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Revisão de Matrizes e Espaços Vetoriais

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Breve revisão de Matrizes e Espaços Vetoriais para os alunos do Curso de Matemática do IFBA, Campus de Barreiras

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Revisão de Matrizes e Espaços Vetoriais

  1. 1. Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c Valdex Santos Instituto Federal da Bahia - IFBA 2 de novembro de 2011Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 1 / 13
  2. 2. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  3. 3. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  4. 4. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  5. 5. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  6. 6. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  7. 7. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  8. 8. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  9. 9. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Um Espa¸o Vetorial consiste do seguinte: c (1) Um conjunto n˜o vazio V de objetos, denominados vetores. a (2) Um corpo F (R ou C) de escalares. (3) Uma opera¸˜o de adi¸˜o de vetores, que associa a cada par de ca ca elementos u, v ∈ V um elemento u + v ∈ V , isto, V fechado com rela¸˜o ca opera¸˜o de adi¸˜o. Esta opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca ca ca (A1 ) Comutatividade: u + v =v + u; ∀u, v ∈ V . (A2 ) Associatividade: u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀u, v , w ∈ V . (A3 ) Elemento Neutro: Existe um elemento 0V ∈ V tal que u + 0V = u; ∀u ∈ V . (A4 ) Elemento Sim´trico: Para todo elemento u ∈ V existe o elemento e −u ∈ V tal e que u + (−u) = 0V ; ∀u ∈ V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 2 / 13
  10. 10. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  11. 11. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  12. 12. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  13. 13. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  14. 14. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  15. 15. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  16. 16. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  17. 17. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  18. 18. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  19. 19. Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c Defini¸˜o de Espa¸o Vetorial ca c (4) uma opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar, que associa a cada ca ca elemento u ∈ V e cada escalar α ∈ F um elemento αu ∈ V , isto ´, V ´ e e fechado com rela¸˜o a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar. Esta ca ca ca opera¸˜o tem as seguintes propriedades: ca (M1 ) Associatividade: (αβ)u =α(βu); ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F (M2 ) Distributividade para a Adi¸˜o de Elementos: ca α(u + v ) =αu + αv ; ∀u, v ∈ V ; ∀α ∈ F. (M3 ) Distributividade para a Multiplica¸˜o por Escalar: ca (α + β)u =αu + βu; ∀u ∈ V ; ∀α, β ∈ F. (M4 ) Elemento Identidade: 1F u = u; ∀u ∈ V . OBS.: Quando consideramos o corpo dos escalares como sendo F = R dizemos que (V , +, · ) um espa¸o vetorial real. Quando consideramos o c corpo dos escalares como sendo F = C, dizemos que (V , +, · ) ´ um e espa¸o vetorial complexo. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 3 / 13
  20. 20. Exemplos Exemplos de Espa¸os Vetoriais c 1 O conjunto do n´meros reais, R com as opera¸˜es usuais de adi¸˜o e u co ca multiplica¸˜o de n´meros reais, ´ um espa¸o vetorial real. ca u e c 2 O conjunto dos n´meros complexos, C, com as opera¸˜es usuais de u co adi¸˜o e multiplica¸˜o de n´meros complexos, ´ um espa¸o vetorial ca ca u e c complexo, considerando o corpo dos escalares como sendo F = C. Entretanto, podemos considerar o corpo de escalares como sendo F = R. Desse modo, temos que C ´ um espa¸o vetorial real. e c 3 O conjunto Rn = {u = (x1 , . . . , xn ); xi ∈ R}, conjunto de todas as n-uplas reais, com a opera¸˜es de adi¸˜o de elementos definida por: co ca u + v = (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) e a opera¸˜o de multiplica¸˜o por escalar definida por: ca ca λu = (λx1 , . . . , λxn ) ´ um espa¸o vetorial real. e cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 4 / 13
  21. 21. Exemplos Subespa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´ c c e um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as e c opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V . co ca caValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 5 / 13
  22. 22. Exemplos Subespa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´ c c e um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as e c opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V . co ca caValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 5 / 13
