Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler

4,557 views

Published on

Yüklemler, niceleyiciler, kümeler, küme işlemleri, içleme-dışlama ilkesi.

Published in: Education, Business, Technology
  • Be the first to comment

Ayrık Matematik - Yüklemler ve Kümeler

  1. 1. Ayrık Matematik Y¨klemler ve K¨meler u uH. Turgut Uyar Ay¸eg¨l Gen¸ata Yayımlı s u c Emre Harmancı 2001-2013
  2. 2. Lisans c 2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı You are free: to Share – to copy, distribute and transmit the work to Remix – to adapt the work Under the following conditions: Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes. Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
  3. 3. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  4. 4. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  5. 5. Y¨klem u Tanım y¨klem: u bir ya da birden fazla de˘i¸ken i¸eren ve gs c bir ¨nerme olmayan ama o de˘i¸kenlere izin verilen se¸enekler arasından de˘er verildi˘inde gs c g g bir ¨nerme haline gelen o bir belirtim t¨mcesi (a¸ık bildirim) u c
  6. 6. Calı¸ma Evreni¸ s Tanım ¸alı¸ma evreni: U c s izin verilen se¸enekler k¨mesi c u ornekler: ¨ Z: tamsayılar N: do˘al sayılar g Z+ : pozitif tamsayılar Q: rasyonel sayılar R: reel sayılar C: karma¸ık sayılar s
  7. 7. Calı¸ma Evreni¸ s Tanım ¸alı¸ma evreni: U c s izin verilen se¸enekler k¨mesi c u ornekler: ¨ Z: tamsayılar N: do˘al sayılar g Z+ : pozitif tamsayılar Q: rasyonel sayılar R: reel sayılar C: karma¸ık sayılar s
  8. 8. ¨Y¨klem Ornekleri u ¨ Ornek U =N p(x): x + 2 bir ¸ift sayıdır c p(5): Y p(8): D ¬p(x): x + 2 bir ¸ift sayı de˘ildir c g ¨ Ornek U =N q(x, y ): x + y ve x − 2y birer ¸ift sayıdır c q(11, 3): Y , q(14, 4): D
  9. 9. ¨Y¨klem Ornekleri u ¨ Ornek U =N p(x): x + 2 bir ¸ift sayıdır c p(5): Y p(8): D ¬p(x): x + 2 bir ¸ift sayı de˘ildir c g ¨ Ornek U =N q(x, y ): x + y ve x − 2y birer ¸ift sayıdır c q(11, 3): Y , q(14, 4): D
  10. 10. ¨Y¨klem Ornekleri u ¨ Ornek U =N p(x): x + 2 bir ¸ift sayıdır c p(5): Y p(8): D ¬p(x): x + 2 bir ¸ift sayı de˘ildir c g ¨ Ornek U =N q(x, y ): x + y ve x − 2y birer ¸ift sayıdır c q(11, 3): Y , q(14, 4): D
  11. 11. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  12. 12. Niceleyiciler Tanım Tanım varlık niceleyicisi: evrensel niceleyici: y¨klem bazı de˘erler i¸in do˘ru u g c g y¨klem b¨t¨n de˘erler i¸in do˘ru u uu g c g simgesi: ∃ simgesi: ∀ okunu¸u: vardır s okunu¸u: her s simge: ∃! okunu¸u: vardır ve tektir s
  13. 13. Niceleyiciler Tanım Tanım varlık niceleyicisi: evrensel niceleyici: y¨klem bazı de˘erler i¸in do˘ru u g c g y¨klem b¨t¨n de˘erler i¸in do˘ru u uu g c g simgesi: ∃ simgesi: ∀ okunu¸u: vardır s okunu¸u: her s simge: ∃! okunu¸u: vardır ve tektir s
