L‘Infinito in matematica

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Breve presentazione del concetto di infinito nella storia

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L‘Infinito in matematica

  1. 1. L’Infinito di Viola Anesin Anna Cappelletti Luca Chiesura Andrea Dall’O’ Marcella Mazzoni Isabella Pilan
  2. 2. L‘Infinito Nella realtà del mondo fisico, nulla parla di infinito : ogni cosa è numerabile, persino i granelli di sabbia presenti sul pianeta; magari con cifre inconcepibili, impronunciabili, ma che esprimono pur sempre una quantità finita. Eppure, fin dall’inizio dei tempi, l’uomo aspira a conquistare l’infinito, spera di arrivare a “sentirlo”. E’ qualcosa che affascina l’intelletto. (Zichichi A.(1998). L’infinito . Milano: Nuova Pratiche Editrice) «  C'è un concetto che corrompe e altera tutti gli altri. Non parlo del Male, il cui limitato impero è l'Etica; parlo dell' Infinito .  » (Jeorge Luis Borges)
  3. 3. La “breve” storia di un concetto inafferrabile… 1873 d.C.: Cantor scopre i diversi livelli d’infinito … 1638 d.C.: Galileo Galilei scopre che una parte è equivalente al tutto negli interi III secolo a.C.: Archimede dimostra che nella realtà non c’è infinito IV secolo a.C.: Aristotele accetta come unica possibilità d’infinito quello potenziale “ Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato.” (D. Hilbert)
  4. 4. <ul><li>Ricerche su problematiche specifiche inerenti l’infinito attuale , affrontate nel curricolo didattico della scuola secondaria. </li></ul>Di cosa parleremo…
  5. 5. Ostacoli di apprendimento <ul><li>Genetici e ontogenetici: hanno origine nell’allievo </li></ul><ul><li>Didattici: hanno origine nelle scelte didattiche e metodologiche dell’insegnante </li></ul><ul><li>Epistemologici: devono la loro esistenza a fatti intrinseci alla matematica stessa. </li></ul>“ Con il termine ostacolo si intende qualsiasi cosa si frapponga alla costruzione del sapere da parte dell’allievo, sapere auspicato dall’insegnante” Fandiño Pinilla M.I. (2006)
  6. 6. di “mancata comprensione” o viceversa di “ accettazione incondizionata” delle dimostrazioni sulle diverse cardinalità transfinite, ostacoli epistemologici e didattici emersi durante il processo di apprendimento del teorema di Georg Cantor che coinvolge l’infinito attuale” <ul><li>Appiattimento </li></ul><ul><li>Dipendenza </li></ul><ul><li>Scivolamento </li></ul><ul><li>Contratto didattico </li></ul>Le cause
  7. 7. <ul><li>Appiattimento: </li></ul><ul><li>dei cardinali transfiniti “consiste nel ritenere che tutti gli insieme infiniti siano tra loro equipotenti ” </li></ul><ul><li>Dipendenza: </li></ul><ul><li>dei cardinali transfiniti “consiste nel ritenere che insiemi di misura maggiore abbiano anche cardinalità maggiore ” </li></ul><ul><li>Scivolamento: </li></ul><ul><li>si verifica quando si sta parlando di qualcosa e d'improvviso ci si trova a parlare di altro. </li></ul><ul><li>Contratto didattico: </li></ul><ul><li>Molti studenti dichiarano di accettare la dimostrazione, </li></ul><ul><li>a causa della fiducia riposta nell’insegnante. </li></ul>Le cause
  8. 8. “ Lo vedo, ma non ci credo…” I°parte <ul><li>Ricerca condotta da Arrigo G. e D ’ A more B. (1999) </li></ul><ul><li>su un campione casuale di 16 classi di seconda, terza e quarta superiore, 287 studenti di cui 51 svizzeri italiani e il resto bolognesi ai quali è stato mostrato un video contenente 3 dimostrazioni concernenti l’infinito matematico. </li></ul><ul><li>Nessuno studente aveva mai affrontato questioni concernenti l’infinito. </li></ul><ul><li>Nessuno di questi allievi aveva avuto precedentemente un insegnamento di Analisi. </li></ul>
  9. 9. Segmentino-segmentone <ul><li>Due segmenti di lunghezza diversa sono equipotenti </li></ul>
  10. 10. Forme decimali periodiche