  23. 23. Exemplos Subespa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´ c c e um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as e c opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V . co ca ca Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um e subespa¸o vetorial de R. cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 5 / 13
  24. 24. Exemplos Subespa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´ c c e um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as e c opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V . co ca ca Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um e subespa¸o vetorial de R. c Teorema(Subespa¸o Vetorial) Um subconjunto n˜o o vazio U de um c a espa¸o vetorial V ´ um subespa¸o vetorial de V se, e somente se, para c e c quaisquer elementos u, v ∈ U e para qualquer escalar α ∈ F, tem-se que u + v ∈ U e αu ∈ U .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 5 / 13
  25. 25. Exemplos Subespa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´ c c e um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as e c opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V . co ca ca Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um e subespa¸o vetorial de R. c Teorema(Subespa¸o Vetorial) Um subconjunto n˜o o vazio U de um c a espa¸o vetorial V ´ um subespa¸o vetorial de V se, e somente se, para c e c quaisquer elementos u, v ∈ U e para qualquer escalar α ∈ F, tem-se que u + v ∈ U e αu ∈ U . Exemplo 2: O subconjunto U = {f ∈ C ([a, b])/f (a) = 1} n˜o ´ um a e subespa¸o vetorial de C ([a, b]). cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 5 / 13
  26. 26. Exemplos Subespa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Um subespa¸o vetorial de V ´ c c e um subconjunto U de V que ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo F com as e c opera¸˜es de adi¸˜o de vetores e multiplica¸˜o por escalar definidas em V . co ca ca Exemplo 1: O subconjunto S = {(x, y ) ∈ R2 /y − ax = 0; a ∈ R} ´ um e subespa¸o vetorial de R. c Teorema(Subespa¸o Vetorial) Um subconjunto n˜o o vazio U de um c a espa¸o vetorial V ´ um subespa¸o vetorial de V se, e somente se, para c e c quaisquer elementos u, v ∈ U e para qualquer escalar α ∈ F, tem-se que u + v ∈ U e αu ∈ U . Exemplo 2: O subconjunto U = {f ∈ C ([a, b])/f (a) = 1} n˜o ´ um a e subespa¸o vetorial de C ([a, b]). c Exemplo 3: Considere o espa¸o vetorial real P3 (R). O subconjunto c S = {p(x) ∈ P3 (R)/p(−1) = 0 e p ′ (1) = 0} ´ um subespa¸o de P3 (R) e cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 5 / 13
  27. 27. Exemplos Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado ca cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 6 / 13
  28. 28. Exemplos Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado ca c Defini¸˜o de Combina¸˜o Linear: Seja V um espa¸o vetorial sobre o ca ca c corpo F . Dizemos que o elemento u ∈ V ´ uma combina¸˜o linear dos e ca elementos v1 , . . . , vn ∈ V se existem escalares c1 , . . . , cn ∈ F tais que u = c1 v1 + · · · + cn vnValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 6 / 13
  29. 29. Exemplos Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado ca c Defini¸˜o de Espa¸o Gerado: Sejam V um espa¸o vetorial sobre o ca c c corpo F e S um conjunto finito de elementos de V , isto ´, e S = {v1 , . . . , vn }. O subconjunto U constru´ a partir dos elementos de ıdo S da seguinte forma: n U= u ∈ V /u = αi vi ; αi ∈ F i =1 ´ um subespa¸o vetorial de V , que vamos denotar por U = [v1 , . . . , vn ] e c ou por U = [S], denominado subespa¸o gerado pelos elementos de S. c Dizemos que o conjunto S ´ um sistema de geradores para o subespa¸o U. e cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 6 / 13
  30. 30. Exemplos Combina¸˜o Linear e Subespa¸o Gerado ca c Exemplo: Considere o subespa¸o W = {A ∈ M2 (R)/A = At } de M2 (R). c Mostre que W ´ gerado pelas matrizes e 1 0 0 1 0 0 A1 = , A2 = e A3 = 0 0 1 0 0 1Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 7 / 13
  31. 31. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 8 / 13
  32. 32. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos c que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ VValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 8 / 13
  33. 33. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos c que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI) eValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 8 / 13
  34. 34. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos c que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI) e se, e somente se,Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 8 / 13
  35. 35. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos c que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI) e se, e somente se, toda combina¸˜o linear nula ca α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ FValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 8 / 13
