Васил Пенчев
ОТВЪД МАШИНАТА НА ТЮРИНГ:
КВАНТОВИЯТ КОМПЮТЪР
Институт за изследване на обществата и знанието
Българска акаде...
Vasil Penchev
BEYOND THE TURING MACHINE:
QUANTUM COMPUTER
Institute for the Study of Societies and Knowledge
Bulgarian Aca...
Васил Пенчев
ОТВЪД МАШИНАТА НА ТЮРИНГ
К ВАНТО ВИЯ Т КО МПЮТ ЪР
София 2014
Институт за изследване на обществата и знанието
...
Отвъд машината на Тюринг: Квантовият компютър
Автор: Васил Динев Пенчев
Научни рецензенти:
Проф. д.м.н. Огнян Иванов Кунче...
Васил Пенчев Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
5
С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е
I. ВЪПРОСИ
1. “Сериозен проблем ли е непъ...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
6
V. МАТЕМАТИКАТА НА РЕАЛНОСТТА:
ХИЛБЕРТОВА СРЕЩУ ГЬОДЕЛОВА МАТЕМАТИКА
33. Ак...
Vasil Penchev Beyond the Turing machine: Quantum computer
7
T A B L E O F C O N T E N T S
I. PROBLEMS
1. “Is incompletenes...
Beyond the Turing machine Quantum computer
8
V. MATHEMATICS OF REALITY:
HILBERT MATHEMATICS VS GÖDEL MATHEMATICS
33. The a...
9
I. ВЪПРОСИ
1. “Сериозен проблем ли е непълнотата?”
Изходна точка са думите на Грегъри Чейтин, извод и заключение на него...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
10
2. Не е ли физиката математика?
Подходът ще бъде заедно с това диаметрално...
Васил Пенчев
11
следва и е особено подчертано, че самообосноваването на математиката на аритме-
тична основа (програмата н...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
12
II. АКСИОМИ
4. Аксиома за редуцируемост и аксиома за интензионалност
Първи...
Васил Пенчев
13
не може да се получи обосноваване за класическата математика чрез логически
средства” (Yougrau 2005: 57).
...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
14
ност, а само от едновременното ѝ прилагане с една операция или принцип, за...
Васил Пенчев
15
е достатъчно за класическата математика, особено за математическия анализ
(Church 1976:758).
На този фон я...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
16
Обсъденото следва да съпоставим веднага с факта, че Гьодел изрично включва...
Васил Пенчев
17
Между другото функцията на избор, чието съществуване за всяко множество
се гарантира от аксиомата за избор...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
18
рефлексивността на еквивалентността на аксиомата за екстензионалността и з...
Васил Пенчев
19
автомат, които предстои да обсъдим подробно, то можем да предложим следната
хипотеза. Всички твърдения са ...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
20
венства (Bell 1964), обсъждащи случая на неадитивност на математическото о...
Васил Пенчев
21
отсъствието на скрити параметри); необходимото условие е наличие на дискретни
морфизими на движение и след...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
22
бихме могли да изчислим дали дадена програма спира или не чрез пробягване
...
Васил Пенчев
23
От това, че Тюринговата машина не може да изчисли дали ще спре следва по
току-що цитираните думи на самия ...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
24
7. „Гьоделизация” по Пенроуз
Можем да използваме „абсолютната решимост”, н...
Васил Пенчев
25
смисъл се ограничава до включване на мета-твърдение като предикат на самото
твърдение или на самото множес...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
26
фиксирането на една полезна дефиниция за физическа изчислимост (Timpson
20...
Васил Пенчев
27
на и то може да се „изпише” като нейно състояние, изглежда трябва да приемем, че
така полученото число е и...
Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър
28
разликите между Тюринговата машина и квантовото изчисление в природата, за...
Васил Пенчев
29
III. РАЗУМ И ФИЗИКА
8. Квантовият компютър по Дойч
Нека започнем с един пространен цитат от Дойч, въдворяв...
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър

3,145 views

Published on

Книгата е посветена на възможността за компютър, чийто възможности принципно надвишават възможностите на съвременните компютри.
Машината на Тюринг е математическият модел, който ги обобщава. Квантовият компю-тър се основава на принципите на квантовата механика и теорията на квантовата ин-формация. Изследва се въпросът дали квантовият компютър е машина на Тюринг. Предпочита се нова мета-математическа интерпретация и се обсъждат взаимоотноше-нията със съществуващите. Философска и онтологическа проекция е предлаганото видоизменено, а именно „дуалистично питагорейство”.
Неразрешими твърдения ли са самите т. нар. теореми на Гьодел за непълнотата, ако те се отнесат към самите себе си? Как следва да се тълкуват явленията на сдвояване (entanglement), квантовият компютър и квантовата информация аритметически и логичес-ки?
Книгата е предназначена за научни работници в областта на физиката, математиката и философията, за докторанти и студенти, за всеки, който се интересува от този съвсем нов отрасъл на знанието.

Published in: Science, Technology, Spiritual
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
3,145
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър

  1. 1. Васил Пенчев ОТВЪД МАШИНАТА НА ТЮРИНГ: КВАНТОВИЯТ КОМПЮТЪР Институт за изследване на обществата и знанието Българска академия на науките
  2. 2. Vasil Penchev BEYOND THE TURING MACHINE: QUANTUM COMPUTER Institute for the Study of Societies and Knowledge Bulgarian Academy of Sciences
  3. 3. Васил Пенчев ОТВЪД МАШИНАТА НА ТЮРИНГ К ВАНТО ВИЯ Т КО МПЮТ ЪР София 2014 Институт за изследване на обществата и знанието Българска академия на науките
  4. 4. Отвъд машината на Тюринг: Квантовият компютър Автор: Васил Динев Пенчев Научни рецензенти: Проф. д.м.н. Огнян Иванов Кунчев, Българска академия на науките, Институт по математика и информатика Доц. д-р Любен Михов Иванов, Югозападен университет „Неофит Рилски“ – Благоевград, Катедра „Физика“ Издателство „Изток – Запад“ Книгата е посветена на възможността за компютър, чийто възможности принципно надвишават възможностите на съвременните компютри. Машината на Тюринг е математическият модел, който ги обобщава. Квантовият компю- тър се основава на принципите на квантовата механика и теорията на квантовата ин- формация. Изследва се въпросът дали квантовият компютър е машина на Тюринг. Предпочита се нова мета-математическа интерпретация и се обсъждат взаимоотноше- нията със съществуващите. Философска и онтологическа проекция е предлаганото видоизменено, а именно „дуалистично питагорейство”. Неразрешими твърдения ли са самите т. нар. теореми на Гьодел за непълнотата, ако те се отнесат към самите себе си? Как следва да се тълкуват явленията на сдвояване (entanglement), квантовият компютър и квантовата информация аритметически и логичес- ки? Книгата е предназначена за научни работници в областта на физиката, математиката и философията, за докторанти и студенти, за всеки, който се интересува от този съвсем нов отрасъл на знанието. Авторът, Васил Пенчев е доцент в Института за изследване на обществата и знанието (http://issk-bas.org/) на Българската академия на науките (БАН) и доктор на философските науки, инженер по образование. Книги от него: „Битие и наука” („Дамян Яков”, 1996), „Коментар към Мамардашвили” (ЛИК, 1996), „Радичков другарува с думите” (Филвест, 2000), „Свирепа философия” (АИ „Проф. Марин Дринов”, 2007), „Мислене и стихотворе- не” (Булгед, 2007), „Мъртвият Бог?” (Булгед, 2007), „Разумът в цивилизацията” (ИФИ- БАН, 2008), „Историята на СССР. Догонващо развитие и/или историческа приемственост” (ИФИ-БАН, 2008), „Историческата приемственост в глобализиращото догонване” (АИ „Проф. Марин Дринов”, 2009), „Философия на квантовата информация“ (ИФИ-БАН). Блогове, на които се публикуват негови научни текстове и презентации: https://www.researchgate.net/profile/Vasil_Penchev http://www.slideshare.net/vasil7penchev https://www.scribd.com/vasil7penchev © Васил Динев Пенчев ISBN 978-619-152-155-5
