2282720 Analisis De Funciones De Variable Compleja

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2282720 Analisis De Funciones De Variable Compleja

  1. 1. An´lisis de Funciones de Variable Compleja a Ing. Juan Sacerdoti Facultad de Ingenier´ ıa Departamento de Matem´tica a Universidad de Buenos Aires 2005 V 1.011 1 Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´n de este documento. o
  2. 2. 2
  3. 3. ´ Indice general 1. N´ meros Complejos u 9 1.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 9 1.2. Igualdad de n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 10 1.3. Estructuraci´n de C como cuerpo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 10 1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Estructuraci´n de C como estructura vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 13 1.6. Estructuraci´n de C como estructura de espacio m´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 14 1.6.1. Propiedades generales de la funci´n distancia en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 14 1.6.2. Notaci´n para la funci´n distancia sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 15 1.6.3. M´dulo de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 16 1.7. Estructuraci´n de C como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17 1.8. Forma bin´mica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 18 1.8.1. Isomorfismos entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8.3. Forma bin´mica de los n´ meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o u 20 1.9. Representaci´n geom´trica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 22 1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 23 1.10.1. Forma Polar de un N´ mero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 23 1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.10.3. Producto en forma polar. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 27 1.10.5. Interpretaci´n geom´trica de las operaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . o e 28 1.11. Forma exponencial de un n´ mero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 29 1.11.1. Expresi´n de la forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 30 1.11.2. Definici´n de la funci´n ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 30 1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial. . . . . . 32 1.12. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. Elementos de Topolog´ en el Campo Complejo ıa 35 2.1. Definici´n de bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Entorno de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Vecinal de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Clasificaci´n de puntos: Interiores, exteriores y frontera o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6. Clasificaci´n de puntos de adherencia . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9. Infinito en el Campo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3
  4. 4. 4 ´ INDICE GENERAL 2.9.1. Concepto de punto infinito en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.9.2. Conjunto Complejo Extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.9.3. Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.9.4. Diversas acepciones de “infinito” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3. Funciones de Variable Compleja. Continuidad y L´ ımite 51 3.1. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Interpretaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Funciones de variable compleja. Caracter´ ısticas y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1. Caracter´ ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.2. Continuidad sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.1. Definici´n de l´ o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.2. Operaciones con l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.2. Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.3. Lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.4. Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.6. Ejemplos de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.6.7. Camino simple. Lazo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6.8. Caminos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.7. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8. Homotop´ de caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8.1. Homotop´ de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8.2. Homotop´ de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.8.3. Homotop´ a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9. Clasificaci´n de conjuntos conexos en C . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9.1. Conjuntos simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9.2. Conjuntos m´ ltiplemente conexos . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9.3. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.9.4. Grado de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4. Derivaci´n en el Campo Complejo o 75 4.1. Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 75 4.2. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3. Relaci´n entre derivada y diferencial. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 78 4.4. Derivaci´n y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 80 4.5. Funciones mon´genas y holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 80 4.6. Reglas de derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 82 4.7. Holomorf´ y ecuaci´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa o . . . . . . 82 4.7.1. Las componentes de una funci´n holomorfa como funciones arm´nicas . o o . . . . . . 82 4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas arm´nicas . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 84 4.7.3. Obtenci´n de la conjugada arm´nica de una funci´n en el entorno de un o o o punto . . 87 4.8. Holomorf´ en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . 94 4.9. Representaci´n conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 95 ´ 4.9.1. Angulo entre caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
