Васил Пенчев                     ГЬОДЕЛ И АЙНЩАЙН: НЕПЪЛНОТА  СРЕЩУ САМОРЕФЕРЕНЦИАЛНИ ПРИЧИННОСТ И ИМПЛИКАТИВНОСТ    Racio...
-функцията зависи от половината променливи в сравнение с аналогичнатафункция на състоянието в класическата физика (v. Neum...
Отговорът зависи от определението, което даваме на пълнота. Съ-щественото е да се разграничат и да не се смесва пълнотата ...
обичайната квантова механика играе фундаментална роля, заедно с универсал-ното време на макроуреда, валидно и за квантовия...
простота и естественост. При това обаче следва да се отхвърлят привидно тол-кова очевидните закон за запазване на енергият...
При това обаче, заставайки на собствено философска и следователноуниверсалистка позиция, не може да не отбележим, че макар...
сълта за възвръщането на абстрахираните свойства на материалното обратно внего самото като отразени от идеалното), навежда...
Gödel, K. 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Гьодел и Айнщайн: непълнотата

629 views

Published on

Racionalistic monism – Incompleteness and its “straightening” – Self-referential implicativeness – Conclusions for self-referential causality – The casus of «causa sui» − A new look at the hypothesis of “hidden parameters” – The “elementary” particles as “Ptolemaic cycles” – The spirit of Princeton and the idea of dualistic Pythagoreanism – What is the same? – The cognition of infinity – A problem: the power of the set of all Gödel insoluble statements
Рационалистичен монизъм – Непълнотата и нейното изправяне – Самореференциалната импликативност – Изводи за само-референциалната причинност – Казус с «causa sui» − Нов поглед към хипотезата за „скритите параметри“ − „Елементарните“ частици като “птоломеански цикли” − Принстънският дух от гледна точка на едно дуалистичното питагорейство – Кое е същото? – Познанието на безкрайното – Един проблем: мощността на множеството от всички неразрешими по Гьодел твърдения

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
629
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Гьодел и Айнщайн: непълнотата

  1. 1. Васил Пенчев ГЬОДЕЛ И АЙНЩАЙН: НЕПЪЛНОТА СРЕЩУ САМОРЕФЕРЕНЦИАЛНИ ПРИЧИННОСТ И ИМПЛИКАТИВНОСТ Racionalistic monism – Incompleteness and its “straightening” – Self- referential implicativeness – Conclusions for self-referential causality – The casus of «causa sui» − A new look at the hypothesis of “hidden parameters” – The “elementary” particles as “Ptolemaic cycles” – The spirit of Princeton and the idea of dualistic Pythagoreanism – What is the same? – The cognition of infinity – A problem: the power of the set of all Gödel insoluble statements Рационалистичен монизъм – Непълнотата и нейното изправяне – Само- референциалната импликативност – Изводи за само-референциалната причинност – Казус с «causa sui» − Нов поглед към хипотезата за „скри- тите параметри“ − „Елементарните“ частици като “птоломеански цикли” − Принстънският дух от гледна точка на едно дуалистичното питагорейство – Кое е същото? – Познанието на безкрайното – Един проблем: мощността на множеството от всички неразрешими по Гьодел твърдения И двамата велики учени са приютени в Принстънския „Институт заперспективни изследвания”. Налице са множество свидетелства за срещите им,обмен на мисли и приятелство (напр. Yourgrau 2006). За нас обаче е по-важно да обърнем внимание на общността на тех-ните интенции по някои проблеми. Такава общност може да се обобщи най-грубо и като встъпление последния начин: рационалистичен монизъм; да се търси единна първооснова заобяснение на света изобщо и за конкретните изучавани явления в частност.Централна е важността на причинните връзки в физиката и съответните им им-пликативни връзки в математиката. Изходната основа е крайното, логическото,рационалното, а обратните членове в опозициите ‒ безкрайното, аритметично-то, емпиричното са производни и играят подчинена роля. Така и за двамата,съответно за Айнщайн − квантовата механика (Einstein, Podolsky, Rosen 1935), аза Гьодел − аритметиката (Gödel 1931), e непълнa. По-възрастният, Айнщайн е и по-краен: той се опитва „да поправи”непълното, да разкрие скритата му пълнота, чрез изказване и доказване на хи-потезата за „скритите параметри”. Той сякаш има и повече основания. 1
