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Analisis de circuitos de corriente abierta

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ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ABIERTA:
Teorema de Malla y Principio de Superposición.

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Analisis de circuitos de corriente abierta

  1. 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD “FERMIN TORO” FACULTAD DE INGENIERIA CABUDARE – ESTADO LARAANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ABIERTA: Teorema de Malla y Principio de Superposición MARIYULY CAMARGO COLINA C.I 16.951.818 DAVID ELIEZER GUERRERO C.I. 17.330.334 ALFONSO CASTILLO C.I. 19.849.727 ARGENIS PINTO C.I 11.646.863 FEBRERO, 12 DE 2.011
  2. 2. La abreviatura AC significa corriente alterna. Esta se podría referir acualquier tipo de alternancia, pero el tipo específico de forma de onda alternaque se presenta con más frecuencia en el análisis de circuitos es la senoide. Yuna de las tareas más importantes del análisis de circuitos es determinar larespuesta de estado estacionario forzada por una excitación senoidal despuésde que la respuesta natural desaparece. Por consiguiente, de acuerdo con lapráctica común, diremos que un circuito de corriente alterna es un circuitolineal estable que opera con excitación. Los circuitos de corriente alterna han sido por mucho tiempo el sustentodiario de la ingeniería eléctrica y electrónica en la distribución de energía,iluminación, productos de consumo y sistemas industriales. Además, lacomprensión de los conceptos de los circuitos de corriente alterna es unprerrequisito esencial para miles de temas que van desde dispositivoselectrónicos y la maquinaria rotatoria hasta el control automático, lascomunicaciones y el procesamiento de señales. Por lo tanto, nuestro estudio de los circuitos de corriente alterna tienetanto aplicaciones inmediatas como subsecuentes. Fundamentalmente, elanálisis de circuitos de corriente alterna incluye las intimidantes tareas deformular ecuaciones diferenciales para los circuitos y luego calcular lassoluciones particulares con excitaciones senoidales. Sin embargo, trabajaremoscon técnicas más convenientes que reducen los problemas de circuitos decorriente alterna a manipulaciones algebraicas relativamente simples. 2
  3. 3. ANALISIS DE CORRIENTE DE MALLA Y VOLTAJE DE NODO El análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia sigue el mismoprocedimiento que se utiliza en los circuitos resistivos; sin embargo, se empleanimpedancias y fasores en lugar de resistencias y funciones en el tiempo. Comola ley de Ohm puede usarse en el dominio de la frecuencia, se emplea larelación V = ZI para los elementos pasivos y se procede con las técnicas delvoltaje de nodo y la corriente de malla.1.- Ejemplo de análisis de Malla: En la siguiente figura aparece un circuito con ������=10rad/s, L =0.5H yC=10mF. Determinar el voltaje de nodo v en su forma senoidal estable cuandoel voltaje de la fuente es Vf =10 cos(������t)V.Solución: El circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que seidentifica un supernodo como se muestra en la figura, donde también aparecela impedancia de cada elemento en forma fasorial. Vf 3
  4. 4. Así, la impedancia del inductor es ZL = j������������ = ������5De igual forma, la impedancia del capacitor es: 1 10 ������������ = = = −������10 ������������������ ������ 1 1 Primero, se nota que Y1 = = . Ahora se desea conjuntar las dos ������1 100admitancias en paralelo para que R2 y C den una admitancia Y2 como semuestra a continuación:Entonces obtenemos 1 1 1 ������ 1 Y2 = + = + = (1 + ������) ������2 ������������ 10 10 10Y3 puede obtenerse de la resistencia y la inductancia en serie como: 1 Y3 = ������3Donde Z3 = R3 + ZL = 5 + 5jPor lo tanto, se tiene 1 1 Y3 = = (5 − ������5) 5+������ 5 50Aplicando la LCK en el supernodo de la figura del circuito anterior, Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I)= 0 4
  5. 5. Además, se denota: I = Y1 (Vf - V)Sustituyendo la ecuación I = Y1 (Vf - V) en la Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I) = 0se obtiene Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 [V + 10Y1 (V - Vf)]= 0Reordenando, (Y1 + Y2 +Y3 – 10Y1Y3)V = (Y1 – 10Y1Y3) VfEn consecuencia, ������1 − 10 ������1 ������3 ������������ V= ������1 + ������2 + ������3 − 10 ������1 ������3Dado que, Vf = 20 ∠������ºse obtiene 1 1 − 5−������ 5 10 1−(1−������ ) 10������ 10 50 V= 1 1 = 1 = + (1+������ ) (2+������ ) 2+������ 10 10 10Por tanto, se tiene ������������ ������ = ������������������( ������������������ + ������������, ������°) ������ ������ 5
