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Modelos de distribución discretos y continuos

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Guión del tema 5, Modelos de distribución discretos y continuos Estadística+Ingeniería Multimedia. Más recursos en http://blogs.ua.es/violeta/

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Modelos de distribución discretos y continuos

  1. 1. TEMA 5 Modelos de distribución discretos y continuosPunto 1Punto 2Punto 3 EstadísticaPunto 4 INGENIERÍA MULTIMEDIA Violeta Migallón
  2. 2. TEMA 5 Modelos de distribución discretos y continuosPunto 1 IntroducciónPunto 2 Variables aleatorias discretas (binomial,Punto 3 Poisson)Punto 4 Variables aleatorias continuas (normal, Ji- cuadrado, F de Snedecor, t-Student, …) Práctica EXPLICACIÓN EN LABORATORIO
  3. 3. TEMA 5 IntroducciónPunto 1Punto 1 En todo experimento aleatorio se puede definir una variable aleatoria asignando a cada resultado unPunto 2 número:Punto 3  Si el resultado del experimento es numérico los posibles valores de la variable coinciden con los resultados delPunto 4 experimento  Si el resultado del experimento es cualitativo se le hace corresponder a cada resultado un número Variable aleatoria: función real definida sobre el espacio muestral de los resultados de un experimento aleatorio X:Ω→R
  4. 4. TEMA 5 IntroducciónPunto 1Punto 1 Variables aleatorias discretas: Binomial y PoissonPunto 2Punto 3 Función de cuantía f(x)=P(X=x) para todo x del rango de XPunto 4 Función de distribución F(x)=P(X≤x) para todo x Variables aleatorias continuas: Normal, exponencial, Ji-cuadrado, F de Snedecor, t de Student Función de densidad f(x) para todo x real. Función de distribución F(x)=P(X≤x) para todo x real (áreas)
  5. 5. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Función de cuantía de una variable aleatoriaPunto 2 discreta:Punto 3  f(x)=P(X=x) para todo x perteneciente al rango de la variable X (denotado por RX)Punto 4 Ejemplo: Sea X=número de hijos de las familias de cierta zona. Número de hijos Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0
  6. 6. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo:Punto 1 X=número de hijos de las familias de cierta zonaPunto 2Punto 3 Función de cuantía: Número de hijosPunto 4 Porcentaje Porcentaje P(X=0)=15/81=0.185 Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 P(X=1)=20/81=0.247 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 P(X=2)=25/81=0.309 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 P(X=3)=15/81=0.185 Total 81 100,0 100,0 P(X=4)=4/81=0.049 P(X=5)=2/81=0.025
  7. 7. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Propiedades de la función de cuantíaPunto 2Punto 3Punto 4
  8. 8. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Ejemplo: Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de cuantía.Punto 2 f(n)=k(1/8)n, n=1, 2, 3, 4, …Punto 3Punto 4 k(1/8)+k(1/8)2+ k(1/8)3+ k(1/8)4+…=1 La suma (1/8)+(1/8)2+ (1/8)3+ (1/8)4+… corresponde con la suma infinita de una progresión geométrica de razón r=1/8. Como |r|<1, esta suma se obtiene con la siguiente fórmula: Por tanto: k((1/8)+(1/8)2+ (1/8)3+ (1/8)4+…)=k(1/8)/(1-(1/8))=k/7k=7 Notemos que esta función toma valores no negativos y menores o igual que 1.
  9. 9. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Función de distribución de una variablePunto 2 aleatoria discretaPunto 3  F(x)=P(X≤x), para todo x en RPunto 4 Ejemplo: Sea X=número de hijos de las familias de cierta zona. Número de hijos Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0
  10. 10. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo:Punto 1 X=número de hijos de las familias de cierta zona.Punto 2Punto 3 Función de cuantía: Número de hijosPunto 4 Porcentaje Porcentaje P(X=0)=15/81 Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 P(X=1)=20/81 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 P(X=2)=25/81 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 P(X=3)=15/81 Total 81 100,0 100,0 P(X=4)=4/81 Función de distribución P(X=5)=2/81 F(0)=15/81, F(1)=35/81, F(2)=60/81, F(3)=75/81, F(4)=79/81, F(5)=1, … F(4.5)=¿?
