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Division de polinomios

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Division de polinomios

  1. 1. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20131METODO RUFFINIIE . PNP MEBAULA CRT MEB 2013
  2. 2. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20132TEMA 3.5 * 1º BCSREGLA DE RUFFINI
  3. 3. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20133• Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de laforma (x – a), siendo a un número, la división de puede realizar deuna forma más rápida y precisa:• 1.‑ Se reduce el dividendo.• 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente.• 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros.• 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluidos losceros.• 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a.• 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini.• 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvoel último que es el resto de la división.• 8.- Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá:• D(x) = d(x).c(x) + r(x).Regla de Ruffini
  4. 4. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20134• EJEMPLO 1• Sea ( x3+ 4.x2- 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3• 1 4 0 - 5• +• 3 3 21 63• 1 7 21 58• C(x) = 1.x2+ 7.x + 21• R(x) = 58• Podemos comprobar la división:• (x3+ 4.x2- 5) = (x - 3).(x2+ 7.x + 21) + 58
  5. 5. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20135• EJEMPLO 2• Sea ( x3+ 4.x2- 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5• 1 4 0 - 5• +• - 5 - 5 5 - 25• 1 - 1 5 - 30• C(x) = 1.x2- 1.x + 5• R(x) = - 30• Podemos comprobar la división:• (x3+ 4.x2- 5) = (x + 5 ).(x2- x + 5) + (- 30)
  6. 6. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20136• EJEMPLO 3• Sea ( 4.x3+ 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2• 4 0 5 - 3• +• - 2 - 8 16 - 42• 4 - 8 21 - 45• C(x) = 4.x2- 8.x + 21• R(x) = - 45• Podemos comprobar la división:• ( 4.x3+ 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2- 8.x + 21) + (- 45)
  7. 7. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20137• EJEMPLO 4• Sea ( x3+ 5.x - 3 ) : ( 2.x – 1)• Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 2:• Queda ( 0,50.x3+ 2,50.x – 1,5 ) : ( x – 0,50)• 0,50 0 2,50 - 1,50• +• 0,50 0,25 0,125 1,3125• 0,50 0,25 2,625 - 0,1875• C(x) = 0,50.x2- 0,25.x + 2,625• R(x) = - 0,1875• El verdadero resto es: R(x) = 2.(-0,12875)= - 0,2575• Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x)
  8. 8. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20138• EJEMPLO 4• Sea ( 2.x2+ 5.x - 3 ) : ( 3.x + 1)• Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 3:• Queda ( 2/3.x3+ 5/3.x – 1) : ( x + 1/3)• 2/3 5/3 – 1• +• – 1/3 – 2/9 – 13/27• 2/3 13/9 – 40/27• C(x) = 2/3.x + 13/9• R(x) = - 40/27• El verdadero resto es: R(x) = 3.(-40/27)= - 40 / 9• Como los decimales no son exactos se deja en fracción.• Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x)
  9. 9. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 20139Método escalonado de Ruffini• 1 - 3 3 - 1• +• 1 1 - 2 1• 1 - 2 1 0• 1 1 - 1• 1 - 1 0• 1 1• 1 0• Si el resto de la división deP(x) entre (x – a) es cero,entonces a es una raíz delpolinomio P(x).• Podemos encontrar lasrestantes raíces siguiendoaplicando la Regla de Ruffini.• Sea P(x) = x3- 3 x2+ 3.x - 1• Las posibles soluciones oraíces enteras son:• PRE = {1, -1} ,• o sea los divisores de 1.
  10. 10. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 201310Método escalonado de Ruffini• 1 3 0 - 4• +• 1 1 4 4• 1 4 4 0• - 2 - 2 - 4• 1 2 0• - 2 - 2• 1 0• Sea P(x) = x3+ 3. x2- 4• Tenemos que resolver laecuación:• x3+ 3 x2- 4 = 0• Las posibles soluciones oraíces enteras son:• PRE = {1, -1, 2, - 2, 4, - 4} ,• o sea los divisores de 4.• Aplicamos el método deRuffini sin recurrir alTeorema del Resto, o trasencontrar una raíz mediantesustitución.
  11. 11. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 201311MG VICTOR ALEGRE F.TEOREMA DEL RESTO YTEOREMA DEL FACTOR