  5. 5. ´ INDICE GENERAL 5 4.9.2. Transformaci´n de caminos . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.9.3. Transformaci´n de vectores tangentes . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.9.4. Aplicaci´n conforme . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.9.5. Transformaci´n de ´reas e integrales dobles . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9.6. Los problemas de la representaci´n conforme o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.9.7. La inversi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.9.8. La funci´n homogr´fica . . . . . . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
  6. 6. 6 ´ INDICE GENERAL
  7. 7. ´ Indice de figuras 1.1. Representaci´n del complejo (x y) en el plano cartesiano. . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. Representaci´n del complejo z en coordenadas polares. . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Representaci´n geom´trica de la suma de dos complejos. . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4. Representaci´n geom´trica de la diferencia de dos complejos. o e . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5. Representaci´n geom´trica del producto de dos complejos. . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6. Ra´ quintas de un n´ mero complejo z. . . . . . . . . . . . ıces u . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Conjugado de un n´ mero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1. Bola de centro c y radio r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2. Entorno de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Vecinal de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. Clasificaci´n de puntos en un espacio m´trico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 38 2.5. Puntos aislados y puntos de acumulaci´n del conjunto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 41 2.6. Clasificaci´n de conjuntos seg´ n contengan o no a sus fronteras. . . . . . . . . . . . . . . . o u 42 2.7. |z| > r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.8. Diversos conjuntos transformados mediante la funci´n inversi´n. . . . . . . . . . . . . . . o o 46 2.9. Esfera de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.10. Proyecci´n estereogr´fica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas. o a 48 2.11. Proyecci´n estereogr´fica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas. . . o a 48 3.1. Transformaci´n de regiones en R2 mediante una funci´n de variable compleja. o o . . . . . . . 52 3.2. Transformaci´n de caminos mediante la funci´n f (z) = z 2 . . . . . . . . . . . . o o . . . . . . . 53 3.3. Funci´n de una variable real discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 57 3.4. Funci´n de una variable compleja discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 57 3.5. Composici´n de funciones de una variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 61 3.6. Camino en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7. Lazo en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.8. Caminos yuxtapuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.9. Camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.10. Ejemplos de caminos y lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.11. Ejemplo de conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.12. Ejemplo de conjuntos no conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.13. Homotop´ de los caminos γ1 y γ2 en D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . 71 3.14. Homotop´ de los lazos γ1 y γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . 72 3.15. Conjunto simplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.16. Conjunto m´ ltiplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . 73 3.17. Ejemplos de cortadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.18. Conjunto con grado de multiplicidad=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7
  8. 8. 8 ´ INDICE DE FIGURAS 4.1. Incremento de z a trav´s de un camino γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 75 4.2. Dominio restringido de una funci´n de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 77 4.3. Incremento de una funci´n a trav´s de caminos rectos paralelos a los ejes. . . . . . . . . . o e 79 4.4. Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas arm´nicas . . . . . . . . . . . o 87 4.5. Integraci´n a trav´s de un camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 89 4.6. Reemplazo de un camino γ por otro poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7. Dominio e imagen de Inv’ y f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.8. Vector tangente a γ en el punto γ(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ´ 4.9. Angulo entre los caminos γ1 y γ2 en el punto zc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.10. Transformaci´n de caminos por una funci´n de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . o o 97 4.11. Conservaci´n del ´ngulo entre dos caminos mediante una aplicaci´n conforme f . . . . . . o a o 100 4.12. Transformaci´n de ´ngulos para aplicaciones con distintos valores de K. . . . . . . . . . . o a 102 4.13. L´ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaci´n conforme. o 105 4.14. Transformaci´n de vectores mediante una inversi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 106 4.15. Construcci´n geom´trica para obtener la rec´ o e ıproca de un complejo. . . . . . . . . . . . . . 106 4.16. Construcci´n geom´trica alternativa para hallar la rec´ o e ıproca de un n´ mero complejo. . . . u 107