  11. 11. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo:Punto 1 Función dePunto 2 Número de hijos distribución: Porcentaje PorcentajePunto 3 Válidos 0 Frecuencia 15 Porcentaje 18,5 válido 18,5 acumulado 18,5 F(x)=0, x<0 1 20 24,7 24,7 43,2Punto 4 2 25 30,9 30,9 74,1 F(x)=15/81, 0≤x<1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 F(x)=35/81, 1≤x<2 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0 F(x)=60/81, 2≤x<3 F(x)=75/81, 3≤x<4 F(0)=15/81, F(1)=35/81, F(2)=60/81, F(x)=79/81, 4≤x<5 F(3)=75/81, F(4)=79/81, F(5)=1, … F(x)=1, x≥5 F(4.5)=79/81
  12. 12. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Relación entre la función de cuantía y la función de distribución de una v. a. discretaPunto 2Punto 3Punto 4 La función de distribución es no La función de distribución es no decreciente yy una función en escalera decreciente una función en escalera con saltos en cada punto xxde RX con saltos en cada punto i i de RX
  13. 13. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria discretaPunto 2  Dada un v.a. discreta con función de cuantía f,Punto 3 llamaremos esperanza de X (media) al valor (si existe):Punto 4 Ejemplo: Sea X=número de hijos de las familias de cierta zona. Calcula E(X). Número de hijos Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0
  14. 14. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Ejemplo (continuación): Número de hijosPunto 2 Porcentaje PorcentajePunto 3 Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2Punto 4 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0 E(X)=0·0.185+1·0.247+2·0.309+3·0.185+4·0.049+5·0.025=1.741
  15. 15. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria discretaPunto 2  Sea h(X) una función de la variable aleatoria discretaPunto 3 X, entonces la esperanza de h(X) viene definida por:Punto 4 Ejemplo: ¿E(X2)? E(X2) = 22(0.3) +42(0.2)+62(0.1)+82(0.3)+102(0.1)=37.2
  16. 16. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Propiedades de la esperanzaPunto 2  Sean a y b dos constantes, entonces:Punto 3 E(aX+b)=aE(X)+bPunto 4 Sean n variables X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1+X2+…+Xn)= E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1X2…Xn)= E(X1)E(X2)…E(Xn)
  17. 17. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Varianza y desviación típica de una variablePunto 2 aleatoria discretaPunto 3  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la varianza de X (si existe) como:Punto 4 La varianza también se denota por σ2  Var(X)=E(X2)-[E(X)]2  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la desviación típica (σ) de X (si existe) como la raíz cuadrada de la varianza
  18. 18. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Ejemplo:Punto 2Punto 3Punto 4  E(X2)=22(0.3)+42(0.2)+62(0.1)+82(0.3)+102(0.1)=37.2  E(X) = 2(0.3) +4 (0.2)+6(0.1)+8 (0.3)+10 (0.1) =5.4  E(3X+5)=3E(X)+5=(3·5.4)+5=21.2  Var(X)=37.2-(5.4)2=8.04 σ=2.835
  19. 19. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Propiedades de la varianzaPunto 2  Sean a y b dos constantes, entonces:Punto 3 Var(aX+b)=a2Var(X)Punto 4  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: Var(X1+X2+…+Xn)= Var(X1)+Var(X2)…+Var(Xn)  Sean X1 y X2 variables independientes, entonces: Var(X1+X2)= Var(X1-X2)=Var(X1)+Var(X2)