  12. 12. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 201312TEOREMA DEL RESTO• Recordemos que RAÍZ de un polinomio son todos los valores de xque al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero.• Cumplen la ecuación: P(x)=0• TEOREMA DEL RESTO• El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de laforma (x a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el‑valor de a.• Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por a.‑• Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice quees una raíz del polinomio.• Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raícesreales.• Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raízreal. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales.
  13. 13. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 13• EJEMPLO_1• Ya hemos visto al hacer la división:• ( x3+ 4.x2- 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58• Veamos aplicando el Teorema del resto:• P(a)=P(3)= 33+ 4.32- 5 = 27 + 36 – 5 = 58• EJEMPLO_2• Ya hemos visto al hacer la división:• ( x3+ 4.x2- 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30• Veamos aplicando el Teorema del resto:• P(a)=P(-5)= (-5)3+ 4.(-5)2- 5 = -125 + 100 – 5 = - 30• EJEMPLO_3• Ya hemos visto al hacer la división:• ( 4.x3+ 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45• Veamos aplicando el Teorema del resto:• P(a)=P(-2)= 4.(-2)3+ 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45
  14. 14. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 201314• RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO• Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros sondivisores del término independiente.• Sea P(x) = a.x3+ b.x2+ c.x + d• Donde a, b, c y d son números enteros.• Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x):• a.r3+ b.r2+ c.r + d = 0• r.(a.r2+ b.r + c) = - d• Vemos que r es un factor de – d• O sea, que r es un divisor entero de d.• Para hallar las raíces de un polinomio de grado igual o superior a 3,o sea las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo primero serácomprobar las posibles soluciones enteras o divisores enteros deltérmino independiente.• Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 seráuna raíz o solución de la ecuación P(x) = 0
  15. 15. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 201315• EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO• Sea P(x) = x3+ 2.x2- 5.x - 6• Tenemos que resolver la ecuación: x3+ 2.x2- 5.x - 6 = 0• Las posibles soluciones o raíces enteras son:• PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} , o sea los divisores de 6.• Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto:• P(1) = 13+ 2.12– 5.1 – 6 = – 8 <> 0  No es raíz x =1• P(-1) = (-1)3+ 2.(-1)2- 5.(-1) – 6 = 0  x = -1 es una raíz.• P(2) = 23+ 2.22- 5.2 – 6 = 0  x = 2 es otra raíz.• P(-2) = (-2)3+ 2.(-2)2- 5.(-2) – 6 = 4 <> 0  No es raíz• P(3) = 33+ 2.32- 5.3 – 6 = 24 <> 0  No es raíz x = 3• P(-3) = (-3)3+ 2.(-3)2- 5.(-3) – 6 = 0  x = -3 es otra raíz• Las soluciones o raíces son: x = -1 , x = 2 y x = -3
  16. 16. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 201316• OTRO EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO• Sea P(x) = x3+ x2+ 4.x + 4• Tenemos que resolver la ecuación: x3+ x2+ 4.x + 4 = 0• Las posibles soluciones o raíces enteras son:• PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4.• Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto:• P(1) = 13+ 12+ 4.1 + 4 = 10 <> 0  No es raíz x = 1• P(-1) = (-1)3+ (-1)2+ 4.(-1) + 4 = 0  x = -1 es una raíz.• P(2) = 23+ 22+ 4.2 + 4 = 24 <> 0  No es raíz x = 2• P(-2) = (-2)3+ (-2)2+ 4.(-2) + 4 = – 8 <> 0  No es raíz x = - 2• P(4) = 43+ 42+ 4.4 + 4 = 100 <> 0  No es raíz x = 4• P(-4) = (-4)3+ (-4)2+ 4.(-4) + 4 = - 60 <>0  No es raíz x = -4• La única raíz real entera es x = -1
  17. 17. Blog Mgvalefrey2012 MG DIVEDU PNP VICTORALEGRE FREYRE 201317TEOREMA DEL FACTOR• RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos elvalor numérico del polinomio es cero.• Cumplen la ecuación: P(x)=0• Por el Teorema del Resto, si a es una raíz, entonces P(a) = 0• TEOREMA DEL FACTOR• Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma(x a) es 0, entonces la división es exacta y a es una raíz del polinomio.‑• Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x)• Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división.• (x – a) será un factor de P(x).• P(x) se podrá entonces factorizar, convertir en un producto de polinomios.

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