  5. 5. Васил Пенчев Отвъд машината на Тюринг: квантовият компютър 5 С Ъ Д Ъ Р Ж А Н И Е I. ВЪПРОСИ 1. “Сериозен проблем ли е непълнотата?“ (9) 2. Не е ли физиката математика? (10) 3. Изпълнява ли първата теорема за непълнота на Гьодел собствените си условия? (10) II. АКСИОМИ 4. Аксиома за редуцируемост и аксиома за интензионалност (12) 5. Времето (14) 6. Неизчислимост по Тюринг и непълнота по Гьодел (21) 7. „Гьоделизация“ по Пенроуз (24) III. РАЗУМ И ФИЗИКА 8. Квантовият компютър по Дойч (29) 9. Мисленият експеримент на Дойч: „многосветова срещу Копенхагенска интерпретация на квантовата механика“ (33) 10. Термодинамичната цена на избора (37) 11. Съобщение и съ-общаване (41) 12. „Приятелят на Вигнер“ (42) 13. Квантово-механичният автомат на Албърт (49) 14. Идентичност: вътрешен и външен наблюдател (57) 15. Относителност по Скулем (58) 16. „Разпознаване на образ“, формализирано като рекурсивна функция (60) 17. Квантовият компютър като „котка на Шрьодингер“ и „приятел на Вигнер“ (61) 18. Две времеви скали и относителна формулировка на квантовата механика (68) 19. Математизиране на историята (68) IV. ЧОВЕШКИЯТ ИНТЕЛЕКТ КАТО КВАНТОВ КОМПЮТЪР 20. Квантовият компютър като съвкупност от две машини на Тюринг и ускорена Тюрингова машина по Коупланд (71) 21. Еквивалентност на описанието чрез цялото и чрез частите (72) 22. Наблюдател по Албърт и наблюдател по Айнщайн (76) 23. Субективност и интерсуебктивност формализирани (77) 24. Марта, „приятелката на Албърт“ (80) 25. Квантовата механика като „новата физика за разума” по Пенроуз (82) 26. Теореми за свободната воля (85) 27. Изчисление по Коупланд и о-машината на Тюринг (87) 28. Вътрешна и външна изчислимост (89) 29. „Ахил и костенурката“, „Стрелата“ и „Лъжеца“ (91) 30. Случайност и повторение (95) 31. Случайно знание, „приятелят на недоверчивия Вигнер“ и „недоверчивите приятели“ на Вигнер (101) 32. Способност на квантовия компютър за универсално разпознаване на образи (102)
  6. 6. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 6 V. МАТЕМАТИКАТА НА РЕАЛНОСТТА: ХИЛБЕРТОВА СРЕЩУ ГЬОДЕЛОВА МАТЕМАТИКА 33. Аксиомите за редуцируемостта и екстензионалността, тълкувани семиотично (104) 34. Първо и второ издание на Principia и аксиомата за редуцируемостта (108) 35. Подходът на Генцен, аксиомата за фундираността и аксиомата за избора (114) 36. 𝚿-функцията като число в обобщена бройна система (115) 37. Теоремата на Мартин Льоб за пропозицията, твърдяща доказуемостта си (116) 38. Редундантната концепция на Рамзи за истината (118) 39. Обща основа за парадокса на Лъжеца и на Стрелата (119) 40. Подход към проблема за пълнотата на Пеановата аритметика (125) 41. Теоремата на Генцен и принципът на трансфинитната индукция (127) 42. Стратегия за дуално обосноваване на пълнотата (136) 43. „Трите равнища на математиката“ по Генцен (137) 44. Въпросът за математика и физика отвъд пълнотата (138) 45. Трансфинитна индукция и финитизъм (142) 46. От позиция на „дуалистичното питагорейство” (143) 47. Функцията „наследник” и функцията „цялост” (145) 48. Идея за дуална непротиворечивост (147) 49. Суперфинитна индукция и недоказуемостта на трансфинитна индукция до 𝛆 𝟎 (149) 50. Дуалност на крайно и безкрайно (150) 51. Аритметика на Генцен (151) 52. „Възможността за примиряване на различните гледни точки” (152) 53. Математика и физическа реалност по Генцен (154) 54. Рефлексия на отправната точка към теоремите на Гьодел (156) 55. Скицата на Гьодел на първата теорема за непълнотата (157) 56. Теория с противоречие и теория с неразрешимо твърдение (158) 57. Проблемът със самореференциално прилагане на първата теорема (159) 58. Идея за „негьоделова“, т.е. „хилбертова математика“ (159) 59. 𝛚-непротиворечивостта (161) 60. Метаматематическото изключване на самореференциално прилагане на първата теорема за непълнотата (163) 61. Реалибитация за хилбертовата програма (164) 62. За гьоделовия номер на първата теорема за непълнотата (166) 63. Хилбертова и Гьоделова математика: Коя е математиката на реалния свят? (167) 64. Проблем с „първичните знаци“ (169) 65. Позицията на „дуалистичното питагорейство” (171)
  7. 7. Vasil Penchev Beyond the Turing machine: Quantum computer 7 T A B L E O F C O N T E N T S I. PROBLEMS 1. “Is incompleteness a serious problem?” (9) 2. Is not physics mathematics? (10) 3. Does the first incompleteness theorem fulfill its own conditions? (10) II. AXIOMS 4. The axiom of reducibility and that of extensionality (12) 5. Time (14) 6. Noncomputability in Turing and incompleteness in Gödel (21) 7. “Gödelization” in Penrose (24) III. MIND AND PHYSICS 8. Quantum computer in Deutsch (29) 9. Deutsch’s thought experiment: the “many-worlds vs. Copenhagen interpretation of quantum mechanics (33) 10. The thermodynamic value of choice (37) 11. Message and communication (41) 12. “Wigner’s friend” (42) 13. Albert’s quantum-mechanical automation (49) 14. Identity: an internal and an external observer (57) 15. Relativity in Skolem (58) 16. “Pattern recognition” formalized as a recursive function (60) 17. Quantum computer as “Schrödinger’s cat” and “Wigner’s friend” (61) 18. Two time scales and the relative formulation of quantum mechanics (68) 19. History as mathematics (68) III. HUMAN INTELLECT AS QUANTUM COMPUTER 20. Quantum computer as a set of two Turing machines and Copeland’s accelerated Turing machine (71) 21. The equivalence of description by the whole and by its parts (72) 22. Albert’s observer and Einstein’s observer (76) 23. Subjectivity and intersubjectivity formalized (77) 24. Marta, „Albert’s friend” (80) 25. Quantum mechanics as Penrose’s “new physics of mind” (82) 26. The free will theorems (85) 27. Copeland’s Computation and Turing’s o-machine (87) 28. Internal and external computability (89) 29. “Achilles and the tortoise”, the “Arrow”, and the “Liar” (91) 30. Randomness and repetition (95) 31. Random knowledge, „Incredulous Wigner’s friend“, and „Wigner’s incredulous friends” (101) 32. The ability of quantum computer for universal pattern recognition (102)
  8. 8. Beyond the Turing machine Quantum computer 8 V. MATHEMATICS OF REALITY: HILBERT MATHEMATICS VS GÖDEL MATHEMATICS 33. The axiom of reducibility and that of extensionality interpreted semiotically (104) 34. The first or the second edition of Principia and the axiom of reducibility (108) 35. Gentzen’s approach, the axiom of foundation, and the axiom of choice (114) 36. 𝚿-function as a number in a generalized counting system (115) 37. Martin Löb’s theorem of about the proposition stating its own provability (116) 38. Ramsey’s redundant concept of truth (118) 39. The common base for the Liar and Arrow paradox (119) 40. An approach to the completeness of Peano arithmetic (125) 41. Gentzen’s theorem and the principle of transfinite induction (127) 42. A strategy for the dual foundation of completeness (136) 43. Gentzen’s “three levels of mathematics” (137) 44. The question about mathematics and physics beyond completeness (138) 45. Transfinite induction and finitism (142) 46. From the viewpoint of “dualistic Phytagoreanism” (143) 47. The “successor” function and “wholeness” function (145) 48. An idea for dual consistency (147) 49. Superfinite induction the unprovability of transfinite induction until 𝜺 𝟎 (149) 50. The duality of finiteness and infinity (150) 51. Gentzen arithmetic (151) 52. “The possibility of reconciling the different viewpoints” (152) 53. Mathematics and the physical reality in Gentzen (154) 54. A reflection on the reference point to the Gödel theorems (156) 55. Gödel’s sketch of the first theorem of incompleteness (157) 56. A theory with a contradiction and a theory with an undecidable statement (158) 57. If the Gödel first incompleteness theorem is applied to itself (158) 58. An idea about “non-Gödel mathematics”, i.e. “Hilbert mathematics” 59. ω-consistency (161) 60. The meta-mathematical exclusion of self-applying the first theorem of incompleteness (163) 61. Rehabilitation for Hilbert’s program (164) 62. About the Gödel number of the first incompleteness theorem (166) 63. Hilbert or Gödel mathematics: Which is the mathematics of the real world? (167) 64. A problem about the „prime symbols” (169) 65. The viewpoint of “dualistic Pythagoreanism” (171)
