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Contenido Mate Olimpiada 2009

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Contenido Mate Olimpiada 2009

  1. 1. TABLA DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA DIVERSIFICADO OLIMPIADA NACIONAL DE CIENCIAS INTRODUCCIÓN La matemática no puede seguirse asumiendo como un simple cuerpo de conceptos y reglas, ni como una ciencia que apareció intempestivamente con los niveles de desarrollo y complejidad en que hoy la conocemos. Ello constituye una de las formas absurdas en que se manifiestan las prácticas pedagógicas de hoy. Por el contrario, la Ciencia Matemática, debe asumirse desde el punto de vista de los esfuerzos que la humanidad ha realizado a través de los siglos para comprender y dominar a su mundo. Debe presentarse como uno de los componentes del acervo cultural de la humanidad, debe demostrarse la utilidad y la aplicación práctica de sus contenidos; y, de todas maneras debemos estimular en nuestros alumnos el desarrollo de la capacidad analítica. De esta manera podríamos, con ayuda de toda la lógica lograda en el estudio de esta ciencia, llegar a consolidar el razonamiento que nuestros alumnos deben manifestar ante problemas que se le plantean en su diario vivir. Queremos presentarles la tabla de contenidos de la Olimpíada Nacional de Ciencias e indicarle: qué parte de ella se evaluará en cada competencia de esta actividad. También agregamos algunos problemas modelo de la competencia departamental. TABLA DE CONTENIDOS 1. ALGEBRA DE LOS REALES: Expresiones Algebraicas, Polinomios, Operaciones con Polinomios, Productos Notables, Factorización, Fracciones Algebraicas, Exponenciación y Radicación y Racionalización de Fracciones: Factorización de polinomios empleando productos notables. Algoritmos para dividir polinomios. Interpretar una fracción polinomial como el resultado dividir polinomios. Sustracción, adición, multiplicación y división de fracciones polinomiales. Mínimo común múltiplo de polinomios. Resolver problemas que generan operaciones entre fracciones polinomiales. Leyes formales de la potenciación. Diferenciar entre potencia y exponente. Potencias con exponente cero y uno. Potencias de exponentes 2 y 3 o sea cuadrados y cubos de un número. Radicación como operación inversa de la potenciación. 2. ECUACIONES E INECUACIONES:
  2. 2. ECUACIONES LINEALES: problemas de Ecuaciones Lineales, Desigualdades Lineales, Valor Absoluto y sus propiedades, Desigualdades Lineales con valor absoluto. Funciones lineales de una variables. Gráfica de una función lineal. Dada la gráfica de una función lineal, encontrar los valor que toma la misma para diferentes valores de la variables. Representar en la recta Real, intervalos generados por desigualdades lineales. Asociar Valor Absoluto con distancia a un punto. Resolución gráfica de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto aplicando el concepto de distancia. ECUACIONES POLIN ÓMICAS: Algoritmos de Horner. Ceros de un polinomio y multiplicidad de una raíz. Solución numérica de ecuaciones (bisección, secante). Hacer la gráfica de una función polinómica. Comprender qué Criterio Gráfico de existencia de una raíz real de un polinomio es el punto de intersección con el eje x. Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios. Entender el teorema del residuo: p(x) = q(x) (x-b)+p(b). Saber qué es raíz de un polinomio p(x) si y sólo si: p(a)=0. Un polinomio de grado n tiene a lo más n raíces distintas. Resolver ecuaciones polinómicas cúbicas y cuadráticas cuando los polinomios respectivos son factorizables en los enteros. Hallar valores aproximados para las raíces de ecuaciones polinómicas por aproximaciones sucesivas. Resolver problemas que necesiten ecuaciones polinómicas. 3. GEOMETRÍA: VECTORES EN R2 y R3: Representación gráfica. Operaciones de adición, multiplicación por un escalar y producto interior de vectores. Módulo. Aplicaciones a la Física. Combinación lineal, familia libre y generadora, (base de un espacio vectorial). Distinguir magnitudes escalares de aquellas que requieren de representación vectorial. Dominar as operaciones de adición y multiplicación por escalares con vectores geométricos (libres). Resolver problemas físicos. Identificar vectores con puntos en un plano cartesiano. Dominar el teorema de la base y reconocer la importancia de dicho teorema. Identificar los vectores con los puntos en R2. Hallar la magnitud de un vector cualquiera en R2y R3. Emplear las propiedades de adición, multiplicación por escalar y producto interno de vectores para evaluar expresiones que contienen varias de estas operaciones. GEOMETRÍA INTUITIVA: Definir e identificar: plano, recta, punto, segmento, rayo, ángulo, triángulo, polígonos regulares, semiplano y semirecta. Representación gráfica de entes geométricos y construcción de polígonos regulares. Ángulos externos e internos de un polígono regular. Reconocer los entes geométricos plano, recta, punto, segmento, rayo, ángulo,
