Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading. ×

Modelos de distribución discretos y continuos

Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Ad
Loading in …3
×

Check these out next

1 of 95 Ad

Modelos de distribución discretos y continuos

Guión del tema 5, Modelos de distribución discretos y continuos Estadística+Ingeniería Multimedia. Más recursos en http://blogs.ua.es/violeta/

Guión del tema 5, Modelos de distribución discretos y continuos Estadística+Ingeniería Multimedia. Más recursos en http://blogs.ua.es/violeta/

Advertisement
Advertisement

More Related Content

Slideshows for you (19)

Advertisement

Similar to Modelos de distribución discretos y continuos (20)

Modelos de distribución discretos y continuos

  1. 1. TEMA 5 Modelos de distribución discretos y continuos Punto 1 Punto 2 Punto 3 Estadística Punto 4 INGENIERÍA MULTIMEDIA Violeta Migallón
  2. 2. TEMA 5 Modelos de distribución discretos y continuos Punto 1 Introducción Punto 2 Variables aleatorias discretas (binomial, Punto 3 Poisson) Punto 4 Variables aleatorias continuas (normal, Ji- cuadrado, F de Snedecor, t-Student, …) Práctica EXPLICACIÓN EN LABORATORIO
  3. 3. TEMA 5 Introducción Punto 1 Punto 1 En todo experimento aleatorio se puede definir una variable aleatoria asignando a cada resultado un Punto 2 número: Punto 3  Si el resultado del experimento es numérico los posibles valores de la variable coinciden con los resultados del Punto 4 experimento  Si el resultado del experimento es cualitativo se le hace corresponder a cada resultado un número Variable aleatoria: función real definida sobre el espacio muestral de los resultados de un experimento aleatorio X:Ω→R
  4. 4. TEMA 5 Introducción Punto 1 Punto 1 Variables aleatorias discretas: Binomial y Poisson Punto 2 Punto 3 Función de cuantía f(x)=P(X=x) para todo x del rango de X Punto 4 Función de distribución F(x)=P(X≤x) para todo x Variables aleatorias continuas: Normal, exponencial, Ji-cuadrado, F de Snedecor, t de Student Función de densidad f(x) para todo x real. Función de distribución F(x)=P(X≤x) para todo x real (áreas)
  5. 5. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Función de cuantía de una variable aleatoria Punto 2 discreta: Punto 3  f(x)=P(X=x) para todo x perteneciente al rango de la variable X (denotado por RX) Punto 4 Ejemplo: Sea X=número de hijos de las familias de cierta zona. Número de hijos Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0
  6. 6. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo: Punto 1 X=número de hijos de las familias de cierta zona Punto 2 Punto 3 Función de cuantía: Número de hijos Punto 4 Porcentaje Porcentaje P(X=0)=15/81=0.185 Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 P(X=1)=20/81=0.247 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 P(X=2)=25/81=0.309 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 P(X=3)=15/81=0.185 Total 81 100,0 100,0 P(X=4)=4/81=0.049 P(X=5)=2/81=0.025
  7. 7. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Propiedades de la función de cuantía Punto 2 Punto 3 Punto 4
  8. 8. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Ejemplo: Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de cuantía. Punto 2 f(n)=k(1/8)n, n=1, 2, 3, 4, … Punto 3 Punto 4 k(1/8)+k(1/8)2+ k(1/8)3+ k(1/8)4+…=1 La suma (1/8)+(1/8)2+ (1/8)3+ (1/8)4+… corresponde con la suma infinita de una progresión geométrica de razón r=1/8. Como |r|<1, esta suma se obtiene con la siguiente fórmula: Por tanto: k((1/8)+(1/8)2+ (1/8)3+ (1/8)4+…)=k(1/8)/(1-(1/8))=k/7k=7 Notemos que esta función toma valores no negativos y menores o igual que 1.