  20. 20. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 1 Ejemplo:Punto 2Punto 3Punto 4  Var(X)=37.2-(5.4)2=8.04  Var(3X-2)=32Var(X)=9·8.04=72.36  Var(3X+5)=32Var(X)=9·8.04=72.36
  21. 21. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución BinomialPunto 2 Se considera un experimento con sólo dos posiblesPunto 3 resultados (éxito y fracaso). Se realiza de formaPunto 4 independiente el experimento n veces. X= número de éxitos en n experiencias p=p(éxito) constante X~B(n,p)
  22. 22. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución BinomialPunto 2 Ejemplo: Se considera el experimento de lanzarPunto 3 una moneda. Se lanza la moneda 7 veces y nos interesa estudiar:Punto 4 X= número de caras en 7 lanzamientos p=p(salir cara en un lanzamiento) =1/2 constante X~B(7,1/2)
  23. 23. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución BinomialPunto 2Punto 3 X~B(n,p)Punto 4
  24. 24. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución BinomialPunto 2 Ejemplo: Se considera el experimento de lanzarPunto 3 una moneda. Se lanza la moneda 7 veces y nos interesa estudiar la probabilidad de que el númeroPunto 4 de caras en los 7 lanzamientos sea 3 X= número de caras en 7 lanzamientos X~B(7,1/2) P(X=3)=0.2734
  25. 25. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Función distribución Binomial (Tablas)Punto 2Punto 3 X~B(n,p)Punto 4 X~B(7,0.5)P(X≤2)= 0.2266, P(X≤3)=0.5 P(X=3)= P(X≤3)-P(X ≤2)=0.5-0.2266=0.2734
  26. 26. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución BinomialPunto 2Punto 3 X~B(7,0.5)Punto 4 SPSS: CDF, PDF P(X≤2)=CDF.BINOM(2,7,0.5)=0.2265625 P(X=2)=PDF.BINOM(2,7,0.5)= 0.1640625 P(X=3)=PDF.BINOM(3,7,0.5)=0.2734375
  27. 27. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Ejemplo: Un invento eléctrico consta de 5 piezasPunto 2 diferentes conectadas de tal forma que el invento funciona si todas y cada una de las cinco piezasPunto 3 actúa con éxito. La probabilidad de que cadaPunto 4 pieza actúe con éxito es de 0.9. 1. Probabilidad de que el invento funcione 2. Probabilidad de que el invento funcione, suponiendo que funcionará siempre que por lo menos cuatro de las cinco piezas actúen con éxito.
  28. 28. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Ejemplo: Un invento eléctrico consta de 5 piezasPunto 2 diferentes conectadas de tal forma que el invento funciona si todas y cada una de las cinco piezasPunto 3 actúa con éxito. La probabilidad de que cadaPunto 4 pieza actúe con éxito es de 0.9. 1. Probabilidad de que el invento funcione Sea X=número de piezas que actúan con éxito del total de 5, X~B(5,0.9) Mediante el SPSS obtenemos: P(invento funcione)=P(X=5)=PDF.BINOM(5,5,0.9)=0.59049
  29. 29. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Ejemplo (continuación):Punto 2 2. Probabilidad de que el invento funcione,Punto 3 suponiendo que funcionará siempre que por lo menos cuatro de las cinco piezas actúen conPunto 4 éxito. X=Número de piezas que actúan con éxito del total de 5, X~B(5,0.9) P(X≥4)=1-P(X<4)=1-P(X≤3)=1-CDF.BINOM(3,5,0.9)= =1-0.08146=0.91854
  30. 30. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Ejemplo: La experiencia demuestra que el 10 % de las personas que reservan mesa en un clubPunto 2 nocturno no comparecen a ocuparla.Punto 3 Si el club tiene 40 mesas y admite reservas paraPunto 4 43, calcula la probabilidad de que pueda acomodar a todas las personas que comparezcan. X=número de reservas que acuden de un total de 43 reservas, X~B(43,0.9) n=43>30 (nota que no se puede usar la tabla) con SPSS obtenemos P(X≤40)=CDF.BINOM(40, 43,0.9)=0.8176
