ESCUELA :  NOMBRES: ÁLGEBRA  FECHA : Ciencias   de   la   Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL /AGOSTO 2009
CONTENIDOS  (PRIMER BIMESTRE) <ul><li>Conceptos fundamentales del Álgebra. </li></ul><ul><li>Ecuaciones y desigualdades. <...
<ul><li>Conceptos fundamentales del Álgebra </li></ul>Números reales Numeros complejos  Números reales Números racionales ...
Recta de números reales Notación científica a= c x   10 n  , donde 1<=c<10 y n es un entero 412 en notación científica es ...
Exponentes  5 Leyes a 0  = 1 (a/b) n  = a n  /b n   a -n  = 1/a n a m /a n  = a  m-n   a m a n  = a  m+n a m /a n  = 1/a  ...
Radicales  5 Leyes n √ a.b =  n √ a  n √ b n √  (a/b) =  n √ a /  n √ b m √ n √ a =  mn √ a  Exponentes racionales a 1/n  ...
Expresiones algebraicas  Monomio  ax n Polinomio  a n x n  + a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0   <ul><li>Operaciones: </li></ul><ul...
Expresiones fraccionarias  Fórmulas de Productos (x + y)(x – y) = (x 2 -y 2 ) (x   ± y) 2  = (x 2  ± 2xy+y 2 ) (x   ± y) 3...
<ul><li>Ecuaciones </li></ul><ul><li>Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b = 0; a≠0; (a y b son R)  1 sol. </li></ul...
<ul><li>Otro tipo de ecuaciones como son: </li></ul><ul><ul><li>Ecuaciones con valor absoluto. </li></ul></ul><ul><ul><li>...
Desigualdades (Inecuaciones) <ul><li>Infinito número de soluciones. </li></ul><ul><li>Desigualdades: Lineales, racionales,...
w 3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1...
Gráfica de ecuaciones <ul><li>Intersecciones:  </li></ul><ul><li>Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontr...
Rectas <ul><li>La ecuación de la recta tiene la forma  </li></ul><ul><li>ax + by = c </li></ul><ul><li>La pendiente de la ...
Definición de función <ul><li>Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del d...
Sea I un intervalo del dominio de una función  f: f  es  creciente  en I si  f (b) >  f (a) siempre que b > a en el interv...
Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
Al reemplazar la variable x por –x: Si  f (-x) =  f (x) la función es par Si  f (-x) la función es impar Si  f  es par ent...
4. Funciones polinomiales y racionales <ul><li>Funciones polinomiales de grado mayor que 2. </li></ul><ul><li>Sí ƒ es de g...
Tienen la forma f(x) =  g(x)  donde h(x) ≠ 0   h(x)  Teorema asíntotas horizontales: R(x)= a m x m +.......+a 1 x+a 0 b n ...
5. Funciones exponenciales y logarítmicas <ul><ul><li>Función exponencial </li></ul></ul><ul><li>Tienen la forma f(x)=a x ...
<ul><ul><li>Función logarítmica </li></ul></ul><ul><li>La inversa de una función exponencial de base a, se llama función l...
<ul><li>Ing. Ricardo Blacio </li></ul><ul><li>Docente – UTPL </li></ul><ul><li>Correo electrónico:  [email_address] </li><...
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    1. 1. ESCUELA : NOMBRES: ÁLGEBRA FECHA : Ciencias de la Computación Ing. Ricardo Blacio ABRIL /AGOSTO 2009
    2. 2. CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE) <ul><li>Conceptos fundamentales del Álgebra. </li></ul><ul><li>Ecuaciones y desigualdades. </li></ul><ul><li>Funciones y gráficas. </li></ul><ul><li>Funciones polinomiales y racionales. </li></ul><ul><li>Funciones exponenciales y logarítmicas. </li></ul>
    3. 3. <ul><li>Conceptos fundamentales del Álgebra </li></ul>Números reales Numeros complejos Números reales Números racionales Enteros Negativos 0 Positivos Números irracionales R C Q Q ΄ Z Z - Z⁺
    4. 4. Recta de números reales Notación científica a= c x 10 n , donde 1<=c<10 y n es un entero 412 en notación científica es 4.12 X 10 2 0.000000098 en notación científica es 9.8 X 10 -8 Ejemplo: 0 1 ⁄2 1 -1 -1 2 3 ∏ R - R ⁺
    5. 5. Exponentes 5 Leyes a 0 = 1 (a/b) n = a n /b n a -n = 1/a n a m /a n = a m-n a m a n = a m+n a m /a n = 1/a n-m (a m ) n = a mn a -m /b -n = b n / a m (ab) n = a n b n (a/b) - n = (b/a) n
    6. 6. Radicales 5 Leyes n √ a.b = n √ a n √ b n √ (a/b) = n √ a / n √ b m √ n √ a = mn √ a Exponentes racionales a 1/n = n √ a a m/n = ( n √ a) m = n √ a m
    7. 7. Expresiones algebraicas Monomio ax n Polinomio a n x n + a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 <ul><li>Operaciones: </li></ul><ul><li>Suma </li></ul><ul><li>Resta </li></ul><ul><li>Multiplicación </li></ul><ul><li>División </li></ul>
    8. 8. Expresiones fraccionarias Fórmulas de Productos (x + y)(x – y) = (x 2 -y 2 ) (x ± y) 2 = (x 2 ± 2xy+y 2 ) (x ± y) 3 =(x 3 ±3x 2 y+3xy 2 ±y 3 ) Fórmulas de factorización ( x 2 - y 2 ) =(x + y)(x – y) (x 3 - y 3 ) = (x - y)(x 2 + xy+y 2 ) (x 3 + y 3 ) = (x + y)(x 2 -xy+y 2 ) Cociente El denominador es cero si: Dominio 6x 2 - 5x + 4 x 2 - 9 x = ±3 Toda x ≠ ±3 x 3 – 3x 2 y + 4y 2 y – x 3 y = x 3 Toda x y y tales que y ≠ x 3
    9. 9. <ul><li>Ecuaciones </li></ul><ul><li>Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b = 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol. </li></ul><ul><li>Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax 2 +bx+c = 0;a≠0 2 sol. </li></ul><ul><li>Se puede resolver mediante: </li></ul><ul><li>Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática. </li></ul>2. Ecuaciones y desigualdades