  9. 9. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Función de distribución de una variable Punto 2 aleatoria discreta Punto 3  F(x)=P(X≤x), para todo x en R Punto 4 Ejemplo: Sea X=número de hijos de las familias de cierta zona. Número de hijos Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0
  10. 10. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo: Punto 1 X=número de hijos de las familias de cierta zona. Punto 2 Punto 3 Función de cuantía: Número de hijos Punto 4 Porcentaje Porcentaje P(X=0)=15/81 Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 P(X=1)=20/81 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 P(X=2)=25/81 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 P(X=3)=15/81 Total 81 100,0 100,0 P(X=4)=4/81 Función de distribución P(X=5)=2/81 F(0)=15/81, F(1)=35/81, F(2)=60/81, F(3)=75/81, F(4)=79/81, F(5)=1, … F(4.5)=¿?
  11. 11. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo: Punto 1 Función de Punto 2 Número de hijos distribución: Porcentaje Porcentaje Punto 3 Válidos 0 Frecuencia 15 Porcentaje 18,5 válido 18,5 acumulado 18,5 F(x)=0, x<0 1 20 24,7 24,7 43,2 Punto 4 2 25 30,9 30,9 74,1 F(x)=15/81, 0≤x<1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 F(x)=35/81, 1≤x<2 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0 F(x)=60/81, 2≤x<3 F(x)=75/81, 3≤x<4 F(0)=15/81, F(1)=35/81, F(2)=60/81, F(x)=79/81, 4≤x<5 F(3)=75/81, F(4)=79/81, F(5)=1, … F(x)=1, x≥5 F(4.5)=79/81
  12. 12. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Relación entre la función de cuantía y la función de distribución de una v. a. discreta Punto 2 Punto 3 Punto 4 La función de distribución es no La función de distribución es no decreciente yy una función en escalera decreciente una función en escalera con saltos en cada punto xxde RX con saltos en cada punto i i de RX
  13. 13. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria discreta Punto 2  Dada un v.a. discreta con función de cuantía f, Punto 3 llamaremos esperanza de X (media) al valor (si existe): Punto 4 Ejemplo: Sea X=número de hijos de las familias de cierta zona. Calcula E(X). Número de hijos Porcentaje Porcentaje Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0
  14. 14. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Ejemplo (continuación): Número de hijos Punto 2 Porcentaje Porcentaje Punto 3 Frecuencia Porcentaje válido acumulado Válidos 0 15 18,5 18,5 18,5 1 20 24,7 24,7 43,2 Punto 4 2 25 30,9 30,9 74,1 3 15 18,5 18,5 92,6 4 4 4,9 4,9 97,5 5 2 2,5 2,5 100,0 Total 81 100,0 100,0 E(X)=0·0.185+1·0.247+2·0.309+3·0.185+4·0.049+5·0.025=1.741
  15. 15. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria discreta Punto 2  Sea h(X) una función de la variable aleatoria discreta Punto 3 X, entonces la esperanza de h(X) viene definida por: Punto 4 Ejemplo: ¿E(X2)? E(X2) = 22(0.3) +42(0.2)+62(0.1)+82(0.3)+102(0.1)=37.2
  16. 16. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Propiedades de la esperanza Punto 2  Sean a y b dos constantes, entonces: Punto 3 E(aX+b)=aE(X)+b Punto 4 Sean n variables X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1+X2+…+Xn)= E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1X2…Xn)= E(X1)E(X2)…E(Xn)
  17. 17. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Varianza y desviación típica de una variable Punto 2 aleatoria discreta Punto 3  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la varianza de X (si existe) como: Punto 4 La varianza también se denota por σ2  Var(X)=E(X2)-[E(X)]2  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la desviación típica (σ) de X (si existe) como la raíz cuadrada de la varianza