  14. 14. Niceleyiciler Tanım Tanım varlık niceleyicisi: evrensel niceleyici: y¨klem bazı de˘erler i¸in do˘ru u g c g y¨klem b¨t¨n de˘erler i¸in do˘ru u uu g c g simgesi: ∃ simgesi: ∀ okunu¸u: vardır s okunu¸u: her s simge: ∃! okunu¸u: vardır ve tektir s
  15. 15. Niceleyiciler varlık niceleyicisi U = {x1 , x2 , . . . , xn } ∃x p(x) ≡ p(x1 ) ∨ p(x2 ) ∨ · · · ∨ p(xn ) bazı x’ler i¸in p(x) do˘ru c g evrensel niceleyici U = {x1 , x2 , . . . , xn } ∀x p(x) ≡ p(x1 ) ∧ p(x2 ) ∧ · · · ∧ p(xn ) her x i¸in p(x) do˘ru c g
  16. 16. Niceleyiciler varlık niceleyicisi U = {x1 , x2 , . . . , xn } ∃x p(x) ≡ p(x1 ) ∨ p(x2 ) ∨ · · · ∨ p(xn ) bazı x’ler i¸in p(x) do˘ru c g evrensel niceleyici U = {x1 , x2 , . . . , xn } ∀x p(x) ≡ p(x1 ) ∧ p(x2 ) ∧ · · · ∧ p(xn ) her x i¸in p(x) do˘ru c g
  17. 17. ¨Niceleyici Ornekleri ¨ Ornek U =R p(x) : x ≥ 0 ∃x [p(x) ∧ r (x)] q(x) : x 2 ≥ 0 ∀x [p(x) → q(x)] r (x) : (x − 4)(x + 1) = 0 ∀x [q(x) → s(x)] s(x) : x 2 − 3 > 0 ∀x [r (x) ∨ s(x)] ∀x [r (x) → p(x)] yandaki ifadeler do˘ru mudur? g
  18. 18. ¨Niceleyici Ornekleri ¨ Ornek U =R p(x) : x ≥ 0 ∃x [p(x) ∧ r (x)] q(x) : x 2 ≥ 0 ∀x [p(x) → q(x)] r (x) : (x − 4)(x + 1) = 0 ∀x [q(x) → s(x)] s(x) : x 2 − 3 > 0 ∀x [r (x) ∨ s(x)] ∀x [r (x) → p(x)] yandaki ifadeler do˘ru mudur? g
  19. 19. ¨Niceleyici Ornekleri ¨ Ornek U =R p(x) : x ≥ 0 ∃x [p(x) ∧ r (x)] q(x) : x 2 ≥ 0 ∀x [p(x) → q(x)] r (x) : (x − 4)(x + 1) = 0 ∀x [q(x) → s(x)] s(x) : x 2 − 3 > 0 ∀x [r (x) ∨ s(x)] ∀x [r (x) → p(x)] yandaki ifadeler do˘ru mudur? g
  20. 20. ¨Niceleyici Ornekleri ¨ Ornek U =R p(x) : x ≥ 0 ∃x [p(x) ∧ r (x)] q(x) : x 2 ≥ 0 ∀x [p(x) → q(x)] r (x) : (x − 4)(x + 1) = 0 ∀x [q(x) → s(x)] s(x) : x 2 − 3 > 0 ∀x [r (x) ∨ s(x)] ∀x [r (x) → p(x)] yandaki ifadeler do˘ru mudur? g
  21. 21. ¨Niceleyici Ornekleri ¨ Ornek U =R p(x) : x ≥ 0 ∃x [p(x) ∧ r (x)] q(x) : x 2 ≥ 0 ∀x [p(x) → q(x)] r (x) : (x − 4)(x + 1) = 0 ∀x [q(x) → s(x)] s(x) : x 2 − 3 > 0 ∀x [r (x) ∨ s(x)] ∀x [r (x) → p(x)] yandaki ifadeler do˘ru mudur? g
  22. 22. ¨Niceleyici Ornekleri ¨ Ornek U =R p(x) : x ≥ 0 ∃x [p(x) ∧ r (x)] q(x) : x 2 ≥ 0 ∀x [p(x) → q(x)] r (x) : (x − 4)(x + 1) = 0 ∀x [q(x) → s(x)] s(x) : x 2 − 3 > 0 ∀x [r (x) ∨ s(x)] ∀x [r (x) → p(x)] yandaki ifadeler do˘ru mudur? g
  23. 23. Niceleyicilerin De˘illenmesi g ∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur y¨klem de˘illenir u g ¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x) ¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x) ¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x) ¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)
  24. 24. Niceleyicilerin De˘illenmesi g ∀ yerine ∃, ∃ yerine ∀ konur y¨klem de˘illenir u g ¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x) ¬∃x ¬p(x) ⇔ ∀x p(x) ¬∀x p(x) ⇔ ∃x ¬p(x) ¬∀x ¬p(x) ⇔ ∃x p(x)
  25. 25. Niceleyicilerin De˘illenmesi g Teorem ¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x) Tanıt. ¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1 ) ∨ p(x2 ) ∨ · · · ∨ p(xn )] ⇔ ¬p(x1 ) ∧ ¬p(x2 ) ∧ · · · ∧ ¬p(xn ) ≡ ∀x ¬p(x)