  9. 9. 9 I. ВЪПРОСИ 1. “Сериозен проблем ли е непълнотата?” Изходна точка са думите на Грегъри Чейтин, извод и заключение на негова статия със само по себе си знаменателното заглавие „Сериозен проблем ли е непъл- нотата?” (Chaitin 2007): Така, по мое мнение, непълнотата е крайно сериозна. Тя ни принуждава да осъзнаем, че може би математиката и физиката не са толкова различни, колкото повечето хора мислят. Математика ≈ Физика?! (Chaitin 2007: 302) Теоремата за непълнотата може да се тълкува или извежда и от информаци- онна гледна точка по следния начин. Ако една теорема съдържа повече информация от дадено множество аксиоми, то тогава е невъзможно теоремата да бъде изведена от аксиомите (Chaitin 1982), но очевидно може да бъде изказана изчерпателно и коректно на езика, въведен чрез самите тези аксиоми. Такава интерпретация обаче се подлага на остра критика (Franzén 2005: 143-144), както и цялостните и далеч отиващи философски изводи на Чейтин по отношение на непълнотата в контекста на сложността и безкрайността (пак там, цялата осма глава: 137-154). Малко по-надолу ще се покаже, че поне съществува философска и метамате- матическа позиция, от която възгледите на Чейтин могат да се обобщят по такъв начин, че критиките срещу неговата „случайна математика” и концепцията му за „вярно по случайност” да могат да отпаднат. По темата за теоремите на Гьодел и непълнотата има изобилие от литература. Все пак биха могли да се отбележат работи, които по-скоро са насочени към концеп- туално и философско осмисляне, въпреки че не са направени съществени компроми- си със строгостта на изложението (напр. Smith 2007; Mostowski 1952). Сред българс- ките философски автори може да се спомене Люцканов (2008). Съществена е връзката с по-късните работи на Гьодел и с теория на множест- вата (напр. Kanamori 2010: 147-166). Ще подчертаем, че доказателството на Гьодел съдържа построяването на една поредица от метаматематически твърдения, отна- сящи се до аксиоматичната система на Principia Mathematica (Whitehead, Russell 1910; 1927). Те могат да бъдат явно и изчерпателно посочени (напр. Nagel, Newman 2001: 92-108).
  10. 10. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 10 2. Не е ли физиката математика? Подходът ще бъде заедно с това диаметрално противоположен спрямо цитира- ната позицията на Чейтин: както две аксиоматики, споделящи аксиома и нейното отрицание. Докато той пита дали математиката не е физика, въпросът е: не е ли физиката математика? Така или иначе непълнотата поставя и двата въпроса. Него- вата гледна точка води до първия вариант, който е собствено експлицираният от учения с аржентински произход, докато евентуалното ѝ отхвърляне или ограничава- не ни насочва към втория и очевидно към някакъв тип питагорейство: далеч не само и не толкова математиката като частна, регионална онтология, но и една фундамен- тална онтология, която е математика … Разбира се, това е насока сходна с идеи на великия френски философ Бадиу и по-точно, от неговото основно произведение „Битие и събитие”. Все пак ако си позволим за миг да излезем от обхвата на настоя- щата работа, може да се отбележи съществуването на гледна точка, от която двата изложени и наглèд противоположни подхода („математиката като физика” и „физи- ката като математика”) могат не само да се обединят, но и да се положат в синкре- тично единство на основата на скулемовски тип относителност (Пенчев 2009: 307 и сл.) на случайно и необходимо. „Половината относителност” на необходимото като случайно, би имплицирала възгледа на Чейтин, но другата и неразделна „половина” относителност на случайното като необходимо – идеи, сродни на развиваните в настоящия текст. Феферман изтъква големия контраст между дълбоките платонически убеждения, към които се придържа Гьодел относно обективната основа на математиката, и особената предпазливост, която упражняваше при разкриване на тези убеждения (Fefer- man 2003: 96). 3. Изпълнява ли първата теорема за непълнота на Гьодел собствените си условия? Една от основните тези на настоящата работа е, че т.нар първа теорема за не- пълнотата на Гьодел може и следва да се отнесе към себе си, тъй като изпълнява своите собствени условия. Поради това от нейната валидност следва нейната нераз- решимост. Разглеждат се и множество контексти на подобна неразрешимост, редица от които се съдържат или произтичат от работите на Гьодел (1930; 1931). В частност
  11. 11. Васил Пенчев 11 следва и е особено подчертано, че самообосноваването на математиката на аритме- тична основа (програмата на Хилберт) нито може да се приеме, нито да се отхвърли с вътрешно-математически средства. За да се отнесе т. нар. първа теорема за непълнотата на Гьодел към себе си, тя следва да се разгледа като завършена теория, която съдържа в себе си аритмети- ката на Пеано. За да бъде направено това, трябва да се подчертае, че всъщност разглеждането на Гьодел не обсъжда демаркационната линия между теорема и теория, че тя – независимо като коя от двете − съдържа аритметиката на Пеано. Наистина в крайна сметка това, което обичайно се приема за теория, всъщност може да се приеме за един единствен синтактично правилен низ, т.е. за една единствена теорема. Условието на т.нар първа теорема за непълнотата на Гьодел изисква да се съдържа аритметиката на Пеано. В условието на самата негова теорема тя се съ- държа, бидейки явно посочена. Дали обаче съществува или евентуално дали може да се обоснове забрана за приложението на теоремата към самата себе си? Гьодел собствено не го прави, освен в увода, като тогава се позовава на метаматематически съображения. Бихме могли само привидно да решим проблема като зачислим теоремата към метаматема- тиката, позовавайки се на Ръселовата теория на типовете (Russell 1908). Тогава теоремата наистина би могла да се постави на по-високо равнище в йерархията на типовете и това би пречило да се приложи към самата себе си. Наистина Ръселовата теория забранява отнасянето към себе си, доколкото тогава би се получил порочен кръг (Russell 1908: 236-237). Как обаче тогава бихме могли да оправдаем или дори да извиним построява- нето на твърдение, което твърди собствената си недоказуемост (Gödel 1931: 176; 1986: 150, 151), като ключов момент в доказателството? Удовлетворява ли такова твърдение аксиомата за редуцируемостта (Russell 1908: 243)1 или тази за екстензио- налността? 1 В бележка под линия Гьодел изрично е я посочил, пояснявайки смисъла на заглавието: „ … Principia mathematica und verwandter Systeme I”(Gödel 1931: 174; 1986: 144, 145).
