Calculo II

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Esta presentacion nos ayuda a desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.

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    1. 1. ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN II BIMESTRE Ing. María del Carmen Cabrera Loayza Octubre – Febrero 2007
    2. 2. OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series. En resumen: Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.
    3. 3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS <ul><li>Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP </li></ul><ul><li>Conocer y evaluar integrales impropias </li></ul><ul><li>Caracterizar y tabular sucesiones </li></ul><ul><li>Analizar Series (CV o DV) </li></ul><ul><li>Utilizar la serie de Taylor para aproximar funciones reales </li></ul><ul><li>Analizar las series de Fourier </li></ul>
    4. 4. CONTENIDOS <ul><li>TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN </li></ul><ul><ul><li>5.1 Integración por partes </li></ul></ul><ul><ul><li>5.2 Integración mediante fracciones parciales </li></ul></ul><ul><ul><li>5.3 Sustituciones trigonométricas </li></ul></ul><ul><li>FORMAS INDETERMINADAS </li></ul><ul><ul><li>6.1 Límites infinitos </li></ul></ul><ul><ul><li>6.2 Integrales Impropias </li></ul></ul>
    5. 5. <ul><li>SERIES </li></ul><ul><ul><li>7.1 Sucesiones </li></ul></ul><ul><ul><li>7.2 Series Infinitas (CV, DV) </li></ul></ul><ul><ul><li>7.3 Convergencia (Criterios) </li></ul></ul><ul><ul><li>7.4 Serie de Taylor </li></ul></ul><ul><ul><li>7.5 Series de Fourier </li></ul></ul>
    6. 6. Capítulo 5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
    7. 7. 5.1 INTEGRACIÓN POR PARTES Método que surge de la formula de la derivada de un producto:
    8. 8. Ejemplo 1:                  
    9. 9. Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden: L OGARÍTMICA, I NVERSA TRIGONOMÉTRICA, A LGEBRAICA, E XPONENCIAL <ul><li>Ejemplo 2: </li></ul><ul><li>u = x, du = dx </li></ul><ul><li>dv = dx, v = </li></ul>
    10. 10. Ejemplo 3:                  
    11. 11. Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:
    12. 12. Caso Especial: Doble integración por partes Ejemplo 4: (1)
    13. 13. (2)
    14. 14. Reemplazando (2) en (1), se tiene:
    15. 15. 5.2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES) <ul><li>Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios) </li></ul><ul><li>Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más fracciones simples </li></ul><ul><li>CASO 1: Funciones de la forma </li></ul><ul><li>Grado P(x) > Grado Q(x) </li></ul>
    16. 16. Ejemplo: Donde:
    17. 17. Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x) Se hace la descomposición: Donde constantes reales.
    18. 18. Ejemplo 1: Igualando numeradores:
    19. 19. Se forma un sistema de ecuaciones lineales: Resolviendo se obtiene:
    20. 20. Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
    21. 21. Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas. Q(x) posee factores cuadráticos de la forma: Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.
    22. 22. Luego: Se obtiene:
    23. 23. 5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS <ul><li>Integrar funciones Irracionales (Radicales) </li></ul><ul><li>Utilizar identidades trigonométricas </li></ul><ul><li>Algunos Ejemplos: </li></ul>
    24. 24. Tres casos fundamentales: a: constante real. Ejemplo 1: Resolver la integral (1) (2) (3)
    25. 26. Ejemplo 2: Resolver la integral Utilizando la identidad:
    26. 27. Puesto que: =
    27. 28. Capítulo 6 INTEGRALES IMPROPIAS
    28. 29. 6.1 LÍMITES INFINITOS ¿Qué significan las siguientes expresiones? X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.) f(x): toma valores positivos muy grandes X: toma grandes f(x): se aproxima a 5
    29. 30. Gráfica de Límites Infinitos
    30. 31. Algunos Ejemplos Ejemplo 1:
    31. 32. Ejemplo 2:
    32. 33. Ejemplo 3:
    33. 34. Ejemplo 4:
    34. 35. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)
    35. 36. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO
    36. 37. CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA
    37. 38. <ul><li>INTEGRALES CONVERGENTES </li></ul><ul><li>Si existe el límite </li></ul><ul><li>INTEGRALES DIVERGENTES </li></ul><ul><li>Si limite es infinito (+/-) </li></ul><ul><li>INTEGRALES OSCILANTES </li></ul><ul><li>Si no existe limite </li></ul>
    38. 39. Algunos Ejemplos Ejemplo 1: Esquematizar la región.
    39. 40. Ejemplo 2:
    40. 41. Ejemplo 3:
    41. 42. Ejemplo 4:
    42. 43. Ejemplo 5:
    43. 44. Capítulo 7 SERIES INFINITAS
    44. 45. 7.1 SUCESIONES Aplicaciones de los naturales en los reales: a: N  R n  a n Ejemplo: número e ¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!
    45. 46. Sucesiones Monótonas Ejemplo: Analizar la monotonía de la sucesión Paso 1 Paso 2  La sucesión es monótona
    46. 47. 7.2 SERIES INFINITAS Sumas parciales N-ésima suma parcial ¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite la serie converge !!!
    47. 48. 7.3 CONVERGENCIA EJEMPLOS Serie armónica divergente Serie geométrica
    48. 49. PROPIEDADES CRITERIOS DE CV Adición: Producto por escalar:
    49. 50. Criterio del cociente
    50. 51. Criterio de la raíz
    51. 52. Criterio de la INTEGRAL
    52. 53. 7.4 SERIE DE TAYLOR Polinomio de Taylor: Residuo de Taylor: La serie de Taylor se rebautizará &quot;serie de Maclaurin&quot; para x = 0
    53. 54. ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin
    54. 55. 7.5 SERIE DE FOURIER
    55. 56. mail: [email_address] skype: ma.krmita Telefono: 2570275 ext 2222

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