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Principio aditivo

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  • PERO YA ESTOY TRATANDO DE MEJORARLO
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  • PARO CASI NO LE ENTIENDO DE PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
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Principio aditivo

  1. 1. 2012 PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS INGENIERIA EN INFORMATICA 03/09/2012
  2. 2. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS PRINCIPIO ADITIVO.Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para serrealizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de Mmaneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas.....y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formasEjemplos: 1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora 1 its
  3. 3. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las próximas vacacionesde verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte para ir deChihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para ir del Paso a lasVegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentesmedios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a lasVegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o aDisneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo medio detransporte en que se fue?. Solución: a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a Disneylandia V = 3 x 2 = 6 maneras D = 3 x 4 = 12 maneras V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia b) V = maneras de ir y regresar a las VegasD = maneras de ir y regresar a Disneylandia V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuandodel aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para serllevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principiomultiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas paraser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. 2 its
  4. 4. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer pasode la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N 1 maneras o formas, elsegundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas,entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;N1 x N2x ..........x Nr maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debenser llevados a efecto, uno tras otro.Ejemplos: 1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de cómo se puede llevar a cabo una actividad cualquiera. 2) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por 3 its
  5. 5. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G. Solución: a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvilc. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvild. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil 3) ¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar?. Solución: a. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos b. 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicosc. 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicosd. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos 4 its
  6. 6. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS NOTACIÓN FACTORIALEl factorial Para todo entero positivon, el factorial de n o n factorial se define comoel producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los númerosnaturales) hasta n.La multiplicación anterior se puede simbolizar también comoLa operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas,particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, elfactorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetosdistintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por losestudiosos indios. La notación actual n! fue usada por primera vez por ChristianKramp en 1803.La definición de la función factorial también se puede extender a números nonaturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requierenmatemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático. PERMUTACIONES Y COMBINACIONESLIamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenacionesde todos los elementos de dicho conjunto.Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sinrepetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estoselementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En elejemplo, X={1, 2, 3}.Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismoequivale a una forma de ordenar los elementos.Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por 1→1 5 its
  7. 7. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS 2→2 3→3puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".Por otro lado, la asignación biyectiva dada por 1→3 2→2 3→1puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cualpuede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el casoen que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.En combinatoriaLa combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerarconjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertasreglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problemacombinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben serlas agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla.Básicamente, dos asuntos: permutaciones y combinaciones (ambas sin repeticióno con ella).Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dadauna n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutacioneses el número de n-tuplasordenadas .Fórmula del número de permutacionesDado un conjunto finito de elementos, el número de todas permutaciones esigual a factorial de n: .Demostración: Dado que hay formas de escoger el primer elemento y, una vezescogido éste, sólo tenemos formas de escoger el segundo elemento, yasí sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólotenemos posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a quetenemos formas de ordenar el conjunto, justamente loque enunciamos anteriormente. . 6 its
  8. 8. PROBABILIDAD Y ESTADISTICASEjemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en formacompacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupossimétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempreaparece 1 2 3.Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente,tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteolos cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca,bac, cab, cba.En teoría de gruposNotacionesRepresentación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuestapor 2 ciclos de longitud 4.La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta,consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera filalos elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenescorrespondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).Por ejemplo, dado el conjunto ordenado podemos expresar unapermutación sobre éste mediante una matriz de correspondencias:Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa deforma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primerlugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modoque los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:Notación de ciclos 7 its
  9. 9. PROBABILIDAD Y ESTADISTICASExiste otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo delongitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija losrestantes.Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello: 1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo. 2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo. 3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, quedaríaexpresada como composición de dos ciclos: = (1 3 5 6 )(2 4 7 8)Descomposición de una permutación en ciclos disjuntosLa descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única enprincipio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultadosequivalentes: = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5)La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos seobtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño delmismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocandoprimero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirselos ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplementecomo (1 3)(4 5).Descomposición de una permutación en trasposicionesUna trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija losrestantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedadinteresante es que cualquier permutación se puede construir como unacomposición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dosdescomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambasusaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir demanera unívoca la signatura de una permutación. 8 its
  10. 10. PROBABILIDAD Y ESTADISTICASLas trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de unaforma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposicionesque aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2)(2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivoel 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposicionesbastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo denuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número detrasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si admite dosdescomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendránla misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada unapermutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:Donde es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal queexiten transposiciones tales que:Permutación par y permutación imparLlamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composiciónde un número par (resp. impar) de trasposiciones.Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas ennotación de ciclos: (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares. (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones. e (la identidad) también es par.En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto den elementos son pares y la otra mitad impares.Dado un número natural , consideramos el conjunto .Definimos el grupo de permutaciones de elementos, que denotaremos por ,olo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de a . 9 its
  11. 11. PROBABILIDAD Y ESTADISTICASLas permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, alque llamaremos grupo alternado, y notaremos por . DIAGRAMA DE ÁRBOL diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados delexperimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasostiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en losproblemas de conteo y probabilidad.Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama paracada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estaramas se conoce como rama de primera generación.En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudodel cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posiblefinal del experimento (nudo final).Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener elmismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama deprimera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudoha de dar 1.Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos seanmucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos lasprobabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumnade la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas queemergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.EjemplosUna universidad está formada por tres facultades: La 1ª con el 50% de estudiantes. La 2ª con el 25% de estudiantes. La 3ª con el 25% de estudiantes.Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cadafacultad. 10 its
  12. 12. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?¿Probabilidad de encontrar un alumno varón? 11 its
  13. 13. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS perotambién podría ser lo contrario. TEOREMA DEL BINOMIOEl teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésimapotencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a + b)nposee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticasy posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.Fórmula general del binomioSea un binomio de la forma (a +b).Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen lassiguientes potencias:(a + b) = a + b 1De lo anterior, se aprecia que:a) El desarrollo de n (a + b) tiene n +1 términosb) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo encada término, hasta cero en el últimoc) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y vanaumentando en unocon cada término, hasta n en el último.d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n .e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n .f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente deltérmino anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el ordende ese término.g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales. 12 its

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