  6. 6. 2.- Ejemplo de análisis de Malla: Determinar la corriente en estado estable i1, cuando la fuente de voltajees Vf = 10 2 cos ( ������t + 45°) V y la fuente de corriente es if = 3cos ������������ A en elcircuito de la figura. En esta figura aparece la impedancia en ohms para cadaelemento a la ������ especificada. + Vf -Solución: Primero se transforman las fuentes independientes a la forma fasorial. Lafuente de voltaje es Vf = 10 2∠45° = 10(1 + ������)Y la fuente de corriente es If = 3∠0°Se observa que la corriente conecta a las dos mallas y produce una ecuaciónrestrictiva I2 –I1 = IfCreando una supermalla alrededor de la periferia de las dos mallas, se escribeuna ecuación de la LVK, obteniendo I1Z1 + I2 (Z2 + Z3) = Vf I1Z1 + (If + I1) (Z1 + Z3) = Vf (Z1 + Z2 + Z3)I1 = Vf – (Z2 + Z3) If ������������ − ( ������2 + ������3 )������������ I1 = ������1 +������2 +������3Sustituyendo las impedancias y las Fuentes 6
  7. 7. 10+������ 10 − 2−������ 2 3 I1 = = 2 + ������2 = 8,25∠76° 2En consecuencia, el resultado es i1 = ������, ������������ ������������������ ������������ + ������������° ������3.- Ejemplo de análisis de Malla: Determinar la corriente senoidal de estado estable i1 en el circuito de lafigura cuando v 10 2 cos (������t 45)V y ������= 100 rad/s. Además, L= 30 mH yC = 5 mF.Solución:Primero se transforma el voltaje de la fuente a su forma fasorial Vf = 10 2∠45° = 10 + 10������Ahora se definen las dos corrientes de mallas como i1 e i2, como se muestran acontinuación: 7
  8. 8. Puesto que la frecuencia de la fuente es ������ = 100 ������������������/������, se determina que lainductancia tiene una impedancia de 1 1 ������������ = = = −������2 ������������������ 1 ������ 2Entonces se pueden resumir las corrientes fasoriales del circuito y la impedanciade cada elemento dibujando el circuito en términos de fasores. Ahora puedenescribirse las ecuaciones de la LVK para cada malla, obteniendo:Malla 1: (3 + j3) I1 – j3 I2 = VfMalla 2: (3 – j3) I1 – (j3 – j2) I2 = 0Despejando I1 con la regla de Cramer, se tiene: 10 + ������ 10 ������ I1 = ∆Donde el determinante es: ∆ = 3 + ������3 ������ + ������3 3 − ������3 = 6 + 12������En consecuencia, 10������ −10 I1 = 6 + 12������Prosiguiendo, se obtiene: 10 (������ −1) 10( 2∠135° I1 = = = 1,05∠71,6° 6 (1 + 1������ ) 6( 5∠63,4°)Entonces, la respuesta de estado estable en el tiempo es: i1 = 1,05 cos (100t + 71,6º) A 8
  9. 9. EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN En los circuitos lineales con más de una fuente independiente, lapropiedad de la linealidad hace posible el análisis de estos circuitos sumandolas respuestas debidas a cada fuente por separado esto quiere decir que larespuesta general de un circuito que contiene varias fuentes es la suma delas repuestas a cada fuente individual, eliminando las otras fuentes. Esto se conoce como el principio de superposición, en donde lasfuentes de corrientes se eliminan o son fijadas en cero, reemplazándolas concircuitos abiertos y las fuentes de voltaje se sustituyen con circuitoscerrados. En cuanto a el poder total disipado por un elemento de un circuitolineal en general no es la suma de los poderes por separado debidos acada fuente. Esto se debe a que la potencia es una función no lineal delas variables de circuito corriente y voltaje. El uso de la superposición estálimitado a cálculo de corrientes y voltajes en circuitos lineales. La superposición es una poderosa herramienta que nos permiteresolver corrientes y voltajes en circuitos lineales que contienen variasfuentes al añadir superponer voltajes y corrientes componentes. En relación con lo antes expuesto este principio se aplica a loscircuitos lineales de CA de la misma manera que se aplican que loscircuitos CD. 9
  10. 10. En los circuitos en estado estable AC que contienen fuentes múltiplescon la misma frecuencia, no puede calcularse la potencia superponiendo laspotencias debido a las fuentes se encuentran por separado. Esto finalmentese aplica a todas la forma de potencia: instantánea, media reactiva ocompleja. La superposición puede utilizarse para obtener corriente voltajespero no para fuentes con la misma frecuencia estos componentes debensuperponerse antes de calcular la frecuencia. En otras palabras este teorema rige la potencia promedio cuando lasfuentes son de frecuencia distintas. De esta forma para calcular la potenciapromedio P en estado estable ac de un circuito excitado por fuentes endos o más frecuencias en donde se calcula la frecuencia promedio para cadafrecuencia separadamente y luego se agrega . De igual forma de se puedeobtener la potencia reactiva Q cuando las fuentes son de frecuencias distintas. Cuando los fasores pueden superponerse (w1 = w2), no puede aplicarlo mismo con P y Q y cuando los fasores no puedan superponerse (w1≠w2),esto quiere decir que el teorema funciona para P y q La superposición, en el caso de fuentes que operan a 2 o másfrecuencias se aplica solo a respuestas en el tiempo. No se pueden superponerlas respuestas fasoriales. Esto quiere decir que la respuesta total se debeobtenerse sumando las repuestas individuales en el dominio del tiempo. 10