  26. 26. Niceleyicilerin De˘illenmesi g Teorem ¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x) Tanıt. ¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1 ) ∨ p(x2 ) ∨ · · · ∨ p(xn )] ⇔ ¬p(x1 ) ∧ ¬p(x2 ) ∧ · · · ∧ ¬p(xn ) ≡ ∀x ¬p(x)
  27. 27. Niceleyicilerin De˘illenmesi g Teorem ¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x) Tanıt. ¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1 ) ∨ p(x2 ) ∨ · · · ∨ p(xn )] ⇔ ¬p(x1 ) ∧ ¬p(x2 ) ∧ · · · ∧ ¬p(xn ) ≡ ∀x ¬p(x)
  28. 28. Niceleyicilerin De˘illenmesi g Teorem ¬∃x p(x) ⇔ ∀x ¬p(x) Tanıt. ¬∃x p(x) ≡ ¬[p(x1 ) ∨ p(x2 ) ∨ · · · ∨ p(xn )] ⇔ ¬p(x1 ) ∧ ¬p(x2 ) ∧ · · · ∧ ¬p(xn ) ≡ ∀x ¬p(x)
  29. 29. Niceleyici E¸de˘erlilikleri s g Teorem ∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x) Teorem ∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
  30. 30. Niceleyici E¸de˘erlilikleri s g Teorem ∃x [p(x) ∨ q(x)] ⇔ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x) Teorem ∀x [p(x) ∧ q(x)] ⇔ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
  31. 31. Niceleyici Gerektirmeleri Teorem ∀x p(x) ⇒ ∃x p(x) Teorem ∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x) Teorem ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
  32. 32. Niceleyici Gerektirmeleri Teorem ∀x p(x) ⇒ ∃x p(x) Teorem ∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x) Teorem ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
  33. 33. Niceleyici Gerektirmeleri Teorem ∀x p(x) ⇒ ∃x p(x) Teorem ∃x [p(x) ∧ q(x)] ⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x) Teorem ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x [p(x) ∨ q(x)]
  34. 34. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  35. 35. Coklu Niceleyiciler¸ ∃x∃y p(x, y ) ∀x∃y p(x, y ) ∃x∀y p(x, y ) ∀x∀y p(x, y )
  36. 36. ¨Coklu Niceleyici Ornekleri¸ ¨ Ornek U =Z p(x, y ) : x + y = 17 ∀x∃y p(x, y ): her x i¸in oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur c ¨ ∃y ∀x p(x, y ): o ¨yle bir y bulunabilir ki her x i¸in x + y = 17 olur c U = N olsa?
  37. 37. ¨Coklu Niceleyici Ornekleri¸ ¨ Ornek U =Z p(x, y ) : x + y = 17 ∀x∃y p(x, y ): her x i¸in oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur c ¨ ∃y ∀x p(x, y ): o ¨yle bir y bulunabilir ki her x i¸in x + y = 17 olur c U = N olsa?
  38. 38. ¨Coklu Niceleyici Ornekleri¸ ¨ Ornek U =Z p(x, y ) : x + y = 17 ∀x∃y p(x, y ): her x i¸in oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur c ¨ ∃y ∀x p(x, y ): o ¨yle bir y bulunabilir ki her x i¸in x + y = 17 olur c U = N olsa?
  39. 39. ¨Coklu Niceleyici Ornekleri¸ ¨ Ornek U =Z p(x, y ) : x + y = 17 ∀x∃y p(x, y ): her x i¸in oyle bir y bulunabilir ki x + y = 17 olur c ¨ ∃y ∀x p(x, y ): o ¨yle bir y bulunabilir ki her x i¸in x + y = 17 olur c U = N olsa?