  18. 18. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Ejemplo: Punto 2 Punto 3 Punto 4  E(X2)=22(0.3)+42(0.2)+62(0.1)+82(0.3)+102(0.1)=37.2  E(X) = 2(0.3) +4 (0.2)+6(0.1)+8 (0.3)+10 (0.1) =5.4  E(3X+5)=3E(X)+5=(3·5.4)+5=21.2  Var(X)=37.2-(5.4)2=8.04 σ=2.835
  19. 19. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Propiedades de la varianza Punto 2  Sean a y b dos constantes, entonces: Punto 3 Var(aX+b)=a2Var(X) Punto 4  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: Var(X1+X2+…+Xn)= Var(X1)+Var(X2)…+Var(Xn)  Sean X1 y X2 variables independientes, entonces: Var(X1+X2)= Var(X1-X2)=Var(X1)+Var(X2)
  20. 20. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 1 Ejemplo: Punto 2 Punto 3 Punto 4  Var(X)=37.2-(5.4)2=8.04  Var(3X-2)=32Var(X)=9·8.04=72.36  Var(3X+5)=32Var(X)=9·8.04=72.36
  21. 21. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Binomial Punto 2 Se considera un experimento con sólo dos posibles Punto 3 resultados (éxito y fracaso). Se realiza de forma Punto 4 independiente el experimento n veces. X= número de éxitos en n experiencias p=p(éxito) constante X~B(n,p)
  22. 22. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Binomial Punto 2 Ejemplo: Se considera el experimento de lanzar Punto 3 una moneda. Se lanza la moneda 7 veces y nos interesa estudiar: Punto 4 X= número de caras en 7 lanzamientos p=p(salir cara en un lanzamiento) =1/2 constante X~B(7,1/2)
  23. 23. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Binomial Punto 2 Punto 3 X~B(n,p) Punto 4
  24. 24. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Binomial Punto 2 Ejemplo: Se considera el experimento de lanzar Punto 3 una moneda. Se lanza la moneda 7 veces y nos interesa estudiar la probabilidad de que el número Punto 4 de caras en los 7 lanzamientos sea 3 X= número de caras en 7 lanzamientos X~B(7,1/2) P(X=3)=0.2734
  25. 25. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Función distribución Binomial (Tablas) Punto 2 Punto 3 X~B(n,p) Punto 4 X~B(7,0.5)P(X≤2)= 0.2266, P(X≤3)=0.5 P(X=3)= P(X≤3)-P(X ≤2)=0.5-0.2266=0.2734
  26. 26. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Binomial Punto 2 Punto 3 X~B(7,0.5) Punto 4 SPSS: CDF, PDF P(X≤2)=CDF.BINOM(2,7,0.5)=0.2265625 P(X=2)=PDF.BINOM(2,7,0.5)= 0.1640625 P(X=3)=PDF.BINOM(3,7,0.5)=0.2734375
  27. 27. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Ejemplo: Un invento eléctrico consta de 5 piezas Punto 2 diferentes conectadas de tal forma que el invento funciona si todas y cada una de las cinco piezas Punto 3 actúa con éxito. La probabilidad de que cada Punto 4 pieza actúe con éxito es de 0.9. 1. Probabilidad de que el invento funcione 2. Probabilidad de que el invento funcione, suponiendo que funcionará siempre que por lo menos cuatro de las cinco piezas actúen con éxito.
  28. 28. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Ejemplo: Un invento eléctrico consta de 5 piezas Punto 2 diferentes conectadas de tal forma que el invento funciona si todas y cada una de las cinco piezas Punto 3 actúa con éxito. La probabilidad de que cada Punto 4 pieza actúe con éxito es de 0.9. 1. Probabilidad de que el invento funcione Sea X=número de piezas que actúan con éxito del total de 5, X~B(5,0.9) Mediante el SPSS obtenemos: P(invento funcione)=P(X=5)=PDF.BINOM(5,5,0.9)=0.59049
  29. 29. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Ejemplo (continuación): Punto 2 2. Probabilidad de que el invento funcione, Punto 3 suponiendo que funcionará siempre que por lo menos cuatro de las cinco piezas actúen con Punto 4 éxito. X=Número de piezas que actúan con éxito del total de 5, X~B(5,0.9) P(X≥4)=1-P(X<4)=1-P(X≤3)=1-CDF.BINOM(3,5,0.9)= =1-0.08146=0.91854