  12. 12. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 12 II. АКСИОМИ 4. Аксиома за редуцируемост и аксиома за интензионалност Първите два въпроса са дали теоремата е валидна в случаите и ако не се из- ползва аксиомата за редуцируемостта, и ако не се използва ключовото „твърдение, твърдящо собствената си недоказуемост (Gödel 1931: 175; 1986: 148, 149). Има ли − и ако има, каква е – връзката между двете? Преди всичко се нуждаем от едно вглеждане в аксиомата за редуцируемостта, още повече, че се твърди, че ограничаването на нейната употреба и замяна с аксио- мата за екстензионалността – твърдение, нуждаещо се от множество уточнения, част от които следват по-нататък − е една основните разлики между двете издания на Principia: Критичната промяна във второто издание включва аксиомата за редуци- руемостта. В своята философска автобиография Ръсел пише: „Моята главна цел в това ново издание беше да минимизирам употребите на ‘аксиомата за редуцируемостта’” (p. 89). Съмненията му относно аксиомата го карат да наме- ри алтернатива за аксиомата; в това издание, той вместо това допуска прин- ципа на екстензионалността, който му позволява да постигне подобни резул- тати както в първото издание. Изглежда той е бил мотивиран повече от липса- та на причини да запази аксиомата, отколкото от специфични причини да я отрече. Принципът на екстензионалността не дава всички резултати, които да- ва аксиомата за редуцируемостта, но Ръсел все още я намира да е алтернати- вата за предпочитане (Berkelhammer 2006: 59). Този подход на Ръсел (и Уайтхед), както и самата аксиома за редуцируемостта преди това, също среща критика: Видоизменението, което е предложено в Ръселовото въведение към вто- рото издание (и базирано на идеи на Витгенщайн), да замести аксиомите на редуцируемостта с аксиомите на екстензионалността, една за всеки тип, е неу- довлетворителен – защото резултатната система не е адекватна за класичес- ката математика (Church 1976:758). При обсъждането, когато Гьодел за първи път обявява своята теорема, Ной- ман заявява, че ако се отхвърли Ръселовата „аксиома за редуцируемостта” , „никога
  13. 13. Васил Пенчев 13 не може да се получи обосноваване за класическата математика чрез логически средства” (Yougrau 2005: 57). Всъщност още сега можем да изясним подчертания си интерес към съотноше- нието на аксиомата за редуцируемостта и тази за екстензионалността от гледна точка на квантовия компютър в разликата му от Тюрингова машина. И двете целят да обезопасят самореференциалното прилагане чрез постулирана сводимост до несамореференциално. Всъщност и двата подхода за нас не са удовлетворителни, защото преведени на нашия език – с множество допълнителни уговорки, които заради простотата и яснотата на изложението засега ще пропуснем – биха постигали по различен начин едно и също нежелано нещо: всеки квантов компютър е сводим до Тюрингова машина. Ако това е принципно валидно и е невъзможно да се заоби- коли, то би поставяло кръст на усилията за квантово изчисление в качеството на супертюрингово. Все пак аксиомата за сводимостта сякаш е по-слабата, доколкото оставя интензионалните елементи, макар и тълкувани чисто (в смисъла на сводимо до) екстензионално като екстензионалните елементи от по-висш тип: Ръселовата първоначална цел е да даде система, по-обща от просто екс- тензионалната област на математиката, но с принципа на екстензионалността той ограничава границите на своята област до екстензионална такава. В рабо- та от 1936 Куайн се аргументира, че аксиомата за редуцируемостта и принци- път на екстензионалността заедно анулират разклоняването от ръселовата те- ория на типовете. Обаче трябва да отбележим гледната точка на Ървинг Копи, че Ръсел никога едновременно не защитава аксиомата за редуцируемостта и принципа на екстензионалността. Куайн и Гьодел са съгласни с Рамзи, а по- късно Ръсел, че простата теория на типовете е достатъчна да се избегнат па- радоксите. Необходимостта от аксиомата за редуцируемостта вече не е на дневен ред без една разклонена теория на типовете (Berkelhammer 2006: 59). Може да се твърди в рамките на една фигуративна изразност, че проблемът е как да се раздели „добрата” непредикативност, използвана в редица раздели на математиката и даваща резултати, които не могат да се получат без нея, от „лоша- та” непредикативност на порочния кръг. Нашето „подозрение”, да го наречем така засега, е, че те са принципно неотличими, че представляват още един, нов ипостас на скулемовски тип относителност. Проблеми възникват не от самата референциал-
  14. 14. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 14 ност, а само от едновременното ѝ прилагане с една операция или принцип, за които сякаш все още отсъства название: един принцип на частичността или на нецялост- ността, или на не-тоталността. Той би гласял, че всяко нещо може да се разгледа като част, не като цяло, не като тоталност. Обратно, самореференциалното прилагане изисква неявно тъкмо противопо- ложното: това същото нещо да е видяно не като част, а като цяло, като тоталност. Тогава единството на въпросното нещо в тези два противоречащи си контекста поражда масата от парадокси в основите на математиката. 5. Времето Всъщност времето по самото си естество непрекъснато поражда и разрешава този тип парадокси. Но за да изясним проблема – и то с надеждата технически да го употребим под формата на квантов компютър или устройства, базирани на квантова нелокалност – ни е необходимо да въведем модел, почерпен от квантовата механика и информация. Неговата същност може да се отнесе още на фундаментално логи- ческо равнище чрез съпоставянето на двата основни квантора „за всички от” (∀) и „и кой да е от” във връзката му със „съществува поне едно … такова, че” (∃): За да се избегне непредикативността същественото ограничение е, че кванторизацията над всяка област тип не трябва да бъде позволено да добавя нови членове към областта, понеже се твърди, че добавянето на нови членове променя значението на кванторизацията над областта по такъв начин, че се получава порочен кръг (Church 1976:747). Така Чърч изяснява сравнителната „философия” на подходите на двете изда- ния на Principia: Ефектът на аксиомите е, че обхватът на функционалните променливи е вече екстензионално пълен на ниво 1, в смисъл че то съдържа пропозиционал- на функция, която е екстензионално (или … „формално”) еквивалент на всяка пропозиционална функция, която влиза като стойност на функционални про- менливи на всяко по-високо равнище; и че именно по интензия следва да мис- лим за добавените стойности на функционални променливи като възникващи на всяко ново равнище. Следователно отхвърлянето на непредикативните де- финиции се анулира в екстензионални, но не в интензионални въпроси. И това
  15. 15. Васил Пенчев 15 е достатъчно за класическата математика, особено за математическия анализ (Church 1976:758). На този фон ясно можем да посочим фундаменталната разлика в нашия под- ход: една своеобразна логика на квантовия компютър или квантовата информация. Преходът от „за всички от” към „кой да е от” − т.е. преходът към ръселовски по- висш тип или в друга терминология: от интензията към екстензията на по-висша интензия (често вместо това се използва объркващото и неточно „от интензия към екстензия”) – не може да е забранен или ограничаван по никакъв начин. Той се осъществява от самия ход на времето. Рещаващото обаче е, че е съпроводен с „при- ток на информация” в следния смисъл: „За всички от” означава една тоталност, която позволява самореференциално прилагане като тази тоталност бъде разгледана и като елемент на себе си. Тази цялост бива разгледана като тоталното Едно, което изключва външна множестве- ност. Същото това едно по отношение на външни елементи от една множественост се превръща „в кое да е от”, при което е налице въпросният приток на алтернативи, заради който общата информация нараства, но относителната информация на въп- росното Едно (съдържащо вътрешно множество), станало едно (от външно множест- во) намалява от 100 % към по-малък дял, заради алтернативите, отчетени като нови. Следователно, самият ход на времето имплицира – и то по фундаменталното си логическо естество – увеличаване на ентропията. Обратно нейно неувеличаване или намаляване изисква свободно движение и против неговата стрела. Нека това ново положение на нещата се обсъди и в друг контекст, в термините на истината по Тарски. Стандартната позиция е изразена от Чърч по следния начин: Именно решението на Тарски на проблема на семантичните антиномии е, че семантичните предикати за отделен език не трябва да се съдържат в самия език, а винаги в мета-език. … . … изглежда оправдано да се каже, че решение- то на Ръсел на семантичните антиномии не е различно от онова на Тарски, а е негов специален случай (Church 1976:756). Така можем да кажем, че с хода на времето семантичните предикати за отде- лен език, напр. като ‘истината’, „се движат” във времето. В миналото и настоящето те са в самия език, или мета-езикът съвпада с езика, но това не е валидно за бъде- щето, спрямо което миналото е в качеството на „мета-езика”.