  3. 3. triángulo y demás polígonos, semiplano y semirecta. Comprender que los planos, rectas y demás figuras geométricas son conjuntos de puntos. Graficar ciertos conjuntos de números en la Recta Numérica. Determinar el interior de un ángulo o polígono convexo por intersección de conjuntos. Conocer la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores de algunos polígonos, en especial los triángulos. GEOMETRÍA ANALÍTICA Recta, ecuación vectorial y funcional. Rectas paralelas y perpendiculares. Propiedades. Distancia en R2y R3 , punto medio. Ecuación vectorial en un plano R. Hallar la ecuación de una recta en R dados un punto y la pendiente, dos puntos, pendiente e intercepto y vector direccional y un punto. Determinar si dos rectas dadas son paralelas o perpendiculares. Hallar las ecuaciones e inecuaciones que describen un segmento, dados sus extremos. Hallar el punto medio de un segmento. Utilizar vectores libres para demostrar algunos teoremas de la geometría. Hallar la ecuación que describe un lugar geométrico en R2. Hallar la distancia en los puntos en R2. Hacer la gráfica de un subconjunto dado en R2. Hallar las ecuaciones vectoriales en una recta en R2. Hallar la ecuación de un plano en R3 dado el vector normal. SECCIONES CÓNICAS Definir e identificar: circunferencia, parábola elipse e hipérbola. Representar gráficamente y construir sus ecuaciones. Trazar la gráfica de: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola aproximadamente por simple inspección de la ecuación si ésta se da en forma canónica. Determinar las definiciones de las secciones cónicas como lugares geométricos así como comprender su relación con el cono. (*) ------------ Hasta aquí se evaluará en la Competencia Departamental ------------- 4. TRIGONOMETRÍA:
  4. 4. Razones y funciones trigonométricas. Identidades trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos. Ley de senos. Ley de cosenos. Ecuaciones trigonométricas. Dominar las definiciones de las funciones trigonométricas. Relacionar las funciones circulares con las triangulares y viceversa. Deducir identidades trigonométricas fundamentales. Manipular la calculadora o las tablas trigonométricas y entender el origen de los valores que allí se encuentran. Resolver ecuaciones trigonométricas. Resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos. Comprender intuitivamente el papel de las funciones trigonométricas en la descripción matemática de fenómenos ondulatorios. 5. SISTEMA DE NUMERACIÓN: Sistemas posicionales y no posicionales. Cambios de base. Operaciones con números distintos de la base diez. Números mayas. Conocer algunos sistemas diferentes de numeración empleados en la antigüedad. Dar el significado de un número escrito en otra base diferente a la decimal. Adquirir destreza en el cambio de base 10 a cualquier otra y viceversa. 6. NUMEROS COMPLEJOS: Definición de adición y multiplicación. Forma cartesiana, forma polar y forma exponencial. Conjugado complejo, modulo y representación gráfica. Potencias y raíces complejas. Funciones de los complejos en los complejos, representación gráfica. Justificar la necesidad de los números complejos. Operar números complejos con adición, sustracción, multiplicación y potenciación. Demostrar propiedades de conjugados y módulos. Representar gráficamente funciones de variable compleja. BIBLIOGRAFÍA 1. ÁLGEBRA. Charles Lhemann. 2. ÁLGEBRA. Sobel & Banks. McGraw Hill. 3. ÁLGEBRA. Vance. Fondo Educativo. 4. ÁLGEBRA. Lovaglia. 5. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. Barnet. McGraw Hill. 6. ÁLGEBRA. Anderson. 7. ÁLGEBRA SUPERIOR. Serie Schaum. 8. ÁLGEBRA No. 1. Nichols, Ewars y otros. Fondo Educativo. 9. ANÁLISIS NUMÉRICO. C.B. Conte. McGraw Hill. 10. GEOMETRÍA. Dolciani. Fondo Educativo. 11. GEOMETRÍA. Fesqet. Ed. Kapeluz. 12. GEOMETRÍA. Repeto & Fesquet. Ed. Kapeluz. 13. GEOMETRÍA. (Serie Matemática Moderna). Edwin E. Oloise, Floyd L. Dowus. Fondo Educativo.
  5. 5. 14. GEOMETRÍA ANALÍTICA. Taylor y Wade. Limusa W. 15. ANÁLISIS MATEMÁTICO. Hasser, Lasalle y Sullivan. Limusa. 16. EL CÁLCULO. Louis Leithold. Ed. Harla. 17. GEOMETRÍA ANALÍTICA. Charles Lehman. 18. ÁLGEBRA LINEAL. Serge Lang. Fondo Educativo. 19. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. Barnet. McGraw Hill. 20. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS SUPERIORES. Serie Schaum. 21. ÁLGEBRA SUPERIOR. Schaum Lemman. 22. ALGEBRA MODERNA. Herstain, Editorial Liusa W 23. ALGEBRA LINEAL. S. Lipschutz, editorial McGraw Hill 24. ALGEBRA . Lovaglia 25. ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA. Barnet 26. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA. Baldor 27. TRIGONOMETRÍA. Wells.(*) Unidades a evaluar en cada una de las Competencias Competencia Departamental: temas 1,2 y 3. Competencia Regional: temas 1,2,3,4,5 y 6. Competencia Nacional: temas 1,2,3,4,5, y 6.

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