  9. 9. Cap´ ıtulo 1 N´meros Complejos u 1.1. Definici´n o Se llama n´mero complejo a todo par ordenado (x y) de n´ meros reales. u u z := (x y) : x ∈ R , y ∈ R z := N´ mero complejo u Al n´ mero real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente u del n´ mero complejo. u Asimismo, al n´ mero real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria o u segunda componente del n´ mero complejo. u Re(z) := x Im(z) := y Re(z) := parte real de z Im(z) := parte imaginaria de z Observaci´n: Conviene remarcar que tanto la parte real, como la parte imaginaria de un n´ mero complejo o u (a pesar de su denominaci´n), son ambos n´ meros reales. o u Al conjunto de todos los n´ meros complejos, se lo simboliza con C. u C := {(x y) : x ∈ R , y ∈ R } C := Conjunto de todos los n´ meros complejos u Observaci´n: A partir de la definici´n de C es inmediato que: o o C=R×R o sea que C = R2 Sin embargo, la introducci´n del nuevo s´ o ımbolo C para representar al conjunto de los complejos, en vez de usar directamente R2 , es conveniente para destacar y recordar la diferencia existente entre R2 y los dem´s Rn . a Todo Rn conforma estructura de espacio vectorial y tambi´n estructura de espacio eucl´ e ıdeo. En el caso particular de R2 , adem´s de las estructuras mencionadas, se agrega la estructuraci´n en a o ıstica no se extiende a ning´ n Rn con n ≥ 3. cuerpo abeliano. (ver punto 1.3). Esta caracter´ u La raz´n de esta diferencia es porque en C, adem´s de definirse la suma como en todo Rn , se establece o a tambi´n la multiplicaci´n, condici´n que le permite alcanzar la estructura de cuerpo abeliano. e o o 9
  10. 10. 10 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS 1.2. Igualdad de n´ meros complejos u La igualdad de los n´ meros complejos es una consecuencia de la igualdad definida entre conjuntos, y u su aplicaci´n sobre los pares ordenados. Resulta entonces: o x = x′ (x y) = (x′ y ′ ) ⇔ y = y′ Es decir, dos n´ meros complejos son iguales, si y s´lo si simult´neamente, las respectivas partes reales u o a e imaginarias son iguales entre s´ Una igualdad en C representa entonces dos igualdades en R. ı. 1.3. Estructuraci´n de C como cuerpo abeliano o Sobre el conjunto de los complejos C se definen dos leyes de composici´n interna: o T : C × C −→ C ((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ ) P : C × C −→ C ((x y), (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ ) T := Ley suma de n´ meros complejos u P := Ley producto de n´ meros complejos u Los signos ”+” y ”·” representan las leyes de composici´n interna, suma y producto de n´ meros reales. o u El conjunto de los n´ meros complejos C se estructura en cuerpo abeliano con respecto a las leyes de u composici´n interna suma de n´ meros complejos ”T ” y producto de n´ meros complejos ”P ”. o u u T : C × C −→ C   ((x y), (x′ y ′ )) −→ (x + x′ , y + y ′ )     =⇒ (C T P ) ∈ Cuerpo abeliano P : C × C −→ C     ((xy) , (x′ y ′ )) −→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ )  La demostraci´n de esta aseveraci´n es inmediata. o o Algunos elementos destacables en el cuerpo C son: (0 , 0) ∈ neutro de C respecto de T (−x , −y) ∈ sim´trico de (x y) respecto de T e (1 , 0) ∈ neutro de C respecto de P x −y , ∈ sim´trico de (x y) respecto de P , ∀(x y) = (0 0) e x2 + y 2 x2 + y 2 Los s´ ımbolos con los cuales se identificar´n estos elementos son: a s := (0 , 0) ∗ z := (−x , −y) u := (1 , 0) x −y z• := , x2 + y 2 x2 + y 2
  11. 11. 1.4. IMPOSIBILIDAD DE ESTRUCTURAR C COMO CUERPO ORDENADO 11 1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado El conjunto C no puede ser estructurado como cuerpo ordenado. Ello significa que no existe ninguna relaci´n sobre C × C que cumpla simult´neamente: o a (a) Relaci´n de orden amplio sobre C. o (b) Relaci´n de orden total. o (c) Relaci´n de compatibilidad con las leyes de suma y producto complejo. o Estas condiciones presentadas para el caso de un cuerpo gen´rico (E T P ), llamando RO a la relaci´n de e o orden sobre E, pueden expresarse de la siguiente manera:  ∀x ∈ E (x x) ∈ RO Reflexividad     (x y) ∈ RO  ⇒ x=y Antisimetr´ıa  RO ∈ Relaci´n de orden amplio := o (y x) ∈ RO    (x y) ∈ RO    ⇒ (x z) ∈ RO Transitividad (y z) ∈ RO RO ∈ Relaci´n de orden total := ∀x ∈ E, ∀y ∈ E o {x y} =⇒ (x y) ∈ RO o (y x) ∈ RO  (x y) ∈ RO =⇒ (xT z , yT z) ∈ RO  ∀z ∈ E     RO ∈ Rel. de comp. con suma y producto :=   (x y) ∈ RO  (s z) ∈ RO     =⇒ (xP z , yP z) ∈ RO s :=Neutro de (E , T )  A partir de estas definiciones se establece entonces:  (E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano       (E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano ordenado := RO ∈ Relaci´n de orden amplio o  RO ∈ Relaci´n de orden total   o   RO ∈ Relaci´n compatible con la suma y el producto o Observaci´n 1: Al cumplirse simult´neamente las condiciones de orden amplio y total sobre E, resulta o a superflua la condici´n de reflexividad, como se muestra a continuaci´n: o o A partir de la condici´n de orden total, tomando x = y se obtiene: o ∀x ∈ E {x x} =⇒ (x x) ∈ RO o (x x) ∈ RO resultando entonces: ∀x ∈ E =⇒ (x x) ∈ RO Observaci´n 2: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x ≥ y o (x y) ∈ RO. En el texto o se ha preferido el uso de ´sta ultima para evitar confusiones. e ´ A continuaci´n se pasa a demostrar la tesis propuesta, que el cuerpo de los complejos no puede ser o ordenado.