  40. 40. Coklu Niceleyiciler¸ ¨ Ornek Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A, B} ∃x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∃x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∧ p(2, B)] ∀x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∀x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∧ p(2, B)]
  41. 41. Coklu Niceleyiciler¸ ¨ Ornek Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A, B} ∃x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∃x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∧ p(2, B)] ∀x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∀x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∧ p(2, B)]
  42. 42. Coklu Niceleyiciler¸ ¨ Ornek Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A, B} ∃x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∃x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∧ p(2, B)] ∀x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∀x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∧ p(2, B)]
  43. 43. Coklu Niceleyiciler¸ ¨ Ornek Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A, B} ∃x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∃x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∧ p(2, B)] ∀x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∀x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∧ p(2, B)]
  44. 44. Coklu Niceleyiciler¸ ¨ Ornek Ux = {1, 2} ∧ Uy = {A, B} ∃x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∃x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∨ [p(2, A) ∧ p(2, B)] ∀x∃y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∨ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∨ p(2, B)] ∀x∀y p(x, y ) ≡ [p(1, A) ∧ p(1, B)] ∧ [p(2, A) ∧ p(2, B)]
  45. 45. Kaynaklar Okunacak: Grimaldi Chapter 2: Fundamentals of Logic 2.4. The Use of Quantifiers Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page Chapter 7: Predicate Logic
  46. 46. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  47. 47. K¨me u Tanım k¨me: u birbirinden ayırt edilebilen aralarında sıralama yapılmamı¸ s yinelenmeyen elemanlar toplulu˘u g
  48. 48. K¨me G¨sterilimi u o a¸ık g¨sterilim c o elemanlar s¨sl¨ parantezler i¸inde listelenir: {a1 , a2 , . . . , an } u u c kapalı g¨sterilim o bir y¨klemi do˘ru kılan elemanlar: {x|x ∈ G , p(x)} u g ∅: bo¸ k¨me s u S bir k¨me, a bir nesne olsun u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanıdır u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanı de˘ildir / u g |S|: eleman sayısı (kardinalite)
  49. 49. K¨me G¨sterilimi u o a¸ık g¨sterilim c o elemanlar s¨sl¨ parantezler i¸inde listelenir: {a1 , a2 , . . . , an } u u c kapalı g¨sterilim o bir y¨klemi do˘ru kılan elemanlar: {x|x ∈ G , p(x)} u g ∅: bo¸ k¨me s u S bir k¨me, a bir nesne olsun u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanıdır u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanı de˘ildir / u g |S|: eleman sayısı (kardinalite)
  50. 50. K¨me G¨sterilimi u o a¸ık g¨sterilim c o elemanlar s¨sl¨ parantezler i¸inde listelenir: {a1 , a2 , . . . , an } u u c kapalı g¨sterilim o bir y¨klemi do˘ru kılan elemanlar: {x|x ∈ G , p(x)} u g ∅: bo¸ k¨me s u S bir k¨me, a bir nesne olsun u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanıdır u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanı de˘ildir / u g |S|: eleman sayısı (kardinalite)
  51. 51. K¨me G¨sterilimi u o a¸ık g¨sterilim c o elemanlar s¨sl¨ parantezler i¸inde listelenir: {a1 , a2 , . . . , an } u u c kapalı g¨sterilim o bir y¨klemi do˘ru kılan elemanlar: {x|x ∈ G , p(x)} u g ∅: bo¸ k¨me s u S bir k¨me, a bir nesne olsun u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanıdır u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanı de˘ildir / u g |S|: eleman sayısı (kardinalite)
  52. 52. K¨me G¨sterilimi u o a¸ık g¨sterilim c o elemanlar s¨sl¨ parantezler i¸inde listelenir: {a1 , a2 , . . . , an } u u c kapalı g¨sterilim o bir y¨klemi do˘ru kılan elemanlar: {x|x ∈ G , p(x)} u g ∅: bo¸ k¨me s u S bir k¨me, a bir nesne olsun u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanıdır u a ∈ S: a nesnesi S k¨mesinin elemanı de˘ildir / u g |S|: eleman sayısı (kardinalite)
  53. 53. c o ¨ gA¸ık G¨sterilim Orne˘i ¨ Ornek {3, 8, 2, 11, 5} 11 ∈ {3, 8, 2, 11, 5} |{3, 8, 2, 11, 5}| = 5