  2. 2. -функцията зависи от половината променливи в сравнение с аналогичнатафункция на състоянието в класическата физика (v. Neumann 1932: 107-108).Къде са останалите? Какво е станало с тях? Разширяването на човешкото зна-ние в случая на квантовата механика изглежда като намаляване. По-младият, Гьодел е и по-умерен. Не се стреми „да поправи” аритме-тиката в прокрустовото ложе на логиката. Не гледа на неизводимите твърдениякато на скрити аксиоми или като на изводими от такива. Във връзка с това може би е уместно известно разяснение. Порадисъществуването на неизводими твърдения съответната аксиоматика не преставада бъде пълна, нито пък става противоречива. Нейната пълнота и непротиворе-чивост се състои в това, че за всички изводими твърдения от нея се извеждатили те, или техните отрицания. Така пълнотата в математически смисъл не за-сяга изобщо и по принцип въпроса за неизводимите твърдения. Пълнотата неозначава изводимост на всички синтактично правилно построени твърдения вдадена аксиоматика (разбира се, или на тях, или на техните отрицания). След узнаването на фундаменталния резултат на Гьодел се откриватредица твърдения, неизводими в конкретни аксиоматики, покриващи изисква-нията на Гьоделовата теорема за непълнотата. Може би най-известното средтях е континуум-хипотезата, предложена още от Кантор, която в един от своитенай-опростени варианти на формулировка гласи, че между мощността на цели-те числа и тази на континуума няма друга мощност. Както то, така и неговотоотрицание е съвместимо с аксиомите на теорията на множествата (Gödel 1940;Cohen 1963, 1964, Коэн 1969) в смисъл, че добавянето им не води до противо-речие. Как обаче стои въпросът с пълнотата? Несъмнено има твърдения, за-висими от хипотезата за континуума и които, както и самата тя, не могат да бъ-дат изведени (нито техните отрицания) от аксиомите на теорията на множест-вата. По отношение на какво да преценяваме пълнотата? По отношение навсички синтактично правилни твърдения в дадената аксиоматика, или само поотношение на онези от тях, които следват от себе си: тъй като по силата теоре-мата на Мартин Льоб (Löb 1955), ако те следват от собствената доказуемост,следва, че са изводими. 2
  3. 3. Отговорът зависи от определението, което даваме на пълнота. Съ-щественото е да се разграничат и да не се смесва пълнотата в смисъла наГьодел (Gödel 1930), да я наречем в синтактичен смисъл, с пълнота в смисълана теоремата на Льоб. Такова или може би по-скоро аналогично разграничение на понятиетоза пълнота може съществено да помогне в изясняване на аргументите на при-вържениците на хипотезата за „скритите параметри” в квантовата механика.Например, бихме могли да се опитаме да формулираме едно „льобовско” твър-дение във физиката: ако нещо е причина на самото себе си, то необходимо сепричинява от други неща. Любопитна е разликата в двата подхода, логическияи физическия: Докато теоремата на Льоб обсъжда доказуемостта, с други думи,следването от себе си в определен контекст, то причинността се разглежда не-зависимо от всякакъв контекст. На тази основа хипотезата за скритите параметри се изказва вече понов начин: всяко нещо е причина на самото себе си. Внимателното вглеждане втова твърдение показва, че то има метафизичен, в смисъла на Попър, т.е. не-фалшифицируем характер, който първоначално ще илюстрираме чрез неговияаналог в логиката: всяко твърдение следва от себе си. За да не следва еднотвърдение от себе си, т.е. тази импликация да не е валидна, първо трябва да еналице твърдението като предпоставка, но, второ, да отсъства като следствие.Тази ситуация се забранява обаче от явното или предразсъдъчното определе-ние на твърдение, сякаш интуитивно разбираемо като известно постоянство.Със съзнателното или несъзнателно приемане на такова постоянство фалшифи-цируемостта на твърдението „всяко твърдение следва от себе си” се изключва ито се превръща в метафизика в един попъровски смисъл или в идеология (всмисъла, че една частна позиция, в случая тази на „постоянстващите твърде-ния” се приема зà или замества универсалната, в случая на всички, т.е. и напостоянстващите, и на променливите твърдения). Вече пренесено във физиката, това означава, че не всички неща сапричина на самите себе си, а само запазващите се, т.е. за тези, за които е ва-лиден законът за запазване на енергията. Законът за запазване на енергията в 3
  4. 4. обичайната квантова механика играе фундаментална роля, заедно с универсал-ното време на макроуреда, валидно и за квантовия обект. Той позволява да сеотговори на въпроса, кое е същото, когато преминаваме от „гледната точка” намакроуреда към тази на квантовия обект. Ако ние се откажем от него, въпросът‒ „Кое е същото?” ‒ престава да бъде тривиален и дори може да няма никакъв,в т.ч. и нетривиален отговор. Това – от една страна, от друга обаче, такъв отказ, вероятно подформата на обобщение на закона за запазване на енергията, би ни позволилода „сверим часовника си” с реалното положение във физиката, където изглеждаима неща, които не са причина на себе си, тъй като са в състояние да изчезватили да се появяват без друга причина, т.