  12. 12. 12 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS El esquema de prueba se basa en que para dos n´ meros complejos, (0 0) (neutro de T ) y el (0 1) (m´s u a adelante llamado unidad imaginaria), no puede establecerse ninguna relaci´n de orden que satisfaga las o condiciones anteriores. (C, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano =⇒ ∄ RO sobre C : (C, T, P ) ∈ Cuerpo ordenado 1. Orden total {(0 0) , (s 1))} ⇒ ((0 0) , (0 1)) ∈ RO o ((0 1) , (0 0)) ∈ RO Suponiendo la primera de las dos posibilidades: 2. ((0 0) (0 1)) ∈ RO ((0 0) (0 1)) ∈ RO 3. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO ((0 0) (0 1)) ∈ RO ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO 4. Compat. P ⇒ ((0 0) (1 , 0)) ∈ RO ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO 5. Compat. T ⇒ ((1 0) (0 0)) ∈ RO (1 , 0) ∈ C ((0 0) (1 0)) ∈ RO 6. (4.), (5.) y antisim. ⇒ (0 0) = (0 1) (prop. falsa) ((1 0) (0 0)) ∈ RO Como la primera posibilidad ha conducido a una proposici´no falsa, se prueba con la segunda: 7. ((0 1) (0 0)) ∈ RO ((0 1)(0 0)) ∈ RO 8. Compat. T ⇒ ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO (0 , −1) ∈ C ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO 9. Compat. P ⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO Este resultado es el mismo obte- nido en (3.). Si se sigue un pro- cedimiento igual al ya realizado, se obtiene tambi´n: e 10. =⇒ (0 0) = (1 0) prop. falsa Se deben descartar entonces las dos posibilidades. De donde:
  13. 13. ´ 1.5. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA VECTORIAL 13  RO ∈ Relaci´n de orden amplio  o  RO ∈ Relaci´n de orden total o 11. (1.), (6.) y (10.) ∄ RO sobre C : RO ∈ Relaci´n de compatibilidad  o  con la suma y producto complejo  Observaci´n 1: El hecho de que C no sea un cuerpo ordenado, deja como unico Rn que cumple tal o ´ condici´n al conjunto de los reales R. Este es el cuerpo ordenado por excelencia. o Observaci´n 2: Conviene remarcar que en C carece totalmente de sentido la proposici´n: o o z > z′ Por lo tanto, en el caso de presentarse esta notaci´n, es sencillamente un grave error. o 1.5. Estructuraci´n de C como estructura vectorial o El conjunto de los n´ meros complejos C conforma una estructura vectorial, sobre un cuerpo K, u respecto de las leyes de composici´n interna T (suma de n´ meros complejos) y composici´n externa P o u o oportunamente definida: P : C × C −→ C (λ, (x y)) −→ (λx, λy) P := Ley de composici´n externa de C sobre K. o K := Cuerpo de apoyo de la estructura vectorial o conjunto de los escalares. La proposici´n mencionada es consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de o n R . Tiene particular inter´s tomar a la terna (R + ·) como cuerpo K sobre el cual conforma C la estructura e vectorial. C = { (xy) : x ∈ R , y ∈ R}      (R + ·) ∈ Cuerpo de los Reales        C×C → C  T : =⇒ (C R + · T P ) ∈ Estructura vectorial ((x y) , (x′ y ′ )) → (x + x′ , y + y ′ )       P : C×C → C      ′ ′ ′ ′ ′ ′  ((x y) , (x y )) → (xx − yy , xy + yx ) Observaci´n 1: Para no incurrir en confusiones de conceptos se debe tener presente siempre las diferencias o que existen entre las leyes: - Producto de n´ meros reales: · u - Producto de n´ meros complejos: p u
  14. 14. 14 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS - Producto de C sobre K: P Observaci´n 2: Para evitar interpretaciones err´neas se hace notar que la convenci´n adoptada para la o o o denominaci´n de la s´xtupla (E K + · T P ) y el conjunto E es: o e (E K + · T P ) := Estructura de espacio vectorial o estructura vectorial E := Espacio vectorial 1.6. Estructuraci´n de C como estructura de espacio m´trico o e El conjunto C conforma una estructura de espacio m´trico, y en particular una estructura de espacio e eucl´ ıdeo, al definirse la funci´n distancia por la expresi´n pitag´rica: o o o d: C × C −→ R (z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ ) d(z z ′ ) := distancia de z a z ′ Esta caracter´ ıstica es una consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de Rn . C = { (x y) : x ∈ R , y ∈ R }     d : C × C −→ R =⇒ (C , d) ∈ Estructura de espacio eucl´ ıdeo   (z , z ′ ) −→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ )  Observaci´n 1: Para evitar confusiones se se˜ ala que las denominaciones adoptadas para el par (E , d) y o n para el conjunto E son: (E , d) := Estructura de espacio m´trico o estructura m´trica e e E := Espacio m´trico e El hecho de poder estructurar E como espacio m´trico tiene enorme importancia. e En efecto, se logra con ello la base (funci´n distancia) para construir una estructura topol´gica. o o De esta manera el conjunto de los complejos C conforma simult´neamente una estructura algebraica a de cuerpo, y una estructura topol´gica, siendo ambas las dos condiciones esenciales para poder definir los o conceptos que son fundamento del an´lisis matem´tico: la continuidad (la convergencia) y la diferencial. a a 1.6.1. Propiedades generales de la funci´n distancia en C o Las propiedades m´s importantes para destacar de la funci´n distancia sobre el conjunto de los a o complejos, se desprenden directamente del caso m´s general, funci´n distancia sobre los espacios eucl´ a o ıdeos. Para facilitar su presentaci´n es conveniente usar los s´ o ımbolos e := (0 0) z ∗ := (−x , −y) respectivamente par el neutro de C respecto de la suma T , y el opuesto de z respecto de T . Tambi´n se e agregar´ el nuevo s´ a ımbolo: z − z ′ := z T z ′∗ z − z ′ := Diferencia entre los n´ meros complejos z y z ′ u