  54. 54. ¨Kapalı G¨sterilim Ornekleri o ¨ Ornek {x|x ∈ Z+ , 20 < x 3 < 100} ≡ {3, 4} {2x − 1|x ∈ Z+ , 20 < x 3 < 100} ≡ {5, 7} ¨ Ornek A = {x|x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5} ¨ Ornek E = {n|n ∈ N, ∃k ∈ N [n = 2k]} A = {x|x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
  55. 55. ¨Kapalı G¨sterilim Ornekleri o ¨ Ornek {x|x ∈ Z+ , 20 < x 3 < 100} ≡ {3, 4} {2x − 1|x ∈ Z+ , 20 < x 3 < 100} ≡ {5, 7} ¨ Ornek A = {x|x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5} ¨ Ornek E = {n|n ∈ N, ∃k ∈ N [n = 2k]} A = {x|x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
  56. 56. ¨Kapalı G¨sterilim Ornekleri o ¨ Ornek {x|x ∈ Z+ , 20 < x 3 < 100} ≡ {3, 4} {2x − 1|x ∈ Z+ , 20 < x 3 < 100} ≡ {5, 7} ¨ Ornek A = {x|x ∈ R, 1 ≤ x ≤ 5} ¨ Ornek E = {n|n ∈ N, ∃k ∈ N [n = 2k]} A = {x|x ∈ E , 1 ≤ x ≤ 5}
  57. 57. K¨me ˙ u Ikilemi Bir k¨yde bir berber ya¸ıyor. o s Kendi tra¸ olmayan herkesi tra¸ ediyor, s s Kendi tra¸ olan kimseyi tra¸ etmiyor. s s Bu berber kendi tra¸ olur mu? s evet → ama kendi tra¸ olan kimseyi tra¸ etmiyor s s → hayır hayır → ama kendi tra¸ olmayan herkesi tra¸ ediyor s s → evet
  58. 58. K¨me ˙ u Ikilemi Bir k¨yde bir berber ya¸ıyor. o s Kendi tra¸ olmayan herkesi tra¸ ediyor, s s Kendi tra¸ olan kimseyi tra¸ etmiyor. s s Bu berber kendi tra¸ olur mu? s evet → ama kendi tra¸ olan kimseyi tra¸ etmiyor s s → hayır hayır → ama kendi tra¸ olmayan herkesi tra¸ ediyor s s → evet
  59. 59. K¨me ˙ u Ikilemi Bir k¨yde bir berber ya¸ıyor. o s Kendi tra¸ olmayan herkesi tra¸ ediyor, s s Kendi tra¸ olan kimseyi tra¸ etmiyor. s s Bu berber kendi tra¸ olur mu? s evet → ama kendi tra¸ olan kimseyi tra¸ etmiyor s s → hayır hayır → ama kendi tra¸ olmayan herkesi tra¸ ediyor s s → evet
  60. 60. K¨me ˙ u Ikilemi S kendisinin elemanı olmayan k¨meler k¨mesi olsun u u S = {A|A ∈ A} / S kendinin elemanı mıdır? evet → ama y¨klemi sa˘lamaz → hayır u g hayır → ama y¨klemi sa˘lar → evet u g
  61. 61. K¨me ˙ u Ikilemi S kendisinin elemanı olmayan k¨meler k¨mesi olsun u u S = {A|A ∈ A} / S kendinin elemanı mıdır? evet → ama y¨klemi sa˘lamaz → hayır u g hayır → ama y¨klemi sa˘lar → evet u g
  62. 62. K¨me ˙ u Ikilemi S kendisinin elemanı olmayan k¨meler k¨mesi olsun u u S = {A|A ∈ A} / S kendinin elemanı mıdır? evet → ama y¨klemi sa˘lamaz → hayır u g hayır → ama y¨klemi sa˘lar → evet u g
  63. 63. K¨me ˙ u Ikilemi S kendisinin elemanı olmayan k¨meler k¨mesi olsun u u S = {A|A ∈ A} / S kendinin elemanı mıdır? evet → ama y¨klemi sa˘lamaz → hayır u g hayır → ama y¨klemi sa˘lar → evet u g
  64. 64. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  65. 65. Altk¨me u Tanım A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B] k¨me e¸itli˘i: u s g A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) uygun altk¨me: u A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A = B) ∀S [∅ ⊆ S]
  66. 66. Altk¨me u Tanım A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B] k¨me e¸itli˘i: u s g A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) uygun altk¨me: u A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A = B) ∀S [∅ ⊆ S]
  67. 67. Altk¨me u Tanım A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B] k¨me e¸itli˘i: u s g A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) uygun altk¨me: u A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A = B) ∀S [∅ ⊆ S]
  68. 68. Altk¨me u Tanım A ⊆ B ⇔ ∀x [x ∈ A → x ∈ B] k¨me e¸itli˘i: u s g A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) uygun altk¨me: u A ⊂ B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (A = B) ∀S [∅ ⊆ S]
  69. 69. Altk¨me u altk¨me de˘il u g A B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)] /
  70. 70. Altk¨me u altk¨me de˘il u g A B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)] /
  71. 71. Altk¨me u altk¨me de˘il u g A B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)] /
  72. 72. Altk¨me u altk¨me de˘il u g A B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)] /
  73. 73. Altk¨me u altk¨me de˘il u g A B ⇔ ¬∀x [x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[x ∈ A → x ∈ B] ⇔ ∃x ¬[¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)] ⇔ ∃x [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)] /
