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Deber2do pacial

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ejercicios sistemas de control

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Deber2do pacial

  1. 1. SISTEMAS DE CONTROL ALUMNO CARLOS VALENCIA 6 DE ENERO DE 2016 UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE SISTEMAS DE CONTROL
  2. 2. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE 1 PROBLEMAS SISTEMAS DE CONTROL - SEGUNDO PARCIAL 1) Bosqueje el lugar de raíces de un sistema en lazo cerrado de segundo orden, con un comportamiento de: a) Mp=10%, b) wn=4 [rad/s] y c) Mp=10% y wn=4[rad/s]
  3. 3. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  4. 4. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 3CARLOS VALENCIA 2) a) Rellene la siguiente tabla hallando las constantes y los errores estáticos de posición, velocidad y aceleración. b) Para los casos donde exista un error estático constante, ilustre dicha situación con un gráfico. 3 𝐺1(𝑠) = 𝑠 + 2 3 𝐺2(𝑠) = 𝑠(𝑠 + 2) 3 𝐺3(𝑠) = 𝑠2(𝑠 + 2) Error estático ante escalón 2 𝑒 𝑠𝑠 = 5 3 𝑘 𝑝 = 2 𝑒 𝑠𝑠 = 0 𝑘 𝑝 = ∞ 𝑒 𝑠𝑠 = 0 𝑘 𝑝 = ∞ Error estático ante rampa 𝑒 𝑠𝑠 = ∞ 𝑘 𝑣 = 0 2 𝑒 𝑠𝑠 = 3 3 𝑘 𝑣 = 2 𝑒 𝑠𝑠 = 0 𝑘 𝑣 = ∞ Error estático ante parábola 𝑒 𝑠𝑠 = ∞ 𝑘 𝑎 = 0 𝑒 𝑠𝑠 = ∞ 𝑘 𝑎 = 0 2 𝑒 𝑠𝑠 = 3 3 𝑘 𝑎 = 2
  5. 5. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE 4
  6. 6. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  7. 7. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE 3) Sea un sistema de control 𝑮(𝒔) = � 𝟔 en lazo abierto. Si el sistema� 𝒔� +𝟔𝒔+𝟗 G(s), se realimenta tal como se muestra en la figura. Obtener: a) El gráfico de la respuesta temporal del sistema en lazo cerrado C(s)/R(s) ante entrada escalón y haga constar en el dibujo, los tiempos, tr, ts, tp, y el período de oscilación subamortiguada, el sobrepico Mp, el valor de estado estable y el valor pico calculados. b) El Error estático ante escalón, rampa y parábola con sus tres respectivos gráficos (del sistema en lazo cerrado). c) El Lugar geométrico de las raíces de G. d) La Estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado C(s)/R(s). Compruebe con un mapa de ceros y polos en el plano S y utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz. e) La ganancia necesaria para que el sistema en lazo cerrado C(s)/R(s) tenga una frecuencia natural de 8 rad/s.
  8. 8. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  9. 9. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  10. 10. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  11. 11. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 10 4) Halle un sistema equivalente de menor orden para el siguiente sistema: 36(𝑠 + 20) 𝐺(𝑠) = (𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) Con la ayude Matlab encontramos los polos y ceros del sistema, y graficamos el Lugar de las Raíces correspondiente:
  12. 12. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 11 𝐺(𝑠) = 36𝑠 + 720 3𝑠3 + 69𝑠2 + 135𝑠 + 189 gs=tf([36 720],[3 69 135 189]) polos=roots(gs.den{1}) zeros=roots(gs.num{1}) rlocus(gs) Polo y cero despreciable Más dominantes
  13. 13. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 12 Como se puede observar en el lugar de las raíces del sistema, existe un polo y un cero que se encuentran muy alejados del origen del plano S, el cero en -20 y el polo en 21, por lo que se los puede despreciar ya que los polos imaginarios que se encuentran más cercanos al origen del plano S son más predominantes. Al despreciar ese polo y cero que se encuentran muy lejos del origen, encontramos un sistema equivalente de menor orden al sistema que tenías anteriormente. Entonces, si eliminamos ese polo y cero, tendríamos el siguiente sistema equivalente: 36( 𝑠 + 20) 36 𝐺(𝑠) = ( 𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) ≅ 3𝑠2 + 6𝑠 + 9 Comprobamos esto con la ayuda de Matlab. Encontramos primero el lugar de las raíces: gs=tf([36],[3 6 9]) polos=roots(gs.den{1}) zeros=roots(gs.num{1}) rlocus(gs)
  14. 14. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 13 Y ahora graficamos los 2 sistemas con la ayuda de Simulink, para observar y verificar si en efecto el sistema que encontramos es un sistema equivalente al que teníamos en un comienzo:
  15. 15. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 14 Como se observa en la gráfica, en efecto hemos encontrado un sistema equivalente de menor orden al expuesto en el enunciado. 5) Determine el valor de K para que el sistema siguiente sea estable. Utilice el Criterio de Routh-Hurwitz. 𝐺(𝑠) = 1 𝑠3 + 3𝐾𝑠2 + (𝐾 + 2)𝑠 + 4
  16. 16. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 15 6) Diga de la estabilidad de los siguientes sistemas: 6.1 36(𝑠 + 20) (𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:
  17. 17. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 16 Donde determinamos que el sistema es ESTABLE debido a que todos los polos y ceros del sistema se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario del plano S. 6.2 2 (𝑠 + 21)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:
  18. 18. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 17 Donde determinamos que el sistema es ESTABLE debido a que todos los polos del sistema se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario del plano S. 6.3 2(𝑠 − 5) (𝑠 + 2)2(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente: Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que un cero se encuentra al lado derecho del eje imaginario del plano S. 6.4 3 (𝑠2 + 16)2(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:
  19. 19. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 18 Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que existen polos múltiples que se encuentran sobre el eje imaginario del plano S. 6.5 3 (𝑠2 + 16)(3𝑠2 + 6𝑠 + 9) Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente:
  20. 20. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE MAURICIO RODRÍGUEZ 19 Donde determinamos que el sistema es MARGINALMENTE ESTABLE O MARGINALMENTE INESTABLE debido a que existen polos que se encuentran sobre el eje imaginario del plano S. 6.6 3( 𝑠 − 7) (𝑠 + 3)(𝑠 + 2) Graficando los polos y ceros del sistema en Matlab obtenemos lo siguiente: Donde determinamos que el sistema es INESTABLE debido a que existe un cero en el lado derecho del eje imaginario del plano S. 7) Bosqueje aplicando las reglas aprendidas, el lugar de las raíces de los siguientes sistemas:
  21. 21. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  22. 22. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  23. 23. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  24. 24. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  25. 25. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  26. 26. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
  27. 27. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE 8) Diseñe un control proporcional k para que el sistema en lazo cerrado de la figura, tenga: 𝐺(𝑠) = 4 0.3𝑠2 + 0.4𝑠 + 1 8.1) error de estado estable ante entrada escalón menor al 10% 8.2) tiempo pico sea 1.27 segundos
  28. 28. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE

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