  11. 11. Teorema di Cantor <ul><li>Nel piano puntuale un quadrato è equipotente al suo lato </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Nella dimostrazione di Cantor intervengono solo fatti elementari: ciò garantisce la sua comprensione agli studenti di terza e quarta superiore? </li></ul><ul><li>Se la risposta è negativa, la mancata comprensione è dovuta ad ostacoli epistemologici o didattici? </li></ul><ul><li>Quali misconcetti entrano nella questione? </li></ul>Ci chiediamo:
  13. 13. Risultati della ricerca <ul><li>Segmentino-Segmentone: </li></ul><ul><ul><ul><li>Studenti non convinti della spiegazione 10-12% </li></ul></ul></ul><ul><li>non riescono a ricostruirla correttamente 38% </li></ul><ul><li>Forme decimali periodiche: </li></ul><ul><ul><ul><li>Studenti non convinti della spiegazione 46% </li></ul></ul></ul><ul><li>non riescono a ricostruirla correttamente 53 % </li></ul><ul><li>Teorema di Cantor: </li></ul><ul><ul><li>Circa il 66 % degli studenti non è riuscita a trattenere nessun elemento positivo dalla dimostrazione. Questi studenti hanno espresso una convinzione antecedente, in parte sorretta da immagini mentali coerenti con se stesse, ma non idonee ad affrontare la nuova situazione cognitiva </li></ul></ul>
  14. 14. Segmentino-segmentone – OSTACOLI <ul><li>Rifiuto della dimostrazione (12%)  ostacolo didattico : visione del segmento come modello della “collana di punti”  misconcetto della dipendenza </li></ul><ul><li>Come superarlo ?  concetto di densità – infinito attuale </li></ul><ul><li>Accettazione della dim.  per contratto didattico (15,7%) </li></ul><ul><li>restante (46,3%), ricostruzione e comprensione del teorema : </li></ul><ul><li>?! per interiorizzazione del concetto di insieme denso !? </li></ul><ul><li>oppure </li></ul><ul><li>grazie all’introduzione nella dim dell’immagine del punto come intersezione di due rette  aggiramento dell’ostacolo </li></ul><ul><li> Ostacolo epistemologico almeno in parte superato </li></ul>
  15. 15. Forme periodiche – OSTACOLI <ul><li>Rifiuto della dimostrazione (46%)  ostacolo didattico : contesto linguistico in cui vengono introdotti i numeri periodici (infinito potenziale) </li></ul><ul><li>Come superarlo ?  acquisizione dei concetti di densità e infinito attuale </li></ul><ul><li>Comprensione del teorema(47%)  grazie ad un opportuno stratagemma nella dimostrazione  aggiramento dell’ostacolo </li></ul><ul><li> Possibile effetto non duraturo : fase “lo vedo” (comprensione tecnica della dim) seguita da reazione “ma non ci credo” ( ritorno in superficie degli ostacoli ) </li></ul>
  16. 16. Teorema di Cantor - OSTACOLI <ul><li>Ostacolo epistemologico : nozione euclidea “il tutto è maggiore della sua parte” </li></ul><ul><li>La dimostrazione non aiuta, aggiunge due difficoltà : </li></ul><ul><li>- Lo scivolamento (geometria –aritmetica - geometria) </li></ul><ul><li>- Inusuale manipolazione delle cifre decimali </li></ul><ul><li>E il contratto didattico ? 18,8% e 6,6% accetta la dim senza aver capito uno/due passaggi, nessuno la accetta senza averne capito nessuno </li></ul><ul><li> Si sono di gran lunga superate le possibilità di comprensione degli studenti delle superiori </li></ul>
  17. 17. “ Lo vedo, ma non ci credo…” II parte <ul><li>Studio sugli ostacoli didattici creati nei primi anni di insegnamento con l’introduzione di modelli intuitivi che successivamente si trasformano in misconcezioni difficilmente superabili da parte degli studenti </li></ul><ul><li>Questioni affrontate: </li></ul><ul><li>la numerabilità dei Q </li></ul><ul><li>la non numerabilità dell'insieme dei numeri reali R. </li></ul><ul><li>Percorso didattico </li></ul><ul><li>idea di “conteggio” di un Vi sono più elementi </li></ul><ul><li>numero finito di enti in ]0, 1[ (R) che in N </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Affermazioni oggetto di studio della ricerca: </li></ul><ul><li>vi sono tanti multipli di 997 quanti sono i numeri naturali </li></ul><ul><li>vi sono tanti numeri interi positivi, quanti sono i negativi, quanti sono gli interi nella loro totalità (card(N)=card(Z)) </li></ul><ul><li>card(R)>card(N) e addirittura card(]0,1[)>card(N) </li></ul>