  11. 11. 1.- Ejemplo utilizando el teorema del principio de Superposición Usando el principio determinar la corriente de estado estable i en el circuito de la figura. R1= 5Ω vf = 10 cos 10 t v C=10 mf if =3A R2= 10 Ω L= 1,5 H 5 Ω 1,5 H I1 + 10 mf 10 Ω - 3A10 cos 10 t V SE RESOLVERA EL EJERCICIO PASO A PASO Paso 1: Se cambian las fuentes independientes a FUENTES fasoriales (polar), siempre y cuando trabajen en diferentes frecuencias para que pueda cumplir el teorema de superposición. Para la fuente de voltaje trabaja = 10 rad/s. Representado de la forma fasorial o (polar ) ������������ = 10 ˂ 0˚ En el caso de la fuente de corriente directa por lo tanto el valor de =o rad/s. representado en la forma fasorial o polar if= 3 ˂ 0˚ 11
  12. 12. Paso 2: Ahora se le realiza el cambio de los elementos del circuito identificando el dominio de la frecuencia usando impedancia y fasores. Para ello se utilizaron las siguientes formulas: Fórmula para las resistencias Sustituyendo las formulas Z1= 5 Ω Y lo mismo ocurre la resistencia de R= 10 Ω = z= 10 Ω Z1= 5 Ω Fórmula para el inductor o la bobina Sustituyendo las formulas Z= j *10 rad/s * 1,5 H = j 15 Ω Z2== j 15 Ω Fórmula para el capacitor ������ Sustituyendo las formulas Z= ������������������ = -j 10 Ω ������∗������������ ∗������������������������ ������ Z3= - j 10 Ω Después de haber convirtiendo las fuentes de corriente, fuentes de voltaje en su representación fasorial y los elementos del circuitos a impedancia y fasores, se muestra el dibujo con los cambios realizados en el paso 1 y paso 2 . 5 Ω j 15 Ω j10 Ω 10 Ω + 3 ˂ 0˚10 ˂ 0˚ - 12
  13. 13. Paso 3: Eliminación de fuente de corriente Se elimina la fuente de corriente ya que trabaja de forma individual yse sustituye por un circuito abierto a través del resistencia de 10 Ω. Es porello que se utiliza la fuente de voltaje para obtener la intensidad decorriente I1. En el circuito se observa que la impedancia del capacitador y laimpedancia de la resistencia se encuentran en paralelo se obtiene laimpedancia equivalente −������ 10Ω∗ Z4 Zeq34= = 5 (1-j) ������ 10Ω+ Z4 Ahora se calcula la intensidad de corriente I1. Utilizando la siguienteformula. ������������ ������������∠������° ������������ ������1 = = = ∠ − ������������° ������������+������������������+������������������������������ ������+������������������+(������−������������) ������������������∴ La corriente en el dominio del tiempo tiene como resultado utilizando lafuente de voltaje es: 0.71cos10 45 13
  14. 14. Paso 4: Eliminación de la fuente de voltaje Al desactivar la fuente de de voltaje ocurre un corto circuito, esto conlleva a colocar en cero la fuente de voltaje y por eso ocurre el corto. Encuanto a la impedancia del capacitador se convierte en un circuito abierto 1porque = ∞. Sin embargo la impedancia del inductor o bobina se ������������������convierte en corto circuito. A continuación se muestra la figuraSe procede a calcular la intensidad de corriente 2 10 ������2 = − ∗ 3 = −2������ 10Ω + 5ΩPor tanto, usando el principio de superposición, la corriente total de estadoestable It 0.71cos10t 452A 14
  15. 15. 2.- Ejemplo del principio de Superposición Determinar la potencia promedio adsorbida por la resistencia en lafigura:Paso 1: Se convierten las fuentes y los elementos del circuito de formafasorial ������ = 4 ������������������/������ ������ = 2 ������������������/������ j8Ω 1Ω √2∠20° A rms 3√2∠0° V + - 1 -j ������ 2 15
  16. 16. Paso 2: Elimínanos la fuente de corrientePaso 3: Elimínanos la fuente de voltaje j4Ω I1 √2∠20° A 1Ω rms -j 1Ω Ahora debemos calcular sus respuestas individuales de circuitosfasoriales distintos. ������ 15 2 I1= 2∠20° = 1.40∠27.6° ������ ������������������ 1+������ 15 2Calculo de la potencia en ������ = 4 ������������ 16
  17. 17. ������1 = ������������ ������ ������1 2 = ������ ������1 2 = 1 ∗ 1.40 2 = 1.96 ������Para ������ = 2 ������������ ������������������������������������������������������ ������������ ������������������������������ ������������: 3 2∠0 ������2 = = 1.34 ∠ − 71.6° ������ ������������������ 1 + ������3Para el cálculo de la potencia: ������2 = ������ ������2 2 = 1 ∗ 1.34 2 =1.80 WLa potencia promedio absorbida por la resistencia es: 1.96 +1.80 = 3.76 W 17

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