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Geometría Recurso no. 5 corte III

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Geometría Recurso no. 5 corte III

  1. 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA - AMPLIACIÓN CICLO BÁSICO TÁCHIRA - NÚCLEO TÁCHIRA CÁTEDRA: CÓDIGO: CARRERA: SEMESTRE: GEOMETRÍA ANALÍTICA MAT-21524 CICLO BÁSICO DE INGENIERÍA PRIMERO PROFESOR: UNIDAD: TEMA: LA PARÁBOLA EN EL PLANO CARTESIANO Ing. ALVARO VEGA II AUTORES DE LOS MATERIALES: TITULOS DE LOS MATERIALES:- CHARLES H. LEHMANN (ENUNCIADO DEL EJERCICIO) - GEOMETRÍA ANALÍTICA- FULLER G. (ENUNCIADO DEL - GEOMETRÍA ANALÍTICA, C.E.C.S.A EJERCICIO) - Ing. ALVARO VEGA (SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS) LA PARÁBOLA Repasando lo visto en clase: • a = Eje de la parábola • l = Recta directriz y es perpendicular al eje de la parábola • A = Punto de intersección entre la directriz y el eje de la parábola • p = Parámetro y es la distancia entre V y P • V = Vértice y es el punto medio entre A y F • LL´ = Lado Recto y su valor es I 4p I • BB´ = Cuerda de la parábola • CC´ = Cuerda Focal l B C L p a A V a F C` F F L` B` Ing. Alvaro Vega
  2. 2. Utilizando las ecuaciones para las parábolas vistas en clase resolvemos lossiguientes ejercicios:EJERCICIO No. 1Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto ( 3 , 2 ) y su foco estáen el punto ( 5 , 2 ).SOLUCIÓN:Observando los dos puntos dados, vemos que tanto el vértice como el foco tienen encomún el valor de la ordenada (es decir, el valor de “y”) que es 2. Por tantopodemos afirmar que como el foco y el vértice pertenecen al eje de la parábola, esteeje es la recta y=2 por lo tanto es una parábola horizontal y su ecuación es de laforma: ( y – k ) 2 = 4p ( x – h )Además podemos graficar: Y V Eje de la parábola 2 F X 3 5p = distancia entre los punto V y F p=5–3 p=2Sustituyendo el valor del vértice dado y el valor de p calculado en la ecuación de laparábola horizontal. Tenemos: Ing. Alvaro Vega
  3. 3. ( y – 2 ) 2 = ( 4) (2) ( x – 3 )( y – 2 )2 = 8 ( x – 3 ) Ecuación canónica de la parábolaResolviendo para encontrar la ecuación general:y2 – 4y + 4 = 8x – 24 y2 – 8x – 4y +24 = 0EJERCICIO No. 2Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la longitud del lado recto, y la ecuaciónde la directriz, en una parábola cuya ecuación es: ( x + 6 ) 2 = –24 ( y – 2 )SOLUCIÓNLa ecuación dada representa una parábola vertical, es decir, su eje es paralelo al eje“Y”.Si comparamos la ecuación dada con la ecuación canónica similar:( x + 6 ) 2 = –24 ( y – 2 ) ( x + h ) 2 = 4p ( y – k )Tenemos que el vértice será V(–6,2) además podemos decir que 4p = –24,luego despejando p, para hallar su valor4p = –24 p = (–24 ) / 4 p= –6Como la distancia desde el vértice hasta el foco es igual al valor de p, entoncespodemos hallar las coordenadas del foco sumando el valor de p a la ordenada delvértice y dejando el mismo valor de la abscisa, esto es:Para la parábola vertical las coordenadas del foco son: F ( h (vértice) , k (vértice) + p ) Ing. Alvaro Vega
  4. 4. F [ – 6 , 2 + (– 6) ] F(–6, –4) La longitud del lado recto LL´ = I 4p I LL´ = | (4) (– 6) | LL´ = | – 24 | = 24 Para hallar la ecuación de la directriz, sabemos que es una recta perpendicular al eje de la parábola y para este ejercicio está 6 unidades distante del vértice en sentido contrario a donde abre la parábola, pues la distancia entre la directriz y el vértice es igual a la distancia entre el vértice y el foco YDirectriz 8 La ecuación de la directriz será: y=2+6 6 y=8 V 2 y–8=0 X -6 0 F -4 Eje de la parábola Ing. Alvaro Vega
  5. 5. EJERCICIO No. 3Dada la ecuación de la parábola 4y2 – 48x – 20y – 71 = 0 ; reduzca la ecuacióndada a la forma canónica, indique si es una parábola horizontal o vertical y hacia adonde abre, halle las coordenadas del vértice y del foco, también hallar lasecuaciones de la directriz y del eje y la longitud del lado recto.SOLUCIÓN:Primero dividimos la ecuación dada entre 4 para llevar el primer término de laecuación a la unidad.4y2 – 48x – 20y – 71 = 0 dividiendo toda la ecuación entre 4 nos queday2 – 12x – 5y – (71 / 4) = 0 luego agrupando términos semejante y ordenandoy2 – 5y = 12x + (71 / 4) completando cuadrados para los términos de “y”y2 – 5y + (5/2) 2 = 12x + (71 / 4) + (5/2) 2 y2 – 5y + (25/4) = 12x + (71 / 4) + (25/4)( y – (5/2) ) 2 = 12x + (96/4)( y – (5/2) ) 2 = 12x + 24 sacando factor al lado derecho de la igualdad( y – (5/2) ) 2 = 12 ( x + 2) Ecuación canónica de la parábola dadaDe la ecuación podemos determinar que la parábola es horizontal y que abre haciala derecha porque el valor de 4p = 12. También podemos determinar de la ecuacióncanónica que el vértice tiene las coordenadas V( –2 , (5/2) )Determinem os el valor de p4p = 12 p = 12 / 4 p=3 Ing. Alvaro Vega
  6. 6. Recordando que el foco y el vértice están en el eje de la parábola y como es unaparábola horizontal podemos afirmar que las coordenadas del foco son:F ( h (vértice) + p , k (vértice) ) F ( –2 + 3 , (5/2) ) F ( 1 , (5/2) )Para hallar la ecuación de la directriz, sabemos que es una recta perpendicular al ejede la parábola y para este ejercicio está 3 unidades distante del vértice en sentidocontrario a donde abre la parábola, pues la distancia entre la directriz y el vértice esigual a la distancia entre el vértice y el foco.La ecuación de la directriz será: x = –2 – p x = –2 – 3 x = –2 – 3 x= –5Por lo tanto la ecuación de la directriz será x+5=0Como el foco y el vértice están sobre el eje de la parábola, entonces de lascoordenadas de estos dos puntos observamos que el valor de la ordenada ( valor de“y” para ambos puntos) es el mismo (5/2) por lo tanto la ecuación del eje de laparábola será:y = (5/2) y – (5/2) = 0Finalmente el lado recto es igual a 4p, siendo p = 3 el lado recto vale: LL´ = | (4) (3) | LL´ = | 12 | Ing. Alvaro Vega

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