  19. 19. <ul><li>Sei convinto che ci sono tanti multipli di 997 quanti sono i numeri naturali? </li></ul><ul><li>ogni multiplo di 997 (k·997) </li></ul><ul><li>corrisponde univocamente al numero naturale k </li></ul><ul><li>Qualcuno sostiene che i numeri interi siano il doppio dei naturali. Che cosa ne pensi? </li></ul>Alcuni risultati 0 64.55% 15.34% 9.52% 7.94% Del tutto Abbastanza Mica tanto Per nulla 26.98% 19.58% 50.79% Potrebbe avere ragione Ha ragione Non ha capito nulla 1 2 r N 0 1 - 1 - 2 2 r Z
  20. 20. Alcuni risultati <ul><li>1. Ci sono più reali tra 0 e 1 oppure più razionali tra 0 e 1? </li></ul><ul><li>2. Ci sono più reali tra 0 e 1 oppure più razionali in tutto Q? </li></ul><ul><li>3. Ci sono più reali in R oppure più razionali in tutto Q? </li></ul>9.09% 35.35% 9.09% 44.44% I 7.78% 13.33% 3.33% 75.56% CH non si può dire stessa cardinalità più razionali 0,1 più reali 0,1 18.18% 38.38% 15.15% 22.22% I 21.11% 24.44% 5.56% 48.89% CH non si può dire stessa cardinalità più razionali in Q più reali 0,1 13.13% 41.41% 3.03% 39.39% I 12.22% 16.67% 1.11% 70.00% CH non si può dire stessa cardinalità più razionali in Q più reali in R
  21. 21. Costruzione del “modello di infinito” <ul><li>Prima misconcezione: </li></ul><ul><li>«In Z c’è il doppio degli elementi di N, è ovvio»  dipendenza </li></ul><ul><li>Positivo passaggio ad una seconda misconcezione : </li></ul><ul><li>Lo studente, spinto dal docente, accetta che alcuni insiemi infiniti siano tra loro equipotenti (come N e Z). Lo fa perché pensa che ciò sia legato all’infinità , e generalizza: </li></ul><ul><li>«Tutti gli insiemi infiniti sono equipotenti tra loro, dato che sono infiniti».  appiattimento </li></ul>“ miglioramento” rispetto alla precedente misconcezione “ scalata” lenta e graduale verso la costruzione di un concetto finale corretto: “modello di infinito”
  22. 22. Conclusioni: misconcetti <ul><li>L’usuale rappresentazione grafica degli insiemi numerici N, Z, Q, R da un’immagine potenzialmente distorta </li></ul><ul><li>Lo studente confonde “l’essere sottoinsieme di” con </li></ul><ul><li>“ l’avere meno elementi di”, il che è equivalente solo nel finito </li></ul>R Q Z N
  23. 23. Conclusioni: misconcetti <ul><li>Uso acritico del supporto retta </li></ul><ul><ul><li>modello della retta geometrica come collana di punti di dimensione finita  concetti di densita’ e continuita’ non capiti </li></ul></ul><ul><ul><li>Allontanrsi dallo 0 per i naturali rappresenta un aumento del numero, mentre per gli interi può rappresentare una diminuzione (negativi) </li></ul></ul><ul><ul><li>Insistenza dul modello naturale dell‘ordinamento di Z </li></ul></ul><ul><li>Lo studente tratta l’infinito attuale con gli stessi strumenti che ha sempre utilizzato per gli insiemi finiti (misconcetti). </li></ul>
  24. 24. Conclusioni: proposte <ul><li>Evitare di applicare agli insiemi infiniti procedure proprie degli insiemi finiti </li></ul><ul><li>Educare all’uso di modelli intuitivi diversi </li></ul><ul><li>L’individuazione di immagini alternative da fornire agli studenti fin dai primi anni di scuola rappresenta quindi una problematica da affrontare con urgenza, proponendo percorsi che non forniscano immagini mentali distorte. </li></ul><ul><li>Alcune proposte si possono individuare nell’introduzione dei numeri “grandi” già in età prescolare, evitando di riproporre all’infinito la numerazione dall’1 al 9 (che il bambino già conosce) e trattando con disinvoltura i numeri che rappresentano i giorni di un mese, di un anno, gli anni del nonno, ecc.. </li></ul>

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