ser encarada como um problema de classificação, e o equalizador é projetado como um dispositivo de deci- são a fim de reconstruir a seqüência de símbolos transmitida de forma mais precisa possível (GIBSON; COWAN; GRANT, 1990). Um equalizador linear clássico faz o cálculo de uma projeção linear y(n) = uT (n)w,sendowovetor de coeficientesdoequalizador.Nestecaso,procura-se a melhor projeção das amostras de u(n) na direção de w. No sentido de classificação, istocorrespondeaencontrarodiscriminantelineardeFisherw(DUDA;HART,1973; MONTALVÃO FILHO; DORISSI; MOTA, 1999). A Figura 1 ilustra duas possíveis direções de w. Nesta figura, o vetor da esquerda é claramente melhor que o outro (MONTALVÃO FILHO; DORISSI; MOTA, 1999). Neste caso, o filtro linear e o decisorconstituemumdispositivodeclassificaçãoquetentafazerumaseparaçãoline- ar entre as classes correspondentes aos níveis +1 (*) ou –1 (o). Encontrar o discriminante linear de Fischer é um critério ótimo no sentido de se obter o vetor de coeficientes que satisfaz w = S–1 (m1 – m2 ) sendo Sw a matriz de dispersão intra-classes e m1 e m2 os centros de massa de cada classe (DUDA; HART, 1973).Nestecaso,considerou-seaexistênciaapenasdeduasclasses.Asdefiniçõesda matriz Sw edosvetores m1 e m2 ,bemcomoageneralizaçãodessecritérioparamais deduasclassespodemserencontradasnareferência(DUDA;HART,1973). * * * * * * * * ** * * w nu 1nu * * * * w 1nu nu Figura 1 – Projeção das amostras (estados) em duas diferentes direções de w, para M = 2. Tanto o critério do discriminante de Fischer quanto a solução de Wiener são critérioslinearesótimos.OprimeiropodeserusadoquandoseinterpretaoLTEcomo umclassificador,osegundoquandoaequalizaçãolinearétratadacomoumproblema de desconvolução e se deseja minimizar um erro quadrático. w
  • 7. 99 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. 2.3 CRITÉIRO DE BAYES O Critério de Bayes, também conhecido como critério MAP (Maximum a Posteriori Probability), consiste na determinação do símbolo ak que maximiza a probabilidade (PROAKIS, 1996). Usando a regra de Bayes, calcula- se a probabilidade de ter sido transmitido ak dado que se recebeu u(n) como ( )( )naP k u| ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )np aPanp naP kk k u u u | | = (10) sendo ( ) ( ) ( ) ( )[ ]11 +−−= Mnununun Lu . O cálculo dessa probabilidade deve ser feito para todos os símbolos ka , Kk ,,2,1 L= , s sendo K o nú- mero de símbolos do alfabeto. Feitos estes cálculos, decide-se pelo símbolo ka , Kk ,,2,1 L= , cuja probabilidade ( )( )naP k u| é maior. O denominador da Equação (10) pode ser desconsiderado pois independe de ak e não influi na decisão do símbolo que maximiza a probabilidade a posteriori. Alémdisso,seossinaistransmitidosforemequiprováveisentão ( ) ( ) ( ) KaPaPaP k /121 ==== L , o cálculo de ( )( ){ }naP k u|max se reduz ao cálculo de ( )( ){ }kanp |max u e o cri- tério MAP coincide com o critério da máxima verossimilhança (ML) (PROAKIS, 1996). Para exemplificar, vamos considerar a transmissão de sinais binários +1 e –1 equiprováveis através de um canal com coeficientes reais que assume a forma e um equalizador com M = 2 entradas. Assim, a cada instante de tempo n, os possíveis vetores de entrada do equalizador podem ser obtidos pela seguinteequação ( ) 1 10 − += zhhzH ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      − +           − −      =      − 1 2 1 0 0 1 10 10 n n na na na hh hh nu nu η η , (11 que pode ser reescrita de forma mais compacta como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn çxçHau +=+= . (12) Generalizando, para o caso em que o vetor u(n) possui M elementos e a interferência intersimbólica (ISI) se estende sobre N símbolos, a matriz de resposta impulsiva H possui M linhas e M + N – 1 colunas e o número máximo de possíveis valores de x(n) = Ha(n) é dado por Nx = KM+N–1 sendo N o número de coeficientes do canal H(z) e K o número de símbolos do alfabeto. Neste caso, a matriz de Toeplitz H que descreve o canal tem a seguinte forma (11) (10)
