Victor´ rojas

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análisis numérico

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Victor´ rojas

  1. 1. 1 República Bolivariana de Venezuela Universidad Fermín Toro Facultad de Ingeniería Cabudare – Edo Lara Informe Interpolación Integrante: Víctor Rojas CI: 21243151
  2. 2. 2 INDICE Introducción ........................................................................................................................3 INTERPOLACIÓN...................................................................................................................4 Elección de la interpolación más adecuada.........................................................................4 Polinomio interpolador.........................................................................................................5 Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton.......................................6 INTERPOLACION LINEAL........................................................................................................7 Interpolaciónlineal de una variable independiente.............................................................8 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.(Lagrange).............................................................................8 Interpolación de Lagrange...............................................................................................10 Ejemplos............................................................................................................................11 Interpolaciónlineal.........................................................................................................11 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.........................................................................................13 CONCLUSION .....................................................................................................................14
  3. 3. 3 Introducción En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usarse para estimar razonablemente, algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando una función que ajuste los datos. Este es un tema llamado Interpolación La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:  No se adecúan al modelo concreto.  Su aplicación resulta excesivamente compleja.  La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior.  Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema. En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos .
  4. 4. 4 INTERPOLACIÓN El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. "La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos". El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn) y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función. Elección de la interpolación más adecuada. Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos. Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por la n+1 puntos dados. La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Van der monde y por lo tanto distinto de cero)
  5. 5. 5 Polinomio interpolador Correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas. El problema de la interpolación tiene propiamente tres cuestiones:  Saber si tiene solución o no.  En caso de tenerla, ¿dicha solución es ´única o existen varias?  Y finalmente métodos de cálculo lo más eficientes posibles. A este respecto en interpolación polinómica tenemos el siguiente resultado: Teorema 1. Supongamos conocido el valor de una función f(x) en un conjunto de puntos distintos dos a dos x0, x1, . . . , xn. Entonces, existe un único polinomio P(x) 2 <n[x] (esto es, polinomios de grado menor o igual que n) que interpola a la función en esos puntos, es decir,P(xi) = f(xi) con i = 0, . . . , n. La prueba más directa (con el coste de unos leves conocimientos de ´algebra) consiste en plantear el sistema lineal de ecuaciones (ahora las incógnitas son los coeficientes del polinomio P buscado) y darse cuenta de que es un sistema compatible determinado al tener matriz de coeficientes de tipo Van der Monde (con los xi distintos dos a dos) y por tanto invertible. Otra forma inmediata de ver la unicidad de solución al problema consiste en imaginar la existencia de dos polinomios P y Q de grado n satisfaciendo la tesis del teorema. Entonces P − Q es otro polinomio de grado n con n + 1 ceros, y eso conduce inevitablemente a que P − Q _ 0.
  6. 6. 6 Completamos este razonamiento con dos respuestas (en las siguientes secciones) de existencia de solución, ambas constructivas. Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton. Cualquier polinomio de <n[x] se puede expresar en forma única como una combinación lineal de los monomios {1, x, x2, . . . , xn}, pues son evidentemente sistema generador y además linealmente independientes (luego forman una base del espacio vectorial), la más simple de hecho, la base canoníca. Esta base, que es adecuada para algunas manipulaciones inmediatas de polinomios como nombrábamos en la sección anterior (derivación e integración por ejemplo), no es, sin embargo, la más adecuada para construir en principio el polinomio interpolador. Vimos que resultaba útil incluir los propios nodos del problema en los polinomios a construir, de modo que en este parágrafo adoptamos una solución intermedia: Expresaremos el polinomio P(x) que interpola a las abscisas x0, x1, . . . , xn, como una combinación lineal del siguiente conjunto de polinomios { 0(x), 1(x), . . . , n(x)} siendo: 0(x) = 1, 1(x) = (x − x0), 2(x) = (x − x0)(x − x1), 3(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2), n(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1) Este conjunto es otra base del espacio de <n[x] por tener n + 1 elementos linealmente independientes (obsérvese que con este método cada problema requiere una base distinta, en función de los nodos xi que nos dan, y que el cálculo de cada sirve para el siguiente.)