  16. 16. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 16 Обсъденото следва да съпоставим веднага с факта, че Гьодел изрично включва като условия на разглеждането за своята работа от 1931 г. и второто издание на Principia (следователно аксиомата за екстензионалността), и изрично аксиомата за редуцируемостта (сводимостта). Всъщност аксиомата за екстензионалност съдържа една съществена двусмис- леност: дали е валидно или не следното нейно тълкувание: дали две множества, които се различават само по това, че едното съдържа и себе си като елемент, а другото − не, са екстензионално, или следователно по силата аксиомата за екстен- зионалността, изобщо еквивалентни. Ако приемем положителния отговор, то разгъ- ването на тоталността – в нашата терминология, от „Едно” към „едно” – не променя с нищо едно съждение или неговата екстензия. Тогава всъщност това положение на нещата, евентуално приложено неограничен брой пъти, е напълно еквивалентно на резултата, получаван по аксиомата за редуцируемостта. Може отново да се спомене вече цитираното становище на Ървинг Копи, но вече тълкувано малко по различно: Ръсел сякаш избягва да уточни горната двусмисленост по отношение на начина употреба на аксиомата за екстензионалността в Principia. Необходимо е да се кажат няколко думи и за отношението на тези две аксиоми към аксиомата за избора. Неявно становището е, че става дума за различни и самос- тоятелни аксиоми, което личи например в следния показателен контекст: Когато аксиомите за безкрайността и избора са добавени към системата на логиката от второто издание на Уайтхед и Ръселовата Principia mathematica и когато, както във второто издание аксиомата за редуцируемостта е пропус- ната (така че разклоненото естество на ръселовата теория на типовете, особе- но неговото разграничение между „редовете” всъщност не е зачеркнато), по- лучената система оттук насетне ще се упоменава като „разклонената Principia” (Fitch 1938: 140). Всъщност – поне интуитивно − изглежда, че аксиомата за избора е достатъчно условие на аксиомата за редуцируемостта и следователно след прибавяне на първа- та втората е вече излишна. Наистина ако е осъществена добрата наредба на едно множество, то сякаш вече е напълно сигурно, че може да се сведе до своите еле- менти, всеки един от които е вече „разпознат” по силата на аксиомата за избора.
  17. 17. Васил Пенчев 17 Между другото функцията на избор, чието съществуване за всяко множество се гарантира от аксиомата за избора, е тъкмо нерекурсивна, макар и чрез последва- щото ѝ „рекурсивно” прилагане да се осъществява добрата наредба на всяко мно- жество. Склонни сме да тълкуваме този последваща възможно рекурсивна употреба именно като „разпознаване на образ”, какъвто е и емпиричният тест от типа на „китайската стая” в Интернет дали клиентът на сървър е човешко същество. Редукцията на вълнов пакет, установяване на дадена стойност на кюбит е – възможно – такъв тип „разпознаване на образ”, избор или повторен избор сред безкрайно множество, емпирично реализирана функцията на избор, гарантирана от аксиомата за избора. Проблемът да бъде мислена като изчисление се състои в това, че е случайна. Следователно е неизбежно въвличането на колмогоровски тип осмис- ляне на случайността като сложност, ако желаем да разберем квантовия компютър в термини на хипер- (или супер-) тюрингово изчисление. Тогава можем да интерпретираме допълнението на обхвата на аксиомата на избора до този за редуцируемост както случаите на квантови корелации: тъкмо сдвояването (entanglement), изучавано от квантовата информация. С други думи, дори и когато аксиомата за избора не гарантира винаги избора на елемент, поради сдвоеността му с други, аксиомата за редуцируемостта позволява свеждането до неговите (евентуално сдвоени помежду си или с външни) елементи. Що се отнася до аксиомата за екстензионалността, когато може – както сега ще видим, в квантовата интерпретация – само ограничено да замени аксиомата за редуцируемостта, то тя визира единствено частния случай на адитивност на матема- тическото очакване, обсъден още от фон Нойман (Neumann 1932: 167-173), но не и критиката на Бел (Bell 1966) и съответно случая, водещ до нарушаване на знамени- тите неравенства на последния (Bell 1964)2 . При това положение се натрапва хипо- тезата, че замяната на аксиомата за редуцируемост с тази екстензионалност орязва квантовата неадитивност на математическото очакване и напълно съвпада по обхват с гарантирания от аксиомата за избора. Тогава подходът на Гьодел да запази аксиомата за редуцируемостта, прила- гайки все пак преди всичко второто издание на Principia и аксиомата за избора, е – от квантова гледна точка – по-мъдрият и по-общият. Заедно с това влече неизбеж- ното отнасяне на т. нар. първа теорема за непълнотата към самата себе си (поради 2 По-подробно Пенчев 2009: 338-445.
