PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA
“PUCE-SI”.
Datos Informativos
Carrera: Arquitectura.
Nivel:Primero...
“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”,otro axiomaes
“DOS COSASIGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.
El primeraxiomadefine...
(P1∧P2∧ P3∧...∧Pn)⇒ Q
Donde lasPi condicionessonllamadashipótesisopremisas,yQes la
conclusión.
“Demostrarun teorema”esdemo...
5.- q ⇒ s
6. - ¬s ⇒ ¬q Conclusión
Metodoinductivo
Sirve para demostrarfórmulasopropiedadesque sonverdaderasparainfinitosnú...
Metodos de demostracion
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Metodos de demostracion

1,486 views

Published on

  • Be the first to comment

Metodos de demostracion

  1. 1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA “PUCE-SI”. Datos Informativos Carrera: Arquitectura. Nivel:Primero“A” Nombre:Sanipatinvinicio Materia: Lógica Matemática. Tema: Métodosde demostración. Fecha: 19 de Octubre del 2010. Objetivo:conocertodoslosconceptosque se aplicanenlogicamatematicaparaluegorealizar su coreectaaplicacion Contenido: Metodosdeducticvos de demostracion Segúnel sistemaaristotélico,el métododeductivoesunprocesoque parte de un conocimientogeneral,yarribaa unoparticular.La aplicacióndel método deductivonosllevaaunconocimientocongradode certezaabsoluta,y esta cimentadoenproposicionesllamadas SILOGISMOS. EJEMPLOS 1. “ Todos lasvenezolanassonbellas”,(Este es el conocimientogeneral) “Marta Colominaesvenezolana” Luego: “Marta Colominaesbella” 2. “Todos losmamíferossonanimales” “El perro esun animal” Por lotanto: “El perroes unmamífero” Se puede observarque partiendode dospremisas,unade lascualesesuna hipótesisgeneral se llegaauna conclusiónparticular.Tambiénesde hacernotar que eneste ejemplolaspremisaspuedenserverdaderasopuedenserfalsas,yporconsiguientela conclusiónpuede serigualmente verdaderaofalsa. En la lógicaformal y sobre todoenel universomatemático,el procesodeductivotieneun significadounpocodiferente,puesestabasadoen AXIOMAS,oproposicionesque son verdaderaspordefinición. Por ejemplo,unaxiomaes:
  2. 2. “EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”,otro axiomaes “DOS COSASIGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”. El primeraxiomadefineel conceptode MAYOR,yel segundoel conceptode IGUAL. El métododeductivonospermitepartirde unconjuntode hipótesisy llegarauna conclusión, pudiendoserestainclusive que el conjuntode hipótesis seainválido. Generalmente,enmatemáticas,ladeducciónesunprocesoconcatenadodel tipo"si A entonces B,si B entoncesC,si C entoncesD..." hastallegara unaconclusión. Al conjuntode HIPOTESIS+ DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denominaTEOREMA. La prácticade losrazonamientosdeductivosenel procesode desarrollodel pensamiento lógicomatemáticoesmuyimportante.Constituyeunaherramientafundamental parael trabajoen lamatemáticay otras ciencias. Demostracionporel metododirecto Si tomamosuna frase lógicacondicional sencilladel tipo: P ⇒ Q Que podemosanalizarcomo“si se cumple Pentoncesse cumple Q”,estolohacemosde forma natural sincomplicarnosenhaceranálisismasintensivosomasextensivospueslohacemosde una formainnata. Si decimos:“El cieloestaencapotado,vaa llover”estamos realizandounaasociaciónde causay efecto.Enla cual “el cieloestaencapotado”es la causa y el efecto lógicoesque,“vaa llover”. Desde el puntode vistade la lógicaestarelaciónesirrevocable.Asímismoenunarelación matemáticase puede verificarestasencillarelaciónenlacual si se cumple lapremisaP entoncesse puede decirque se cumplirálaconsecuenciaQ. A este procesoformal se le denomina“demostraciónmediante el métododirecto”es innecesariodecirque si nose cumple overifica Pentoncessu consecuenciatampocose verificará. ¬P ⇒ ¬Q Supóngase que P⇒Q esuna tautología,endonde Py Q puedenserproposicionescompuestas, enlas que intervengancualquiernúmerode variablespropositivas,se dice que qse desprende lógicamente de p. Supóngase unaimplicaciónde laforma. (P1∧P2∧ P3∧...