  • 8. 100 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003.             = − −− − 10 1210 1210 0000 00 00 N NN N hh hhhh hhhh LL MMM LL LL H . Para o exemplo considerado (M = 2, N = 2, K=2), o número de possíveis valores do vetor x(n) é Nx = 23 = 8. Esses Nx vetores são denominados de estados desejados do canal. Considerando ruído branco, gaussiano, de média nula e variância por sua vez, consiste de Nx nuvens de pontos (agrupamentos) cujas médias são dadas pelos Nx possíveis valores de x(n). Os estados desejados do canal H(z) = 0,5 + 1,0z-1 para M = 2 são mostrados na Tabela 1. ( )nη 2 ησ , o sinal ( ) ( ) ( )nnn çxu += , ( )na ( )1−na ( )2−na ( )nx ( )1−nx 1 1 1 1,5 1,5 1 1 -1 1,5 -0,5 -1 1 1 0,5 1,5 -1 1 -1 0,5 -0,5 1 -1 1 -0,5 0,5 1 -1 -1 -0,5 -1,5 -1 -1 1 -1,5 0,5 -1 -1 -1 -1,5 -1,5 Considerando um atraso de dτ amostras, para se fazer a detecção do sinal trans- mitido, os estados desejados x(n), podem ser divididos em K classes dependendo do valor de Deve-se notar que neste caso, o equalizador faz o papel de classificador. Para o caso binário, pode-se escrever ( )dna σ− . ( ) ( ){ }1|, =−=+ dM nanX d ττ x e (13) ( ) ( ){ }1|, −=−=− dM nanX d ττ x . (14) No nosso exemplo, os símbolos são considerados equiprováveis, ou seja, cada esta- do desejado ++ ∈ dMi X τ,x ou −− ∈ dMi X τ,x tem probabilidade ip , igual a xN/1 . Os números de estados em + dMX τ, e − dMX τ, são denotados respectivamente por + xN e − xN , sendo −+ += xxx NNN . Devidoaoruídobranco,aditivo,gaussianoe de média nula,ovetorde obser- vação u(n) é um processo aleatório que possui uma função densidade de probabili- dade condicional gaussiana centrada em cada estado desejado x do canal, sendo que Tabela 1 – Entrada e estados desejados do canal ( ) 1 0,15,0 − += zzH para 2=M .
  • 9. 101 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. as observações do canal formam agrupamentos cujas médias são estes estados. De- terminar o valor do símbolo transmitido baseado no vetor de observação u(n) pode ser considerado como um problema de determinação de regiões de decisão no espaço de estados. A teoria de decisão de Bayes proporciona a solução ótima ao problema de decisão e pode ser aplicada na determinação da solução ótima para o equalizador da Figura 2 (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993). Paraoexemploconsiderado,épossívelverificarqueasoluçãoótimabayesiana édefinidacomo ( )dna τ− ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 1, 0 ˆ sgn 1, 0, B d B B f n a n f n f n τ  ≥ − = =  − < u u u (15) sendo a função ()⋅Bf dada por ( )( ) ( ) ( )∑∑ −+ = + = +      −−−     −−= xx N j j N i iB xnxnnf 1 2 2 1 2 2 2exp2exp ηη σσ uuu . (16) e 2 ησ é a variância do ruído. −− ∈ dMj X τ,x Nesta equação, a primeira somatória é relativa à a segunda à++ ∈ dMi X τ,x , O equalizador ótimo depende tanto da distribuição de ruído quanto dos esta- dos desejados do canal. Multiplicando por uma constante, não há mudança na determinação da solução ótima. Desta forma, o espaço de estados deve ser dividi- do em duas regiões limitadas por Estas regiões correspondem às duas decisões A função de decisão bayesiana (16) é claramente não-linear o que faz com que um equalizador linear não seja uma solução ótima na maioria dos casos (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993; GIBSON; COWAN; GRANT, 1990). Dado o sinal u(n), num caso em que o alfabeto possui K símbolos, deve-se dividir os estados desejados em K classes, calcular a probabilidade condicional de cada uma separadamente e decidir pela classe cuja probabilidade é maior. Voltando novamente ao exemplo da Tabela 1, pode-se observar na Figura 5 os estados representados por * e o respectivamente. Para uma rela- ção sinal-ruído de 15 dB, 1000 amostras de u(n), representadas por pontos, podem ser vistas nos gráficos da Figura 2. As observações formam agrupamentos ao redor dos estados desejados. A curva que separa o espaço de estados em duas regiões, quando se considera atraso de 2 amostras foi calculada usando a Equa- ção (16) e pode ser vista na Figura 2-a. Quando u(n) cai acima da curva, toma-se ( )( )nfB u ( ){ }0| =uu Bf . ( ) 1±=− dna τ . + 1,2X e − 1,2X ( 2=dτ ), ( ) 12ˆ =−na , caso contrário faz-se ( ) 12ˆ −=−na . Umavariaçãodoexemploanterioréquandoseconsideraatrasodeumaamos- tra Nestas situações as regiões associadas a + 1 e – 1 e se alteram, como pode ser observado na Figura 2-b e c para SNR=15 dB. ( 1=dτ ) ou atraso nulo ( 0=dτ ).