  30. 30. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Ejemplo: La experiencia demuestra que el 10 % de las personas que reservan mesa en un club Punto 2 nocturno no comparecen a ocuparla. Punto 3 Si el club tiene 40 mesas y admite reservas para Punto 4 43, calcula la probabilidad de que pueda acomodar a todas las personas que comparezcan. X=número de reservas que acuden de un total de 43 reservas, X~B(43,0.9) n=43>30 (nota que no se puede usar la tabla) con SPSS obtenemos P(X≤40)=CDF.BINOM(40, 43,0.9)=0.8176
  31. 31. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4
  32. 32. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Ejemplo: Punto 2 Probabilidad de que al lanzar 10 monedas salgan Punto 3 dos caras. Punto 4 Xi=número de caras al lanzar la moneda i, Xi~B(1,0.5), i=1,2, …,10 X=número de caras al lanzar 10 monedas X=X1+X2+…+X10 X~B(10,0.5) P(X=2)=0.0439
  33. 33. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Poisson Punto 2 Modela el número de veces que se verifica algún fenómeno por unidad de tiempo, espacio, Punto 3 superficie o volumen. Por ejemplo: Punto 4 X= número de acontecimientos en una unidad de tiempo. λ= número medio de veces que ocurre ese acontecimiento en dicha unidad de tiempo. X~Po(λ)
  34. 34. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Poisson Punto 2 Ejemplo: X= número de visitas a una página web en 1 día Punto 3 Punto 4 λ=5 X~Po(5) Y= número de visitas a una página web en 2 días λ=10 Y~Po(10)
  35. 35. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Poisson Punto 2 Punto 3 Punto 4 X~Po(λ)
  36. 36. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejemplo: Punto 1 X= número de visitas a una página web en 1 día, λ=5 Punto 2 Punto 3 Punto 4 X~Po(5) Calcula la probabilidad de que en 1 día la página web tenga exactamente 3 visitas P(X=3)=0.1403739
  37. 37. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Función de distribución Poisson (Tablas) Punto 2 X~Po(λ) Punto 3 Punto 4 X~Po(5) TABLAS P(X≤3)= 0.2650
  38. 38. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Poisson Punto 2 Punto 3 X~Po(5) Punto 4 TABLAS P(X≤3)= 0.2650 P(X>3)= 1- P(X≤3)=1-0.265=0.735 P(X=3)= P(X≤3)-P(X≤2)=0.2650-0.1247=0.1403
  39. 39. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Poisson Punto 2 Punto 3 X~Po(5) Punto 4 SPSS  P(X≤3)=CDF.POISSON(3,5)=0.265025915  P(X>3)=1-P(X≤3)=1-CDF.POISSON(3,5)= =0.734974085 P(X=3)=PDF.POISSON(3,5)=0.140373895
  40. 40. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Distribución Poisson Punto 2 Punto 3 Punto 4
  41. 41. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio: El número de mujeres que entran a una tienda de Punto 1 videojuegos sigue un proceso de Poisson a razón de 1 por Punto 2 minuto y el de hombres a razón media de dos por minuto. Suponiendo independencia entre los procesos, calcula la Punto 3 probabilidad de que entren menos de 3 clientes en un minuto. Punto 4 Solución: X=número de mujeres que llegan a la tienda de videojuegos en un minuto, X~Po(1) Y=número de hombres que llegan a la tienda de videojuegos en un minuto, Y~Po(2) Z=número de clientes que llegan a la tienda de videojuegos en un minuto Z=X+Y~Po(3) P(Z<3)=P(Z≤2)=CDF.POISSON(2,3)=0.42319
  42. 42. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio: En una fábrica el número de accidentes sigue Punto 1 un proceso de Poisson a razón media de 2 accidentes por Punto 2 semana. Punto 3  Calcula la probabilidad de que en una semana ocurra Punto 4 algún accidente.  Calcula la probabilidad de que ocurran más de dos accidentes en el transcurso de dos semanas.  Calcula la probabilidad de que ocurran dos accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente.