  15. 15. ´ ´ 1.6. ESTRUCTURACION DE C COMO ESTRUCTURA DE ESPACIO METRICO 15 El detalle de las propiedades mencionadas es: I. d(z e) = 0 ⇔ z = e II. z − z ′ = w − w′ =⇒ d(z z ′ ) = d(w w′ ) III. d(z + z ′ , z) = d(z ′ e) IV. d(z − z ′ , e) = d(z z ′ ) V. d(z − z ′ , e) = d(z ′ − z , e) λ∈R VI. d(λz , λz ′ ) = |λ|d(z z ′ ) VII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z + z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e) VIII. d(z e) − d(z ′ e) |d(z e) − d(z ′ e)| d(z − z ′ , e) d(z e) + d(z ′ e) IX. |Re(z)| d(z, e) |Im(z)| d(z, e) Es buen ejercicio demostrar estas f´rmulas en forma directa a partir de la definici´n de distancia sobre o o C. 1.6.2. Notaci´n para la funci´n distancia sobre C o o La notaci´n de la funci´n distancia sobre C, que por otra parte se emplea normalmente para cualquier o o Rn es: |z − z ′ | := d(z z ′ ) |z − z ′ | := Distancia de z a z ′ De acuerdo a esta ultima convenci´n resulta: ´ o d(z e) = |z| En efecto: d(z e) = |z − e| = |z T e∗ | = |z T e| = |z| La distancia d(z e) tiene una gran aplicaci´n e importancia, tanto como para adjudicarle una deno- o minaci´n particular. Esto se tratar´ en el apartado 1.6.3. o a La introducci´n del nuevo s´ o ımbolo |z − z ′ | para representar la funci´n distancia, es justificada por el o hecho de que ayuda a recordar todas las propiedades del p´rrafo anterior asimil´ndolas a las an´logas de a a a la funci´n valor absoluto en el campo real. o En efecto, si formalmente se opera d(z z ′ ) con las propiedades del valor absoluto real, se verifican sin dificultad las propiedades vistas en 1.6.1: I. |z − e| = 0 ⇔ z = e |z| = 0 ⇔ z = e
  16. 16. 16 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS II. z − z ′ = w − w′ =⇒ |z − z ′ | = |w − w′ | III. |(z + z ′ ) − z| = |z ′ | IV. |(z − z ′ ) − e| = |z − z ′ | V. |z − z ′ | = |z ′ − z| VI. |λz − λz ′ | = |λ||z − z ′ | VII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z + z ′ | |z| + |z ′ | VIII. |z| − |z ′ | ||z| − |z ′ || |z − z ′ | |z| + |z ′ | IX. |Re(z)| |z| |Im(z)| |z| Observaci´n: El valor absoluto en el campo real por su parte estructura al conjunto R como espacio o eucl´ ıdeo, pues: d(x y) = (x − y)2 = |x − y| ıdeo Rn puede entenderse como una generalizaci´n del valor Entonces, la distancia del espacio eucl´ o absoluto definido para R. 1.6.3. M´dulo de z o Se define como m´dulo de z, tambi´n llamado valor absoluto de z, a la distancia d(z e). o e |z| := d(z e) |z| := M´dulo de z o Esta definici´n es complementaria de la notaci´n de distancia introducida en 1.6.2, ya que ambas no o o son independientes, como se demuestra acto seguido: Teorema 1.6.1. d(z z ′ ) = |z − z ′ | ⇐⇒ d(z e) = |z| Demostraci´n. La demostraci´n de la condici´n necesaria es: o o o d(z e) = |z − e| = |z| La condici´n suficiente: o d(z z ′ ) = d(z − z ′ , e) = |z − z ′ | La asignaci´n de una denominaci´n espec´ o o ıfica dada a la distancia d(z e) se justifica no solamente por la frecuencia con que aparece en las f´rmulas anteriores, sino tambi´n para resaltar el papel muy importante o e que desempe˜ a en todo el ´lgebra y an´lisis complejo. n a a Basta para ello mencionar que su empleo permite:
  17. 17. ´ 1.7. ESTRUCTURACION DE C COMO ESPACIO NORMADO 17 a. La definici´n de la forma polar del n´ mero complejo. o u b. El hallazgo de m´todos operativos m´s sencillos, derivados de la forma polar, para la multiplicaci´n, e a o divisi´n, potencia, radicaci´n y logaritmaci´n. o o o c. Establecer una norma sobre C Todos estos conceptos ser´n desarrollados m´s adelante. a a El m´dulo de z, de acuerdo con la definici´n es una aplicaci´n del conjunto de los complejos sobre los o o o reales. ||: C −→ R (x y) −→ x2 + y 2 Las propiedades m´s importantes del m´dulo de z son las detalladas en el p´rrafo anterior. a o a A ellas conviene agregar: |z| = |z ′ | ⇔ |z|2 = |z ′ |2 cuya demostraci´n es inmediata, y adem´s: o a Teorema 1.6.2. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos. o o (zz ′ ) ∈ C =⇒ |z P z ′ | = |z||z ′ | Demostraci´n. o |z P z ′ |2 = (xx′ − yy ′ )2 + (xy ′ + yx′ )2 = x2 x′2 + y 2 y ′2 + x2 y ′2 + y 2 x′2 = (x2 + y 2 )(x′2 + y ′2 ) = |z|2 |z ′ |2 1.7. Estructuraci´n de C como espacio normado o Se llama espacio normado a todo espacio vectorial provisto de una aplicaci´n sobre los reales no o negativa, llamada norma, que cumple las condiciones que se mencionan a continuaci´n: o  (E K + · T P ) ∈ Estr. espacio vectorial)     N : E −→ R    (E K + · T P N ) :=   N (x) = 0 ⇔ x = e       x −→ N (x) : N (λx) = |λ|N (x)   N (xT y) N (x) + N (y)   N (x) := Norma del vector x A partir de las propiedades I, V I y V II del p´rrafo 1.6.2 se concluye de inmediato que la funci´n m´dulo a o o de z es efectivamente una norma. ||: C −→ R =⇒ (E K + · T P ) ∈ Estr. de espacio normado (x y) −→ x2 + y 2
  18. 18. 18 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS En todo espacio normado, la funci´n distancia d(zz ′ ) = N (z − z ′ ) lo estructura como espacio m´trico. o e d: C × C −→ R =⇒ (C d) ∈ Estructura de espacio m´trico e (z z ′ ) −→ N (z − z ′ ) La norma establece una elaci´n directa entre los espacios vectoriales y los espacios m´tricos. o e La importancia de este hecho reside en que con ello se asegura la continuidad de las operaciones vectoriales suma y producto externo. 1.8. Forma bin´mica de los complejos o 1.8.1. Isomorfismos entre estructuras Se dice que una aplicaci´n f del conjunto E sobre el conjunto E ′ establece un isomorfismo entre las o estructuras (E T ) y (E ′ T ′ ), donde T y T ′ son leyes de composici´n interna definidas respectivamente o sobre E y E ′ , cuando: a. f es biyectiva b. La composici´n interna T ′ de la aplicaci´n de dos elementos de E sobre E ′ es igual a la aplicaci´n o o o sobre E ′ de la composici´n interna T de dichos elementos de E, es decir: o f (a T b) = f (a) T ′ f (b) En resumen:  E = {abc . . . }    T : E × E −→ E       ′ E = {a′ b′ c′ . . . }    ′ ′ ((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas := T ′ : E ′ × E ′ −→ E ′   f : E −→ E ′        f ∈ biyectiva   a −→ a′ :   a T b −→ a′ T ′ b′   Ejemplo: La funci´n logaritmo natural o L: R+ −→ R x −→ L(x) establece un isomorfismo entre las estructuras (R+ ·) y (R +).