  74. 74. Altk¨meler K¨mesi u u Tanım altk¨meler k¨mesi: P(S) u u bir k¨menin b¨t¨n altk¨melerinin olu¸turdu˘u k¨me, u uu u s g u bo¸ k¨me ve kendisi dahil s u n elemanlı bir k¨menin altk¨meler k¨mesinin 2n elemanı vardır u u u
  75. 75. Altk¨meler K¨mesi u u Tanım altk¨meler k¨mesi: P(S) u u bir k¨menin b¨t¨n altk¨melerinin olu¸turdu˘u k¨me, u uu u s g u bo¸ k¨me ve kendisi dahil s u n elemanlı bir k¨menin altk¨meler k¨mesinin 2n elemanı vardır u u u
  76. 76. u u ¨ gAltk¨meler K¨mesi Orne˘i ¨ Ornek P({1, 2, 3}) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }
  77. 77. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  78. 78. K¨me ˙slemleri u I¸ t¨mleme u A = {x|x ∈ A} / kesi¸im s A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık k¨meler u birle¸im s A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
  79. 79. K¨me ˙slemleri u I¸ t¨mleme u A = {x|x ∈ A} / kesi¸im s A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık k¨meler u birle¸im s A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
  80. 80. K¨me ˙slemleri u I¸ t¨mleme u A = {x|x ∈ A} / kesi¸im s A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık k¨meler u birle¸im s A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
  81. 81. K¨me ˙slemleri u I¸ fark A − B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} / A−B =A∩B bakı¸ımlı fark: s A B = {x|(x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∩ B)} /
  82. 82. K¨me ˙slemleri u I¸ fark A − B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} / A−B =A∩B bakı¸ımlı fark: s A B = {x|(x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∩ B)} /
  83. 83. K¨me ˙slemleri u I¸ fark A − B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} / A−B =A∩B bakı¸ımlı fark: s A B = {x|(x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∩ B)} /
  84. 84. Kartezyen Carpım ¸ Tanım Kartezyen ¸arpım: c A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} A × B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N} |A × B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|
  85. 85. Kartezyen Carpım ¸ Tanım Kartezyen ¸arpım: c A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} A × B × C × · · · × N = {(a, b, . . . , n)|a ∈ A, b ∈ B, . . . , n ∈ N} |A × B × C × · · · × N| = |A| · |B| · |C | · · · |N|
  86. 86. ¨ gKartezyen Carpım Orne˘i ¸ ¨ Ornek A = {a1 .a2 , a3 , a4 } B = {b1 , b2 , b3 } A×B = { (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (a3 , b1 ), (a3 , b2 ), (a3 , b3 ), (a4 , b1 ), (a4 , b2 ), (a4 , b3 ) }
  87. 87. E¸de˘erlilikler s g Cifte T¨mleme ¸ u A=A De˘i¸me gs A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A Birle¸me s (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Sabit Kuvvetlilik A∩A=A A∪A=A Terslik A∩A=∅ A∪A=U
  88. 88. E¸de˘erlilikler s g Cifte T¨mleme ¸ u A=A De˘i¸me gs A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A Birle¸me s (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Sabit Kuvvetlilik A∩A=A A∪A=A Terslik A∩A=∅ A∪A=U
  89. 89. E¸de˘erlilikler s g Cifte T¨mleme ¸ u A=A De˘i¸me gs A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A Birle¸me s (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Sabit Kuvvetlilik A∩A=A A∪A=A Terslik A∩A=∅ A∪A=U
  90. 90. E¸de˘erlilikler s g Cifte T¨mleme ¸ u A=A De˘i¸me gs A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A Birle¸me s (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Sabit Kuvvetlilik A∩A=A A∪A=A Terslik A∩A=∅ A∪A=U
  91. 91. E¸de˘erlilikler s g Cifte T¨mleme ¸ u A=A De˘i¸me gs A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A Birle¸me s (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) Sabit Kuvvetlilik A∩A=A A∪A=A Terslik A∩A=∅ A∪A=U
  92. 92. E¸de˘erlilikler s g Etkisizlik A∩U =A A∪∅=A Baskınlık A∩∅=∅ A∪U =U Da˘ılma g A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Yutma A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A De Morgan Yasaları A∩B =A∪B A∪B =A∩B
  93. 93. E¸de˘erlilikler s g Etkisizlik A∩U =A A∪∅=A Baskınlık A∩∅=∅ A∪U =U Da˘ılma g A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Yutma A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A De Morgan Yasaları A∩B =A∪B A∪B =A∩B