  43. 43. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio (solución) Punto 1 X=Número de accidentes en una semana, X~Po(2) Punto 2 Punto 3 Punto 4 Resolver Probabilidad de que en una semana ocurra algún accidente= =P(X≥1)=1-P(X=0)=1-PDF.POISSON(0,2)= 0.864665 ¿CON TABLAS? P(X≥1)= 1-0.1353=0.8647
  44. 44. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio (solución) Punto 1 X=Número de accidentes en una semana, X~Po(2) Punto 2 Punto 3 Punto 4 Resolver Probabilidad de que ocurran más de dos accidentes en el transcurso de dos semanas Y=Número de accidentes en dos semana, Y~Po(4) =P(Y>2)=1-P(Y≤2)=1-CDF.POISSON(2,4)= =0.761897 ¿CON TABLAS? P(Y>2)= 1-0.2381=0.7619
  45. 45. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Ejercicio (solución) Punto 1 X=Número de accidentes en una semana, X~Po(2) Punto 2 Punto 3 Punto 4 Resolver Probabilidad de que ocurran dos accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente P(X=2).P(X=2)=PDF.POISSON(2,2). PDF.POISSON(2,2)= =(0.27067).(0.27067)~0.07326 ¿CON TABLAS? P(X=2)=P(X≤2)-P(X≤1)=0.6767-0.4060=0.2707
  46. 46. TEMA 5 Variables aleatorias discretas Punto 1 Aproximación de la binomial por la Poisson Punto 2 Sea X una distribución B(n,p), si n es grande, X puede aproximarse por una Po(λ), con λ=np. Punto 3  Esto será útil a la hora de calcular probabilidades a Punto 4 partir de las tablas. Sea X~ B(100, 0.06) y hay que calcular P(X≤3) Sea X~ B(100, 0.06) y hay que calcular P(X≤3) λ=np=100·0.06=6 λ=np=100·0.06=6 Podemos aproximar X por una Po(6) y calcular la Podemos aproximar X por una Po(6) y calcular la probabilidad pedida: probabilidad pedida: P(X≤3)=0.1512 P(X≤3)=0.1512
  47. 47. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Función de densidad de una variable aleatoria Punto 2 continua Punto 3 Punto 4  f(x) ≥ 0 ∀ x perteneciente a R +∞  ∫ −∞ f ( x)dx = 1
  48. 48. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejercicio: Sea X una variable aleatoria continua. Halla k para que la siguiente función sea la función de Punto 2 densidad de X. Punto 3 f(x)=kx, 2<x<4 Punto 4 f(x)=0, en el resto Solución: k=1/6
  49. 49. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejercicio: Sea X una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad. Calcula: Punto 2 x Punto 3  x ∈ (2,4) área=1 f ( x) =  6 Punto 4 0  resto  P(X<4)=1  P(1<X<3)=5/12  P(X>3)=7/12
  50. 50. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1  Se define la función de distribución como: Punto 2 F(x)=P(X≤x), para todo x perteneciente a R Punto 3 Punto 4 Relación entre la función de distribución y la función de densidad de una variable aleatoria continua x F ( x) = P ( X ≤ x) = ∫ f (t )dt −∞
  51. 51. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejercicios propuestos: Punto 2 (1) Calcula la función de distribución de la variable aleatoria continua X cuya función de densidad es: Punto 3 Punto 4 x  x ∈ (2,4) f ( x) =  6 0  resto (2) Calcula la función de distribución de la variable aleatoria continua X cuya función de densidad es: f(x)=x, 0≤x≤1 f(x)=2-x, 1<x≤2 f(x)=0, en el resto
  52. 52. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Cálculo de probabilidades usando la función de Punto 2 distribución a Punto 3 Si X es continua P(X=a)=0 P ( X = a ) = ∫ f ( x)dx = a Por tanto: = [ F ( x)] a = F (a ) − F (a ) = 0 a Punto 4  P(X≤a)=P(X<a)=F(a)  P(X≥a)=P(X>a)=1-F(a)  P(a≤X≤b)=P(a<X<b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(X≤b)- P(X≤a)= F(b)-F(a) F(b)-F(a)
  53. 53. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejercicio: Sea X una variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad: Punto 2 Punto 3 x  x ∈ (2,4) f ( x) =  6 Punto 4 0  resto Calcula las siguientes probabilidades utilizando la función de distribución y comprueba que te da el mismo resultado que antes:  P(X<4)=F(4)=1  P(1<X<3)=F(3)-F(1)=5/12  P(X>3)=1-F(3)=7/12