  • 10. 102 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. Quandoseutilizaumequalizadorlinear,observa-sequeháumagrandeimpor- tância na escolha do atraso ou seja, para um certo atraso, o equalizador funciona melhor que para outros. Isto pode ser observado nesse exemplo simples. Quando um equalizador linear é capaz de separar as classes + 1 e – 1 facilmente, embora não seja a solução ótima. Já com a solução obtida pelo LTE se afas- ta ainda mais da ótima e finalmente com uma única reta não é capaz de separar as classes e conseqüentemente de solucionar o problema de equalização. dτ , 2=dτ , 1=dτ , 0=dτ , Figura 2 –Estadosdesejados,agrupamentosecurvaótimadeseparaçãodasregiõesdedecisãosegundoBayespara 2.4 CRITÉRIODAMÁXIMAVEROSSIMILHANÇA Forney demonstrou que o equalizador ótimo é formado por um filtro casado branqueador, seguido do algoritmo de Viterbi (FORNEY, 1975). Este equalizador é não-linear e busca a seqüência de máxima verossimilhança. No Esquema 2 é mostra- do um esquema de tal equalizador. O fato de se usar o filtro casado e de se estimar a ( ) 1 0,15,0 − += zzH , 2=M , SNR=15 dB, 1000 amostras de u(n) e a) 2=dτ , b) 1=dτ , c) 0=dτ .
  • 11. 103 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. Canal )(zH nu n na Seqüência transmitida Sinal recebido Filtro casado branqueador 1 zW Algoritmo de Viterbi naˆ Estimativa da seqüência transmitida nsny Esquema 2 – Esquema do equalizador ótimo segundo Forney. Segundo Forney, esta solução é ótima no sentido de garantir a menor taxa de erros. O usodofiltrobranqueadorestáligadoaofuncionamentodoalgoritmodeViterbi,poiso ruído da seqüência de entrada desse algoritmo deve ser não-correlacionado. Ungerboeck (1974) propôs uma modificação no algoritmo de Viterbi, permitindo o uso apenas de um filtro casado com o canal. No projeto desses equalizadores ótimos, no entanto, o conhecimento do canal se faz necessário. Em (MAGEE Jr.; PROAKIS, 1973), foi utilizado um algoritmo adaptativo para estimação do canal e se observou que o resultado da equalização se afastava um pouco do ótimo. Supondo que a função de transferência do canal seja conhecida, pode-se projetarofiltrocasadobranqueadorcomoexplicadonasreferências(FORNEY,1972; SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2001). Uma vez projetado este filtro deve-se partir para a implementação do algoritmo de Viterbi que é discutido a seguir. OalgoritmodeViterbi(AV)foiinicialmentepropostocomoumasoluçãopara decodificação de códigos convolucionais por A. J. Viterbi (1967). Posteriormente, Omura (1969) e Forney (1974) mostraram que este algoritmo pode ser considerado como um decodificador de máxima verossimilhança. O AV é freqüentemente visto como um algoritmo que minimiza a probabilidade de erro através da comparação de um conjunto de verossimilhanças de possíveis estados de transição que podem ocor- rer e decide qual deles possui a maior probabilidade de ocorrência. No Diagrama 3 é mostradaumapossívelimplementaçãodoalgoritmodeViterbiconsiderandoumcanal de três coeficientes (FIGUEIRAS-VIDAL, 1996). Cada amostra do sinal s(n) é comparada com as possíveis amostras de saída do filtro casado branqueador sem ruído A partir dessa comparação, calcula-se a probabilidade deocorrênciadecadasímbolopossível,considerandoaqueledemaiorprobabilidade. Arealimentaçãoexistentenaimplementaçãodestealgoritmolevaemcontaasproba- bilidades dos estados de amostras anteriores para buscar a seqüência de máxima ve- rossimilhança. A função depende da distribuição do ruído Neste caso, considerando o ruído branco e gaussiano, a função é uma gaussiana com média zero e variância igual à do ruído. ( oo ss 111000 ,, L ). ()⋅nf ( )nη . ()⋅nf seqüência (de símbolos) de máxima verossimilhança, faz com que este equalizador ótimodifiradocritériodeBayes(MAP),mesmoquandoossímbolossãoequiprováveis.