  19. 19. ´ 1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 19 Generalizando, una funci´n f puede establecer un isomorfismo entre las estructuras (E T P ) y (E ′ T ′ P ′ ) o dotadas cada una de ellas con dos leyes de composici´n interna, cuando: o  E = {abc . . . }    T : E × E −→ E      P : E × E −→ E       ′ E = {a′ b′ c′ . . . }      ′ ′ ′ T : E ′ × E ′ −→ E ′ ((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas :=  ′ P : E ′ × E ′ −→ E ′     f : E −→ E ′             f ∈ biyectiva  a −→ a′ : a T b −→ a′ T ′ b′      a P b −→ a′ P ′ b′    1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula Definimos como C1 al conjunto de los complejos con segunda componente nula. C1 := {(x, 0)} C1 := Conjunto de los complejos con segunda componente nula o conjunto de las primeras componentes La funci´n pr1 que se llamar´ primera proyecci´n, o a o pr1 : C1 −→ R (x, 0) −→ x establece un isomorfismo entre las estructuras (C1 T P ) y (R + ·). Teorema 1.8.1. C1 = {(x, 0)} =⇒ ((R + ·) (C1 T P ) pr1 ) ∈ Estructuras isomorfas (x (x, 0)) ∈ pr1 Demostraci´n. Se demuestra en primer lugar que la relaci´n pr1 es una aplicaci´n biyectiva. o o o ∀x ∃ (x, 0) x = x′ x = x′ ⇔ 0=0 ⇔ (x, 0) = (x′ , 0) Enseguida se ver´ como la aplicaci´n pr1 establece el isomorfismo. a o x −→ (x, 0) y −→ (y, 0) x + y −→ (x, 0) T (y, 0) = (x + y, 0) x · y −→ (x, 0) P (y, 0) = (x · y, 0)
  20. 20. 20 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS Observaci´n 1: El par (x, 0) no es un n´ mero real a pesar de que es frecuente denominarlo as´ en un o u ı, evidente abuso de notaci´n. o El complejo (x, 0) es el correspondiente al real x a trav´s del isomorfismo definido. e Observaci´n 2: Es inmediato demostrar a partir del isomorfismo estudiado entre C1 y R que tambi´n o e puede establecerse otro isomorfismo entre los complejos con segunda componente nula y los reales a trav´s de la funci´n: e o pr2 : {(0, y)} −→ R (0, y) −→ y como se verifica considerando las leyes respectivas se suma pero no las leyes de multiplicaci´n. o 1.8.3. Forma bin´mica de los n´meros complejos o u Todo n´ mero complejo puede descomponerse en la suma de otros dos, con segunda y primera com- u ponente nula, respectivamente: (x y) = (x 0) T (0 y) Por el otro lado tambi´n se verifica e (0 y) = (y 0) T (0 1) y entonces se concluye que un n´ mero complejo puede ser representado como: u (x y) = (x 0) T ((y 0) P (0 1)) que es la llamada forma cartesiana o bin´mica de los n´ meros complejos. o u Es conveniente tomar: i := (0 1) i := Unidad imaginaria Queda entonces: (x y) = (x 0) T ((y 0) P i) Este resultado, conjuntamente con el isomorfismo estudiado en 1.8.2 induce a pensar la posibilidad de la existencia de un isomorfismo entre el conjunto de los complejos C y el conjunto de los binomios x + iy operados formalmente con las reglas del ´lgebra de los n´ meros reales. a u En efecto, definiendo al conjunto de los nuevos entes x + iy, B := {x + iy : x ∈ R , y ∈ R} la funci´n o f : C −→ B (x y) −→ x + iy establece un isomorfismo entre (B + ·) y (C + ·) donde + y · son las leyes de composici´n interna sobre o el conjunto B, definidas en forma conveniente de acuerdo al ´lgebra de los n´ meros reales. a u
  21. 21. ´ 1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS 21 Las definiciones de estas leyes se hallan en el enunciado del teorema siguiente, y merece se˜ alarse unica- n ´ mente que es necesario convenir que: i2 := −1 Observaci´n 1: Debe tenerse sumo cuidado de no entrar en confusiones con las dos definiciones hechas de o i porque sin distintas. Se ha usado la misma letra solamente por razones tradicionales. En el primer caso se ha definido sobre el conjunto de los complejos i = (0 1) lo cual lleva a i2 = i P i = (−1, 0) y por lo tanto de acuerdo a la Observaci´n 1 del p´rrafo 1.8.2 o a i2 = −1 siendo i2 simplemente el correspondiente de −1 en el isomorfismo analizado entre C1 y R: pr1 : i2 −→ −1 En el segundo caso, que no es una definici´n operacional de elementos de C sino de entes de B, el o ımbolo i2 representa a: s´ i2 = i · i es decir, un producto con respecto a la ley · en B. Y se establece a “contrario sensu”: i2 = −1 El planteo del isomorfismo de las estructuras es: (C T P ) ∈ Cuerpo complejo      B × B −→ B  +:     ((x + iy), (x + iy ′ )) −→ (x + x′ ) + i(y + y ′ ) ′        B × B −→ B  ·:    xx′ + ixy ′ + iyx′ + yy ′ i2 = =⇒ ((B + ·) (C T P ) f ) ∈ Estr. isomorfas ((x + iy), (x′ + iy ′ )) −→  (xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + yx′ )       i · i −→ −1        C −→ B  f:      (x y) −→ x + iy La demostraci´n de este isomorfismo surge directamente de la definici´n de las leyes de composici´n o o o interna definidas sobre B. La denominaci´n de forma bin´mica del n´ mero complejo es justificada con claridad por el isomorfismo o o u demostrado.