е. от само себе си, и следователно внарушение на закона за запазване на енергията, евентуално обаче в съответ-ствие с по-общ закон. Разширената аналогия, която построихме, позволява също така да севиди скритата „метафизика” и „идеология” в твърдението „Всички неща са при-чина на самите себе си”, поне що се отнася до квантовата механика и при нап-равените уточнения. Законът за запазване на енергията се постулира, чрез кое-то квантовият свят ни се привижда в зашеметяващи по своята сложност „пто-ломеански епицикли” от уж „елементарни” (!?) частици. Целият свят, всичкотрябва да се „върти около земята” в случая около макроуреда, чиято частнагледна точка се универсализира като една „идеология”, която може да се наре-че идеология на макросвета, чиято първичност обаче е скрит антропоцентри-зъм, тъй като произтича от може би по-скоро случайния факт, че е „когнитивна-та ниша”, в която е възникнал човешкият интелект. Заедно с това, метафизичнонейното фалшифициране се оказва забранено по силата на едно сякаш „скан-диране” и донякъде „втълпяване” на закона за запазване на енергията. Ако обаче се откажем от тази безвъпросно „ясна” централност намакроуреда и на емпиричността, ако си позволим „коперникански преврат” и вквантовата механика, при което водеща позиция да придобие квантовият обект,вероятно в двете обличия и на микрообект, и на вселена, чието единство сескрепя от цялостността, от холизма, то изглежда птоломеански сложната кар-тина на нашето познание за квантовия свят рязко ще се опрости, ще придобие 4
  5. 5. простота и естественост. При това обаче следва да се отхвърлят привидно тол-кова очевидните закон за запазване на енергията и универсално време на мак-роуреда: това би била вече една неунитарна квантова механика. Постоянство-то на квантовия обект, идеологическата „универсалност” на макросвета и из-ключителната простота на времето са трите свързани илюзии, от които следвада се откажем. Гьодел и Айнщайн, а чрез тях и „Принстънският дух”, присъщ не не-пременно на Принстън, се оказват свързани не само от едно осъвременено пи-тагорейство, което сме склонни с охота да приемем, но и от известна специ-фична едностранчивост, която се опитахме бегло да скицираме. Тя може да сенарече, преди всичко за да се обозначи, метафизична идеология на крайността,която се опитва не да търси равновесие или сътрудничество с безкрайността, акъм подчинението на последната, но по този начин и с това ‒ оставайки в рам-ките единствено на своето подчинение. Бегло ще докоснем някои въпроси, междинни с философия на мате-матиката. Платонизмът или реализмът в математиката настояват за съществу-ването на математическите обекти. Добре известно е, че оригиналното учениена Платон, а впоследствие и неоплатонизмът изпитват силно въздействие илидори възникват под влияние на древното питагорейство, което остава в същес-твена степен сакрализирана и мистична доктрина. Следователно на реализма вматематиката може ‒ чрез посредничеството на Платоновото учение ‒ да сегледа и като на едно смекчено, профанизирано, опортюнистично, но заедно стова и универсализирано питагорейство. Ако се опитваме да подходим към „Принстънския дух” в качеството муна своеобразно неопитагорейство, това напомня подобно смекчаване, постига-но, както в оригиналния платонизъм чрез удвояване. Специфичното, идващоможе би от „Копенхагенската интерпретация” на квантовата механика е, чедвете същности се уравновесяват, което не може да се постигне чрез винагинесъвършеното отражение, при което една от двете доминира, а чрез принципана допълнителността, при който двете същности взаимно се заместват, бидейкии винаги оставайки еднакво необходими ‒ дуални. 5
  6. 6. При това обаче, заставайки на собствено философска и следователноуниверсалистка позиция, не може да не отбележим, че макар и дуалистична,неопитагорейската доктрина на квантовата информация не преодолява, по-скоро трансформира или дори „сублимира” току-що споменатата „Принстънскаедностранчивост”. Така за нея и двете равноправни, дуални същности оставатсобствено и чисто математически: крайното число и безкрайното, мислено доголяма степен по подобие на крайното, обединени в -функцията, разбранакато своеобразна бройна система с комплексни крайни цифри и безкрайна има-гинерна основа. Освен това някак си просто има (незнайно защо) също така ифундаментални константи, които осигуряват превод на числовото на „езика наматерията”, при което се повтаря, може би, трансформираният, „сублимиран”,„преобърнат” превод на безкрайното на езика на крайното. Същественото в случая е не толкова „самокритиката” ‒ по-скоро неповече от това да улеснява възприемането на възгледа, ‒ колкото артикулира-нето на специфичните напрежения и оттук на проблемите, които именно тойпоставя или ще поставя: 1. Фундаменталните константи. Дали някои от тях, или всички те мо-гат да се обосноват собствено математически. Само да споменем, че тези, коитоса най-близко до настоящото разглеждане ‒ константата на Планк и на скорост-та на светлината във вакуум ‒ се разцепват на две величини (например съот-ветно: разстояние и импулс; разстояние и време) по обратен начин: чрез тяхно-то умножение – деление. 