  • 12. 104 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. nu o n ssf 000ln o n ssf 111ln ns naˆ Min Min Min Min Min Min 1 z FILTRO CASADO BRANQUEADOR )(nw Diagrama 3 – Implementação do equalizador ótimo segundo Forney para um canal com três coeficientes e transmissão binária. AimplementaçãodoalgoritmodeViterbidoDiagrama3nãoéamaiseficien- te. Uma implementação mais eficiente do AV pode ser encontrada em (FORNEY Jr.,1973). No caso de constelações complexas, é fácil estender o esquema do Diagrama 3. Para 4-QAM, por exemplo, o alfabeto é formado por quatro símbolos: Considerando um canal com 3 coeficientes há 43 estados possíveis, que devem ser comparados com um símbolo de saída do filtro casado branqueador. Num primeiro estágio, sobram 16 estados e num segundo 4, dos quais apenas 1 é escolhido por ter a máxima probabilidade de ocorrência. Considerando um canal com mais coeficien- tes, existirão mais estágios até que sobre um único símbolo de maior probabilidade. No caso de outras constelações, o número de estados possíveis muda e o penúltimo estágio sempre corresponde ao tamanho do alfabeto. Uma limitação no uso deste equalizador ótimo na prática é a complexidade computacionaldoalgoritmodeViterbiquecresceexponencialmentecomonúmerode coeficientesdocanal. 3 CONCLUSÕES Comparando os critérios ótimos para equalização apresentados na Seção 2, percebe-se uma limitação fundamental do equalizador linear transversal (LTE). De- pendendo do canal, este equalizador poderá estar muito longe do ótimo segundo o critériodeBayesoudoótimosegundoocritériodamáximaverossimilhança.Poreste motivo, surgiram variações do mesmo, como oDecision Feedback Equalizer (DFE) { }jjjj −+−++−−− 1,1,1,1 .
  • 13. 105 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. quepodeproporcionarmelhorassignificativasnosresultadosdaequalização(GERSHO; LIM, 1981; QUERESHI, 1985). O DFE nada mais é do que um LTE em que são também utilizadas decisões passadas. Isso faz com este tipo de sistema tenha uma estrutura onde a não-linearidade do decisor está posicionada em uma malha de reali- mentaçãoconstituindo-seemumsistemanão-linear. Diante disso, surgiram vários estudos na direção de se obter um equalizador intermediário entre o ótimo e o LTE. Várias estruturas não-lineares têm sido estuda- das, como as baseadas em séries de Volterra (BORYS, 2001) e as que utilizam redes neurais (DESTRO FILHO, 1998; SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2000; SILVA, 2001). As redes neurais, apesar de serem computacionalmente complexas, apresen- tamvantagenssobreoutrasestruturasnão-linearesdevidoaoseualtograudeparalelismo oqueastornamatraentesparaimplementaçãoemcircuitosintegrados(BOUCHIRED; ROVIRAS; CASTANI, 1999). Em geral, estas estruturas são adaptadas de forma supervisionada. Isto ocorre pois há muitos aspectos importantes da equalização auto- didataqueaindanecessitamdeestudosmaisaprofundadosantesquesepossaesperar aplicarefetivamenteestastécnicasaestruturasnão-lineares. Por outro lado, não se deve esquecer que a grande vantagem do LTE / DFE é asuasimplicidadequepermiteodesenvolvimentodealgoritmosdebaixacomplexida- de para a adaptação em tempo real dos coeficientes. A variação dos parâmetros do canalcomotempoouautilizaçãodeummesmodispositivoequalizadorcomdiferen- tes canais leva a necessidade de se ajustar os coeficientes do equalizador de