  94. 94. E¸de˘erlilikler s g Etkisizlik A∩U =A A∪∅=A Baskınlık A∩∅=∅ A∪U =U Da˘ılma g A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Yutma A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A De Morgan Yasaları A∩B =A∪B A∪B =A∩B
  95. 95. E¸de˘erlilikler s g Etkisizlik A∩U =A A∪∅=A Baskınlık A∩∅=∅ A∪U =U Da˘ılma g A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Yutma A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A De Morgan Yasaları A∩B =A∪B A∪B =A∩B
  96. 96. E¸de˘erlilikler s g Etkisizlik A∩U =A A∪∅=A Baskınlık A∩∅=∅ A∪U =U Da˘ılma g A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) Yutma A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A De Morgan Yasaları A∩B =A∪B A∪B =A∩B
  97. 97. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  98. 98. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  99. 99. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  100. 100. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  101. 101. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  102. 102. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  103. 103. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  104. 104. De Morgan Kuralı Tanıt. A ∩ B = {x|x ∈ (A ∩ B)} / = {x|¬(x ∈ (A ∩ B))} = {x|¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))} = {x|¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)} = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} / / = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} = {x|x ∈ A ∪ B} = A∪B
  105. 105. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Teorem A ∩ (B − C ) = (A ∩ B) − (A ∩ C )
  106. 106. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Tanıt. (A ∩ B) − (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C ) = ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ (B − C )
  107. 107. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Tanıt. (A ∩ B) − (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C ) = ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ (B − C )
  108. 108. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Tanıt. (A ∩ B) − (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C ) = ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ (B − C )
  109. 109. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Tanıt. (A ∩ B) − (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C ) = ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ (B − C )
  110. 110. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Tanıt. (A ∩ B) − (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C ) = ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ (B − C )
  111. 111. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Tanıt. (A ∩ B) − (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C ) = ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ (B − C )
  112. 112. ¨ gE¸de˘erlilik Orne˘i s g Tanıt. (A ∩ B) − (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C ) = ((A ∩ B) ∩ A) ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = ∅ ∪ ((A ∩ B) ∩ C )) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) = A ∩ (B − C )
  113. 113. Konular 1 Y¨klemler u Giri¸ s Niceleyiciler Coklu Niceleyiciler ¸ 2 K¨meler u Giri¸ s Altk¨me u K¨me ˙slemleri u I¸ ˙cleme-Dı¸lama I¸ s
  114. 114. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s Ilkesi |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| |A ∪ B ∪ C | = |A| + |B| + |C | − (|A ∩ B| + |A ∩ C | + |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C | Teorem |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |Ai | − |Ai ∩ Aj | i i,j + |Ai ∩ Aj ∩ Ak | i,j,k · · · + −1n−1 |Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An |
  115. 115. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s Ilkesi |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| |A ∪ B ∪ C | = |A| + |B| + |C | − (|A ∩ B| + |A ∩ C | + |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C | Teorem |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |Ai | − |Ai ∩ Aj | i i,j + |Ai ∩ Aj ∩ Ak | i,j,k · · · + −1n−1 |Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An |
  116. 116. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s Ilkesi |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| |A ∪ B ∪ C | = |A| + |B| + |C | − (|A ∩ B| + |A ∩ C | + |B ∩ C |) + |A ∩ B ∩ C | Teorem |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |Ai | − |Ai ∩ Aj | i i,j + |Ai ∩ Aj ∩ Ak | i,j,k · · · + −1n−1 |Ai ∩ Aj ∩ · · · ∩ An |
