Polinomio y ecuación característica centla

6,199 views

Published on

MÁS FACIL NO PUEDE SER

Published in: Education
  • Be the first to comment

Polinomio y ecuación característica centla

  1. 1. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CENTLA.<br />Materia: Matemáticas IV.<br />Unidad: 6 <br />profesor :<br />ING. Víctor Manuel Mateo Morales<br />Polinomio y ecuación característica.<br />
  2. 2. OBJETIVO<br />COMPRENDER QUE ES UNA ECUACIÓN Y POLINOMIO CARACTERÍSTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON APLICACIONES EN LA INGENIERIA QUÍMICA<br />
  3. 3. Teorema 1. Sea A una matriz de n * n. Entonces  es un valor propio de A sí y sólo sí<br />P() = det (A - I) = 0 (4)<br /> Definición.Ecuación y polinomio característicos.<br />La ecuación (4) se llama la ecuación característica de A; p() se llama el polinomio característico de A.<br /> Como será evidente p() es un polinomio de grado n en . Por ejemplo, si A =<br />a b<br /> c d<br />
  4. 4. Entonces, A - I =<br /> a b  0 = <br /> c d - 0 <br /> <br />y p() = det ( A - I) = ( a - )(d - ) – bc = 2 – (a + b) + (ad – bc).<br /> a -  b<br /> c d - <br />
  5. 5. Según el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto significa, por ejemplo, que el polinomio ( - I)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier eigenvalor de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que <br />Contando multiplicidades, toda matriz de n * n tiene exactamente n eigenvalores<br />
  6. 6. Teorema 2. Sea  un valor propio de la matriz AQ de n * n y sea E = {v: Av = v}. Entonces E es un subespacio de Cn.<br /> <br />Demostración. Si Av = v, entonces (A - I)v = 0. Así E es el espacio nulo de la matriz A - I, que es un subespacio de Cn.<br />Definición. Espacio propio. Sea  un valor propio de A. El subespacio E se llama espacio propio de A correspondiente al valor propio .<br /> <br />Observe que 0 E ya que E es un subespacio. Sin embargo, o no es un vector propio.<br />
  7. 7.  <br />Teorema 3. Si A y B son matrices semejantes de n * n, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, tiene los mismos valores propios.<br /> <br />Demostración. Como A y B son semejantes, B = C-1AC y<br /> <br />Det (B -  I) = <br /> det (C-1AC -  I) = det [C-1AC – C-1( I)C]<br /> = det [C-1(A -  I)C] = det (C-1) det(A -  I) det (C)<br /> = det (C-1) det (C) det (A -  I) = det (C –1C) det (A -  I)<br />= det I det (A -  I) = det (A -  I)<br />
  8. 8. Esto significa que A y B tiene la misma ecuación característica, y como los valores propios son raíces de la ecuación característica, tiene los mismos valores propios.<br />
  9. 9. SUGERENCIAS DIDACTICAS<br />Utilizar software de matemáticas (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab) y calculadoras graficadoras para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas, la construcción de gráficas y la interpretación de<br />resultados.<br />• Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera.<br />

×