forma automática. Neste contexto, o desenvolvimento de equalizadores ótimos segundo os critérios de Bayes ou de máxima verossimilhança que sejam menos complexos é um problema de interesse. Da mesma forma, também o desenvolvimento de algoritmos eficientes de ajuste ou treinamento para estes equalizadores é um problema que tem a suaimportância. Demodogeral,emsituaçõesemqueumaestruturanão-linearsimplescomoo DFE não funciona bem, se faz necessário utilizar uma estrutura não-linear mais com- plexa. Nessas situações, uma rede neural por exemplo pode apresentar um desempe- nho mais interessante. Neste contexto, um equalizador híbrido composto de uma es- trutura linear e uma não-linear pode ser uma solução de grande interesse (SILVA, 2001; SILVA; GERKEN, 2002). On optimal equalization of communication channels ABSTRACT In this paper optimal criteria for equalization of communication channelsareconsidered.Throughcomparisons,itispossibletoverify alimitationontheLinearTransversalEqualizer,whichisthe most
  • 14. 106 Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Cad. de Pós-Graduação em Eng. Elétrica São Paulo, v. 3, n. 1, p. 93-107, 2003. used structure in practical situations. Several times, this equalizer presents a sub-optimal performance since the optimal solution is non-linear. Keywords:Optimalfilter.Non-linearequalization. REFERÊNCIAS BORYS, A. Nonlinear aspects of telecommunications: discrete Volterra series and nonlinear echo cancellation. New York: CRC Press, 2001. BOUCHIRED, S.; ROVIRAS, D.; CASTANI, F. Equalization of satellite mobile channels with neural network techniques.Space Communications, Londres, v. 15, p. 209-220, 1998/1999. CHEN, S.; MULGREW, B.; GRANT, P. M. A clustering technique for digital communicationschannelequalizationusingradialbasisfunctionnetworks.IEEE Transactions on Neural Networks, New Jersey, v. 4, no. 4, p. 570-579, July 1993. DESTRO FILHO, J. B. Egalisation aveugle de canaux de communication à l’aide d’algorithmes de Bussgang de réseaux neuronaux. 1998. 261f. Thèse (DocteurenSciences)–ÉcoleDoctorale“SciencesPourl’Ingénieur”,Universitéde Nice-Sofhia,Antipolis,Nice,1998. DUDA, R. O.; HART, P. E. Pattern classification and scene analysis. New York: John Wiley & Sons, 1973. FIGUEIRAS-VIDAL, A. R. Digital signal processing in telecommunications. Madri:SpringVerlag,1996. FORNEYJr.,G.D.ConvolutionalCodesII:Maximum-likelihooddecoding. Information and Control, Londres, p. 222-266, July 1974. ______.Maximum-likelihoodsequenceestimationofdigitalsequencesinthe presence of Intersymbol Interference. IEEE Transactions on Information Theory, New Jersey, v. IT-18, no. 3, p. 363-378, May 1972. ______. The Viterbi Algorithm. Proceedings of the IEEE, New Jersey, v. 61, no. 3, p. 268-278, Mar. 1973. GERSHO, A.; LIM, T. L. Adaptive cancellation of Intersymbol Interference for data transmission. The Bell System Technical Journal, New York, v. 60, no. 11, p. 1997-2021, Nov. 1981. GIBSON,G.J.;COWAN,C.F.N.;GRANT,P.M.Onthedecisionregionsof multilayerperceptrons.ProceedingsofIEEE,NewJersey,v.78,p.1590-1599,1990. HAYKIN, S. Adaptive filter theory. 3rd ed. New Jersey: Prentice Hall, 1996. LI.,Y;LIU,K.J.R.Adaptiveblindmulti-channelequalizationformultiplesignals separation. IEEE Transactions on Information Theory, New Jersey, v. 44, p. 2864-2876, 1998.
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