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# El conjunto de los números reales y ejercicios de aplicacion

NUMEROS REALES, COMO SE COMPONEN: NATURALES, ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES, ADEMAS DE NUMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS; CON EJERCICIOS DE APLICACION

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### El conjunto de los números reales y ejercicios de aplicacion

1. 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Presenta: Jorge Villanueva Estrada
2. 2. Los números reales R
3. 3. Los números Naturales (N) Es un conjunto de números enteros y es ordenado N = {1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…} “El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.” Permiten realizar las 4 operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división, además de operaciones que
4. 4. Los números Naturales (N) Cero: cantidad nula  Conjunto de números Primos: estos elementos pueden definirse como aquellos números que no tienen mas divisores que ellos mismos y la unidad P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…}  Conjunto de números compuestos: los números compuestos son múltiplos de aquellos que son sus factores. C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18…} 
5. 5. Los números Naturales (N) Conjunto de números compuestos: ejemplo: 12 es un múltiplo de 2, 3, 4 y 6 1 2 2 2 3 2 2 3 4 3 4 6 2 2 3 4 6
6. 6. Los números Naturales (N) y sus operaciones Adición CLAUSURATIVA a + b € N Los términos se llaman sumandos y el resultado suma a+b=c ASOCIATIVA (a + b) + c = a + (b + c) CONMUTATIVA a + b = b + a MODULATIVA a + 0 = a Sustracción Los términos de la resta son: Minuendo y Sustraendo. Al resultado se llama Diferencia. a-b=c El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural. 2−5 € N No es Conmutativa: a - b ≠ b - a 5−2≠2−5
7. 7. Los números Naturales (N) y sus operaciones MULTIPLICACIÓ N Los términos se llaman factores y el resultado producto CLAUSURATIVA a · b € N ASOCIATIVA (a · b) · c = a · (b · c) CONMUTATIVA a · b = b · a MODULATIVA a·1=a DISTRIBUTIVA a · (b + c) = a · b + a · c a· b = c DIVISION El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural. 2÷5 € N No es Conmutativa: a ÷ b ≠ b ÷ a 5÷2≠2÷5 Cero dividido entre cualquier número da cero 0÷5=0
8. 8. Ejemplos de aplicación de números naturales. Se realiza un conteo de los alumnos que se inscribieron a la carrera de administración en los últimos 3 años 2011 2012 2013 2011 16 2012 31 0 16 15 14 2013 45 ¿Cuantos alumnos 2011 teníamos en total en el año 2012 2013 2012? 0 + 16 + 2011 15 = 31 2012 2013 ¿Cuantos alumnos tenemos en total en el año 2013? 0 + 16 + 15 + 14 = 45 ¿Cual es el promedio de alumnos que se inscribieron
9. 9. Números Enteros (Z) En el sistema de los números naturales ecuaciones del tipo X + 1 = 0, no tienen solución, así como otras situaciones de la vida real como, deudas, depresiones del terreno, nivel bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, que no es posible representarlas con tales números. Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sean posibles. En general los números enteros es la unión de los números enteros positivos y los números enteros negativos: Z = {…,-11, -10,-9…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…,9, 10, 11,…} Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales.
10. 10. Operaciones con números enteros
11. 11. Video de solución de problemas http://www.youtube.com/watch?v=Sj9rT hGLz9Q
12. 12. Ejemplos de aplicación de números enteros. Pedro es un estudiante desea reconocer los posibles gastos que va a realizar el siguiente mes, tomando en cuenta lo siguiente: \$2500 inscripción, \$2000 mensualidad, pero el gana al mes \$1700 y lleva solamente trabajado un mes, cuanto dinero tiene que conseguir para poder seguir estudiando 1700 + X + (– 2500) + (– 2000) = 0 1700 – 2500 – 2000 + X = 0 -2800 + X = 0 X = 2800 -4500 = -2000 4500 + -2500 0 1700 + X=
13. 13. Números Racionales (Q) En general los números racionales son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional. Además de que se puede aplicar el sistema decimal http://www.youtube.com/watch?v=E5abcq22aE 8
14. 14. Números Racionales (Q) y sus operaciones
15. 15. Ejemplos de aplicación de números racionales.  2do paso realizar la elementos Examen 0 Tareas 3 Participación 2 Exposición 2_ Total 8.5 suma de todos los 3/10 2/10 2/10 7/10
16. 16. http://www.youtube.com/watch?v=YLuUvD_rVL8 Números Irracionales (I) Lo primero que se puede decir acerca de un número irracional es que no se puede expresar como una fracción. Esta es la característica que lo define como irracional. Como todo número racional tiene una expresión decimal que contiene, o bien un número finito de cifras decimales, o bien un número infinito de cifras formadas por la repetición periódica de un número finito de cifras, se puede concluir que un número irracional tiene, en su expresión decimal, una cantidad infinita de cifras no periódicas. En otras palabras, todo número irracional tiene la característica siguiente: “Su expresión decimal no puede escribirse completa jamás, porque jamás se terminaría de escribir una cantidad infinita de cifras decimales.” Esto hace que sean números realmente difíciles de manejar si se quieren expresar con cierta exactitud. De hecho, con total exactitud no se les puede manipular en operaciones aritméticas por su misma naturaleza.
