Limites y-continuidad

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Limites y-continuidad

  1. 1. Límites y continuidad LÍMITES El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculoinfinitesimal (dife rencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es elvalor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un númerodeterminado o al infinito. Definición de límite Antes de establecer la definición formal del límite de una función en gene ral vamos aobservar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende(se aproxima) a un valor determinado.Ejemplo:En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en elentorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x): x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como1.9 2.61 por la de recha, tomando valores menores o mayores que 2,1.99 2.9601 f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más1.999 2.996001 cerca está x de 2, o lo que es lo mis mo, cuando la diferencia1.9999 2.99960001 en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimis mo la2.0001 3.00040001 diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada2.001 3.004001 vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la2.01 3.0401 tabla infe rior derecha).2.1 3.41 O sea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante. |x 2| | f (x) 3| |1.9-2| = 0.1 |2.61-3| = 0.39 |1.99-2| = 0.01 |2.9601-3| = 0.0399 |1.999-2| = 0.001 |2.996001-3| = 0.003999 |1.9999-2| = 0.0001 |2.99960001-3| = 0.00039999 |2.0001-2| = 0.0001 |3.00040001-3| = 0.00040001 |2.001-2| = 0.001 |3.004001-3| = 0.004001 |2.01-2| = 0.01 |3.0401-3| = 0.0401 |2.1-2| = 0.1 |3.41-3| = 0.41De lo anterior se deduce intuitivame nte que el límite de la función f (x) cuando x tiendea 2, es 3.Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:
  2. 2. Definición épsilon-delta Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límitede f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe Nota: no es necesario que f este defini da en a para que el lí mite exista. Ejercicios resueltos (aplicando la definición épsilon-delta) En los ejercicios 1 a 4, de muestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Épsilon-delta: So l uc io ne s1. Solución:
  3. 3. 2. Solución:3. Solución:
  4. 4. 4. Solución: Teoremas de límites Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a ladefinición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia. Teorema de límite1:Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces Teorema de límite2:Para cualquier número dado a, Teorema de límite3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entoncesTeorema de límite4:
  5. 5. Teorema de límite5:Teorema de límite6:Si f es un polinomio y a es un número real, entoncesTeorema de límite7:Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entoncesTeorema de límite8: Procedimiento para calcular límites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calculadirectamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquierpolinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto quenos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 seaplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también. Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 esposible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de lafunción de tal modo que, una ve z hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar ladivisión por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficacescomo la factorización, la conjugada, etc.
  6. 6. Ejercicios resueltos Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplicanen cada paso: S oluc io ne s1. Solución2. Solución:3. Solución:4. Solución:
  7. 7. 5. Solución: 6. Solución:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; noobstante, luego de factorizar y simplificar la exp resión, se obtiene fácilmente el límiteaplicando el TL1: 7. Solución:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; noobstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límiteaplicando el TL7 o el TL4(III): 8. Solución:Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la formaindeterminada 0/0;por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso delTL6: 9. Solución:No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante,luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de laexpresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL parahallar el límite:
  8. 8. 10. Solución:Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8: 11. Solución:El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante,una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límitemediante los TL7 y TL6:12. Solución:
  9. 9. Límites unilaterales Hay casos en que las funciones no están definidas (en los re ales) a la izquierda o a laderecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende adicho núme ro, que supone que existe un inte rvalo abie rto que contiene al núme ro, notiene sentido.Ejemplo:Límite unilateral por la derecha:Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, ellímite de f (x), cuando x se aproxima a a por la de recha es L, y se escribeLímite unilateral por la izquierda:Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x),cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribeLímite bilateral:Teorema de límite12:
  10. 10. Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si noexiste, dé la razón: So l uc io ne s1. Solución: 2. Solución:
  11. 11. 3. Solución:4. Solución: Continuidad de una función
  12. 12. Criterios de continuidad de una función en un número Se dice que una función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dichonúmero. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un"salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable oesencial.Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": enla gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el puntodel plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de"salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, ladiscontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito. T e o re ma s d e c o nt i n u i d a d
  13. 13. Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica,determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es disconti nua y muestre cuálcondición no se cumple de los "Criterios de continuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a14 demuestre que la función es discontinua en el núme ro a. Luego determine si la discontinuidad eseliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En losejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada. So l uc io ne s 1. Solución: x -4 0 2 f (x) -6 -2 0 f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión: f es discontinua en -3.
  14. 14. 2. Solución: x -6 -1 0 2 3 5 6 9 h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1 f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criteriosde continuidad no se cumple; conclusón: f es discontinua en 4. 3. Solución: x -4 -3 -2 -1 0 8 y -0.5 -1 0 1 0.5 0.1
  15. 15. 4. Solución:x -6 -2 -1 0 1 2 6y 0.02 0.12 0. 0.2 0. 0.12 0.02 5 5 2 5 2 5 5 5. Solución Por lo tanto, f es discontinua en 0. 6. Solución:
  16. 16. 7. Solución:x ... ...y ... -2 -1 0 1 2 ... 8. Solución: 9. Solución:
  17. 17. 10. Solución:11. Solución:12. Solución:
  18. 18. 13. Solución:14. Solución:15. Solución:16. Solución:
  19. 19. 17. Solución:18. Solución:19. Solución:20. Solución:
  20. 20. 21. Solución: Límites infinitos Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variableindependiente se acerca a un valor fijo determinado.Crecimiento infinito:Decrecimiento infinito:Teorema de límite13:
  21. 21. Teorema de límite14:Teorema de límite15:Teorema de límite16:Teorema de límite 17: Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazarlas asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante nos ocupare mos de estasúltimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función.Asíntota vertical:Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y.Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lomenos uno de los siguientes enunciados es verdadero:
  22. 22. Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7, determine el límite. En los ejercicios 9 a 11. encuentre la(s)asíntota(s) vertical(es) de la gráfica de la función y trácela(s). So l uc io ne s 1. Solución: 2. Solución:
  23. 23. 3. Solución:4. Solución:
  24. 24. 5. Solución:6. Solución: Límites en el infinitoTeorema de límite18:Asíntota horizontal:Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.
  25. 25. Teorema de límite19: Ejercicios resueltos So l uc io ne s
  26. 26. Miscelánea1S oluc io ne s
  27. 27. Miscelánea2S oluc io ne s
  28. 28. Miscelánea3

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