  31. 31. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4
  32. 32. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Ejemplo:Punto 2 Probabilidad de que al lanzar 10 monedas salganPunto 3 dos caras.Punto 4 Xi=número de caras al lanzar la moneda i, Xi~B(1,0.5), i=1,2, …,10 X=número de caras al lanzar 10 monedas X=X1+X2+…+X10 X~B(10,0.5) P(X=2)=0.0439
  33. 33. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución PoissonPunto 2 Modela el número de veces que se verifica algún fenómeno por unidad de tiempo, espacio,Punto 3 superficie o volumen. Por ejemplo:Punto 4 X= número de acontecimientos en una unidad de tiempo. λ= número medio de veces que ocurre ese acontecimiento en dicha unidad de tiempo. X~Po(λ)
  34. 34. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución PoissonPunto 2 Ejemplo: X= número de visitas a una página web en 1 díaPunto 3Punto 4 λ=5 X~Po(5) Y= número de visitas a una página web en 2 días λ=10 Y~Po(10)
  35. 35. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución PoissonPunto 2Punto 3Punto 4 X~Po(λ)
  36. 36. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo:Punto 1 X= número de visitas a una página web en 1 día, λ=5Punto 2Punto 3Punto 4 X~Po(5) Calcula la probabilidad de que en 1 día la página web tenga exactamente 3 visitas P(X=3)=0.1403739
  37. 37. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Función de distribución Poisson (Tablas)Punto 2 X~Po(λ)Punto 3Punto 4 X~Po(5) TABLAS P(X≤3)= 0.2650
  38. 38. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución PoissonPunto 2Punto 3 X~Po(5)Punto 4 TABLAS P(X≤3)= 0.2650 P(X>3)= 1- P(X≤3)=1-0.265=0.735 P(X=3)= P(X≤3)-P(X≤2)=0.2650-0.1247=0.1403
  39. 39. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución PoissonPunto 2Punto 3 X~Po(5)Punto 4 SPSS  P(X≤3)=CDF.POISSON(3,5)=0.265025915  P(X>3)=1-P(X≤3)=1-CDF.POISSON(3,5)= =0.734974085 P(X=3)=PDF.POISSON(3,5)=0.140373895
  40. 40. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Distribución PoissonPunto 2Punto 3Punto 4
  41. 41. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio: El número de mujeres que entran a una tienda dePunto 1 videojuegos sigue un proceso de Poisson a razón de 1 porPunto 2 minuto y el de hombres a razón media de dos por minuto. Suponiendo independencia entre los procesos, calcula laPunto 3 probabilidad de que entren menos de 3 clientes en un minuto.Punto 4 Solución: X=número de mujeres que llegan a la tienda de videojuegos en un minuto, X~Po(1) Y=número de hombres que llegan a la tienda de videojuegos en un minuto, Y~Po(2) Z=número de clientes que llegan a la tienda de videojuegos en un minuto Z=X+Y~Po(3) P(Z<3)=P(Z≤2)=CDF.POISSON(2,3)=0.42319
  42. 42. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio: En una fábrica el número de accidentes siguePunto 1 un proceso de Poisson a razón media de 2 accidentes porPunto 2 semana.Punto 3  Calcula la probabilidad de que en una semana ocurraPunto 4 algún accidente.  Calcula la probabilidad de que ocurran más de dos accidentes en el transcurso de dos semanas.  Calcula la probabilidad de que ocurran dos accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente.