  7. 7. 7 INTERPOLACION LINEAL La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres. Interpolación lineal es un método de conexión usando polinomios lineales de curva. Calcula el desconocido tasa como si se encuentra en una línea recta entre los dos tipos, es la forma más sencilla para calcular la tasa de desconocidos. Interpolación lineal y su cálculo profundamente empleadas en análisis numérico particular de matemáticas y numerosas aplicaciones incluyendo gráficos por computadora. Es una forma simple de interpolación Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal.. Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:  fórmula general La interpolación lineal: x2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1 y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1
  8. 8. 8 Interpolación lineal de una variable independiente. Es igual que hacer integrales cerradas. En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla, veamos cómo se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal. Por la tabla sabemos que: y Queremos, pues, saber: Siendo: INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. (Lagrange) Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.
  9. 9. 9 Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2): EÇl error en la interpolación lineal resulta de aproximar una curva con una línea recta. Estrategias: – Disminuir el tamaño del intervalo. – Introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos. Si tres puntos de los datos están disponibles, esto puede realizarse con un polinomio de segundo grado (parábola). Puede utilizarse un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Sustituyendo las ecuaciones anteriores, y evaluando en x = x1: Sustituyendo nuevamente, y ahora evaluando en x = x2:
  10. 10. 10 Interpolación de Lagrange. Este método es el más explícito para probar existencia de solución ya que la construye. Sin embargo su utilidad se reduce a eso: a dar una respuesta formal y razonada, pues no es eficiente en términos de cálculo (requiere muchas operaciones y tiene limitaciones técnicas que después nombraremos). Para calcular el polinomio interpolador P(x) asociado a una tabla de datos (xi, fi) con i = 0, . . . , n podemos plantearnos una simplificación previa: ¿qué ocurre si construimos polinomios li(x) de grado n que valgan 1 en el nodo xi y 0 en el resto? li(xk) = _ik = _ 1 si i = k, 0 si i 6= k. Es inmediato que con esto se resuelve el problema original, tomando la suma de esa n + 1 polinomios de grado n (con coeficientes adecuados): P(x) = Pn k=0 fk · lk(x). ¿Es posible encontrar tales li(x)? Si damos el polinomio facto izado para que tenga en cada nodo xj (con j 6= i) una raíz, el candidato es: (x − x0)(x − x1) ·. . . · (x − xi−1)(x − xi+1) · . . . · (x − xn) = n Yj=0 j6=I (x − xj).
  11. 11. 11 Ejemplos Interpolación lineal La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Si se supone que las variaciones son proporcionales se utiliza la interpolación lineal. Sean dos puntos (x1, y1) y (x3, y3), entonces la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y2 , para un valor x2 tal que x1<x2 <x3. Teniendo en cuenta que las variaciones en una relación lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones: 3 22 1 2 1 3 2 y yy y x x x x     De igual forma podemos determinar por ejemplo que: 3 12 1 2 1 3 1 y yy y x x x x     o lo que es equivalente 2 1 2 1 3 1 3 1 x x y y x x y y      Despejando y2 obtenemos que: 3 1 2 1 2 1 3 1 ( )( ) ( ) y y x x y y x x     
  12. 12. 12 Algunas propiedades básicas de las proporciones son: En toda Proporción se cumple que I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos. II) Alternar Extremos: III) Alternar Medios: IV) Permutar: V) Invertir: VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente: VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente: VIII) Componer y descomponer a la vez:
  13. 13. 13 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Sea la Tabla: • X Y • 1 2 • 3 10 • 5 26 Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: • m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 • m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 • Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. • Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. Interpolación lineal La interpolaciónconsiste enhallar un dato dentrode un intervaloen el que conocemos los valores en los extremos. Si se supone que lasvariacionessonproporcionalesse utilizala interpolaciónlineal. Seandos puntos(x1,y1) y (x3, y3),entonceslainterpolaciónlineal consiste enhallarunaestimacióndel valory ,paraun valorx tal que x1<x <x3.
  14. 14. 14 CONCLUSION En numerosos métodos matemáticos observamos una cierta regularidad en la forma de producirse,estonospermite sacarconclusionesde lamarchade un método ensituacionesque no hemos medido directamente. Al revisar estos datos, podríamos preguntarnos si se podría usarse para estimar razonablemente,algunasprediccionesde este tipopuedenobtenerse usandounafunción que ajuste los datos. Este tema se le llama Interpolación.

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