17. 17. Números Irracionales (I) Algunos números irracionales son √ Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc.) √99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc.) Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales. π Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos: 3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...) e El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
18. 18. Ejemplos de aplicación de números irracionales. Se quiere conocer la longitud de la mitad de una circunferencia de radio de 20 m, para poder estimar la distancia que se recorrerá en una carrera, sabiendo las siguientes equivalencias : Sistemas Decimal 360 Circular = 2π rad Y la formula para obtener la longitud de un arco es S= r = Angulo central en radianes Si S r= Radio r Solución: 360 = 2π rad 180= π S=(π)20m=62.831…m
19. 19. Números reales (R) El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales) son Reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real. Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero). Los números Naturales (1,2,3,4…)son u subconjunto de los números enteros. Los Enteros (…-2, -1, 0, 1, 2,…)son un subconjunto de los números racionales Los números racionales y los números Irracionales I son un subconjunto de los números reales , , ,π, 1/2
20. 20. http://www.youtube.com/watch?v=hoVEwhN-UPc Números imaginarios (I) Los Números Imaginarios son las raíces pares de cantidades negativas. Por lo que la ecuación X2= –1 no tiene solución en el sistema de los números reales, si se quiere dar un valor a la X, tal que X2= –1 , éste no puede ser un valor real, no tiene sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Por lo que se define un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios. UNIDAD IMAGINARIA La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es el numero √ –1 (la raíz cuadrada de menos uno) y se representa por la letra “i”. En matemáticas se usa i (de imaginario) en conclusión √ –1=i
21. 21. Números imaginarios (I) Ejemplo √-4 = √4 * √-1 = 2i PROPIEDAD INTERESANTE La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas: i * i = -1, -1 * i = -i, -i * i = 1, 1*i=i EXPRESION DE UN NÚMERO IMAGINARIO  La unidad imaginaria es √-1= i, con este concepto y los números reales se puede expresar un numero imaginario, como un numero real multiplicado por la unidad imaginaria.
22. 22. RESPRESENTACION DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS Los números Imaginarios se pueden representar en un eje imaginario o ejes de la y (ordenada), que además es perpendicular al eje real o de las x (abscisa). ADICION Y SUSTRACCION DE NUMEROS IMAGINARIOS i
23. 23. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA i Estas son de gran utilidad, en Exponentes básicos de i: i= √-1 i2= - 1 i3= - i i4= - 1 Para saber que valor corresponde a una potencia de i, se divide el exponente de la potencia dada por 4 y se determina el residuo. Luego a la i le aplicamos ese residuo como exponente y comparamos con los exponentes básicos. Se explica en el siguiente ejemplo Ejemplo de potencias de la unidad imaginaria i: Hallar el valor de i30 primero se divide 30 entre 4 y se determina el residuo 30/4= 7.5 30-(7*4) 30-28=2 residuo Por lo tanto i30 = i2 = -1 i21 = i1 = √-1 i16 = i4 = -1 i19 = i3 = -i
24. 24. MULTIPLICACIÓN IMAGINARIOS i DE NUMEROS Para multiplicar números imaginarios se reduce ala forma bi y se operan algebraicamente teniendo en cuenta las potencias de la Unidad Imaginaria. Ejemplo para (√-64) ( √-100) Solución: 1. De la forma bi √-64 = √64(√ - 1) = 8i; √- 100 = √100(√ - 1) = 10i 2. Se operan algebraicamente teniendo en cuenta las potencias de la Unidad Imaginaria. √-64 x √- 100 = 8i x 10i = 80i2 = 80(- 1) = -80 • • • • (√-121)( √-144) (4√-4)( 5√-16) √-49 ÷ √-1 (2√-4 + 5√-9)(3√-16)
25. 25. Números complejos Expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es imaginario. Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.
26. 26. Representación Grafica de los Números Complejos Los números complejos de la forma a + bise escriben como una pareja ordenada de la forma(a, b)y cada pareja ordenada representa un punto en el plano. Llamado Plano Complejo. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. Los números complejos se representan gráficamente en dos formas:  Mediante un punto  Mediante un vector
27. 27. REPRESENTACION MEDIANTE UN PUNTO Para representar un número complejo mediante un punto, se expresa el número en forma de pareja ordenada y se ubica en el plano complejo Ejemplo: Represente mediante un punto el numero complejo 3 + 4i en un Plano complejo
28. 28. REPRESENTACIÓN MEDIANTE UN VECTOR Es el segmento que se traza desde el origen del plano hasta el punto generado, se denomina Vector 1. Represente mediante un punto los siguientes números complejos -2 – 6i 3 + 2i 5 – 7i 2. Represente en forma vectorial los siguientes números complejos 7 + 6i -4 – 3i
29. 29. Operaciones con Números http://www.youtube.com/watch?v=rODxTOsz Complejos PJs (5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
30. 30. División de números complejos Efectué las siguientes divisiones: a. (9 - 3i) ÷ (-5 – 4i) b. (√3 + √-16) ÷ (√5 + √-49) c. (-5√3 + 2√3i) ÷ (-4√11 + 5√3i)