  54. 54. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria continua Punto 2  Dada un v.a. continua con función de densidad Punto 3 f, llamaremos esperanza de X (media) al valor (si existe): Punto 4 ∞ E ( X ) = ∫ x f ( x)dx −∞  Ejemplo: Calcula la E(X), siendo X una variable aleatoria continua con función de densidad: x  x ∈ (2,4) f ( x) =  6 0  resto
  55. 55. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1 Esperanza de una variable aleatoria continua Punto 2  Ejemplo: x  x ∈ (2,4) Punto 3 f ( x) =  6 0  resto Punto 4 E(X)=3.11 ∞ E ( X ) = ∫ x f ( x)dx −∞
  56. 56. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1 Esperanza de una función de una variable Punto 2 aleatoria continua Punto 3  Sea h(X) una función de la variable aleatoria continua, entonces la esperanza de h(X) viene Punto 4 definida por: ∞ E (h( X )) = ∫ h( x) f ( x)dx −∞ Ejemplo: f(x)=3x2/1000, 0≤x≤10 ¿E(X) y E(X2)? f(x)=0 en el resto
  57. 57. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1  Ejemplo: ¿E(X)? Punto 2 Punto 3 Punto 4
  58. 58. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1  Ejemplo: Punto 2 ¿E(X2)? Punto 3 Punto 4 ¿ PLANTEAMIENTO? SOLUCIÓN E(X2) =60
  59. 59. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1 Propiedades de la esperanza (las mismas que en el caso discreto) Punto 2  Sean a y b dos constantes, entonces: Punto 3 Punto 4 E(aX+b)=aE(X)+b Sean n variables X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1+X2+…+Xn)= E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: E(X1X2…Xn)= E(X1)E(X2)…E(Xn)
  60. 60. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1  Ejemplo: Punto 2 Punto 3 Y=40-2X Punto 4 ¿E(Y)? E(Y)=E(40-2X)=40-2E(X)=40-2(15/2)=40-15=25
  61. 61. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1 Varianza y desviación típica de una variable Punto 2 aleatoria continua Punto 3  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la varianza de X (si existe) como: Punto 4 La varianza también se denota por σ2  Var(X)=E(X2)-[E(X)]2  Dada un v.a. con esperanza E(X), se define la desviación típica (σ) de X (si existe) como la raíz cuadrada de la varianza
  62. 62. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1 Ejemplo: Punto 2 Punto 3 Punto 4 Var(X)=60-(15/2)2=3.75 σ=1.9365
  63. 63. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 1 Propiedades de la varianza (las mismas que para el caso discreto) Punto 2  Sean a y b dos constantes, entonces: Punto 3 Punto 4 Var(aX+b)=a2Var(X)  Sean n variables independientes X1, X2,…,Xn, entonces: Var(X1+X2+…+Xn)= Var(X1)+Var(X2)…+Var(Xn)  Sean X1 y X2 variables independientes, entonces: Var(X1+X2)= Var(X1-X2)=Var(X1)+Var(X2)
  64. 64. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal Punto 2 X~N(µ,σ) Punto 3 Punto 4 Función de densidad
  65. 65. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal Punto 2 X~N(µ,σ) Punto 3 Punto 4 F(a)=P(X≤a) F(a) a
  66. 66. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal Punto 2 Punto 3 X~N(µ,σ) Punto 4 Zα = percentil 1- α de una N(0,1)
  67. 67. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 N(μ,σ): Interpretación geométrica Punto 2 Punto 3 Se puede interpretar la media Punto 4 como un factor de traslación. Y la desviación típica como un factor de escala, grado de dispersión
  68. 68. TEMA 5 Variables aleatorias continuas N(μ, σ): Punto 1 Interpretación probabilista Punto 2 Punto 3 Entre la media y una desviación típica tenemos Punto 4 siempre la misma probabilidad: aprox. 0.68 Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 0.95