  22. 22. 22 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS Se remarca que la importancia de este resultado reside en que la forma bin´mica permite operar con o los n´ meros complejos como simples n´ meros reales, con la condici´n de sustituir en la multiplicaci´n a u u o o i2 por −1. Observaci´n 2: No debe olvidarse que del mismo modo que el complejo (x 0) y el real x son nociones o diferentes, tambi´n lo son el complejo (x y) y el binomio x + iy. e Sin embargo es usual confundirlos en evidente abuso de notaci´n. Esto no produce dificultades al operar o con complejos si se toman las precauciones del caso. Llegado a este punto del texto en el cual se han estudiado las diferencias y relaciones existentes entre las leyes de composici´n interna complejas y reales, se usar´n, por razones tradicionales, a partir de ahora o a los signos + y · tambi´n para las primeras siempre que ello no induzca a confusiones. e 1.9. Representaci´n geom´trica de los complejos o e De la misma manera que no puede establecerse diferencia entre el n´ mero real x y el punto x de una u recta, tampoco existe ninguna diferencia entre el n´ mero complejo (x y) y el punto (x y) del plano R × R. u Se comprende que a partir de este razonamiento, no puede hacerse ninguna distinci´n entre el “´lge- o a bra”y la “geometr´ ıa”. La representaci´n geom´trica de un n´ mero complejo es sencillamente otra forma de simbolizarlos, es o e u decir, otra forma de escribirlos o representarlos. Sin embargo, hist´ricamente ha sido, y todav´ es, un modelo muy conveniente para estudiar e inter- o ıa pretar las relaciones entre los complejos. Por lo tanto, es importante el manejo fluido de los complejos teniendo siempre presente su significado geom´trico. e La representaci´n m´s frecuente de R2 es en coordenadas cartesianas ortogonales, mediante un plano o a que se denominar´ plano complejo. a Un n´ mero complejo z = (x y) es representado por un punto del plano de coordenadas: u x = Re(z) como abscisa y = Im(z) como ordenada Observaci´n 1: Debe observarse que de acuerdo a las apreciaciones hechas m´s arriba, las palabras n´ mero o a u complejo y punto del plano son sin´nimos. o Tambi´n son equivalentes los t´rminos R×R y plano, primera componente y abscisa, segunda componente e e y ordenada, etc.; que se usar´n indistintamente a lo largo del texto. a En el plano complejo a los ejes x e y se los denomina real e imaginario respectivamente. De acuerdo a las convenciones establecidas para la representaci´n en coordenadas cartesianas , el o complejo (x 0) es representado por puntos del eje imaginario.
  23. 23. ´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 23 y z (0 y) (x y) y (0 0) (x 0) x x Figura 1.1: Representaci´n del complejo (x y) en el plano cartesiano. o Observaci´n 2: La denominaci´n de forma cartesiana como equivalente de la bin´mica surge evidentemente o o o de la representaci´n gr´fica de los complejos. o a El origen de coordenadas representa al par (0 0) Otra interpretaci´n del complejo z puede ser la de segmento orientado con origen en (0 0) y v´rtice o e en el punto (x y). La representaci´n polar permitir´ estudiar en detalle este nuevo enfoque. o a Esta simple observaci´n destaca como la representaci´n geom´trica ayuda a estudiar las propiedades del o o e n´ mero complejo. En este caso, la relaci´n entre el conjunto C y los espacios vectoriales como segmentos u o orientados. 1.10. Forma Polar de un N´ mero Complejo. Propiedades u Los n´ meros complejos (x y) pueden ser representados de otras maneras, adem´s de las ya vistas. u a Dada una funci´n biyectiva o f: C −→ C (x y) −→ (u v) : f ∈ biyectiva Al establecer una correspondencia uno a uno entre los pares (x y) y (u v), permite interpretar al segundo par como una nueva forma o representaci´n del primer par. o En particular adquieren importancia por su facilidad de operaci´n la forma polar, y su derivada, la o forma exponencial. 1.10.1. Forma Polar de un N´mero Complejo u En el plano complejo puede observarse con ayuda de la representaci´n geom´trica, que cualquier par o e (x y) = (0 0) puede ser definido por otro par (r θ) cuyos elementos son: r := Distancia al origen de coordenadas ´ w := Angulo formado entre el segmento o z y el eje x El par (r θ) define las llamadas coordenadas polares del n´ mero complejo. u Al par (0 0), origen de coordenadas, se asignan convencionalmente los valores: r=0 θ = θ1