  36. 36. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos c que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Independente(LI) e se, e somente se, toda combina¸˜o linear nula ca α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ F implicar que α1 = α2 = · · · = αn = 0.Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 8 / 13
  37. 37. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Sejam V um espa¸o vetorial sobre o corpo F e v1 , . . . , vn ∈ V . Dizemos c que o conjunto S = {v1 , . . . , vn } ∈ V ´ Linearmente Dependente(LD) se, e e somente se, ´ poss´ uma combina¸˜o linear nula e ıvel ca α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ F sem que todos os escales seja todos nulos.Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 8 / 13
  38. 38. Exemplos Dependˆncia e Independˆncia Linear e e Decorrem facilmente das defini¸˜es as seguintes consequˆncias: co e (a) Todo conjunto que cont´m um subconjunto linearmente dependente ´ e e LD. (b) Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente ´ LI. e (c) Todo conjunto que cont´m o elemento neutro, 0V , ´ linearmente e e dependente.Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 9 / 13
  39. 39. Exemplos Bases e Dimens˜o aValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 10 / 13
  40. 40. Exemplos Bases e Dimens˜o a Defini¸˜o de Base: Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Uma ca c base de V ´ um conjunto linearmente independente de elementos de V e que gera V .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 10 / 13
  41. 41. Exemplos Bases e Dimens˜o a Defini¸˜o de Base: Seja V um espa¸o vetorial sobre o corpo F . Uma ca c base de V ´ um conjunto linearmente independente de elementos de V e que gera V . Exemplo: Considere o espa¸o vetorial real R3 . O conjunto c β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´ linearmente independente em R3 e gera e o espa¸o R3 . Logo, β ´ uma base para R3 , denominada base canˆnica. c e oValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 10 / 13
  42. 42. Exemplos Bases e Dimens˜o a Defini¸˜o de Dimens˜o de um Espa¸o Vetorial: Seja V um espa¸o ca a c c vetorial de dimens˜o finita, que possui uma base com n elementos. A a dimens˜o de V ´ definida como sendo o n´mero de elementos de uma a e u base de V . Indicaremos a dimens˜o do espa¸o vetorial V por dim(V ) = n. a cValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 10 / 13
  43. 43. Exemplos Bases e Dimens˜o a Defini¸˜o de Dimens˜o de um Espa¸o Vetorial: Seja V um espa¸o ca a c c vetorial de dimens˜o finita, que possui uma base com n elementos. A a dimens˜o de V ´ definida como sendo o n´mero de elementos de uma a e u base de V . Indicaremos a dimens˜o do espa¸o vetorial V por dim(V ) = n. a c Exemplo: Considere o espa¸o vetorial real M2 (R). Temos que o conjunto c 1 0 0 1 0 0 0 0 β= A1 = , A2 = , A3 = , A4 = 0 0 0 0 1 0 0 1 ´ uma base para M2 (R). Desse modo, dim(M2 (R) = 4. eValdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 10 / 13
  44. 44. Exemplos Bases, Dimens˜o e Coordenadas a Teorema: Sejam U e W subespa¸os de dimens˜o finita de um espa¸o c a c vetorial V . Ent˜o, o subespa¸o U + W ´ de dimens˜o finita e tem-se que a c e a dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) .Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 11 / 13
  45. 45. Exemplos Coordenadas Sejam V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita sobre o corpo F e c a β = {v1 , . . . , vn } uma base ordenada de V . Ent˜o, todo elemento de V ´ a e escrito de modo unico como uma combina¸˜o linear dos elementos de β, ´ ca isto ´, dado o elemento u ∈ V temos que existe uma unica n-upla e ´ (c1 , . . . , ci , . . . , cn ) ∈ Fn tal que n u= ci vi i =1 Dizemos que ci ´ a i-´sima coordenada do elemento u com rela¸˜o a base e e ca ordenada β.Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 12 / 13
  46. 46. Exemplos Desse modo, ´ mais conveniente utilizar a matriz de coordenadas do e elemento u a em rela¸˜o ´ base ordenada β, que denotamos por [u]β , dada ca e por:   c1 . . . [u]β =  ci  ∈ Mnx1 (F) .   .. cn Exemplo: Podemos verificar facilmente que γ = {1, 1 + x, 1 + x 2 } ´ uma e base ordenada para o espa¸o vetorial real P2 (R). Determine as c coordenadas do elemento p(x) = 2 + 4x + x 2 em rela¸˜o ` base ordenada ca a γ.Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 13 / 13
  47. 47. Exemplos Desse modo, ´ mais conveniente utilizar a matriz de coordenadas do e elemento u a em rela¸˜o ´ base ordenada β, que denotamos por [u]β , dada ca e por:   c1 . . . [u]β =  ci  ∈ Mnx1 (F) .   .. cn Exemplo: Podemos verificar facilmente que γ = {1, 1 + x, 1 + x 2 } ´ uma e base ordenada para o espa¸o vetorial real P2 (R). Determine as c coordenadas do elemento p(x) = 2 + 4x + x 2 em rela¸˜o ` base ordenada ca a γ.Valdex Santos (Instituto Federal da Bahia - IFBA) Breve Revis˜o de Espa¸os Vetoriais a c 2 de novembro de 2011 13 / 13

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