  69. 69. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal tipificada (función de densidad) Punto 2 Punto 3 X~N(0,1) Punto 4 x2 1 − f ( x) = e 2 −∞ < x < ∞ 2π
  70. 70. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal tipificada (función de distribución) Punto 2 Punto 3 X~N(0,1) Punto 4 x t2 1 − Φ ( x) = P( X ≤ x) = ∫ −∞ 2π e 2 dt −∞ < x < ∞ Φ(-x) = 1-Φ(x) En las tablas: Para valores x>4 Φ(x)~1 Para valores x<-4 Φ(x)~0
  71. 71. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Función de distribución (Tablas) X~N(0,1) Punto 2 Punto 3 Punto 4 Sea X una v.a. N(0, 1) Sea X una v.a. N(0, 1) P(X≤0.22)=Φ(0.22)=0.58706442 P(X≤0.22)=Φ(0.22)=0.58706442
  72. 72. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejercicio: Sea X~N(0,1), calcula, con ayuda de la tabla Punto 1 de su función de distribución, las siguientes Punto 2 probabilidades y comprueba que se obtienen los Punto 3 siguientes resultados: Punto 4  P(X>0.37)=1–P(X≤0.37)=1-Φ(0.37) 1–0.64430875  P(X>0.37)=1–P(X≤0.37)=1-Φ(0.37) 1–0.64430875  P(X<-1.12)=Φ(-1.12)=1- Φ(1.12)=1-0.86864312  P(X<-1.12)=Φ(-1.12)=1- Φ(1.12)=1-0.86864312  P(0.21<X<0.82)=Φ(0.82)-Φ (0.21)=0.79389195–  P(0.21<X<0.82)=Φ(0.82)-Φ (0.21)=0.79389195– 0.58316616 0.58316616  P(X<0.123)=Φ(0.123)~Φ(0.12)=0.54775843  P(X<0.123)=Φ(0.123)~Φ(0.12)=0.54775843 (aproximación) (aproximación) SIEMPRE QUE SE PUEDA, ES PREFERIBLE USAR SOFTWARE SIEMPRE QUE SE PUEDA, ES PREFERIBLE USAR SOFTWARE ESTADÍSTICO PARA ESTOS CÁLCULOS ESTADÍSTICO PARA ESTOS CÁLCULOS
  73. 73. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejemplo: (Distribución Normal) Punto 2 Punto 3 Resolución mediante tablas Punto 4 Si X es N(55,12), calcula: Si X es N(55,12), calcula: a) P(X≤58) a) P(X≤58) b) P(X>50.8) b) P(X>50.8) c) P(49<X<61) c) P(49<X<61)
  74. 74. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejemplo: (Distribución Normal) Punto 2 Resolución mediante tablas Punto 3 X~N(55,12) Punto 4 P(X ≤ 58)= P(X ≤ 58)= X − 55 58 − 55 3 P( ≤ ) = P( Z ≤ ) = Φ (0.25) = 0.59870633 12 12 12
  75. 75. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejemplo: (Distribución Normal) Punto 2 Resolución mediante tablas Punto 3 X~N(55,12) Punto 4 P(X>50.8)=1–P(X≤50.8)= P(X>50.8)=1–P(X≤50.8)= 50.8 − 55 = 1 − P( Z ≤ ) = 1 − Φ (−0.35) = 12 = 1 − (1 − Φ (0.35)) = Φ (0.35) = 0.63683065
  76. 76. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejemplo: (Distribución Normal) Punto 2 Resolución mediante tablas Punto 3 X~N(55,12) Punto 4 P(49 < X < 61) = P(49 < X < 61) = 49 − 55 61 − 55 P( ≤Z ≤ ) = Φ(0.5) − Φ(−0.5) = 2Φ(0.5) − 1 = 12 12 2(0.69146246) − 1 = 0.38292492
  77. 77. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejemplo: (Distribución Normal) Punto 2 X~N(0,1) SOFTWARE SPSS CDF Punto 3 Punto 4 P(X>2)= 1-P(X ≤2)= P(X>2)= 1-P(X ≤2)= 1-CDF.NORMAL(2,0,1)=1-0.97725=0.02275 1-CDF.NORMAL(2,0,1)=1-0.97725=0.02275 X~N(55,12) SOFTWARE SPSS CDF P(X≤58)=CDF.NORMAL(58,55,12)=0.598706325 P(X≤58)=CDF.NORMAL(58,55,12)=0.598706325
  78. 78. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal Punto 2 Punto 3 Zα = percentil 1- α de una N(0,1) Punto 4 1- α 0 Zα
  79. 79. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Ejemplo: (Distribución Normal) Punto 2 Punto 3 X~N(0,1) Punto 4 SPSS IDF Z0.35 = a, tal que P(X ≤a)=0.65 con X~N(0,1) Z0.35 = a, tal que P(X ≤a)=0.65 con X~N(0,1) Z0.35 = IDF.NORMAL(0.65,0,1)=0.385325 Z = IDF.NORMAL(0.65,0,1)=0.385325 0.35
  80. 80. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejemplo: La altura de los individuos en edad militar de Punto 1 un determinado país sigue una distribución normal con Punto 2 media 170 cm y varianza 100 cm. Obtén la proporción Punto 3 de individuos que miden menos de 150 cm o mas de 200 cm Punto 4 Planteamiento y resolución con SPSS: X: altura de los individuos en edad militar X~N(170,10) P(X<150)+P(X>200)= P(X<150)+(1-P(X≤200))= =CDF.NORMAL(150, 170, 10)+1- CDF.NORMAL(200, 170, 10)= 0.0241