∧Pn) ⇒ Q Es una tautología. Entoncesestáimplicaciónesverdaderasinimportarlosvaloresde verdadde cualquierade suscomponentes.Eneste caso,se dice que q se desprende lógicamente de P1,P2,......,Pn.Se escribe. El caminoque se debe seguirparallevara cabo una demostraciónformal usandoel métododirecto.Significaque síse sabe que P1 esverdadera,P2es verdadera,......yPntambiénesverdadera,entoncesse sabe que Qesverdadera. La mayoríade losteoremasmatemáticoscumplenconestaestructurabásica:
  3. 3. (P1∧P2∧ P3∧...∧Pn)⇒ Q Donde lasPi condicionessonllamadashipótesisopremisas,yQes la conclusión. “Demostrarun teorema”esdemostrarque lacondicional esuna tautología. Ojo,no se pide demostrarque laconclusiónesverdadera,loque se quiere es demostrarque Q esverdaderasiempre ycuandotodaslasPi condicionesson verdaderas. En conclusiónpodemosdecirque: Cualquierdemostración,seade enunciados omatemáticadebe: a. Comenzarcon lashipótesis. b. Debe seguirconlastautologíasy reglasde inferenciasnecesariaspara... c. Llegara laconclusión. A continuaciónse pruebaunenunciadoendonde se puede apreciarel uso tanto de lastautologíascomo de las reglasde inferencia. Sean p: Trabajo q: Ahorro r: Compraré una casa s: Podré guardar el automóvil enmi casa Analizarel siguiente argumento: "Si trabajo y ahorro,entoncescompraré unacasa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente,si nopuedoguardarel coche enmi casa, entoncesnoahorro". El enunciadoanteriorse puede representarcomo: p∧q⇒ r; y r⇒ s; entoncess'⇒q' Equivale tambiénaprobarel siguienteteorema: [(p∧q) ⇒ r]∧ [r⇒s]; [s'⇒q'] Comose trata de probar un teoremade laforma general: p1∧ p2∧...... ∧ pn entonces q Se aplicael procedimientogeneral parademostraciónde enunciadosválidos. A continuaciónse demuestrael teoremarespaldandocadaunode suspasos en tautologíaso reglasde inferenciayaconocidas. 1. - (p∧q) ⇒ r Hipótesis 2.- r⇒ s Hipótesis 3.- p ⇒ q SilogismoHipotético 4.- q ⇒ r SilogismoHipotético
  4. 4. 5.- q ⇒ s 6. - ¬s ⇒ ¬q Conclusión Metodoinductivo Sirve para demostrarfórmulasopropiedadesque sonverdaderasparainfinitosnúmeros naturales.Esdecirpara demostrarque las propiedadesde laformaP(m) se cumple casi siempre paratodonúmeronatural m € N siendon+el conjuntode loscaracterísticos sinel cero V n € N+ (SiendoN*= N-{0}) Se trata de demostrarP(n),V n€ N* El métodode demostracióninductivoconstade 3 pasos. 1. Paso Básico Demostrarque la propiedadse cumple parael primervalorde de N que nosdigan,casi siempre será1. Se trata de demostrarP(1). 2. Paso Inductivo Consiste endemostrarque si se cumple paraun cierton entoncestambiénse cumplepara n+1. Es decirque si se cumple paraP(n) entoncesse tiene que cumplirP(n+1).Se tratade demostrarlaimplicaciónP(n)->P(n+1).SupondremoscomohipótesisP(n) (hipótesisde inducción). 3. Conclusión Del paso básicoy del pasoinductivose deduce que laproposiciónse cumple paratodoslosn naturalesmayoresoigualesa1 (n>=1). Metodoreduccion absurdo Sólosabremossi esuna tautología.Supondremosque esunacontradicción,portanto podemossuponerque puedeserfalsa.Sinconestasuposiciónse llegaaunacontradicción quería decirque esafalsedadsupuestanuncapodría darse,portanto la proposiciónsería siempre verdaderaesdecirunatautología.

×