  18. 18. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 18 рефлексивността на еквивалентността на аксиомата за екстензионалността и за редуцируемостта в обхвата на първата). Това предполагаемо положение на нещата ще се експлицира многократно по-подробно в хода на настоящия текст. Преди да преминем към собственото изложение е уместно да се направи кра- тък преглед на начините на доказателство на т.нар. теорема за непълнотата на Гьодел. Съвсем съвременен и релевантен обзор, и то в интересуващия ни контекст на изчислимостта, се съдържа в работата на Лафит (Lafitte 2008). Освен това ще се позовем и на две монографии, посветени на теоремата на непълнотата (Smullian 1992; Smith 2007). За нас решаващият момент е може ли да се осъществи такова доказателство, което да изключи прилагането на теоремата към самата себе си. Основанието да се приложи към себе си − дори още от пръв поглед − произтича от ключовото твърде- ние, което се отнася към себе си и твърдящо собствената си недоказуемост. То, поне видимо, е избягнато чрез „трика на Роусър” (Rosser 1936). Обаче ние всъщност, по отношение на самата теорема ще приложим тъкмо този „трик”: той предлага да се използва твърдение, от чиято доказуемост следва неговата неразрешимост (буквал- но, неговото отрицание притежава по-кратко доказателство). Точно в такъв тип твърдение въдворяваме самата т.нар. първа теорема за непълнота: от нейната ва- лидност следва нейната неразрешимост. Можем да добавим и сродното (напр. Smith 2007: 166) усилване на теоремата чрез отслабване на изискването за ω-консистентност (напр. Shepherdson 1961). В крайна сметка, според мен, в най-дълбоката си основа теоремата експлоати- ра скулемовски тип относителност (Пенчев 2009: 307-318). Неразрешимите твърде- ния са всички, които – донякъде фигуративно казано − имат „кентавърообразен характер”, съчетавайки в единство черти от двете несъвместими области, които в нашата квантова интерпретация са дуални. Наистина такива твърдения има, но сред тях е и самата теорема, твърдяща тяхното съществуване. Какво се получава тогава, как да процедираме? Как да осмислим “половината” истина, че след като теоремата, твърдяща тяхното съществуване, сама е такава, в известен смисъл всички твърдения са разрешими. В какъв? Ако погледнем на двете – от нас тълкувани като дуални – области на собстве- на и несобствена интерпретация в смисъла на скулемовски тип относителност като на едно квантово цяло, то в духа на резултатите на Албърт за квантовомеханичния
  19. 19. Васил Пенчев 19 автомат, които предстои да обсъдим подробно, то можем да предложим следната хипотеза. Всички твърдения са разрешими във вътрешен смисъл, т.е. по отношение на системата, от която автоматът е част и заедно и с това има твърдения, които са неразрешими във външен смисъл, т.е. ако автоматът не е част от системата. Всъщност тази схема прецизно повтаря нашия подход по отношение на самата т.нар. първа теорема за непълнотата. Ако теоремата е външна, т.е. в метапозиция по отношение на системата, тя запазва валидност, т.е. има неразрешими твърдения в смисъла на нейните условия. Обаче ако самата тя бъде разгледана като обхваща- ща тоталност, такива твърдения няма. Най-сетне, имаме възможност както да не разделяме тези два контекста (в интуиционистки тип въздържане от така определен тип твърдения), така и да ги разделим чрез подходяща допълнителна аксиома, донякъде или напълно еквивалентна на Гьоделовата теорема. Всъщност едни от същностните характеристики на времето – а именно затво- реността на съвкупността на цялото от минало и настояще, от една страна, и отво- реността на бъдещето, спрямо което настоящето остава външно – добре представят (или може би точно е да се каже „са представени в”) неразделността на двата кон- текста, за която ще използваме определението „от интуиционистки тип”. Заедно с това и съответно приемането на аксиома за съществуване на неразрешими твърде- ния поражда един – всъщност само във философски и метаматематически смисъл − тип математика, която ще наричаме Гьоделова. Неин белег е, че остава външна спрямо действителността, класическата схема на математически модел и външна реалност е валидна, а в горната времева фигура тя е свързана с бъдещето. Обратно, не неприемането, а приемането на отрицание на аксиомата за съ- ществуване на неразрешими твърдения поражда друг тип математика, която се самообосновава и която е справедливо да наречем Хилбертова в чест на неговата програма за формално, т.е. вътрешно самообосноваване на математиката, която възкресяваме, подходящо ограничавайки областта на приложимост на Гьоделовия резултат. Тя не е външна спрямо действителността, а класическата схема на мате- матически обект и реалност следва да се замени с феноменологическата схема на модел, съвпадащ с реалността, в един тип питагорейство, което сме нарекли „дуа- листично” (по-подробно в: Пенчев 2009: 224-225). Фундаментални резултати са теоремата на фон Нойман за отсъствие на скрити параметри (Neumann 1932: 167- 173) и нейното обобщаване от Бел (Bell 1966) в духа на предложените от него нера-
  20. 20. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 20 венства (Bell 1964), обсъждащи случая на неадитивност на математическото очаква- не (квантовомеханичните физически величини), произтичаща от квантовата нело- калност. Ще ги тълкуваме като математическо, следователно вътрешно доказателст- во за съвпадение на модел и реалност. Във времевата фигура по-горе, Хилбертовата математика се отнася към миналото + настоящето. Можем да охарактеризираме и самия ход на времето от минало към бъдеще и като общност на минало и бъдеще. При това преходът към бъдеще изисква непрес- танното отваряне на тоталността и размиването на първоначално съвсем точния ѝ образ в нарастващата ентропия, обяснима чрез приток на нови алтернативи, респ. приток на информация със самия ход на времето. Ако обаче за нас е необходим инвариантен поглед към миналото (заедно с настоящето) и бъдещето, да го наречем времеви в собствен смисъл или от интуици- онистки тип в математическа перспектива, то (поне засега) единствен модел ни предлага квантовата механика. Това не е случайно. Поради огромната разлика в масите, дължините на настоящето, тълкувани като периода на аташираните на уреда и квантовия обект дьобройловски вълни се различава с порядъци (по-подробно Пенчев 2009: 134, 172 и сл.). Това принуждава квантовата механика да намери инвариантния прочит на миналото и бъдещето, който – цялата нейната история го показва – се оказва във висша степен взривоопасен не само за ежедневния здрав смисъл, не дори само за основополагащите принципи на физиката, но дори и за самата идеята за научност, каквато бива изграждана в Новото време. Моделът на квантовата механика има няколко фундаментални белега, които ще подчертаем в нашия контекст на изследване: − допълнителност на минало и бъдеще; − наличие на двойки, „спрегнати” величини, отнасящи се до минало и бъдеще, чиято некомутативност получава вече естествено обяснение чрез стрелата на вре- мето; − наличие на нелокални феномени, изучавани от квантовата информация и характеризиращи се с общност на минало и бъдеще; частична или пълна едновре- менна определеност на двойки спрегнати величини, съответно „и на миналото, и на бъдещето”; − по теоремата на Коушън и Шпекър (Kochen, Specker 1968) некомутативност- та на спрегнатите величини е само достатъчно условие за нелокалност (букв. за
  21. 21. Васил Пенчев 21 отсъствието на скрити параметри); необходимото условие е наличие на дискретни морфизими на движение и следователно в частност, преходът от минало към бъдеще е (и) от такъв тип, наред с дифеоморфизмите, влечащи непрекъснатост, изучавани от класическата физика и от теориите на относителността; − от квантовата нелокалност следва (също и) изначална вероятностност и слу- чайност на света. Ние ще обсъдим надолу в подробности и разнообразни контексти отражението на такъв фундаментално квантов възглед за света и в определен смисъл питаго- рейски (Пенчев 2009: 40 и сл.) по отношение на Гьоделовата непълнота (която е в тясна връзка с възгледа на Айнщайн, набеждаващ квантова механика за непълна − по-подробно за този връзка в Пенчев 2009: 302-337). Но тук бегло бихме искали да покажем как се ревизира концепцията за истината по Тарски, следвайки постепенно очертаващия се квантов образец: Аспектът на отсъствие на вътрешна истина се запазва само по отношение на бъдещето: настоящето образува метаезика, в който говорим за истината по отноше- ние на бъдещето. Заедно с това по отношение на миналото вътрешната истина е напълно допустима, т.е. сливането на език и метаезик, която позволява да се говори за истината в собствените термини, дори и на достатъчно добра теория. Самият ход на времето я размива повече или по-малко бързо чрез простия приток на информа- ция, дори и тогава, когато остава неизвестен. В накакъв смисъл може да се твърди, че не просто човек научава нови факти, които го принуждават да ревизира истината на истинната теория на миналото, но и че принципно нови факти (фрапантен при- мер биха били нови физически закони) непрестанно възникват и ревизират старата научна теория независимо от знанието на човека. 6. Неизчислимост по Тюринг и непълнота по Гьодел Тълкуванието на теоремите за непълнотата в контекста на квантовия компю- тър изискват обръщане и към един добре известен резултат: Една важна стъпка напред е постигната от Алан Тюринг в 1936. Той по- каза, че непълнотата може да се изведе като следствие от неизчислимостта. Защото ако има неща, които не могат да бъдат изчислени (Тюринговият проб- лем дали машината ще спре), тогава тези неща също така не могат и да бъдат доказани. По-точно, ако има крайно множество от аксиоми F, които винаги ни позволяват да докажем дали отделни програми P спират или не спират, то
  22. 22. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 22 бихме могли да изчислим дали дадена програма спира или не чрез пробягване по дървото на всички възможни дедукции от аксиомите F, докато или намерим доказателство, че P спира, или намерим доказателство, че P никога няма да спре. Но както Тюринг показва в своята прочута статия от 1936 г. „За изчисли- мите числа с приложение към Entscheidungsproblem” [Turing 1936], не може да има алгоритъм за решаване дали отделни програми P спират (Chaitin 2007: 300). След малко ще се обърнем към собственото тълкувание на Тюринг, според ко- гото неговият резултат е напълно различен от този Гьодел, за да изясним на какво би могла да се основава подобна позиция. Но преди това нека обърнем внимание, че според току-що приведения пасаж от Чейтин, по негово мнение неизчислимостта влече непълнота. Следователно обратно, от пълнотата следва изчислимост: или в малко по-свободен изказ, „заобикалянето” на т. нар. първа теорема за непълнотата на Гьодел е достатъчно условие за неограничена изчислимост (изчислимост в сми- съла на Тюринг), каквато се надяваме да се въплъти в квантовия компютър. Насто- ящият текст е насочен именно в тази посока. Заедно с това следва да се отбележи, че тъй като такова заобикаляне не е необходимо условие, то квантовият компютър в смисъла на пълна изчислимост може да се обсъжда и в рамките на една Гьоделова математика, в която се доказва или постулира т.нар. първа теорема за непълнотата. Бихме искали сега да подчертаем, че твърдението, до което достига Тюринг, на основата на своя довод, разглеждащ „проблема за спирането”, е по-слабо от това на Гьодел по мнението на първия: Би трябвало да се отбележи, че това, което ще докажа, е съвсем различ- но от добре познатите резултати на Гьодел. Гьодел е показал, че (във форма- лизма на Principia Mathematica) има пропозиции 𝕬, такива че нито 𝕬, нито –𝕬 е доказуема. Като следствие от това се показва, че няма доказателство за неп- ротиворечивостта на Principia Mathematica (или на K), което може да се даде вътре във формализма. От друга страна, аз ще покажа, че няма общ метод, който да ни каже дали дадена формула 𝕬 e доказуема в K или, което достига до същото, дали системата от K с присъединена –𝕬 като допълнителна аксио- ма е непротиворечива (Turing 1937: 259).