  117. 117. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) asal sayıları bulmak i¸in bir y¨ntem c o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
  118. 118. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) asal sayıları bulmak i¸in bir y¨ntem c o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
  119. 119. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) asal sayıları bulmak i¸in bir y¨ntem c o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
  120. 120. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) asal sayıları bulmak i¸in bir y¨ntem c o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
  121. 121. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) asal sayıları bulmak i¸in bir y¨ntem c o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
  122. 122. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) 1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı 2, 3, 5 ve 7’ye b¨l¨nemeyen sayılar ou A2 : 2’ye b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A3 : 3’e b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A5 : 5’e b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A7 : 7’ye b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u |A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 |
  123. 123. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) 1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı 2, 3, 5 ve 7’ye b¨l¨nemeyen sayılar ou A2 : 2’ye b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A3 : 3’e b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A5 : 5’e b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A7 : 7’ye b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u |A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 |
  124. 124. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) 1’den 100’e kadar asal sayıların sayısı 2, 3, 5 ve 7’ye b¨l¨nemeyen sayılar ou A2 : 2’ye b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A3 : 3’e b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A5 : 5’e b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u A7 : 7’ye b¨l¨nen sayılar k¨mesi ou u |A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 |
  125. 125. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) |A2 | = 100/2 = 50 |A2 ∩ A3 | = 100/6 = 16 |A3 | = 100/3 = 33 |A2 ∩ A5 | = 100/10 = 10 |A5 | = 100/5 = 20 |A2 ∩ A7 | = 100/14 = 7 |A7 | = 100/7 = 14 |A3 ∩ A5 | = 100/15 = 6 |A3 ∩ A7 | = 100/21 = 4 |A5 ∩ A7 | = 100/35 = 2
  126. 126. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) |A2 | = 100/2 = 50 |A2 ∩ A3 | = 100/6 = 16 |A3 | = 100/3 = 33 |A2 ∩ A5 | = 100/10 = 10 |A5 | = 100/5 = 20 |A2 ∩ A7 | = 100/14 = 7 |A7 | = 100/7 = 14 |A3 ∩ A5 | = 100/15 = 6 |A3 ∩ A7 | = 100/21 = 4 |A5 ∩ A7 | = 100/35 = 2
  127. 127. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) |A2 ∩ A3 ∩ A5 | = 100/30 = 3 |A2 ∩ A3 ∩ A7 | = 100/42 = 2 |A2 ∩ A5 ∩ A7 | = 100/70 = 1 |A3 ∩ A5 ∩ A7 | = 100/105 = 0 |A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7 | = 100/210 = 0
  128. 128. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) |A2 ∩ A3 ∩ A5 | = 100/30 = 3 |A2 ∩ A3 ∩ A7 | = 100/42 = 2 |A2 ∩ A5 ∩ A7 | = 100/70 = 1 |A3 ∩ A5 ∩ A7 | = 100/105 = 0 |A2 ∩ A3 ∩ A5 ∩ A7 | = 100/210 = 0
  129. 129. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) |A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 | = (50 + 33 + 20 + 14) − (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2) + (3 + 2 + 1 + 0) − (0) = 78 asalların sayısı: (100 − 78) + 4 − 1 = 25
  130. 130. ˙cleme-Dı¸lama ˙I¸ s ¨ g Ilkesi Orne˘i ¨ Ornek (Eratosthenes Kalburu) |A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 | = (50 + 33 + 20 + 14) − (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2) + (3 + 2 + 1 + 0) − (0) = 78 asalların sayısı: (100 − 78) + 4 − 1 = 25
  131. 131. Kaynaklar Okunacak: Grimaldi Chapter 3: Set Theory 3.1. Sets and Subsets 3.2. Set Operations and the Laws of Set Theory Chapter 8: The Principle of Inclusion and Exclusion 8.1. The Principle of Inclusion and Exclusion Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page Chapter 8: Set Theory

×