    10. 10. <ul><li>Otro tipo de ecuaciones como son: </li></ul><ul><ul><li>Ecuaciones con valor absoluto. </li></ul></ul><ul><ul><li>Solución de una Ecuación por agrupación. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ecuaciones con exponentes racionales </li></ul></ul><ul><ul><li>Ecuaciones con radicales </li></ul></ul>
    11. 11. Desigualdades (Inecuaciones) <ul><li>Infinito número de soluciones. </li></ul><ul><li>Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas </li></ul><ul><li>Desigualdad con valor absoluto </li></ul><ul><ul><li>Propiedades </li></ul></ul><ul><ul><li>|a| < b equivale a –b < a < b </li></ul></ul><ul><ul><li>|a| > b equivale a a < –b o a > b </li></ul></ul>
    12. 12. w 3. Funciones y gráficas Sistema de coordenadas rectangulares P(a,b) a b O Fórmula de la distancia entre dos puntos d(P 1 ,P 2 )= √(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 II I III IV El punto medio M de un segmento entre P 1 y P 2 M= x 2 +x 1 , y 2 +y 1 2 2
    13. 13. Gráfica de ecuaciones <ul><li>Intersecciones: </li></ul><ul><li>Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0 </li></ul><ul><li>Simetrías: </li></ul><ul><li>Para saber si la gráfica es simétrica con respecto </li></ul><ul><li>Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación. </li></ul><ul><li>Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación. </li></ul><ul><li>Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación. </li></ul>
    14. 14. Rectas <ul><li>La ecuación de la recta tiene la forma </li></ul><ul><li>ax + by = c </li></ul><ul><li>La pendiente de la recta es </li></ul><ul><li>M = (y 2 -y 1 ) / (x 2 -x 1 ) </li></ul>Circunferencias: La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h) 2 +(y−k) 2 =r 2
    15. 15. Definición de función <ul><li>Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. </li></ul><ul><li>Variables: </li></ul><ul><li>x se denomina variable independiente. </li></ul><ul><li>Y se denomina variable dependiente. </li></ul>
    16. 16. Sea I un intervalo del dominio de una función f: f es creciente en I si f (b) > f (a) siempre que b > a en el intervalo I. f es decreciente en I si f (b) < f (a) siempre que b < a en el intervalo I. f es constante en I si f (b) = f (a) siempre que b = a en el intervalo I. Función creciente, decreciente o constante
    17. 17. Gráficas de Funciones Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
    18. 18. Al reemplazar la variable x por –x: Si f (-x) = f (x) la función es par Si f (-x) la función es impar Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen Paridad de una función Operaciones con funciones Suma, resta, multiplicación y división función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x))
    19. 19. 4. Funciones polinomiales y racionales <ul><li>Funciones polinomiales de grado mayor que 2. </li></ul><ul><li>Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto a n son cero entonces: </li></ul><ul><li>f(x)=ax n en donde a=a n ≠0 </li></ul><ul><li>Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen </li></ul><ul><li>Si n es par es una función par por tanto simétrica respecto a y </li></ul>Guía para trazar la gráfica de una función polinomial revise pág49 de la guía didáctica
    20. 20. Tienen la forma f(x) = g(x) donde h(x) ≠ 0 h(x) Teorema asíntotas horizontales: R(x)= a m x m +.......+a 1 x+a 0 b n x n +.......+b 1 x+b 0 donde a m ,b n ≠0 1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. 2.- Sí m =n, la recta y=a m b n es una asíntota horizontal. 3.- Sí m > n, no hay asíntotas. Funciones racionales. Guía para trazar la gráfica de una función racional, pág. 295, texto base
    21. 21. 5. Funciones exponenciales y logarítmicas <ul><ul><li>Función exponencial </li></ul></ul><ul><li>Tienen la forma f(x)=a x </li></ul><ul><li>En donde x es cualquier número real. </li></ul><ul><li>Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales. </li></ul><ul><ul><li>Función exponencial natural </li></ul></ul><ul><li>La base e.- el número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=e x </li></ul>
    22. 22. <ul><ul><li>Función logarítmica </li></ul></ul><ul><li>La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por log a Sus valores se representan como log a (x) o como log a x, puesto que: </li></ul><ul><li>f −1 (x) sí y solo sí x=f(y) </li></ul><ul><li>La definición de log a se puede expresar de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>y=log a (x) sí y solo sí x=a y </li></ul><ul><ul><li>Ecuaciones exponenciales y logarítmica </li></ul></ul><ul><ul><li>Para resolver este tipo de ecuaciones se usan las propiedades y leyes de los logaritmos </li></ul></ul>Desarrollo de cada uno de los temas con ejercicios que se desarrollaran en la tutoría virtual
    23. 23. <ul><li>Ing. Ricardo Blacio </li></ul><ul><li>Docente – UTPL </li></ul><ul><li>Correo electrónico: [email_address] </li></ul>

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