  23. 23. Васил Пенчев 23 От това, че Тюринговата машина не може да изчисли дали ще спре следва по току-що цитираните думи на самия Тюринг единствено че няма „общ метод”, но той не изключва съществуването на „частен метод”, по който всяко отделно твърдение, което е неразрешимо по Гьодел, все пак да бъде разрешено като ‘истинно’ или ‘не- истинно’. В тази връзка са уместни две допълнителни бележки, първата от които е свър- зана с възможността за „абсолютно неразрешимо твърдение”, обмисляна в продъл- жение на десетилетия от самия Гьодел: Теоремата за непълнотата показва, че за всяка достатъчно силна непро- тиворечива формална система на математиката има математически твърдения, неразрешими относно тази система. Естествен и интригуващ въпрос е дали има математически твърдения, които са в някакъв смисъл абсолютно нерешими, тоест нерешими спрямо всяко множество от аксиоми, които са обосновани. Гьодел побързва да изтъкне, че неговата оригинална теорема за непълнотата не поражда примери на абсолютна неразрешимост и оттук не подкопава убеж- дението на Хилберт, че за всеки точно формулиран математически въпрос има определен и откриваем отговор. Обаче в своя последваща работа по теория на множествата Гьодел открива това, което първоначално смята като възможен кандидат за абсолютно неразрешимо твърдение. По-нататък, той изразява на- деждата, че някой може действително да го докаже. В края на краищата дос- тига до отхвърляне на този възглед и придвижвайки се до другата крайност изразява надеждата, че би могло да има обобщена теорема за пълнотата, спо- ред която няма абсолютно неразрешими твърдения (Koellner 2010: 189). Другата бележка е свързана с току-що поставения въпрос, който е: тясно свързан с природата на разума и обосноваването на нови аксиоми и това е защо изглежда неуловим и труден. Много по-лесно е да се покаже, че едно твърдение не е абсолютно неразрешимо, отколкото да се покаже или че едно твърдение е абсолютно неразрешимо или че няма абсолютно неразрешими твърдения (Koellner 2010: 190).
  24. 24. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 24 7. „Гьоделизация” по Пенроуз Можем да използваме „абсолютната решимост”, но „без общ метод” като опре- деление на разума. С подобна насока също и Роджър Пенроуз въвежда термина „гьоделизация” (Penrose 1999: 143): Обаче това в някаква степен си проси въпроса как действително реша- ваме дали една пропозиция е истинна или неистинна. Критичният момент на всеки етап е да се види как да се кодира присъединяването на безкрайно се- мейство от Гьоделови пропозиции за осигуряване на една единствена допъл- нителна аксиома (или краен брой аксиоми). Това изисква нашето безкрайно семейство да може да бъде систематизирано по някакъв алгоритмичен начин. За да бъдем сигурни, че такава систематизация прави правилно това, което се предполага да прави, ще имаме нужда да използваме вътрешен поглед отвън на системата – точно както направихме, за да видим, че Pk(k) [Гьоделовото не- разрешимо твърдение] е истинна пропозиция преди това. Именно тези вът- решни погледи не могат да се систематизират – и наистина трябва да са извън всяко алгоритмично действие (Penrose 1999: 143). Бихме могли да подчертаем, че основните – поне според традицията на фило- софията – мисловни актове, рефлексия, идеация, снемане, са свързани с изследва- нето на истинността на неразрешими в дадена аксиоматика (Гьодел) или неразре- шими по общ метод (Тюринг) твърдения. Експлицитно Пенроуз говори за рефлексия: Вътрешният поглед, чрез който заключихме, че Гьоделовата пропозиция Pk(k) е действително истинно твърдение в аритметиката, е пример на общ тип процедура, известен на логиците като принцип на рефлексията: следователно, чрез ‘рефлектиране’ върху значението на аксиоматичната система и правила за процедура и убеждаването си, че те наистина осигуряват валидни начини за достигане на математическа истина може да сме в състояние да кодираме този вътрешен поглед в по-нататъшни истинни твърдения, които сами не следва да са изводими от самите тези аксиоми и правила. Извеждането на истината на Pk(k) … зависеше от такъв принцип (Penrose 1999: 144). Бихме разграничили трите споменати мисловни акта в схемата на Пенроуз, третираща гьоделовски тип непълнота, по следния начин. ‘Рефлексията’ в нашия
  25. 25. Васил Пенчев 25 смисъл се ограничава до включване на мета-твърдение като предикат на самото твърдение или на самото множество като елемент на това множество: следователно тя се тълкува като самореференциалност или непредикативност. ‘Идеацията’ е замя- ната на неограничен брой неразрешими твърдения с една нова аксиома, която вече позволява всички те да бъдат разрешени. Най-сетне ‘снемането’ съответства на редукцията: приема се, че множеството, което включва себе си като елемент (или непредикативното определение) може да се разглежда като същото множество, но без себе си като елемент, или че непредикативното определение може да се предс- тави предикативно. По такъв начин допускаме, първо, че мисленето за разлика от машинен алгоритъм от тюринговски тип има непосредствено отношение към истина- та; второ, че все пак процесът на получаване на нова истина – според традиционна- та терминология на философията за такава се смята „синтетичното”, а не „анали- тичното” твърдение – може поне частично да се формализира, като насоката се определя от тези три или може би повече така дефинирани мисловни актове, които на свой ред са „разбиване” на „принципа на рефлексията”: Всичко това показва, че менталните процедури, чрез които математиците достигат до своите съждения за истина са не просто вложени в процедурите на някаква специфична формална система. Ние разбираме [see] валидността на Гьоделовата процедура Pk(k), макар да не можем да я изведем от аксиомите. Типът ‘разбиране’ [‘seeing’], който се включва в един принцип на рефлексията, не е резултат от чисто алгоритмични операции, които биха могли да се коди- рат в някаква математическа формална система (Penrose 1999: 144). Нашият въпрос в тази връзка ще бъде: може ли квантовият компютър да осъ- ществява тези мисловни актове; или по-грубо, но по-ясно, може ли квантовият компютър да мисли, може ли да открива нови истини, което по силата на цитирано- то твърдение на Тюринг не може да се направи по общ метод. Добре би било още отначало да се направят следните разграничения в упот- ребата на термина: Полезно е да се разграничат три различни задачи, с които се асоциира хипотезата на Чърч – Тюринг: характеризиране на ефективно изчислимото, снабдяване еволюцията на физическите състояния с математически смисъл и