  81. 81. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejemplo: La altura de los individuos en edad militar de Punto 1 un determinado país sigue una distribución normal con Punto 2 media 170 cm y varianza 100 cm. Si no se admiten Punto 3 para el servicio militar todos aquellos individuos que distan de la talla media más de 30 cm, calcula la Punto 4 proporción de gente que se rechaza Planteamiento: X: altura de los individuos en edad militar X~N(170,10) P(|X-170|>30)=??? 0.0026998
  82. 82. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Ejemplo: La altura de los individuos en edad militar de Punto 1 un determinado país sigue una distribución normal con Punto 2 media 170 cm y varianza 100 cm. Si no se admiten Punto 3 para el servicio militar todos aquellos individuos que distan de la talla media más de 30 cm, calcula la Punto 4 proporción de gente que se rechaza Planteamiento y resolución con SPSS: X: altura de los individuos en edad militar X~N(170,10) P(|X-170|>30)=1- P(|X-170|≤30)=1-P(-30≤ X-170 ≤30)= =1-P (-30+170≤ X ≤30+170)=1- P (140≤ X ≤200)=1-((P(X ≤200)- P(X<140))= =1-CDF.NORMAL(200,170,10)+CDF.NORMAL(140,170,10)= 0.0026998
  83. 83. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal Punto 2 Punto 3 Punto 4 Ejemplo: Ejemplo: X1~N(1,1) y X2~N(1,2) X1~N(1,1) y X2~N(1,2) Y=X1+X2 Y~N(2,51/2)) Y=X +X Y~N(2,51/2 1 2
  84. 84. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución Normal Punto 2 Punto 3 Punto 4 Teorema central del límite
  85. 85. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Teorema: Sea X una B(n,p) con E(X)= np y Teorema: Sea X una B(n,p) con E(X)= np y Punto 2 Var(X)= npq. Var(X)= npq. La distribución Binomial tipificada se puede La distribución Binomial tipificada se puede Punto 3 aproximar aproximar por por la la N(0,1) N(0,1) cuando cuando n n es es Punto 4 suficientemente grande suficientemente grande Teorema: Si X es P(λ), E(X) = λ, Var(Y) =λ Teorema: Si X es P(λ), E(X) = λ, Var(Y) =λ La distribución de Poisson tipificada se puede La distribución de Poisson tipificada se puede aproximar aproximar porpor lala N(0,1) N(0,1) cuando cuando λ λ es es suficientemente grande suficientemente grande Teorema central del límite
  86. 86. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Punto 2 Función Gamma Punto 3 Punto 4
  87. 87. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución Ji-cuadrado Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4
  88. 88. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución Ji-cuadrado Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4 E(X)=n Var(X)=2n 1-α
  89. 89. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución F de Snedecor Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4
  90. 90. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución F de Snedecor Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4
  91. 91. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución F de Snedecor Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4 1- α Fα(m,n)
  92. 92. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución t-Student Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4
  93. 93. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Distribución t-Student Punto 1 Punto 2 Punto 3 X~tn Punto 4 1- α tα,n
  94. 94. TEMA 5 Variables aleatorias continuas Punto 1 Distribución t-Student Punto 2 Punto 3 Punto 4
  95. 95. TEMA 5 Práctica Punto 1 Punto 2 Punto 3 Punto 4 HACED LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS EN LA PRÁCTICA DEL TEMA

×