  24. 24. 24 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS donde θ1 es un n´ mero real arbitrario. u La primera coordenada polar, r, representa entonces la distancia d(z e), es decir el m´dulo de z o estudiado en 1.6.3. y z z r y θ x x Figura 1.2: Representaci´n del complejo z en coordenadas polares. o r := |z| = d(z e) r := m´dulo de z o El m´dulo de z est´ definido para cualquier n´ mero complejo, a´ n el (0 0), por la aplicaci´n: o a u u o || : C −→ R (x y) −→ |z| = x2 + y 2 ya estudiada anteriormente. La segunda coordenada polar θ, que como se dijo, representa el ´ngulo entre el segmento o z y el eje a x. Debe elegirse entonces anal´ ıticamente, de manera que satisfaga el sistema: r cos(θ) = x r sen(θ) = y A todos los valores de θ, ra´ del sistema, se los llama argumento de z. ıces y arg(z) := θ : θ ∈ arctan x arg(z) := argumento del complejo z La soluci´n de este sistema, no est´ un´ o a ıvocamente determinada en θ, pues si θ1 es soluci´n, tambi´n lo o e es θ1 + 2kπ : k ∈ Z (´ngulos congruentes entre s´ a ı). Por lo tanto, para establecer una relaci´n uno a uno entre las coordenadas cartesianas y las polares, debe o
  25. 25. ´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES 25 asignarse un s´lo valor de argumento a cada punto, por ejemplo de la siguiente manera: o Arg : C − {(0 0)} −→ R  y  − π + Arctan x < 0, y < 0   x −π   x = 0, y < 0      2  y (x y) −→ Arg(z) = Arctan x > 0, ∀ y  x π  x = 0, y > 0    2   π + Arctan y    x < 0, y 0 x Arg(z) := Determinaci´n principal del argumento de z o valor principal. o Esta determinaci´n llamada principal del argumento de z se identifica por el s´ o ımbolo Arg(z), encabe- zado con A (may´ scula). u Observaci´n 1: La funci´n o o Arctan : R −→ (−π/2 , π/2) x −→ Arctan(x) escrita con A may´ scula, es por convenci´n la determinaci´n principal de la funci´n multiforme (que por u o o o lo tanto no es una aplicaci´n) {x , arctan(x)}, relaci´n inversa de la tangente: o o tan : R − {(n + 1/2)π : n ∈ Z} −→ R x −→ tan(x) En resumen, la transformaci´n biyectiva o f: C −→ C   x2 + y 2 , Arg(z) z = (0 0) (x y) −→ (r θ) =  (0 , θ ) 1 z = (0 0) , θ1 ∈ R es una de las posibilidades que define al nuevo par (r θ), cuyos elementos son las coordenadas polares de un punto del plano complejo. A su vez, la funci´n inversa de F es: o F −1 : C −→ C (r θ) −→ (x y) = (r cos θ , r sen θ) a partir de la cual puede deducirse la forma bin´mica a: o x + iy = r (cos θ + i sen θ) llamada forma polar o forma trigonom´trica del n´ mero complejo. e u Observaci´n 2: Para definir las coordenadas polares, podr´ elegirse cualquier otra determinaci´n del o ıa o argumento de z, en vez de la principal, obteni´ndose resultados equivalentes. e Las diferentes determinaciones tienen tambi´n su utilidad, como por ejemplo para el c´lculo de logaritmos e a y potencias complejas.
  26. 26. 26 CAP´ ´ ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS 1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia A partir de la igualdad entre pares ordenados se obtiene: r = r′ (r θ) = (r′ θ′ ) ⇔ θ = θ′ Es decir, la igualdad de dos n´ meros complejos es condici´n necesaria y suficiente de la igualdad de sus u o respectivos m´dulos y argumentos. o Un concepto que no debe confundirse con el de igualdad es el de congruencia. Se dice que dos complejos expresados en forma polar, son congruentes; con distinta o igual determinaci´n o del argumento, cuando son correspondientes de un mismo punto del plano complejo. Esto significa: (r θ) (r′ θ′ ) := r(cos θ + i sen θ) = r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) (r θ) (r′ θ′ ) := (r θ) es congruente con (r′ θ′ ) La congruencia para z = (0 0) se reduce a la igualdad s´lo en el caso de la igualdad de los argumentos. o Es decir que dos complejos expresados en forma polar con m´dulo no nulo (z = (0 0)) son congruentes, o cuando tienen los m´dulos iguales y sus argumentos difieren en una cantidad entera de 2π. o En el caso de que el m´dulo sea nulo, ´sta es condici´n suficiente para la igualdad de dos complejos; o e o con independencia del valor de los respectivos argumentos. r=0 r = r′ (r θ) (r′ θ′ ) ⇔ θ = θ′ r=0 (r θ) (r′ θ′ ) ⇔ r = r′ = 0 Observaci´n 3: No debe perderse de vista la diferencia existente entre la igualdad y la congruencia. En o algunos casos, donde debe destacarse esta diferencia, se han creado artificios especiales. Por ejemplo, puede suponerse que al plano polar de los complejos (r θ) se le hace corresponder uno o m´s planos a cartesianos (uno para cada determinaci´n) que geom´tricamente se tienen por superpuestos. Estos planos o e se llaman de Riemann, y son una forma de establecer una correspondencia biun´ ıvoca aplicable para trabajar con funciones multiformes. 1.10.3. Producto en forma polar. Cociente Una primera aplicaci´n donde la forma polar es particularmente eficaz es en el producto complejo: o r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r r′ ((cos θ cos θ′ − sen θ sen θ′ ) + i(cos θ sen θ′ + cos θ′ sen θ)) = r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ )) donde se comprueba que: I. El m´dulo del producto es igual al producto de los m´dulos, teorema ya demostrado en o o 1.6.3 II. Una de las determinaciones del argumento del producto es igual a la suma de los argu- mentos de los factores

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