  43. 43. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio (solución)Punto 1 X=Número de accidentes en una semana, X~Po(2)Punto 2Punto 3Punto 4 Resolver Probabilidad de que en una semana ocurra algún accidente= =P(X≥1)=1-P(X=0)=1-PDF.POISSON(0,2)= 0.864665 ¿CON TABLAS? P(X≥1)= 1-0.1353=0.8647
  44. 44. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio (solución)Punto 1 X=Número de accidentes en una semana, X~Po(2)Punto 2Punto 3Punto 4 Resolver Probabilidad de que ocurran más de dos accidentes en el transcurso de dos semanas Y=Número de accidentes en dos semana, Y~Po(4) =P(Y>2)=1-P(Y≤2)=1-CDF.POISSON(2,4)= =0.761897 ¿CON TABLAS? P(Y>2)= 1-0.2381=0.7619
  45. 45. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio (solución)Punto 1 X=Número de accidentes en una semana, X~Po(2)Punto 2Punto 3Punto 4 Resolver Probabilidad de que ocurran dos accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente P(X=2).P(X=2)=PDF.POISSON(2,2). PDF.POISSON(2,2)= =(0.27067).(0.27067)~0.07326 ¿CON TABLAS? P(X=2)=P(X≤2)-P(X≤1)=0.6767-0.4060=0.2707
  46. 46. TEMA 5 Variables aleatorias discretasPunto 1 Aproximación de la binomial por la PoissonPunto 2 Sea X una distribución B(n,p), si n es grande, X puede aproximarse por una Po(λ), con λ=np.Punto 3  Esto será útil a la hora de calcular probabilidades aPunto 4 partir de las tablas. Sea X~ B(100, 0.06) y hay que calcular P(X≤3) Sea X~ B(100, 0.06) y hay que calcular P(X≤3) λ=np=100·0.06=6 λ=np=100·0.06=6 Podemos aproximar X por una Po(6) y calcular la Podemos aproximar X por una Po(6) y calcular la probabilidad pedida: probabilidad pedida: P(X≤3)=0.1512 P(X≤3)=0.1512
  47. 47. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Función de densidad de una variable aleatoriaPunto 2 continuaPunto 3Punto 4  f(x) ≥ 0 ∀ x perteneciente a R +∞  ∫ −∞ f ( x)dx = 1
  48. 48. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejercicio: Sea X una variable aleatoria continua. Halla k para que la siguiente función sea la función dePunto 2 densidad de X.Punto 3 f(x)=kx, 2<x<4Punto 4 f(x)=0, en el resto Solución: k=1/6
  49. 49. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejercicio: Sea X una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad. Calcula:Punto 2 xPunto 3  x ∈ (2,4) área=1 f ( x) =  6Punto 4 0  resto  P(X<4)=1  P(1<X<3)=5/12  P(X>3)=7/12
  50. 50. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1  Se define la función de distribución como:Punto 2 F(x)=P(X≤x), para todo x perteneciente a RPunto 3Punto 4 Relación entre la función de distribución y la función de densidad de una variable aleatoria continua x F ( x) = P ( X ≤ x) = ∫ f (t )dt −∞
  51. 51. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejercicios propuestos:Punto 2 (1) Calcula la función de distribución de la variable aleatoria continua X cuya función de densidad es:Punto 3Punto 4 x  x ∈ (2,4) f ( x) =  6 0  resto (2) Calcula la función de distribución de la variable aleatoria continua X cuya función de densidad es: f(x)=x, 0≤x≤1 f(x)=2-x, 1<x≤2 f(x)=0, en el resto
  52. 52. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Cálculo de probabilidades usando la función dePunto 2 distribución aPunto 3 Si X es continua P(X=a)=0 P ( X = a ) = ∫ f ( x)dx = a Por tanto: = [ F ( x)] a = F (a ) − F (a ) = 0 aPunto 4  P(X≤a)=P(X<a)=F(a)  P(X≥a)=P(X>a)=1-F(a)  P(a≤X≤b)=P(a<X<b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(X≤b)- P(X≤a)= F(b)-F(a) F(b)-F(a)
  53. 53. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejercicio: Sea X una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad:Punto 2Punto 3 x  x ∈ (2,4) f ( x) =  6Punto 4 0  resto Calcula las siguientes probabilidades utilizando la función de distribución y comprueba que te da el mismo resultado que antes:  P(X<4)=F(4)=1  P(1<X<3)=F(3)-F(1)=5/12  P(X>3)=1-F(3)=7/12