  26. 26. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 26 фиксирането на една полезна дефиниция за физическа изчислимост (Timpson 2004: 238). За да преминем от традиционната философска терминология за „синтетични” и „аналитични” твърдения към тази на Тюринг, ще ги положим еквивалентни съответ- но на „неизчислими” и „изчислими” твърдения, без да имаме обаче възможността за пространното отклонение, необходимо за да се обсъди степента на релевантност на подобно полагане. По-нататък – в духа на Гьоделовото кодиране на синтактично правилните пропозиции в дадена аксиоматика чрез естествени числа − ще замес- тим въпроса за изчислимите („аналитичните”) твърдения с този за числата, изчисли- ми от машина на Тюринг или друга: Все още не е направен опит да се покаже, че „изчислимите” числа включват всички, които естествено биха могли да се сметнат в качеството на изчислими. Всички аргументи, които могат да бъдат дадени, е фундаментално необходимо да бъдат призиви към интуицията и по тази причина доста неу- довлетворителни математически. Реалният спорен въпрос е: „Какви са въз- можните процеси, които могат да се извършат при изчисляване на число?” (Tu- ring 1937: 249). В току-що приведения пасаж от Тюринг ще помолим нашия контекст да разг- раничи три свързани смислови пласта: синтетичните твърдения като неизчислими; основателността на модела на човек, изчисляващ с помощта на молив и хартия като модел изобщо на изчислението; примери за нерекурсивно представимо, или хипер- тюрингово изчисление. „Изчислимите” числа могат да се опишат накратко като реални числа, чийто изрази като десетични числа са изчислими с крайни средства. … Според моята дефиниция едно число е изчислимо, ако неговият десетичен запис може да се изпише от машина (Turing 1937: 230). Нека сега − на фона на такова определение − се запитаме дали число, което може да се получи и теоретично, чрез функцията на избор според аксиомата за избора, и практически, като измерена стойност на квантово-механична величина, е изчислимо. Измерването несъмнено е краен процес и следователно такова число е „изчислимо с крайни средства”. Доколкото квантовият компютър се приема за маши-
  27. 27. Васил Пенчев 27 на и то може да се „изпише” като нейно състояние, изглежда трябва да приемем, че така полученото число е изчислимо и заедно с това не е изчислимо от машина на Тюринг, а само от квантов компютър. Изводът е, че не можем да приемем валид- ността на предпоставката на следния сложен силогизъм: Ако веднъж се приеме, че изчислимите числа са всички „изчислими”, следват няколко други твърдения от същия характер. В частност следва, че ако има общ процес за определяне дали една формула от Хилбертовото изчисле- ние на функции е доказуема, тогава определянето може да се извърши от ма- шина (Turing 1937: 249). Концепцията за квантов компютър не само отрича цитираната предпоставка, но и потвърждава заключението, че определянето „дали една формула от Хилберто- вото изчисление на функции е доказуема” „може да се извърши от машина”. При това положение не можем да се твърди нищо определено нито относно отсъствието, нито относно наличието на въпросния общ процес или метод. Следователно на тази основа не можем да отличим разума на човек от изкуствен интелект. Може да се добави, че както вторият, така и първият би трябвало да се осно- вава на някакви естествени физически процеси, върху които мисленето изобщо може да се положи. Съумеем ли да достигнем до тях, от една страна, ще се гаранти- ра възможността за построяване машинен аналог на човешкия разум, а от друга, самата природа, и то на фундаменталното физическо равнище, ще се окаже интели- гибелна, тъй като за реализиране на разума се използват естествени процеси. На- шата хипотеза – впрочем отдавна и широко застъпена в пледоариите около изкуст- вения интелект – е, че квантово-механичните са тези или такива процеси. Следва още веднъж да подчертаем единството на посочените току-що две страни: ако кван- товият компютър е машина, която би могла съвършено да моделира или да предста- ви човешкия разум, то заедно с това трябва да приемем и получаваме достъп до информационния или интелигентния ипостас на природата, който според традиция- та на човешката култура е обичайно зачислен към религията и категорично проти- вопоставян на научността и науката, основана в Новото време тъкмо върху пълното отсъствие на разум или антропоморфно поведение на равнище физически процеси. В тази връзка по-нататък ще се обърнем към идеята на Пенроуз за необходимостта от „нова физика на изкуствения интелект”, а засега ще започнем да обсъждаме
  28. 28. Отвъд машината на Тюринг Квантовият компютър 28 разликите между Тюринговата машина и квантовото изчисление в природата, за да легитимираме квантовия компютър на собствено основание, следвайки Дейвид Дойч и особено Дейвид Албърт.
  29. 29. Васил Пенчев 29 III. РАЗУМ И ФИЗИКА 8. Квантовият компютър по Дойч Нека започнем с един пространен цитат от Дойч, въдворяващ за обсъждане нетюрингови изчислителни процеси в природата и потвърждаващ някои от изброе- ните интенции: Често се твърди, че всеки ‘разумен’ физически (като противопоставен на математически) модел за изчисление, поне детерминистичното изчисление на функции от ℤ в ℤ, е еквивалентен на Тюринговия. Но това не е така: няма a priori причина защо физическите закони би трябвало да се съобразяват с огра- ниченията на математическите процеси, които наричаме ‘алгоритми’ (т.е. фун- кциите C(𝒯)). Макар в тази работа да не намирам за нужно да направя така, няма нищо парадоксално или противоречиво в постулиране на физически сис- теми, които изчисляват функции не от C(𝒯). Би могло да има експериментално проверими теории за този ефект: напр. да разгледаме всяко рекурсивно изб- роимо множество (такова като множество от естествени числа, представящи програми за завършващи алгоритми на дадена машина на Тюринг). По прин- цип, една физическа теория би могла да има сред своите следствия, че опре- делено физическо устройство ℱ би могло да изчисли за определено време да- ли произволно естествено число на нейния изход принадлежи на това множес- тво. Тази теория би била експериментално опровергана, ако по-прозаичен компютър от Тюрингов тип, програмиран да изброи множеството някога не се съгласи с ℱ. (Разбира се, теорията би трябвало да направи и други предсказа- ния, иначе никога няма да бъде нетривиално потвърдена, а нейната структура би трябвало да бъде такава, че екзотичните ѝ предсказания относно ℱ естест- вено не би могло да бъдат разделени от другото ѝ физическо съдържание. Всичко това е логически възможно)3 (Deutsch 1985 (Proc.): 4-5). 3 „Нито, обратно, е очевидно, a priori, че коя да е от известните рекурсивни функции е изчислима във физическата реалност. Причината защо откриваме, че е възможно да се стро- ят, да речем, електронни калкулатори, и наистина защо можем да извършваме ментална аритметика, не може да се намери в математиката или логиката. Причината е, че законите на физиката се е случило’ да позволяват съществуването на физически модели за операци- ите на аритметиката − като събиране, изваждане и умножение. Ако не беше така, тези познати операции биха били неизчислими функции. Все още би могло да знаем за тях и да ги

×