2. Материалният свят. Дали той съдържа и собствена несводима къмчисто математическото и безразмерното същност, която по този начин да огра-ничава неопитагорейското нашествие на квантовата информация в донякъдеповтарящия се и частично запазващ се свят, който познаваме. 3. Познанието на безкрайното. Имаме ли друг, непосредствен път занеговото познание освен косвения по подобие на крайното, при което някоисвойства на последното се абстрахират и въдворяват в безкрайното, в някаквастепен насилствено (или с други думи, конвенционално) му се вменяват. Впо-следствие обратното движение на едно „разкаяние”, което ги привижда като„отразени” от безкрайното (с това наподобявайки един класически ход на ми- 6
  7. 7. сълта за възвръщането на абстрахираните свойства на материалното обратно внего самото като отразени от идеалното), навежда към представа за безкрайно-то, или по-общо – за другата същност, просто като огледало, което позволявапървата същност да се появи като ейдос, идея, т.е. в обличието на втора същ-ност. Всъщност не става ли дума за не повече от рефлексия: нещо и неговотовиждане като цяло, като едно, като негов облик, цялост? Нека накрая завършим с едно специфично напрежение, обаче допус-кащо съществено напредване по посока на конкретен отговор, а именно със съ-ображения и опит за оценка на броя (кардиналното число на множеството) нагьоделово неразрешими твърдения, което е в пряка връзка с направеното фи-лософско обсъждане на причинността, запазването, както и с този на състояни-ята АПР (сдвоените състояния). Грубо казано, дали и в двата случая става думаза екзотично явление, което без особена загуба може да се пренебрегне илиточно напротив, за общия случай, спрямо който обхватът на всички явления,разглеждани досега от логиката (респ. математиката) или физиката, представ-лява граничен и дори пренебрежим частен случай.ЛИТЕРАТУРА:Cohen, P. 1963. The Independence of the Continuum Hypothesis. – Proceedings of the NationalAcademy of Sciences of the United States of America. Vol. 50, No 6, (15 December) 1143-1148.Cohen, P. 1964. The Independence of the Continuum Hypothesis, II. – Proceedings of the NationalAcademy of Sciences of the United States of America. Vol. 51, No 1 (15 January, 1964), 105–110.Einstein, A., B. Podolsky and N. Rosen. 1935. Can Quantum-Mechanical Description of PhysicalReality Be Considered Complete? ‒ Physical Review, 1935, 47, 777-780; http://www.phys.uu.nl/~stiefelh/epr_latex.pdf . (А. Эйнштейн, Б. Подолски, Н. Розен. 1936. Можно ли считать, что кван-тово-механическое описание физической реальности является полным? – Успехи физическихнаук. T. XVI, № 4, 440-446 – http://ufn.ru/ufn36/ufn36_4/Russian/r364_b.pdf .)Gödel, K. 1930. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. – Monatshefte derMathematik und Physik. Bd. 37, No 1 (December, 1930), 349-360 (Bilingual German ‒ English edi-tion: K. Gödel. The completeness of the axioms of the functional calculus of logic. ‒ In: K. Gödel. Col-lected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒Oxford, 1986, 103-123.)Gödel, K. 1931. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Sys-teme I. ‒ Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 38, No 1 (December, 1931), 173-198. (Bilin-gual German ‒ English edition: K. Gödel. The formally undecidable propositions of Principia mathemat-ica and related systems I. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford:University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 144-195.) 7
  8. 8. Gödel, K. 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton: University Press. (Collected Works, vol. II, NewYork, Oxford: University Press, 1990, pp. 33-101.)Löb, M. 1955. Solution of a problem of Leon Henkin. ‒ The Journal of Symbolic Logic. Vol. 20, No 2,115-118.v. Neumann, J. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Verlag von JuliusSpringer. (J. von Neumann. 1955. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: Uni-versity Press; Й. фон Нейман. 1964. Математические основы квантовой механики. Москва: „Нау-ка”.)Yourgrau, P. 2006. A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. New York:Perseus Books Group.Коэн, П. 1969. Теория множеств и континуум-гипотеза. Москва: Наука. 8

×