  54. 54. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria continuaPunto 2  Dada un v.a. continua con función de densidadPunto 3 f, llamaremos esperanza de X (media) al valor (si existe):Punto 4 ∞ E ( X ) = ∫ x f ( x)dx −∞  Ejemplo: Calcula la E(X), siendo X una variable aleatoria continua con función de densidad: x  x ∈ (2,4) f ( x) =  6 0  resto
  55. 55. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria continuaPunto 2  Ejemplo: x  x ∈ (2,4)Punto 3 f ( x) =  6 0  restoPunto 4 E(X)=3.11 ∞ E ( X ) = ∫ x f ( x)dx −∞
  56. 56. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1 Esperanza de una función de una variablePunto 2 aleatoria continuaPunto 3  Sea h(X) una función de la variable aleatoria continua, entonces la esperanza de h(X) vienePunto 4 definida por: ∞ E (h( X )) = ∫ h( x) f ( x)dx −∞ Ejemplo: f(x)=3x2/1000, 0≤x≤10 ¿E(X) y E(X2)? f(x)=0 en el resto
  57. 57. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1  Ejemplo: ¿E(X)?Punto 2Punto 3Punto 4
  58. 58. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1  Ejemplo:Punto 2 ¿E(X2)?Punto 3Punto 4 ¿ PLANTEAMIENTO? SOLUCIÓN E(X2) =60
  59. 59. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1 Propiedades de la esperanza (las mismas que en el caso discreto)Punto 2  Sean a y b dos constantes, entonces:Punto 3Punto 4 E(aX+b)=aE(X)+b Sean n variables X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1+X2+…+Xn)= E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1X2…Xn)= E(X1)E(X2)…E(Xn)
  60. 60. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1  Ejemplo:Punto 2Punto 3 Y=40-2XPunto 4 ¿E(Y)? E(Y)=E(40-2X)=40-2E(X)=40-2(15/2)=40-15=25
  61. 61. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1 Varianza y desviación típica de una variablePunto 2 aleatoria continuaPunto 3  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la varianza de X (si existe) como:Punto 4 La varianza también se denota por σ2  Var(X)=E(X2)-[E(X)]2  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la desviación típica (σ) de X (si existe) como la raíz cuadrada de la varianza
  62. 62. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1 Ejemplo:Punto 2Punto 3Punto 4 Var(X)=60-(15/2)2=3.75 σ=1.9365
  63. 63. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 1 Propiedades de la varianza (las mismas que para el caso discreto)Punto 2  Sean a y b dos constantes, entonces:Punto 3Punto 4 Var(aX+b)=a2Var(X)  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: Var(X1+X2+…+Xn)= Var(X1)+Var(X2)…+Var(Xn)  Sean X1 y X2 variables independientes, entonces: Var(X1+X2)= Var(X1-X2)=Var(X1)+Var(X2)
  64. 64. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución NormalPunto 2 X~N(µ,σ)Punto 3Punto 4 Función de densidad
  65. 65. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución NormalPunto 2 X~N(µ,σ)Punto 3Punto 4 F(a)=P(X≤a) F(a) a
  66. 66. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución NormalPunto 2Punto 3 X~N(µ,σ)Punto 4 Zα = percentil 1- α de una N(0,1)
  67. 67. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 N(μ,σ): Interpretación geométricaPunto 2Punto 3 Se puede interpretar la mediaPunto 4 como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión
  68. 68. TEMA 5 Variables aleatorias continuas N(μ, σ):Punto 1 Interpretación probabilistaPunto 2Punto 3 Entre la media y una desviación típica tenemosPunto 4 siempre la misma probabilidad: aprox. 0.68 Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 0.95
  69. 69. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución Normal tipificada (función de densidad)Punto 2Punto 3 X~N(0,1)Punto 4 x2 1 − f ( x) = e 2 −∞ < x < ∞ 2π
  70. 70. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución Normal tipificada (función de distribución)Punto 2Punto 3 X~N(0,1)Punto 4 x t2 1 − Φ ( x) = P( X ≤ x) = ∫ −∞ 2π e 2 dt −∞ < x < ∞ Φ(-x) = 1-Φ(x) En las tablas: Para valores x>4 Φ(x)~1 Para valores x<-4 Φ(x)~0
  71. 71. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Función de distribución (Tablas) X~N(0,1)Punto 2Punto 3Punto 4 Sea X una v.a. N(0, 1) Sea X una v.a. N(0, 1) P(X≤0.22)=Φ(0.22)=0.58706442 P(X≤0.22)=Φ(0.22)=0.58706442
  72. 72. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejercicio: Sea X~N(0,1), calcula, con ayuda de la tablaPunto 1 de su función de distribución, las siguientesPunto 2 probabilidades y comprueba que se obtienen losPunto 3 siguientes resultados:Punto 4  P(X>0.37)=1–P(X≤0.37)=1-Φ(0.37) 1–0.64430875  P(X>0.37)=1–P(X≤0.37)=1-Φ(0.37) 1–0.64430875  P(X<-1.12)=Φ(-1.12)=1- Φ(1.12)=1-0.86864312  P(X<-1.12)=Φ(-1.12)=1- Φ(1.12)=1-0.86864312  P(0.21<X<0.82)=Φ(0.82)-Φ (0.21)=0.79389195–  P(0.21<X<0.82)=Φ(0.82)-Φ (0.21)=0.79389195– 0.58316616 0.58316616  P(X<0.123)=Φ(0.123)~Φ(0.12)=0.54775843  P(X<0.123)=Φ(0.123)~Φ(0.12)=0.54775843 (aproximación) (aproximación) SIEMPRE QUE SE PUEDA, ES PREFERIBLE USAR SOFTWARE SIEMPRE QUE SE PUEDA, ES PREFERIBLE USAR SOFTWARE ESTADÍSTICO PARA ESTOS CÁLCULOS ESTADÍSTICO PARA ESTOS CÁLCULOS
  73. 73. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejemplo: (Distribución Normal)Punto 2Punto 3 Resolución mediante tablasPunto 4 Si X es N(55,12), calcula: Si X es N(55,12), calcula: a) P(X≤58) a) P(X≤58) b) P(X>50.8) b) P(X>50.8) c) P(49<X<61) c) P(49<X<61)
  74. 74. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejemplo: (Distribución Normal)Punto 2 Resolución mediante tablasPunto 3 X~N(55,12)Punto 4 P(X ≤ 58)= P(X ≤ 58)= X − 55 58 − 55 3 P( ≤ ) = P( Z ≤ ) = Φ (0.25) = 0.59870633 12 12 12
  75. 75. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejemplo: (Distribución Normal)Punto 2 Resolución mediante tablasPunto 3 X~N(55,12)Punto 4 P(X>50.8)=1–P(X≤50.8)= P(X>50.8)=1–P(X≤50.8)= 50.8 − 55 = 1 − P( Z ≤ ) = 1 − Φ (−0.35) = 12 = 1 − (1 − Φ (0.35)) = Φ (0.35) = 0.63683065
  76. 76. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejemplo: (Distribución Normal)Punto 2 Resolución mediante tablasPunto 3 X~N(55,12)Punto 4 P(49 < X < 61) = P(49 < X < 61) = 49 − 55 61 − 55 P( ≤Z ≤ ) = Φ(0.5) − Φ(−0.5) = 2Φ(0.5) − 1 = 12 12 2(0.69146246) − 1 = 0.38292492
  77. 77. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejemplo: (Distribución Normal)Punto 2 X~N(0,1) SOFTWARE SPSS CDFPunto 3Punto 4 P(X>2)= 1-P(X ≤2)= P(X>2)= 1-P(X ≤2)= 1-CDF.NORMAL(2,0,1)=1-0.97725=0.02275 1-CDF.NORMAL(2,0,1)=1-0.97725=0.02275 X~N(55,12) SOFTWARE SPSS CDF P(X≤58)=CDF.NORMAL(58,55,12)=0.598706325 P(X≤58)=CDF.NORMAL(58,55,12)=0.598706325
  78. 78. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución NormalPunto 2Punto 3 Zα = percentil 1- α de una N(0,1)Punto 4 1- α 0 Zα
  79. 79. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Ejemplo: (Distribución Normal)Punto 2Punto 3 X~N(0,1)Punto 4 SPSS IDF Z0.35 = a, tal que P(X ≤a)=0.65 con X~N(0,1) Z0.35 = a, tal que P(X ≤a)=0.65 con X~N(0,1) Z0.35 = IDF.NORMAL(0.65,0,1)=0.385325 Z = IDF.NORMAL(0.65,0,1)=0.385325 0.35
  80. 80. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejemplo: La altura de los individuos en edad militar dePunto 1 un determinado país sigue una distribución normal conPunto 2 media 170 cm y varianza 100 cm. Obtén la proporciónPunto 3 de individuos que miden menos de 150 cm o mas de 200 cmPunto 4 Planteamiento y resolución con SPSS: X: altura de los individuos en edad militar X~N(170,10) P(X<150)+P(X>200)= P(X<150)+(1-P(X≤200))= =CDF.NORMAL(150, 170, 10)+1- CDF.NORMAL(200, 170, 10)= 0.0241
  81. 81. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejemplo: La altura de los individuos en edad militar dePunto 1 un determinado país sigue una distribución normal conPunto 2 media 170 cm y varianza 100 cm. Si no se admitenPunto 3 para el servicio militar todos aquellos individuos que distan de la talla media más de 30 cm, calcula laPunto 4 proporción de gente que se rechaza Planteamiento: X: altura de los individuos en edad militar X~N(170,10) P(|X-170|>30)=??? 0.0026998
  82. 82. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejemplo: La altura de los individuos en edad militar dePunto 1 un determinado país sigue una distribución normal conPunto 2 media 170 cm y varianza 100 cm. Si no se admitenPunto 3 para el servicio militar todos aquellos individuos que distan de la talla media más de 30 cm, calcula laPunto 4 proporción de gente que se rechaza Planteamiento y resolución con SPSS: X: altura de los individuos en edad militar X~N(170,10) P(|X-170|>30)=1- P(|X-170|≤30)=1-P(-30≤ X-170 ≤30)= =1-P (-30+170≤ X ≤30+170)=1- P (140≤ X ≤200)=1-((P(X ≤200)- P(X<140))= =1-CDF.NORMAL(200,170,10)+CDF.NORMAL(140,170,10)= 0.0026998
  83. 83. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución NormalPunto 2Punto 3Punto 4 Ejemplo: Ejemplo: X1~N(1,1) y X2~N(1,2) X1~N(1,1) y X2~N(1,2) Y=X1+X2 Y~N(2,51/2)) Y=X +X Y~N(2,51/2 1 2
  84. 84. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución NormalPunto 2Punto 3Punto 4 Teorema central del límite
  85. 85. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Teorema: Sea X una B(n,p) con E(X)= np y Teorema: Sea X una B(n,p) con E(X)= np yPunto 2 Var(X)= npq. Var(X)= npq. La distribución Binomial tipificada se puede La distribución Binomial tipificada se puedePunto 3 aproximar aproximar por por la la N(0,1) N(0,1) cuando cuando n n es esPunto 4 suficientemente grande suficientemente grande Teorema: Si X es P(λ), E(X) = λ, Var(Y) =λ Teorema: Si X es P(λ), E(X) = λ, Var(Y) =λ La distribución de Poisson tipificada se puede La distribución de Poisson tipificada se puede aproximar aproximar porpor lala N(0,1) N(0,1) cuando cuando λ λ es es suficientemente grande suficientemente grande Teorema central del límite
  86. 86. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1Punto 2 Función GammaPunto 3Punto 4
  87. 87. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución Ji-cuadradoPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4
  88. 88. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución Ji-cuadradoPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4 E(X)=n Var(X)=2n 1-α
  89. 89. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución F de SnedecorPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4
  90. 90. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución F de SnedecorPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4
  91. 91. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución F de SnedecorPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4 1- α Fα(m,n)
  92. 92. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución t-StudentPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4
  93. 93. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución t-StudentPunto 1Punto 2Punto 3 X~tnPunto 4 1- α tα,n
  94. 94. TEMA 5 Variables aleatorias continuasPunto 1 Distribución t-StudentPunto 2Punto 3Punto 4
  95. 95. TEMA 5 PrácticaPunto 1Punto 2Punto 3Punto 4 HACED LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS EN LA PRÁCTICA DEL TEMA

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